Главная
Каталог
Библиотека
Избранное
Порталы
Библиотеки вузов
Отзывы
Новости
 
12+
 
Предварительный просмотр документа

Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

Автор/создатель: Прасолов В.В.
Год: 2004 
В книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуждаются оба подхода. Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии. Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями.
Показать полное описание документа
Популярные ресурсы рубрик:
РЕЙТИНГ

Оценка пользователей: 5.0
Количество голосов: 2
Оцените ресурс:
5 4 3 2 1

ОТЗЫВЫ


Популярные ресурсы по теме

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
§ 7. Элементы общей топологии 111 замкнутых множеств, поэтому оно замкнуто. Ясно также, что Cα ⊂ Uα и ψα (x) = 0 при x ∈ Cα . Поэтому supp ψα ⊂ Cα ⊂ Uα . Легко проверить, что семейство множеств {Cα } локально конечно. Действительно, для любой точки x ∈ X существует окрестность W , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия V; обо- значим их Vβ1 , . . . , Vβk . Окрестность W не пересекается с Cα , если α ∈ {A(β1), . . . , A(βk)}. Таким образом, семейства множеств {supp ϕβ } и {supp ψα } локально конечны, поэтому ψα (x) = ϕβ (x) = ϕβ (x) = 1. 2 α∈A α∈A A(β)=α β∈B Ранее было доказано (см. с. 105), что для любого не более чем счёт- ного покрытия метризуемого пространства существует подчинённое ему разбиение единицы. Докажем теперь следующее несколько более сильное утверждение. Т е о р е м а 7.11 (Стоун [124]). Метризуемое пространство па- ракомпактно. Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [115]). Пусть U = {Uα | α ∈ A} – откры- тое покрытие метрического пространства X с метрикой d. Мы снова воспользуемся тем, что множество A можно вполне упорядочить. Для x ∈ X и r > 0 рассмотрим открытый шар Dx,r = {y ∈ X | d(x, y) < r}. Для α ∈ A и n ∈ N определим Vα,n как объединение множеств Dx,2−n для всех точек x ∈ X, удовлетворяющих следующим трём условиям: 1) Dx,3·2−n ⊂ Uα ; 2) x ∈ Uβ при β < α; 3) x ∈ Vβ, j при j < n. Множества Vα,n определяются сначала для n = 1 (в этом случае рас- сматриваются только первые два условия), затем для n = 2, и т. д. Первым делом докажем, что множества Vα,n покрывают всё про- странство X. Для произвольной точки x ∈ X рассмотрим множество B = {β ∈ A | x ∈ Uβ }. Пусть α – первый элемент множества B. Число n выберем так, что Dx,3·2−n ⊂ Uα . Если x ∈ Vβ, j при j < n, то для x выполняются свойства 1–3, поэтому x ∈ Vα,n . Следовательно, точка x принадлежит некоторому множеству Vβ, j , где j n. Остаётся доказать, что покрытие {Vα,n } локально конечно. Для точки x ∈ X рассмотрим множество B = {β ∈ A | x ∈ Vβ,n для некоторого n}. Пусть α – первый элемент множества B и x ∈ Vα,n . Выберем j ∈ N так, что Dx,2−j ⊂ Vα,n . Покажем, что открытое множество Dx,2−j−n пересе- 112 Глава III. Топологические пространства кается лишь с конечным числом множеств Vβ,i . Для этого достаточно доказать, что это множество не пересекает Vβ,i при i n + j и пересекает не более одного множества Vβ,i при i < n + j. Предположим сначала, что i n + j > n. Множество Vβ,i состоит из открытых шаров радиуса 2−i , центры которых удовлетворяют услови- ям 1–3. В частности, из свойства (3) следует, что если y – центр такого шара, то y ∈ Vα,n . Но Dx,2−j ⊂ Vα,n , поэтому d(x, y) 2− j . С другой стороны, n + j j + 1 и i j + 1, поэтому 2− j−n + 2−i 2− j , а значит, Dx,2−j−n ∩ Dy,2−i = ∅. Предположим теперь, что i < n + j, p ∈ Dx,2−j−n ∩ Vβ,i и q ∈ Dx,2−j−n ∩ ∩ Vγ,i , причём β = γ. Пусть для определённости β < γ. Чтобы прийти к противоречию, достаточно доказать, что если p ∈ Vβ,i и q ∈ Vγ,i , где β < γ, то d(p, q) 2− j−n+1 . Пусть y и z – центры шаров Dy,2−i и Dz,2−i , для которых p ∈ Dy,2−i ⊂ Vβ,i и q ∈ Dz,2−i ⊂ Vγ,i . Согласно условию 1 Dy,3·2−i ⊂ Uβ , а согласно условию 2 z ∈ Uβ . Поэтому d(y, z) 3 · 2−i , а значит, d(p, q) d(y, z) −d(p, y) −d(q, z) 3·2−i −2−i −2−i = 2−i 2−n− j+1 . 