Главная
Каталог
Библиотека
Избранное
Порталы
Библиотеки вузов
Отзывы
Новости
 
12+
 
Предварительный просмотр документа

Асимптотические методы. Часть III. Определение и свойства асимптотических разложений

Автор/создатель: Батищев В.А.
Год: 2001 
Методические указания содержат изложение основных понятий асимптотических разложений, ставших в последнее время основными аналитическими методами решения прикладных задач. Большое значение асимптотические методы находят при исследовании задач, в которых малое изменение параметра возмущения приводит к конечным изменениям решений. Несмотря на то что асимптотические ряды могут расходиться, несколько первых членов этих рядов могут давать хорошие приближения к решению задачи.
Показать полное описание документа
Популярные ресурсы рубрик:
РЕЙТИНГ

Оценка пользователей:
Количество голосов: 0
Оцените ресурс:
5 4 3 2 1

ОТЗЫВЫ


Популярные ресурсы по теме

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Батищев В.А. Методические указания для студентов механико-математического факультета АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Часть III ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ Ростов-на-Дону 2001 Печатается по решению кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ, протокол № 6 от 3 апреля 2001 г. АННОТАЦИЯ Методические указания содержат изложение основных понятий асимптотических разложений, ставших в последнее время основными анали- тическими методами решения прикладных задач. Большое значение асим- птотические методы находят при исследовании задач, в которых малое из- менение параметра возмущения приводит к конечным изменениям решений. Несмотря на то, что асимптотические ряды могут расходиться, несколько первых членов этих рядов могут давать хорошие приближения к решению задачи. Методические указания рекомендуются студентам, обучающимся ме- ханике, прикладной математике, физике, которых интересуют вопросы при- менения методов теории возмущений к решению прикладных задач. Автор: Батищев В.А. © Батищев В.А. 2001 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 4 2. Определение асимптотических рядов 5 3. Свойства асимптотических разложений 10 3. 1 Интегрируемость асимптотических разложений 10 3. 2 Дифференцируемость асимптотических разложений 11 3. 3 Равномерные и неравномерные асимптотические 13 разложения 3. 4 Пример расходящегося асимптотического ряда 14 3. 5 Свойства асимптотических разложений, 16 зависящих от переменной ЛИТЕРАТУРА 22 4 1. ВВЕДЕНИЕ Многие задачи с которыми сталкиваются специалисты, применяющие методы прикладной математики, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных задач исследователи вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя аналитические и численные методы. Среди аналитических методов весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. В настоящем методическом пособии внимание в большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математической строгости, при этом использованы самые разнообразные средства. Например, часто приходится обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачи и найти нужные приближения. Часто при решении задач основным математическим инструментом служат асимптотические разложения по параметру (аппроксимация решения разложением, состоящим из конечного числа членов) с ошибкой, которая мала при достаточно малых значениях параметра. Чтобы выявить все существенные черты задачи и дать хорошее приближение к точному решению, математику-прикладнику нужно лишь несколько членов асимптотического приближения. Часто дело обстоит именно так. Всем используемым асимптотическим разложениям желательно давать обоснование с помощью подходящих предельных процессов. 