Главная
Каталог
Библиотека
Избранное
Порталы
Библиотеки вузов
Отзывы
Новости
 
12+
 
Предварительный просмотр документа

Статический класcический и сингулярный предельный анализ идеально жестко-пластических систем в условиях не вполне достоверной информации о внешней нагрузке: Монография

Автор/создатель: Ахвледиани Н.В., Ахвледиани А.Н.
Год: 2010 
Даются методы расчета верхней границы несущей способности жестко-пластических систем в условиях их многопараметрического нагружения на основе статического метода теории предельного равновесия. Предлагаемые методы могут быть использованы при экспертной оценке возможности коллапса жестко-пластических систем в условиях сложного нагружения.
Показать полное описание документа
Популярные ресурсы рубрик:
РЕЙТИНГ

Оценка пользователей: 5.0
Количество голосов: 1
Оцените ресурс:
5 4 3 2 1

ОТЗЫВЫ


Популярные ресурсы по теме

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
21 предельного равновесия системы, является единственным. Ему соответствует одновременно статически и кинематически допустимое распределение реакций связей системы. Перейдем к вопросу определения несущей способности жестко-пластических систем при многопараметрическом нагружении. Полная несущая способность системы определяется статически допустимой областью C и ее границей С*. Так как описание границы С* с помощью аналитического выражения является затруднительным, то это побуждает нас к введению критерия оптимизации. В качестве оптимизируемой функции рассмотрим функцию, выражающую суммарную нагрузку жестко-пластической системы при ее многопараметрическом нагружении: N T ∑ ( ёn ⋅ Pn) n=1 (2.7) ёn > 0 n 1, , , ,N В выражениях (2.7) ёn – постоянные коэффициенты, каждый из которых равен суммарной нагрузке n-ой группы сил при Pn=1. В соответствии с соотношениями (2.7) и тем обстоятельством, что Pn≥0(n=1,…,N) , T≥0. Функция T принимает нулевое значение лишь при Pn=0(n=1,…,N). Так как коэффициенты ёn строго положительны, то функция Т является строго возрастающей по каждой из переменных Pn. При каждом фиксированном положительном значении Т=Т0 равенство N ∑ ( ёn ⋅ Pn) − T0 0 n=1 представляет собой гиперплоскость в N–мерном евклидовом пространстве комбинаций параметров нагружения, причем эта гиперплоскость пересекает координатные оси в неотрицательном ортанте евклидового пространства (Рис.2). В дальнейшем мы будем рассматривать только те части гиперплоскостей, соответствующих тому или иному значению суммарной нагрузки, которые лежат в неотрицательном ортанте. Введем следующие определения. 21 22 Определение 1 Значение суммарной нагрузки T=Ts называется статически допустимым, если каждая точка пересечения, соответствующей этому значению Ts гиперплоскости, с неотрицательным ортантом является статически допустимой. Упомянутое пересечение рассматриваемой гиперплоскости с неотрицательным ортантом обозначим через Hs (Рис.3). ∑(ёn·Pn)-T0=0 Рис.2. К графической иллюстрации гиперплоскости, соответствующей фиксированному значению суммарной нагрузки Т0. Определение 2 Значение суммарной нагрузки T=Td называется разрушающим, если хотя бы одна точка пересечения, соответствующей этому значению гиперплоскости, с неотрицательным ортантом является разрушающей. 22 23 Упомянутое пересечение рассматриваемой гиперплоскости с неотрицательным ортантом обозначим через Hd (Рис.3). Определение 3 Значение суммарной нагрузки T=Tv называется статически возможным, если хотя бы одна точка пересечения, соответствующей этому значению Tv гиперплоскости, с неотрицательным ортантом является статически допустимой. Упомянутое пересечение рассматриваемой гиперплоскости с неотрицательным ортантом обозначим через Hv (Рис.3). Рис.3. Графическая иллюстрация к определениям 1-3. Докажем следующее утверждение. Лемма 1 Для жестко-пластических систем рассматриваемого класса, существует хотя бы одно статически допустимое значение суммарной нагрузки Ts, отличное от нуля. Доказательство. 