2 § 8. Симплициальные комплексы Евклидово пространство Rn является наиболее важным примером то- пологического пространства. Все основные классы топологических про- странств (симплициальные комплексы, CW -комплексы, многообразия) строятся посредством склейки евклидовых симплексов или шаров. По чи- сто техническим причинам в гомотопической топологии CW -комплексы более удобны, чем симплициальные комплексы. Дело в том, что сим- плициальные комплексы несут слишком много геометрической информа- ции, явно излишней для нужд топологии. Тем не менее, симплициальные комплексы представляют собой достаточно интересный и достаточно об- ширный класс топологических пространств. В геометрической топологии именно симплициальные комплексы наиболее удобны (по крайней мере, наиболее часто используются). Симплициальным комплексом K называют набор симплексов в Rn , удовлетворяющий следующим условиям: – любая грань симплекса из K принадлежит K ; – пересечение любых двух симплексов из K является гранью каждого из них (для удобства мы полагаем, что пустое множество является гранью размерности −1 любого симплекса); § 8. Симплициальные комплексы 113 – любая точка, принадлежащая одному из симплексов K , имеет окрестность, которая пересекается с конечным числом симплексов из K . Размерностью комплекса K называют максимальную размерность входящих в него симплексов. Симплициальный комплекс K называют конечным, если он состоит из конечного числа симплексов. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном конечные симплициальные комплексы. Каждому симплициальному комплексу K можно сопоставить топо- логическое пространство |K | – объединение всех симплексов, входящих в K ; топология при этом индуцируется из Rn . На с. 93 дано определение барицентрического подразделения сим- плекса. Если каждый симплекс в K разбит таким образом, то мы полу- чаем барицентрическое подразделение симплициального комплекса K . З а д а ч а 8.1. Докажите, что симплексы барицентрического подраз- деления симплекса ∆n находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными наборами вершин симплекса ∆n . 8.1. Евклидовы клеточные комплексы Выпуклым многогранником размерности k называют подмножество в Rk , которое задано системой линейных неравенств Ax b и, кроме того, содержит некоторый k-мерный шар и содержится в некотором k-мерном шаре. Евклидовой клеткой размерности k называют выпуклый многогран- ник размерности k, расположенный в некотором k-мерном (аффинном) подпространстве в Rn , где n k. Евклидовым клеточным комплексом K называют набор евклидовых клеток в Rn , удовлетворяющий следующим условиям: – любая грань евклидовой клетки из K принадлежит K ; – пересечение любых двух евклидовых клеток из K является гранью каждой из них; – любая точка множества |K | имеет окрестность, которая пересе- кается с конечным числом евклидовых клеток из K (здесь |K | снова обозначает объединение всех клеток, входящих в K). Любой симплициальный комплекс является евклидовым клеточным комплексом. Евклидов клеточный комплекс K называют подразделением евкли- дова клеточного комплекса K , если |K | = |K | и любая клетка из K содержится в некоторой клетке из K . Объединение всех клеток размерности не более n евклидова клеточ- ного комплекса K называют n-мерным остовом; мы будем обозначать 114 Глава III. Топологические пространства его K n . Если размерность K не меньше n, то его n-мерный остов явля- ется n-мерным евклидовым клеточным комплексом. Т е о р е м а 8.1. Пусть K1 и K2 – евклидовы клеточные комплек- сы, причём |K1 | = |K2 |. Тогда K1 и K2 обладают общим подразделе- нием L. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух евклидовых кле- ток снова будет евклидовой клеткой. Пусть L – множество всех клеток вида c1 ∩ c2 , где c1 – клетка из K1 , c2 – клетка из K2 . Тогда L – евкли- дово клеточное разбиение, |L| = |K1 | = |K2 | и любая клетка c1 ∩ c2 из L принадлежит клетке c1 из K1 и клетке c2 из K2 . 