Главная
Каталог
Библиотека
Избранное
Порталы
Библиотеки вузов
Отзывы
Новости
 
12+
 
Предварительный просмотр документа

Элементы теории вероятностей с EXCEL: Практикум

Автор/создатель: Данилин Г.А., Курзина В.М., Курзин П.А., Полещук О.М.
Год: 2004 
Практикум содержит основные элементы теории вероятностей, используемые в различных экономических приложениях, задания по расчетно-графическим работам и сведения, необходимые для их выполнения. Разработано в соответствии с Государственным образовательным стандартом ВПО 2000 г. для направления подготовки студентов на основе примерной программы дисциплины "Высшая математика" для всех специальностей 2004 года. Практикум предназначен для студентов всех специальностей Московского государственного университета леса (МГУЛ).
Показать полное описание документа
РЕЙТИНГ

Оценка пользователей: 4.0
Количество голосов: 3
Оцените ресурс:
5 4 3 2 1

ОТЗЫВЫ


Популярные ресурсы по теме

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
В случае нахождения значения функции плотности распределения последний аргумент равен значению "ЛОЖЬ". Задачи 1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Ин- тервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подо- шедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут. 2. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показа- ния прибора округляются до ближайшего целого деления. Найти вероят- ность того, что при отсчёте будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05. 3. Показания электронных часов изменяются на единицу в конце ка- ждой минуты. Найти вероятность события, состоящего в том, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд. 4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадрати- ческое отклонение случайной величины Х, равномерно распределённой в интервале (3; 9). 5. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадрати- ческое отклонение случайной величины Х, равномерно распределённой в интервале (35; 98). 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадрати- ческое отклонение случайной величины Х, равномерно распределённой в интервале (123; 245). 7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины X равны числам a и b , соответственно. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключённое в интервале ( a + с; a + 2с). Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 задания a 32 20 12 42 25 52 13 28 65 78 22 26 35 62 15 b 64 5 4 16 3 7 2 4 5 11 64 5 4 16 3 с 2 5 3 1 2 3 2 4 5 3 2 7 4 3 5 71 8. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины X равны a и b , соответ- ственно. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключённое в интервале ( a − 2с; a + с). Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 задания a 56 30 12 42 25 52 33 48 65 78 22 26 25 62 15 b 4 3 10 16 3 9 2 8 5 11 64 5 4 16 3 с 3 2 3 1 2 5 2 3 5 7 2 6 4 3 5 9. Производится взвешивание целлюлозной массы без систематиче- ских ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 30 г. Найти вероят- ность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосхо- дящей по абсолютной величине 10 г. 10. Нормально распределённая случайная величина X задана плот- ностью 1 2 f ( x) = e −( x −1) / 50 . 5 2π Найти математическое ожидание и дисперсию X . 11. Производится измерение диаметра бревна без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 20 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсо- лютной величине 15 мм. 12. Случайные ошибки измерения площади помещений подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 см2 и математическим ожиданием a = 0. Найти вероятность того, что из трёх не- зависимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдёт по абсолют- ной величине 4 см2. 13. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если от- клонение Х диаметра шарика от заданного по абсолютной величине мень- ше 0,5 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со 72 средним квадратическим отклонением σ = 0, 3 мм, найти, сколько в сред- нем будет годных шариков среди ста изготовленных. 14. Случайная величина Х распределена нормально с математиче- ским ожиданием a = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10; 20) рав- на 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0; 10)? 