23 24 Для доказательства леммы рассмотрим две возможности. Первая возможность: для жестко-пластических систем рассматриваемого класса не существует ни одного статически допустимого значения суммарной нагрузки. Это означает, что при непрерывном уменьшении значений суммарной нагрузки от некоторого положительного значения Т до нуля все рассматриваемые значения не являются статически допустимыми. В этом процессе при Т=0 получаем гиперплоскость ∑(ёn∙Pn)=0, проходящую через начало координат (Рис.4). Это означает, что постоянная часть нагрузки либо соответствует состоянию предельного равновесия, либо является разрушающей. Оба эти случая были исключены при формировании рассматриваемого класса жестко-пластических систем. Таким образом остается вторая возможность, а именно - для жестко-пластической системы рассматриваемого класса, найдется хотя бы одно статически допустимое положительное значение суммарной нагрузки Т=Ts. При этом, соответствующая значению Ts гиперплоскость Hs, отсекает в неотрицательном ортанте выпуклый полиэдр Zs (Рис.5) . Так как все точки Hs, лежащие в неотрицательном ортанте, являются статически допустимыми, то и точки пересечения Hs с осями неотрицательного ортанта также являются статически допустимыми. Кроме того точка координат также является статически допустимой. Таким образом все вершины полиэдра Zs являются статически допустимыми и принадлежат выпуклой области С. Из этого непосредственно следует, что и весь выпуклый полиэдр Zs лежит в статически допустимой выпуклой области С (Рис.5). Докажем следующее утверждение. Лемма 2 Множество статически допустимых значений суммарной нагрузки ограниченно сверху и имеет точную верхнюю границу. Доказательство. Для доказательства рассматриваемого утверждения рассмотрим сперва следующую оптимизационную задачу (2.8): 24 25 Положение гиперплоскости ∑(ёn·Pn) =0 при Т=0. Рис.4. Графическая иллюстрация к случаю прохождения гиперплоскости через начало координат. Рис.5 К доказательству леммы 1. 25 26  N  Maximize  ∑ ( ёn ⋅ Pn)  n = 1  (2.8) Pn ≥ 0 (n 1 , , , , N) g ( R1, , , , RQ) ≤ 0 j (j 1 , , , , J) N Q ∑ ( Wsn ⋅ Pn) + ∑ ( Wsq ⋅ Rq) + Gs 0 (s 1 , , , , S) n=1 q=1 В силу компактности области, соответствующей системе разрешающих соотношений экстремальной задачи (2.8), она имеет решение. В силу самой структуры задачи (2.8) оптимальное значение Tv*, соответствующее задаче (2.8), достигается в статически допустимой точке Sv* (рис.6). Поэтому значение суммарной нагрузки Tv* является или статически допустимым, или статически возможным. Во всех случаях оно является максимальным статически возможным значением. Поэтому для любого статически допустимого значения Ts: Ts≤Tv* (2.9) В силу (2.9) множество статически допустимых значений суммарной нагрузки ограничено сверху. Поэтому оно имеет точную верхнюю границу. Этим и доказывается лемма 2. Из теории выпуклых задач математического программирования следует, что гиперплоскость ∑(ёn∙Pn)-Tv*=0, соответствующая оптимальному значению задачи (2.8), является опорной к статически допустимой области С (рис.6). 26 27 ∑(ёn∙Pn)-Tv*=0 Рис.6 К доказательству леммы 2. Метод определения предельного значения суммарной нагрузки (А.Н.Ахвледиани,1990г./ 9 /) 1. Для каждого i=1,..., N и каждого номера n (1≤n≤N) последовательно, начиная с n=1, полагаем: если i ≠n то Pn=0, если i=n то Pn=Pi. Этим самым мы определяем N программ однопараметрического нагружения вдоль каждой из осей координат неотрицательного ортанта EN+ пространства комбинаций параметров нагрузок. 