2 Следующее утверждение показывает, что с топологической точки зре- ния евклидовы клеточные комплексы не дают ничего нового по сравнению с симплициальными комплексами. Т е о р е м а 8.2. Любой евклидов клеточный комплекс K обла- дает подразделением, которое является симплициальным комплек- сом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим индукцию по n = dim K . Евкли- довы клетки размерности 1 являются симплексами, поэтому при n 1 утверждение очевидно. Предположим, что для (m − 1)-мерного остова комплекса K уже построено подразделение L, которое является сим- плициальным комплексом. Выберем внутри каждой m-мерной клетки c m комплекса K некоторую точку M и рассмотрим симплексы, одной из вер- шин которых служит точка M, а остальными вершинами служат вершины одного из симплексов, образующих край клетки c m . В результате получим подразделение комплекса K , являющееся симплициальным подразделе- нием. 2 З а м е ч а н и е. В качестве точки M можно выбирать не внутреннюю точку клетки c m , а вершину клетки c m . Тогда построенное симплициальное разбиение будет иметь те же самые вершины, что и евклидов клеточный комплекс. 8.2. Симплициальные отображения Пусть K1 и K2 – симплициальные комплексы. Отображение f : |K1 | → → |K2 | называют симплициальным, если образ любого симплекса ∆1 из K1 является симплексом ∆2 из K2 и при этом ограничение отобра- жения f на ∆1 линейно в аффинном смысле, т. е. f λi vi = λi f(vi), (1) § 8. Симплициальные комплексы 115 где vi – вершины симплекса ∆1 , λi = 1 и λi 0. По условию верши- ны комплекса K1 (т. е. 0-мерные симплексы) переходят в вершины ком- плекса K2 . Поэтому отображение f определяет отображение 0-мерных остовов f 0 : K1 → K2 . Формула (1) показывает, что отображение f одно- 0 0 значно восстанавливается по отображению f 0 . Отображение f 0 облада- ет следующим свойством: если v0 , . . . , vn – вершины симплекса из K1 , то f 0 (v0), . . . , f 0 (vn) – вершины симплекса из K2 (некоторые из точек f 0 (v0), . . . , f 0 (vn) могут совпадать). Отображения 0-мерных остовов, об- ладающие этим свойством, будем называть допустимыми. Каждому до- 0 0 пустимому отображению 0-мерных остовов K1 → K2 соответствует сим- плициальное отображение |K1 | → |K2 |. Для симплициальных отображе- ний мы обычно будем использовать обозначение K1 → K2 . У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что любое симплициальное отобра- жение непрерывно. У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что образ k-мерного остова при сим- плициальном отображении содержится в k-мерном остове. Т е о р е м а 8.3. Пусть f : K → K – симплициальное отображе- ние, ∆ – некоторый симплекс барицентрического подразделения комплекса K . Тогда если f(∆ ) = ∆ , то ограничение f на ∆ – тож- дественное отображение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для симплекса ∆ однозначно определён симплекс ∆ в K , который содержит ∆ и имеет ту же самую размерность. При этом симплекс ∆ однозначно задаёт нумерацию вершин ∆, для которой v0 – общая вершина ∆ и ∆ , [v0 , v1 ] – общее ребро (точнее говоря, ребро ∆, содержащее ребро ∆ ), [v0 , v1 , v2 ] – общая грань и т. д. Наоборот, нумерация вершин ∆ однозначно задаёт соответствующий симплекс барицентрического подразделения. Из равенства f(∆ ) = ∆ следует, что отображение f переставляет вершины симплекса ∆. Но если эта перестановка не тождественна, то по- лучается другая нумерация вершин ∆, которой соответствует другой сим- плекс барицентрического подразделения, т. е. f(∆ ) = ∆ . Поэтому огра- ничение отображения f на ∆ ⊃ ∆ тождественно. 2 8.3. Абстрактные симплициальные комплексы С точки зрения топологии интерес представляет не симплициаль- ный комплекс K , а топологическое пространство |K |. Симплициальный комплекс задаёт не только само пространство |K |, но и его вложение в Rn , а это уже излишняя информация, часто затрудняющая работу с симплициальными комплексами. Чтобы избавиться от конкретного вложения в Rn , определим абстрактный симплициальный комплекс K 116 Глава III. Топологические пространства как набор вершин {vα } и набор подмножеств этих вершин, называемых симплексами (набор из k + 1 вершин мы будем называть k-мерным симплексом); при этом любое подмножество вершин симплекса из K должно быть симплексом из K . Каждому абстрактному симплициальному комплексу K