Главная
Каталог
Библиотека
Избранное
Порталы
Библиотеки вузов
Отзывы
Новости
 
12+
 
Предварительный просмотр документа

Сказки и подсказки (задачи для математического кружка)

Автор/создатель: Козлова Е.Г.
Год: 2004 
Настоящий сборник содержит 350 задач (с подсказками, решениями и ответами), предлагавшихся на занятиях математических кружков и решенных детьми. Книга будет интересна и полезна школьникам, их родителям, а также преподавателям математики и студентам математических факультетов педагогических институтов.
Показать полное описание документа
Популярные ресурсы рубрик:
РЕЙТИНГ

Оценка пользователей: 4.1
Количество голосов: 20
Оцените ресурс:
5 4 3 2 1

ОТЗЫВЫ


Популярные ресурсы по теме

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
Задачи :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 131. В трех ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором — на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике? 132. Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и пра- вильная гиря в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы? 133. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений: «В этой тетради ровно одно неверное утверждение»; «В этой тетради ровно два неверных утверждения»; «В этой тетради ровно три неверных утверждения»; .................................................... «В этой тетради ровно сто неверных утверждений». Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие? 134. На рисунке изображено неверное равенство, составленное из спичек. • ••• • ••• • • • • • Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным. (Воз- можны два решения.) 135. Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании ко- торых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 очков, то его средний балл составил бы 90; а если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера? 136. Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов: а) с двумя гирями — 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г? 137. Известно, что p > 3 и p — простое число, т. е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете: а) будут ли чётными числа (p + 1) и (p − 1); б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3? 138. Известно, что p > 3 и p — простое число, т. е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел (p + 1) и (p − 1) делиться на 4? А на 5? 139. Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном полу- чится то же число, что и в остатке. ::::::::::::::::::::::::::::::: 21 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 140. Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5. Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму? 141. Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бы- вал в нём каждый 3-й день, Серёжа — каждый 7-й, Ваня — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все трое встретятся в ки- нотеатре в следующий раз? 142. На лужайке босоногих мальчиков столько же, сколько обутых девочек. Кого на лужайке больше, девочек или босоногих детей? 143. В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних язы- ков — греческий или латынь, а некоторые — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка? 144. Может ли сумма семи слагаемых делиться на число, на кото- рое не делится ни одно из слагаемых? 145. Два класса с одинаковым количеством учеников написали кон- трольную. Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистра- тович сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович? 146. Перед началом Олимпиады хоккейные шайбы подорожали на 10%, а после окончания Олимпиады подешевели на 10%. Когда шайбы стоили дороже — до подорожания или после удешевления? 147. Найдите два таких простых числа, что и их сумма, и их раз- ность — тоже простые числа. 148. Какое слово зашифровано: 222122111121? Каждая буква за- менена своим номером в русском алфавите. 149. Напишите в строчку первые 10 простых чисел. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число? 150. Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек, чтобы коли- чество шариков в разных кучках было различным? 151. В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у ко- торого отмеченная точка стояла бы в центре? 152. Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каж- дая часть соприкасалась (т. е. имела общие участки границы) с тремя другими? ::::::::::::::::::::::::::::::: 22 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 153. За один ход разрешается или удваивать число, или стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить из числа 458 число 14? 154. Может ли быть верным равенство К × О × Т = У × Ч × Ё × Н × Ы × Й, если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры. 155. Ребята принесли из леса по полной корзинке грибов. Всего было собрано 289 грибов, причём в каждой корзинке оказалось одина- ковое количество. Сколько было ребят? 156. Пусть M — произвольное 1992-значное число, делящееся на 9. Сумму цифр этого числа обозначим через A. Сумму цифр числа A обозначим через B. Сумму цифр числа B обозначим через C. Чему равно число C? 157. Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком? 158. Коля однажды сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в буду- щем году исполнится 13». Может ли так быть? 159. Сумма шести различных натуральных чисел равна 22. Найдите эти числа. 