2. Для каждой из N упомянутых однопараметрических программ решаем экстремальную задачу (2.8). Максимальное значение функции суммарной нагрузки, соответствующее каждой i-й программе нагружения обозначим Ti*. В результате получим конечное множество значений: T=[T1*,…, Ti*,…, TN* ] (2.10) 3. Из конечного множества (2.10) выбираем минимальный элемент: T*=Min[T1*,…, Ti*,…, TN* ] (2.11) Определенное таким образом значение суммарной нагрузки T* и будет предельным. 27 28 Выше мы только описали метод определения предельного значения суммарной нагрузки. Теперь следует пояснить в каком смысле значение T* является предельным и описать его свойства. Вначале докажем следующую теорему. Теорема о верхней границе суммарной нагрузки (А.Н.Ахвледиани,2008г.) Предельное значение T* является верхней границей множества всех статически допустимых значений Ts суммарной нагрузки. Доказательство. В соответствии с методом определения предельного значения суммарной нагрузки (пункты 1 и 2), и статической теоремой теории предельного рановесия для случая однопараметрического нагружения, каждая i-ая программа нагружения, соответствующая i-ой координатной оси неотрицательного ортанта комбинаций параметров нагрузок, определяет, как предельное частичное i-ое значение Ti* суммарной нагрузки, так и соответствующую этому значению точку Xi* пересечения i-ой координатной оси с границей статически допустимой области С* (рис.7). Все точки Xi* являются граничными статически допустимыми точками на соответствующих координатных осях. Это означает, что для каждой координатной оси, все точки Xi, удаленные от начала координат на расстояние большее чем |ОXi*| являются разрушающими (на рис.7 они обозначены красным цветом). В соответствии с методом определения предельного i-го значения суммарной нагрузки все точки Xi*(i=1,…,N) являются точками пересечения границы статически допустимой области С* с координатными осями неотрицательного ортанта. Вначале докажем, что T* является статически допустимым значением параметра нагрузки. Для этого в соответствии с определением 1 достаточно доказать, что все точки множества Hs*, соответствующего значению T*, являются статически допустимыми. Напомним, что в соответствии с определением 1, множество Hs* представляет собой пересечение неотрицательного ортанта с гиперплоскостью ∑(ёn∙Pn)-T*=0 (2.12) Множество Hs* и гиперплоскость (2.12) изображены на рис.7. Hs* , как часть гиперплоскости (2.12), отсекает в неотрицательном ортанте выпуклый полиэдр Zs*. Этот полиэдр содержит Hs*. Вершинами полиэдра Zs* являются начало координат (точка О) и точки пересечения Hs* с осями координат. Обозначим упомянутые точки пересечения через Yi*(i=1,…,N).Так как Hs* является частью гиперплоскости (2.12),то во всех его точках,в том числе и в точках Yi*(i=1,…,N), значение суммарной нагрузки равно одному и тому же значению T*. В соответствии с методом определения предельного значения суммарной нагрузки (пункты 1-3),в одной из точек Xi* значение суммарной нагрузки так же равно T*. 28 29 Рассмотрим вопрос, может ли полиэдр Zs* содержать разрушающие точки. Существует две возможности. Первая - полиэдр Zs* содержит разрушающие точки. Вторая - полиэдр Zs* не содержит разрушающих точек. Если полиэдр Zs* содержит разрушающие точки, то в этом случае хотя бы одна из его вершин лежит вне статически допустимой области С и ее границы С*. Так как все точки Xi*(i=1,…,N) являются точками пересечения границы статически допустимой области С* с координатными осями неотрицательного ортанта, а одна из вершин полиэдра Yi* (i=1,…,N) лежит вне области С и ее границы С* это означает, что для некоторого i=n и соответствующей n-ой оси неотрицательного ортанта , точка Xn* лежит между началом координат О и точкой Yn* на упомянутой оси, причем точки Xn* и Yn* не совпадают. Отметим, что поскольку точки Xn* и Yn* лежат на n-ой оси неотрицательного ортанта , все их координаты за исключением