15. Случайная величина Х распределена нормально с математиче- ским ожиданием a = 36. Вероятность попадания Х в интервал (55; 60) рав- на 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (40; 45)? 16. Случайная величина Х распределена нормально с математиче- ским ожиданием a = 10 и средним квадратическим отклонением σ = 5 . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадёт величина Х в результате испы- тания. 17. Случайная величина Х распределена нормально со средним квад- ратическим отклонением σ = 4 . Найти интервал, симметричный относи- тельно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 по- падёт величина Х в результате испытания. 18. Непрерывная случайная величина Х распределена по показатель- ному закону, заданному плотностью распределения ⎧0, x < 0; f ( x) = ⎨ −0, 04 x ⎩0,04 ⋅ e , x ≥ 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (1; 2). 19. Непрерывная случайная величина Х распределена по показатель- ному закону, заданному плотностью распределения ⎧0, x < 0; f ( x ) = ⎨ −3 x ⎩3e , x ≥ 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0,13; 0,7). 20. Непрерывная случайная величина Х распределена по показатель- ному закону, заданному функцией распределения ⎧0, x < 0; F ( x) = ⎨ −0 , 6 x ⎩1 − e , x ≥ 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (3; 5). 73 21. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадрати- ческое отклонение показательного закона, заданного плотностью распре- деления ⎧0, x < 0; f (x) = ⎨ −10 x ⎩10e , x ≥ 0. 22. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадрати- ческое отклонение показательного закона, заданного функцией распреде- ления ⎧0, x < 0; F ( x) = ⎨ −0, 08 x ⎩1 − e , x ≥ 0. 23. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки техниче- ского состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т – времени ожидания очередной машины контролёром, – если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распре- делено по показательному закону f (t ) = 5e −5t . 24. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трём. Найти вероятность того, что за 3 минуты поступит: а) пять вызовов; б) менее пяти вызовов; в) не менее пяти вызо- вов. 25. Среднее число клиентов банка в одну минуту равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты придут: а) три клиента; б) менее трёх клиентов; в) не менее трех клиентов. Поток клиентов предполагается про- стейшим. 26. Магазин получил 1 000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что в результате перевозки одна бутылка окажется разбитой, равна 0,004. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) меньше двух; в) более двух; г) хотя бы одну. 27. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой, очень малой, вероятностью отказа каждого эле- мента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98. 28. Мебельная фабрика отправила на базу 1 000 изделий. Вероят- ность повреждения изделия в пути равна 0,001. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трёх; в) более трёх; г) хотя бы одно. 29. В партии из семи деталей имеется пять стандартных. Наугад ото- браны четыре детали. Составить закон распределения дискретной случай- ной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти 74 математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне- ние случайной величины Х. 30. В партии из 12 телевизоров имеется 10 корейского производства. Наугад отобраны три телевизора. Составить закон распределения числа те- левизоров корейского производства среди отобранных. Найти математиче- ское ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение получен- ного закона распределения случайной величины. Контрольные вопросы 1. Какое распределение называется биномиальным? 2. Чему равно математическое ожидание случайной величины, рас- пределённой по биномиальному закону? 3. Чему равна дисперсия случайной величины, распределённой по биномиальному закону? 4. Как определяется распределение Пуассона? 5. Как найти математическое ожидание случайной величины, рас- пределённой по закону Пуассона? 6. Как вычислить дисперсию случайной величины, распределённой по закону Пуассона? 7. Как записывается плотность равномерного распределения? 8. Определить показательное распределение. 