5 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ Рассмотрим поведение функции f (x) при x → ∞ в терминах известной функции ϕ (x) , где считается x действительной переменной. На бесконечности ϕ (x) может стремиться к нулю, к бесконечности или иметь какое-либо другое поведение. Определение 1. Функция f (x) асимптотически приближается к ϕ (x) (или ϕ (x) является асимптотическим приближением функции f (x) ), если выполнено соотношение f ( x) lim = 1. x →∞ ϕ ( x ) В этом случае вводят обозначение f (x) ~ ϕ (x) , x → ∞. Определение 2. Говорят, что порядок функции f (x) меньше, чем порядок функции ϕ (x) при x → ∞ , если f ( x) lim = 0. x →∞ ϕ ( x) Соответственно обозначают f = o (ϕ ), ( x → ∞) . Определение 3. Функция f (x) имеет порядок, не превосходящий порядка ϕ (x) при x → ∞ , если отношение f ( x) / ϕ ( x) ограничено. В этом случае вводят обозначение f ( x) = Ο {ϕ ( x)} ( x → ∞) или f = Ο (ϕ ) В частности соотношение f = o (ϕ ) ( x → ∞) означает, что функция f (x) стремится к нулю при x → ∞ . Соотношение f ( x) = Ο (1) ( x → ∞) означает, что функция f ограничена при x → ∞. 6 Рассмотрим случай, когда функция зависит от малого параметра ε , т.е. f = f (ε ) . Существует несколько возможных описаний поведения функции, обладающих различной степенью точности. Во-первых, можно просто установить существует ли предел. Например, sin 2ε имеет предел при ε → 0 , в то время как sin (2 / ε ) предела не имеет. Во-вторых, можно описать предельное поведение качественно. Имеются три возможности: функция в пределе может а) обращаться в нуль f (ε ) → 0 (ε → 0) ; б) быть ограниченной f (ε ) < ∞ (ε → 0) ; в) бесконечно возрастать f (ε ) → ∞ (ε → 0) . Особенность этого способа состоит в том, что случай а) заключается в случае б). Однако, естественно, где это возможно использовать описание а), т.к. оно более точно. В третьих, можно описать предельное значение количественно. Опять имеются три возможности, из которых только вторая является уточнением качественного описания а) lim f (ε ) = 0 ; б) lim f (ε ) = c = const ; в) lim f (ε ) = ∞ . ε →0 ε →0 ε →0 В-четвертых, можно качественно описать скорость приближения к пределу. Только случаи а) и б), указанные выше, могут быть уточнены таким образом. Это делается путем сопоставления с некоторым набором функций сравнения (или калибровочных функций). Последние являются функциями столь простыми, что их предельное поведение можно считать интуитивно известным. Сравнения осуществляются использованием символов порядка Ο (" Ο " большое) и o (" o " малое). 7 f (ε ) Полагаем, что f (ε ) = Ο[g (ε )] при ε → 0 , если lim = A, ε →0 g (ε ) 0 < A < ∞ . Если это отношение стремится к нулю, то применяем символ o взамен Ο . Итак, f (ε ) f (ε ) = o [g (ε )] при ε → 0 , если lim =0. ε →0 g (ε ) Примеры: sin 2ε = Ο(ε ) , 1 − cos ε = Ο(ε 2 ) = o (ε ) . exp(−1 / ε ) = o (ε m ) для любого m > 0 . Символы порядка не обязательно описывают действительную скорость приближения к пределу, они дают лишь верхнюю границу. Математический порядок величины, выраженный символами, теоретически не совпадает с физическим порядком величины, поскольку не принимаются во внимание множители пропорциональности; следовательно, величина Κε считается величиной Ο (ε ) даже в том случае, когда Κ равно десяти тысячам. В физических задачах имеется однако, по меньшей мере некоторая надежда, почти неизменно оправдывающаяся, что эти две оценки достаточно близки. Так, если ошибка в физической теории составляет Ο (ε ) и ε выбрано разумно, то можно ожидать, что численная ошибка не будет превосходить некоторого умеренного кратного ε: возможно, она будет 2ε или 2πε , но почти определенно не достигает 10ε . Пятая схема описывает количественно скорость, с которой функция приближается к своему пределу. Она представляет собой уточнение четвертой схемы (применение символов порядка). Восстановим множитель пропорциональности и запишем f (ε ) f (ε ) ~ cδ (ε ) при ε → 0 , если lim =c ε →0 δ (ε ) 8 т.