160. Простые числа имеют только два различных делителя — еди- ницу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя? 161. Из двенадцати спичек сложено имя «ТОЛЯ». • • • •• • • • • • • • Переложите одну спичку так, чтобы получилось женское имя. 162. Купец случайно перемешал конфеты 1-го сорта (по 3 руб. за фунт) и конфеты 2-го сорта (по 2 руб. за фунт). По какой цене надо продавать эту смесь, чтобы выручить ту же сумму, если известно, что первоначально общая стоимость всех конфет 1-го сорта была равна общей стоимости всех конфет 2-го сорта? ::::::::::::::::::::::::::::::: 23 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 163. Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины A и B верхнего листка лежат на сто- ронах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закры- A та верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше — за- крытая или открытая? B 164. На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и раздели- лись на две стаи: одна стая уселась на вет- ви старой берёзы, а другая — на ольху. Через некоторое время с берёзы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с берёзы, после чего на берёзе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально? 165. Семь девяток выписали подряд: 9 9 9 9 9 9 9. Поставьте между некоторыми из них знаки «+» или «−», чтобы получившееся выражение равнялось 1989. 166. КУВШИН = БУТЫЛКА + СТАКАН; ДВА КУВШИНА = СЕМЬ СТАКАНОВ; БУТЫЛКА = ЧАШКА + ДВА СТАКАНА; БУТЫЛКА = сколько ЧАШЕК? 167. Двадцать восемь косточек домино можно разными способами выложить в виде прямоугольника 8 × 7 клеток. На рис. 167.1–167.4 приведены четыре варианта расположения цифр в прямоугольниках. Можете ли вы расположить косточки в каж- дом из этих вариантов? 5 0 1 0 3 1 2 5 1 4 0 2 1 2 0 3 4 4 5 2 4 6 2 3 3 2 5 6 3 4 5 1 2 5 6 0 1 3 0 2 3 0 1 5 0 0 6 6 5 1 2 0 4 0 4 3 6 1 3 1 1 3 6 0 5 4 5 1 6 3 2 3 2 4 1 5 6 4 2 4 0 1 0 2 1 5 6 6 6 2 4 4 5 0 2 6 6 1 3 6 4 6 3 4 0 3 5 3 2 5 5 4 Рис. 167.1 Рис. 167.2 ::::::::::::::::::::::::::::::: 24 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3 6 6 2 3 2 2 0 0 1 2 5 1 4 5 6 1 2 4 1 5 2 4 5 0 1 2 5 1 4 5 6 6 6 1 3 6 2 0 0 5 2 6 3 3 0 4 1 0 1 4 3 0 5 5 6 5 2 6 3 3 0 4 1 5 5 0 4 6 2 1 1 3 3 4 4 2 2 3 3 3 1 2 3 1 4 6 4 4 6 0 0 6 6 0 2 3 0 4 5 0 4 3 5 4 6 1 1 5 5 0 2 Рис. 167.3 Рис. 167.4 168. Весь комплект косточек домино, кроме a a a b b c c 0–0, уложили так, как изображено на рисунке. d d e e e e c c Разным буквам соответствуют разные цифры, d d a a c c f f одинаковым — одинаковые. Сумма очков в каж- g g g g b b f f дой строке равна 24. Попробуйте восстановить e e f f g g d d цифры. f f a a e e b b 169. Дано 25 чисел. Известно, что сумма d d c c g g a любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? 170. Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырех чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? 171. В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каж- дой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров? 172. Делится ли число 102002 + 8 на 9? 173. Делится ли на 1999 сумма чисел 1 + 2 + 3 + . .. + 1999? 174. Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинако- вом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у 4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку? 175. Сколько нечётных чисел заключено между 300 и 700? 176. Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов? 177. Какой знак надо поставить между 2 и 3, чтобы получилось число больше 2 и меньше 3? ::::::::::::::::::::::::::::::: 25 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 178. Половина от половины числа равна половине. Какое это число? 179. Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну линию? 180. Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора — 8. Тут к ним подошёл охотник. — Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! — Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады, — сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал: — Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: — По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: — За 12 лепёшек — 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек — тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки — мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами? 181. Попробуйте прочесть слово, изображённое на рис. 181.1, пользуясь ключом (см. рис. 181.2). М — Р — О | | | | | | — — — — — — | | | Е — К — Ю | | | | | | Ь — Т — П — | — — | — — | — Рис. 181.1 Рис. 181.2 182. Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете вы? ::::::::::::::::::::::::::::::: 26 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 183. Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида со- стоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10 × 10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обя- зательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида? 184. Перед вами замок «с секретом» (см. рисунок). Ь Б С Т Н М Ф К Ъ А Л Р Если вы поставите стрелки на нужные буквы, то получите ключевое слово и замок откроется. Какое это слово? 185. В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участ- ника турнира сыграли между собой по одной партии. Сколько всего бы- ло сыграно партий? Сколько партий сыграл каждый участник? Сколько очков набрали шахматисты все вместе1 ? 186. В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каж- дый сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное коли- чество очков; занявший 1-е место не сделал ни одной ничьей; занявший 2-е место не проиграл ни одной партии; занявший 4-е место не выиграл ни одной партии. Определите результаты всех партий турнира (см. сноску к зада- че 185). 187. В шахматном турнире участвовали восемь человек и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший 2-е место, на- брал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие 3-е и 7-е места (см. сноску к за- даче 185)? 