можно сопо- ставить топологическое пространство |K | следующим образом. Каждому симплексу vi1 , . . . , vik+1 сопоставим топологическое пространство, явля- ющееся k-мерным симплексом. В дизъюнктном объединении этих топо- логических пространств будем считать эквивалентными соответственные точки симплекса v1 , . . . , v p и грани v1 , . . . , v p симплекса v1 , . . . , v p , v p+1 , . . . , vq . В полученном фактормножестве |K | топология задаётся следующим образом: множество U открыто в |K | тогда и только тогда, ко- гда пересечение U с каждым симплексом открыто в топологии симплекса. Пусть для абстрактного симплициального комплекса K задано взаим- но однозначное отображение σ : K 0 → L0 , где L0 – 0-мерный остов сим- плициального комплекса L в Rn , обладающее следующим свойством: на- бор вершин v1 , . . . , vk является симплексом в K тогда и только тогда, когда в L есть симплекс с вершинами σ (v1), . . . , σ (vk). Такое отобра- жение σ можно естественным образом продолжить до гомеоморфизма |K | → |L|. Этот гомеоморфизм называют реализацией симплициального комплекса K . Т е о р е м а 8.4. Любой конечный n-мерный абстрактный сим- плициальный комплекс имеет реализацию в евклидовом простран- стве размерности 2n + 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K – абстрактный симплициальный комплекс с вершинами v1 , . . . , vk . Выберем попарно различные числа t1 , . . . , tk и рассмотрим в R2n+1 точки σ (vi) = (ti , ti2 , ti3 , . . . , ti2n+1), где i = 1, . . . , k. Каждому симплексу из K с вершинами vi1 , . . . , vim сопоставим геометрический симплекс с вершинами σ (vi1), . . . , σ (vim ). Нужно лишь проверить, что геометрические симплексы, не имеющие общих вершин, не пересекаются. По условию размерности рассматриваемых геометрических симплек- сов не превосходят n, т. е. количества их вершин не превосходят n + 1. Количество вершин двух таких симплексов не превосходит 2n + 2. Поэто- му достаточно проверить, что если на кривой (t, t 2 , t 3 , . . . , t 2n+1) задано не более 2n + 2 различных точек, то они являются вершинами (невыро- жденного) симплекса. Если задано ровно 2n + 2 точки, то объём рассмат- риваемого симплекса равен 2n+1 1 τ1 . . . τ1 1 ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0. (2n + 1)! 2n+1 1 τ2n+2 . . . τ2n+2 § 8. Симплициальные комплексы 117 Набор из меньшего количества точек можно произвольным образом до- полнить до набора из 2n + 2 точек. 2 З а м е ч а н и е. Про точки x1 , . . . , xk в пространстве RN говорят, что они находятся в общем положении, если любые m + 1 из этих точек не лежат в одном (m − 1)-мерном аффинном подпространстве при m N. Чтобы построить реализацию n-мерного абстрактного симплициального комплекса (с вершинами v1 , . . . , vk) в R2n+1 , достаточно указать точки x1 , . . . , xk в R2n+1 в общем положении. Помимо той явной конструкции точек в общем положении, которая приведена в доказательстве теоремы 8.4, можно использовать, например, следующую конструкцию. Сначала возь- мём две различные точки x1 и x2 в RN . Затем возьмём точку x3 , не лежа- щую на прямой x1 x2 . Затем возьмём точку x4 , не лежащую в плоскости x1 x2 x3 , и т. д. Так мы построим точки x1 , . . . , xN +1 . После этого проведём гиперплоскости через все наборы N построенных точек и возьмём точку xN +2 , не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей. В дальнейшем снова проводим гиперплоскости через все наборы N точек и выбираем точку, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей. Симплициальный подкомплекс L ⊂ K называют полным, если он обладает следующим свойством: на любой набор вершин комплекса L, на который натянут симплекс комплекса K , натянут также и симплекс комплекса L. З а д а ч а 8.2. Докажите, что симплициальный подкомплекс L ⊂ K полный тогда и только тогда, когда он обладает следующим свойством: если граница симплекса комплекса K лежит в L, то и сам он лежит в L. З а д а ч а 8.3. Пусть L ⊂ K – симплициальный подкомплекс, L и K – барицентрические подразделения L и K . Докажите, что подкомплекс L ⊂ K полный. 