е., если f (ε ) = cδ (ε ) + o [δ (ε )]. Это есть асимптотическая форма или асимптотическое представление функции, которое составляет первый член в асимптотическом разложении. Примеры: sin 2ε ~ 2ε , 1 − ε 2 ~ 1, ctg ε ~ 1 / ε . В шестой схеме предыдущее описание уточняется путем добавления дальнейших членов. Будем считать разность между данной функцией и ее асимптотической формой некоторой новой функцией и определим ее асимптотический вид. Результат запишем следующим образом: f (ε ) ~ c1 δ 1 (ε ) + c2 δ 2 (ε ) при ε → 0 , где вторая функция сравнения δ 2 (ε ) должна быть величиной более высокого порядка малости, чем первая, δ 2 (ε ) δ 2 (ε ) = o [δ 1 (ε )] или lim =0, ε →0 δ 1 (ε ) а ошибка − величиной еще более высокого порядка малости f (ε ) = c1 δ 1 (ε ) + c2 δ 2 (ε ) + o [δ 2 (ε )]. Следующие члены могут быть добавлены повторением этого процесса. Определение. Последовательность функций {δ n (ε )}, n = 0,1, 2, ... называется асимптотической последовательностью (или шкалой), если для любого n выполнено соотношение δ n+1 (ε ) = o {δ n (ε )} при ε →0 (2. 1) Примеры асимптотических последовательностей n ε , ε 3 , (ln ε ) −n , (sin ε ) n , (ctg ε ) −n . n Определение. Сумма вида ∞ f (ε ) ~ ∑ an δ n (ε ) (ε → 0) (2. 2) n =0 9 где a n не зависит от ε , а δ n (ε ) − асимптотическая последовательность, называется асимптотическим разложением функции f (ε ) при ε → 0 , если для любого натурального n выполнено соотношение N f (ε ) = ∑ a n δ n (ε ) + o (δ N (ε ) ) (2. 3) n =0 или, что тоже самое N −1 f (ε ) = ∑ a n δ n (ε ) + Ο (δ N (ε ) ) (2. 4) n =0 Приведем определение асимптотической последовательности и асимптотического разложения для функции, зависящей от координаты z = x + iy (случай комплексных переменных). Определение. Последовательность функций {ϕ n (z )}; n = 0,1, 2, ..., определенных на множестве R , имеющих точку z = c в качестве конечной или бесконечной предельной точки, называется асимптотической последовательностью (или шкалой), если для любого натурального n выполнено соотношение ϕ n+1 ( z ) = o {ϕ n ( z )} ( z → c в R) . Определение. Выражение ∞ f ( z) ~ ∑ as ϕ s ( z) s =0 называется асимптотическим разложением (или асимптотическим рядом) если для каждого целого неотрицательного n выполнено соотношение n −1 f ( z ) = ∑ a s ϕ s ( z ) + Ο {ϕ n ( z )}, ( z → c в R) . s =0 Здесь использовано следующее определение Ο {ϕ ( z )}. Функция ϕ (z ) называется асимптотическим приближением к f (z ) при z → ∞ , если для некоторого R существует такое число k , не зависящее от arg z , что 10 f ( z) ≤ k ⋅ ϕ ( z) при z ∈ S (R ) и обозначают f ( z ) = Ο {ϕ ( z )} в S (R ), где через S (R ) обозначен бесконечный сектор α ≤ arg z ≤ β . Аналогично вводится " o " − малое. Это определение распространяется на любую область, имеющую бесконечно удаленную точку, или точку z = c в качестве предельной. 3. СВОЙСТВА АСИМТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 3. 1 Интегрируемость асимптотических разложений Асимптотические разложения, как правило, можно интегрировать при условии, что справедливы некоторые очевидные ограничения, касающиеся сходимости интегралов. Рассмотрим случай действительных переменных. Теорема. Пусть f ( x) ∈ L интегрируемая функция действительной переменной x и f ( x) ~ xν при x → ∞ , где ν − вещественная или комплексная постоянная. Пусть " a " − любое конечное вещественное число. Тогда при x → ∞ имеем ∞ ν +1 ∫ f (t ) dt ~ − x (ν + 1) , (Reν < −1) x ⎧c (Reν < −1) x ⎪ ∫ f (t ) dt ~ ⎨ln x (ν = −1) , a ⎪ xν +1 (ν + 1) (Reν > −1) ⎩ где c = const. Докажем третье соотношение последней формулы. Имеем f ( x) = xν (1 + η ( x) ) , где η (x) < ε , если x > X > 0 , причем X выбирается по произвольно заданному положительному числу ε. Следовательно, если x > X , то
Яндекс цитирования