9. Какое распределение называется нормальным? 11. Чему равно математическое ожидание случайной величины, рас- пределенной по нормальному закону? 12. Чему равна дисперсия случайной величины, распределённой по нормальному закону? 13. Какое распределение называется нормированным нормальным распределением? 14. Какие свойства имеет функция распределения нормального зако- на? 15. Что называется потоком событий? 16. Какие свойства имеет простой поток событий? 17. Какое распределение используют для описания простого потока событий? 18. Какое распределение используют для описания промежутков времени между наступлением событий в простом потоке событий? 19. Случайные величины Х и Y независимы и распределены равно- мерно: Х – в интервале (a; b), Y – в интервале (c;d ). Найти дисперсию произведения XY . 20. Чему равны мода и медиана случайной величины, распределён- ной по нормальному закону? 75 2. ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ Лабораторная работа 1 Случайные события и их вероятности 1. Цель работы − научиться вычислять вероятности различных слу- чайных событий. 2. Задачи работы: – уметь вычислить вероятность случайного события по определению вероятности; – уметь отличить перестановки, размещения и сочетания; – уметь находить число перестановок, размещений, сочетаний сред- ствами Excel; − уметь применять основной закон комбинаторики; − различать события совместные и несовместные; − уметь найти для события противоположное ему событие; − уметь построить полную группу событий решаемой задачи; − различать выборки с возвращением и выборки без возвращения; − различать зависимые и независимые события; – приобрести навыки решения различных задач по определению ве- роятности случайных событий; – уметь вычислить геометрическую вероятность случайного собы- тия; – уметь решать задачи на применение правила произведения. 3. Общее описание задания Работа посвящена изучению основных формул комбинаторики. В за- дачах рассматриваются выборки с возвращением и без возвращения. Вы- числения вероятности событий проводятся по определению понятия веро- ятности. Нарабатываются навыки по определению совместности событий, их зависимости друг от друга, составлению полной группы событий, на- хождению среди событий противоположных друг другу. Рассматривается понятие геометрической вероятности и методы вычисления её для различ- ных геометрических объектов. При выполнении лабораторной работы студент должен решить зада- чи своего варианта. Выполнение одного варианта может делать бригада из двух человек. Расчёты должны быть проведены средствами Excel с исполь- зованием необходимых для этого математических функций и действий. 76 4. Варианты задания Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности слу- чайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.1 данного учебного пособия. Номер Номер задачи варианта 1 1 4 9 8 12 17 23 27 29 30 2 2 6 7 11 15 19 21 24 26 28 3 3 10 12 13 14 18 20 22 25 29 4 4 5 16 20 21 23 24 27 28 30 5 5 6 9 10 11 13 16 19 23 25 6 6 8 12 14 15 17 18 22 24 28 7 1 3 7 14 15 16 18 20 23 25 8 2 4 8 10 12 14 22 24 28 30 9 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 10 6 8 10 14 16 18 25 26 27 28 11 2 5 11 13 17 20 23 25 26 27 12 3 10 12 17 18 19 22 24 27 29 13 4 9 13 16 19 20 21 23 25 26 14 6 11 14 15 17 18 19 22 24 28 15 7 12 15 16 18 20 21 27 29 30 5. Требования к оформлению результатов В ходе выполнения лабораторной работы на ПК студент формирует свой файл, в котором в табличном процессоре Excel последовательно запи- сывает номер лабораторной работы и номер своего варианта. Затем запи- сывается номер решаемой задачи, исходные данные задачи, ход решения и полученные результаты. Отдельно выделить полученный ответ. Формулы, по которым находится тот или иной результат программируются с указа- нием использованных для вычислений ячеек, в которых хранятся числен- ные исходные данные задачи. Результаты выполнения лабораторной рабо- ты сохраняются до конца занятия. Студент должен уметь ответить на во- просы преподавателя по теме лабораторной работы, которые записаны в соответствующей главе в разделе "Контрольные вопросы". 