8.4. Симплициальные аппроксимации Симплициальные отображения устроены гораздо проще, чем непре- рывные отображения. Например, для любых двух симплициальных комплексов K и L имеется лишь конечное число симплициальных отоб- ражений K → L. Тем не менее, любое непрерывное отображение можно приблизить симплициальным отображением. Но при этом, возможно, от комплексов K и L придётся перейти к их подразделениям. Для гомотопической топологии наиболее важно то, что любое непрерывное отображение симплициальных комплексов гомотопно некоторому сим- плициальному отображению. Это утверждение существенно облегчает изучение гомотопических классов отображений, но его доказательство требует определённых усилий. 118 Глава III. Топологические пространства Пусть K и L – симплициальные комплексы, f : |K | → |L| – непрерыв- ное отображение. Для каждой точки x ∈ |K | рассмотрим точку f(x) ∈ |L|. Точке f(x) соответствует ровно один симплекс из L, внутренней точкой которого она является. Будем говорить, что симплициальное отображение ϕ : K → L является симплициальной аппроксимацией отображения f , если для всех x ∈ |K | точка ϕ(x) принадлежит симплексу, соответствую- щему точке f(x). Т е о р е м а 8.5. Симплициальная аппроксимация ϕ отображе- ния f гомотопна f . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ft (x) – точка, делящая в отношении t : (1 − t) отрезок с концами ϕ(x) и f(x). Тогда ft – гомотопия, связыва- ющая отображения f0 = ϕ и f1 = f . 2 Для работы с симплициальными аппроксимациями более удобно дру- гое определение симплициальной аппроксимации, использующее понятие звезды. Пусть K – симплициальный комплекс, ∆ – симплекс из K . Звез- дой симплекса ∆ называют объединение внутренностей всех симплексов из K , содержащих симплекс ∆. Звездой точки x ∈ |K | называют звез- ду того симплекса из K , внутренней точкой которого является точка x. Звезду симплекса ∆ обозначают st ∆, а звезду точки x обозначают st x. Т е о р е м а 8.6. Симплициальное отображение ϕ : K → L явля- ется симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения f : |K | → |L| тогда и только тогда, когда f(st v) ⊂ st ϕ(v) для любой вершины v комплекса K . Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что ϕ – симплици- альная аппроксимация отображения f и v – вершина комплекса K . Пусть x ∈ st v. Рассмотрим симплекс ∆K с вершиной v, внутри которого лежит точка x, и симплекс ∆L , внутри которого лежит точка f(x). С одной стороны, точка ϕ(x) лежит внутри симплекса ϕ(∆K ) с вершиной ϕ(v), а с другой стороны, точка ϕ(x) принадлежит симплексу ∆L . Поэтому ∆L ⊃ ϕ(∆K ) ϕ(v), а значит, f(x) ∈ int ∆L ⊂ st ϕ(v). Предположим теперь, что для любой вершины v комплекса K вы- полняется условие f(st v) ⊂ st ϕ(v). Пусть x ∈ |K | и v0 , . . . , vn – вершины симплекса ∆ из K , внутри которого лежит точка x. Тогда n n n f(x) ∈ f st vi ⊂ f(st vi) ⊂ st ϕ(vi) = int ϕ(∆). i=0 i=0 i=0 Поэтому ϕ(∆) – это как раз тот симплекс, внутри которого лежит точка f(x). Остаётся заметить, что ϕ(x) ∈ ϕ(∆), поскольку x ∈ ∆. 2 С л е д с т в и е. Пусть ϕ : K → L и ψ : L → M – симплициальные аппроксимации непрерывных отображений f : |K |→|L| и g : |L|→|M|. Тогда ψϕ – симплициальная аппроксимация отображения gf . § 8. Симплициальные комплексы 119 Пусть K – конечный симплициальный комплекс, K (n) – его n-е ба- рицентрическое подразделение. Отметим, что при n → ∞ максимальный диаметр симплекса из K (n) стремится к нулю (см. с. 93). Т е о р е м а 8.7 (о симплициальной аппроксимации). а) Пусть K и L – симплициальные комплексы, причём комплекс K конечен, f : |K | → |L| – непрерывное отображение. Тогда для некоторого n 0 существует симплициальное отображение ϕ : K (n) → L, явля- ющееся симплициальной аппроксимацией отображения f . б) Если ограничение отображения f на подкомплекс K1 ⊂ K сим- плициально, то симплициальную аппроксимацию ϕ можно выбрать так, чтобы она совпадала с f на K1 . Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Звёзды вершин комплекса L образуют от- крытое покрытие топологического пространства |L|. Прообраз этого по- крытия при отображении f является открытым покрытием U компактно- го подмножества |K | евклидова пространства. Согласно теореме Лебега об открытых покрытиях (теорема 4.6 на с. 70) существует такое число δ > 0, что любое подмножество B ⊂ |K |, диаметр которого меньше δ, содержится в одном из элементов покрытия U. Выберем число n так, что диаметр любого симплекса из K (n) меньше δ /2. Симплициальное отображение ϕ : K (n) → L определим следующим образом. Пусть v – вершина K (n) . Тогда диаметр множества st v мень- ше δ, поэтому множество f(st v) целиком принадлежит некоторому множеству вида st w, где w – вершина L. Положим ϕ(v) = w (если в качестве w можно выбрать несколько вершин, то выбираем любую из них). Мы определили отображение 0-мерных остовов. Нужно про- верить, что это отображение допустимо, т. е. если v1 , . . . , vk – вершины некоторого симплекса из K (n) , то ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) – вершины некоторого симплекса из L. Для этого мы воспользуется тем, что вершины v1 , . . . , vk k образуют симплекс ∆ тогда и только тогда, когда st vi = st ∆ = ∅. i=1 k Пусть v1 , . . . , vk – вершины симплекса из K (n) . Тогда st vi = ∅, а зна- i=1 k k k чит, f(st vi) = ∅. Но st ϕ(vi) ⊃ f(st vi) = ∅, поэтому вершины i=1 i=1 i=1 ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) образуют в L некоторый симплекс. Теорема 8.6 показывает, что симплициальное отображение ϕ : K (n) → L является симплициальной аппроксимацией отображения f . б) Пусть v – вершина K1 . Тогда f(v) = w – вершина L. Если разби- ение K (n) достаточно мелкое (т. е. число n достаточно велико), то для такого разбиения f(st v) ⊂ st w, поэтому можно положить ϕ(v) = w. 2 120 Глава III. Топологические пространства С помощью теоремы о симплициальной аппроксимации можно дока- зать следующее утверждение. Т е о р е м а 8.8. Любое непрерывное отображение f : S n → S m , где n < m, гомотопно постоянному отображению (т. е. отобра- жению в одну точку). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что отображение f го- мотопно отображению ϕ, которое не является сюръективным. Действи- тельно, если ϕ(x) = ξ0 ∈ S m при всех x ∈ S n , то tϕ(x) − (1 − t)ξ0 ϕt (x) = tϕ(x) − (1 − t)ξ0 представляет собой гомотопию, связывающую отображение ϕ и постоян- ное отображение S n → −ξ0 ∈ S m . Сферу S n можно представить в виде симплициального комплекса K , который является n-мерным остовом (n + 1)-мерного симплекса. Сфе- ру S m аналогично представим в виде симплициального комплекса L. Для непрерывного отображения f : |K | → |L| существует симплициальная ап- проксимация ϕ : K (N) → L. Отображение ϕ не сюръективно, потому что его образ содержится в n-мерном остове комплекса L. Отображение ϕ гомотопно отображению f согласно теореме 8.5. 2 П р и м е р. Пусть K – триангуляция n-мерного симплекса L с вер- шинами v0 , v1 , . . . , vn . Предположим, что вершины K помечены числами 0, 1, . . . , n. Построим симплициальное отображение ϕ : |K | → |L|, сопо- ставив каждой вершине a ∈ K вершину vi , где i – пометка вершины a. Отображение ϕ является симплициальной аппроксимацией тождествен- ного отображения |K | → |K | = |L| тогда и только тогда, когда набор по- меток такой, как в условии леммы Шпернера, т. е. пометка вершины a, принадлежащей некоторой грани симплекса L, совпадает с одной из вер- шин этой грани. Следующая теорема выводится из леммы Шпернера (в уточнённой форме: теорема 6.9 на с. 95), но её формулировка без использования понятия симплициального отображения выглядела бы слишком неесте- ственно. Т е о р е м а 8.9 (комбинаторная формула Лефшеца [85]). Пусть K – триангуляция n-мерного симплекса L, ϕ : K → L – симплици- альное отображение, ϕi – количество i-мерных симплексов ∆i ⊂ K , для которых ∆i ⊂ ϕ(∆i), с учётом знака∗) . Тогда ϕ0 − ϕ1 + ϕ2 − . . . + + (−1) n ϕn = 1. ∗) Если симплексы ∆i и ϕ(∆i) одинаково ориентированы, то берётся знак плюс, а если они ориентированы противоположно, то берётся знак минус. Отметим, что если ∆i ⊂ ϕ(∆i), то симплекс ϕ(∆i) имеет ту же размерность, что и ∆i .
Яндекс цитирования