188. Можно ли таблицу 5 на 5 заполнить числами так, чтобы сум- ма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел в любом столбце — отрицательной? Если да, нарисуйте таблицу, если нет, объ- ясните почему. 189. Можно ли расположить фишки в клетках шахматной доски 8 × 8 (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы во всех 1 За выигранную партию шахматист получает одно очко, за проигранную — нуль, за ничью оба играющих получают по половине очка. ::::::::::::::::::::::::::::::: 27 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях — не поровну? 190. В клетках таблицы 5 × 5 стоят ненулевые цифры. В каждой строке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлены десять 5-значных чисел. Может ли оказаться, что из всех этих чисел ровно одно не делится на 3? 191. Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух со- седних чисел была отрицательна, а сумма всех чисел — положительна. 192. Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час? 193. Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат — 40 мин. Че- рез сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня? 194. На какую цифру оканчивается число 19891989 ? А на какие циф- ры оканчиваются числа 19891992 , 19921989 , 19921992 ? 195. Из набора гирек с массами 1, 2, ... , 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы? 196. Буратино и Пьеро бежали наперегонки. Пьеро весь путь бежал с одной и той же скоростью, а Буратино первую половину пути бежал вдвое быстрее, чем Пьеро, а вторую половину — вдвое медленней, чем Пьеро. Кто победил? 197. У Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправи- лись в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились при- быть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось? 198. Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лёг спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути Буратино проехал бодр- ствующим? 199. Трое туристов должны перебраться с одного берега реки на другой. В их распоряжении старая лодка, которая может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго — 50 кг, третьего — 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться на другой берег? ::::::::::::::::::::::::::::::: 28 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 200. Саша гостил у бабушки. В субботу он сел в поезд и приехал домой в понедельник. Саша заметил, что в этот понедельник число сов- пало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в ту субботу, когда он садился в по- езд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона и места? 201. Попробуйте расшифровать отрывок из книги «Алиса в Зазер- калье»: «— БЕРПИ Э ЙДЕМГОКВЭЫ БИБЕО-ЖАКЙПЧ ЗВЕЛЕ, — ЗБИСИВ ФИВМИУ-КЕВМИУ ПЕЛЕВЧЖЕ ДГОСГАМОВЧЖЕ, — ЕЖЕ ЕСЖИЬИОМ МЕВЧБЕ МЕ, ЬМЕ Э ЦЕЬЙ, ЬМЕКЮ ЕЖЕ ЕСЖИЬИВЕ, — ЖА КЕВЧФО, ЖА ТОЖЧФО». Текст зашифрован так: десять букв («а», «е», «и», «й», «о», «у», «ы», «э», «ю», «я») разбиты на пары, и каждая из этих букв в тексте заменена второй из пары. Все остальные буквы точно так же разбиты на пары. 202. Найдите ключ к «тарабарской грамоте» — тайнописи, приме- нявшейся ранее в России для дипломатической переписки: «Пайцике тсюг т „камащамлтой чмароке“ — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти». 203. Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, одного цвета. 204. Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила заварила 57 стаканов чая, а Таня — 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в коробке? 205. В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на неко- торых написано «МА», на остальных — «НЯ». Каждый ребёнок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово «МАМА» могут сложить из своих карточек 20 детей, слово «НЯНЯ» — 30 детей, а слово «МАНЯ» — 40 детей. У скольких ребят все три кар- точки одинаковы? 206. На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё три про- межуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см. ::::::::::::::::::::::::::::::: 29 ::::::::::::::::::::::::::::::: Задачи ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 207. Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя. 208. Даны 16 чисел: 1, 11, 21, 31 и т. д. (каждое следующее на 10 больше предыдущего). Можно ли расставить их в таблице 4 × 4 так, чтобы разность любых двух чисел, стоящих в соседних по стороне клет- ках, не делилась на 4? 209. Напишите вместо пропуска число (буквами, а не цифрами!), чтобы получилось истинное предложение: В ЭТОМ ПРЕДЛОЖЕНИИ ... БУКВ (к последнему слову, возможно, придётся добавить окончание, чтобы фраза правильно звучала по-русски). 210. Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр. 211. Найдите наибольшее число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр. 212. Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была равна 1, на концах некоторой другой стороны была равна 2, ... на концах по- следней стороны — равна 5. 213. Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы — 10% от помола — осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет. 214. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, го- рячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, что- бы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой? 215. Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице: 7 8 2 6 9 5 4 7 6 9 2 6 2 1 3 3 2 8 4 6 5 6 3 4 1 8 4 8 9 7 6 4 7 5 8 7 3 8 1 8 7 1 5 6 7 4 6 3 5 2 3 7 2 9 2 3 9 5 4 3 1 4 9 2 4 6 9 2 9 6 8 9 5 9 5 9 6 1 8 6 4 1 8 1 4 2 1 5 1 5 216. Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль «Москвич». Самолёт с почтой приземлился раньше ::::::::::::::::::::::::::::::: 30 :::::::::::::::::::::::::::::::
Яндекс цитирования