77 Лабораторная работа 2 Теоремы умножения и сложения вероятностей 1. Цель работы − научиться применять теоремы сложения и умно- жения вероятностей для совместных и несовместных, зависимых и незави- симых событий. 2. Задачи работы: – уметь отличать совместные и несовместные события; – уметь определять зависимость и независимость случайных собы- тий; – находить противоположные события для заданных; – находить полную группу событий; – отличать безусловную и условную вероятности событий; – выработать навыки по вычислению условной вероятности; – выработать навыки вычисления вероятности суммы и произведе- ния случайных событий. 3. Общее описание задания Лабораторная работа предполагает знание необходимых по теме оп- ределений понятий и теорем из раздела 1.2. При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта, применяя теоремы сложения и умножения вероятности. Расчёты должны быть проведены средствами Excel с использованием необходимых для этого математиче- ских функций и действий. 4. Варианты задания Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности слу- чайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.2 данного учебного пособия. Номер Номер задачи варианта 1 3 6 10 11 13 15 17 19 23 25 2 5 8 9 10 12 14 18 20 25 30 3 6 11 14 16 19 22 23 24 26 28 4 1 8 10 13 14 15 17 19 21 27 78 Номер Номер задачи варианта 5 2 5 9 10 15 16 18 20 22 24 6 3 7 11 14 19 20 21 23 25 26 7 4 9 13 14 15 16 18 19 20 21 8 2 3 8 10 12 14 21 23 28 29 9 6 8 9 11 13 15 22 24 26 30 10 7 9 10 14 16 18 20 22 23 26 11 8 10 11 13 17 20 21 24 25 27 12 9 11 12 17 18 19 20 24 26 30 13 1 3 13 15 16 17 22 23 25 26 14 2 9 14 17 19 20 21 22 24 28 15 3 12 13 15 18 22 24 26 27 29 5. Требования к оформлению результатов В ходе выполнения лабораторной работы на ПК студент формирует свой файл, в котором в табличном процессоре Excel последовательно запи- сывает исходные данные задачи, ход решения и полученные результаты. При этом следует указать номер лабораторной работы, номер решаемой задачи. Отдельно выделить полученный ответ. Лабораторная работа 3 Формула полной вероятности. Формула Байеса. 1. Цель работы − научиться вычислять вероятность события при на- личии множества гипотез его наступления и получать оценки вероятностей гипотез. 2. Задачи работы: – уметь построить различные гипотезы наступления случайного со- бытия; − уметь найти все возможные гипотезы, приводящие к наступлению события; – выработать навыки применения формулы полной вероятности; 79 – выработать навыки применения формулы переоценки вероятности гипотез; – уметь организовать вычислительный процесс средствами Excel. 3. Общее описание задания Лабораторная работа предполагает знание необходимых по теме оп- ределений понятий и теорем из разделов 1.3 и 1.4. При выполнении лабо- раторной работы студент должен решить задачи своего варианта, исполь- зуя формулу полной вероятности или формулу Бейеса. При этом важным моментом является построение алгоритма решения задачи, в котором сле- дует учесть все возможные гипотезы развития событий, при которых мо- жет наступить рассматриваемое событие. При переоценке гипотезы следу- ет понимать, что реальная вероятность гипотезы как правило отличается от предполагаемой на основе теории. Расчёты должны быть проведены сред- ствами Excel с использованием необходимых для этого математических функций и действий. 4. Варианты задания Один вариант содержит 10 задач на вычисление либо по формуле полной вероятности, либо по формуле Байеса. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.3 и 1.4 данного учебного посо- бия. При этом, например, номер 3.9 обозначает задачу номер 9 из раздела 1.3, а номер 4.2 обозначает задачу номер 2 из раздела 1.4. 1 3.1 3.6 3.10 3.21 3.30 4.5 4.7 4.19 4.23 4.25 2 3.5 3.8 3.9 3.20 2.22 4.1 4.8 4.20 4.25 4.30 3 3.6 3.11 3.14 3.16 3.19 4.22 4.23 4.24 4.26 4.28 4 3.7 3.12 3.13 3.15 3.24 4.15 4.17 4.19 4.21 4.27 5 3.2 3.25 3.26 3.27 3.30 4.6 4.9 4.12 4.27 4.30 6 3.3 3.7 3.11 3.14 3.29 4.2 4.11 4.13 4.15 4.16 7 3.4 3.19 3.23 3.24 3.25 4.16 4.18 4.19 4.20 4.21 8 3.2 3.3 3.8 3.10 3.12 4.3 4.4 4.23 4.28 4.29 9 3.6 3.8 3.9 3.11 3.13 4.5 4.12 4.24 4.26 4.30 10 3.7 3.9 3.10 3.14 3.16 4.18 4.20 4.22 4.23 4.26 11 3.8 3.10 3.11 3.13 3.17 4.20 4.21 4.24 4.25 4.27 12 3.9 3.11 3.12 3.17 3.18 4.9 4.10 4.14 4.16 4.20 80
Яндекс цитирования