n-ой равны нулю. n-ые координаты упомянутых точек численно равны расстояниям |OXn*| и |OYn*| от начала координат О до соответствующих точек Xn* и Yn*. Так как точка Xn* лежит между началом координат О и точкой Yn* то имеет место соотношение: |OYn*|>|OXn*| (2.13) Так как функция суммарной нагрузки является строго возрастающей по каждому из параметров нагружения, то из (2.13) следует: T(|OYn*|)>T(|OXn*|) (2.14) Так как точка Xn* является одной из точек Xi* (i=1,…,n,,,,N), а точкам Xi*(i=1,…,n,,,,N) соответствует множество значений суммарной нагрузки, определяемое соотношением (2.10), то в силу соотношений (2.14) и (2.11) будем иметь: T(|OYn*|)> T(|OXn*|)≥ Min[T1*,…, Ti*,…, TN* ]=Т* (2.15) Окончательно из (2.15) следует: T(|OYn*|)> Т* (2.16) С другой стороны во всех точках Yi*(i=1,…,n,…,N) достигается одно и то же значение суммарной нагрузки равное Т*. Это означает, что T(|OYn*|)= Т* (2.17) Соотношения (2.16) и (2.17) противоречат друг другу.Таким образом допущение о том, что полиэдр Zs* содержит разрушающие точки, привело к противоречию. 29 30 Рассмотрим теперь второй вариант - все точки полиэдра Zs*, а значит и все точки его подмножества Hs*, не содержат разрушающих точек в смысле нарушения системы соотношений (2.1). В этом случае все точки множества Hs* являются статически допустимыми, поэтому в силу определения 1 значение суммарной нагрузки Т* также является статически допустимым. Противоречия нет. Рассмотрим вопрос, является ли значение суммарной нагрузки Т* максимальным статически допустимым значением. Рассмотрим сперва один из двух возможных вариантов, а именно: существует статически допустимое значение Т**, большее чем Т*. В соответствии с методом определения предельного значения суммарной нагрузки (пункты 1-3), в одной из точек Xi* пересечения i-х координатных осей с границей статически допустимой области С* значение суммарной нагрузки так же равно T*. Это означает, что значение T* достигается при некотором i=I, в соответствующей точке XI*. Поэтому точка XI* принадлежит множеству Hs*(как геометрическому месту точек в которых суммарное значение нагрузки равно T*). С другой стороны точка XI* принадлежит границе статически допустимой области С* и является граничной точкой статически допустимой области С. Из этого следует, что все точки I-ой координатной оси, удаленные от начала координат на расстояние большее чем |O XI*|, являются разрушающими. Множество Hs** представляет собой пересечение неотрицательного ортанта с гиперплоскостью ∑(ёn∙Pn)-T**=0 (2.18) Гиперплоскости (2.12) и(2.18) параллельны друг другу, поэтому части этих гиперплоскостей Hs* и Hs**, лежащие в неотрицательном ортанте, не имеют точек пересечения. Гиперплоскость (2.18) и ее часть Hs** пересекают все оси неотрицательного ортанта, в том чиле и I-ую координатную ось. Как было установлено ранее Hs* пересекает I-ую координатную ось в точке XI*. Статически допустимое значение суммарной нагрузки в этой точке равно T*. Обозначим через КI** точку пересечения Hs** с I-ой координатной осью. Значение суммарной нагрузки в этой точке равно T**. Согласно рассматриваемому варианту имеет место соотношение: T**> T* (2.19) Так как функция суммарной нагрузки является строго возрастающей по каждому из параметров нагружения, то из (2.19) следует: |О КI**|>|О XI* | (2.20) Соотношение (2.20) означает, что на I-ой координатной оси расстояние точки КI** от начала координат превышает расстояние точки XI* от начала координат. Но точка XI* является граничной статически допустимой точкой. Поэтому в силу соотношения (2.20) точка КI** является разрушающей. С другой стороны значение суммарной нагрузки в точке КI** равно T**. Следовательно значение суммарной нагрузки T** является разрушающим, а не статически допустимым, что вступает в 30
Яндекс цитирования