Главная
Каталог
Библиотека
Избранное
Порталы
Библиотеки вузов
Отзывы
Новости
 
12+
 
Предварительный просмотр документа

Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие.

Автор/создатель: Шабров С.А.
Год: 2006 
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 1 курса всех форм обучения. Пособие написано в соответствии с программой курса "Математика" и содержит краткие теоретические сведения и задачи для самостоятельного решения.
Показать полное описание документа
Популярные ресурсы рубрик:
РЕЙТИНГ

Оценка пользователей: 2.9
Количество голосов: 10
Оцените ресурс:
5 4 3 2 1

ОТЗЫВЫ


Популярные ресурсы по теме

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
Вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика белый равна 2 4 8 P (BC) = P (B) · P (C) = · = . 3 5 15 Вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящи- ка, черным, найдем применяя теорему сложения вероятностей 1 8 3 P (A · D + B · B) = P (A·) + P (B · C) = + = . 15 15 5 Задачи для самостоятельного решения 2.1. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик на- удачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена. 2.2. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий. 2.3. Доказать, что если событие A влечет за собой событие B, то P (B) P (A). 2.4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий A1 и A2 соответственно равны p1 и p2 . Найти вероятность появления только одного из этих событий. 2.5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в ми- шень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. 2.6. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Веро- ятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго 0,8, для третьего 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель. 2.7. В ящике a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой черный? (Вынутый шар в урну не возвращается). 2.8. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном вы- 11 стреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. 2.9. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандарт- ность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти веро- ятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. 2.10. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физиче- ской величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точ- ность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти веро- ятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. 2.11. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента. 2.12. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение? 2.13. Все трое членов жюри принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью p. Каким должно быть p, чтобы данное жюри принимало правильное решение с большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи? 2.14. Талантливый сантехник Миша обязательно раз в неделю напи- вается “до чёртиков” (только раз, но обязательно). Найти вероятности следующих событий: а) Миша напьётся во вторник, если он был трезв в понедельник; б) Миша будет трезв в среду и в четверг, если он не пил в понедельник и во вторник; в) Миша будет пьян в один день с электриком Колей, который ведёт себя так же, но независимо от Миши. 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса Вероятность события A, которое может наступить лишь при появле- нии одного из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , . . . , Bn , образую- щих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из 12 гипотез на соответствующую условную вероятность события A: n P (A) = P (Bk ) · PBk (A), (1) k=1 n где P (Bk ) = 1. Равенство (1) называют формулой полной вероятно- k=1 сти. Пример 5. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). Решение. Обозначим через A событие извлечен белый шар. Возмож- ны следующие варианты (гипотезы) первоначального состава шаров: B1 белых шаров нет, B2 один белый шар, B3 два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равно- вероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (как образующих полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло- 1 вии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1 (A) = . 3 Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло- 2 вии, что первоначально в урне был одни белый шар, PB2 (A) = . 3 Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло- 3 вии, что первоначально в урне было два белых шара, PB3 (A) = = 1. 3 Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: 3 1 1 1 2 1 3 2 P (A) = P (Bk )PBk (A) = · + · + · = . 3 3 3 3 3 3 3 k=1 Задачи для самостоятельного решения 3.1. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция пер- вого завода содержит 10 % телевизоров с дефектом, второго 5 % и третьего 3 %. Какова вероятность купить неисправный телевизор, ес- ли в магазин поступило 25 % телевизоров с первого завода, 55 % со второго и 20 % с третьего? 3.2. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент под- брасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме 13 с вероятностью 0,9, а если в кино с вероятностью 0,3. Какова вероят- ность того, что студент разберется в теме? 3.3. Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй три белых и пять черных. Из первой и второй урн не глядя берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары из третьей урны перемешиваются и берут из нее наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белый. 3.4. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % государ- ственные органы, 20% другие банки, остальные физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в сред- нем не возвращается. 3.5. В ящике имеется N изделий, среди которых могут быть и брако- ванные. Вынутое наугад изделие оказалось небракованным. Определить вероятность того, что: все изделия в ящике небракованные; N −1 изделий небракованных и одно изделие бракованное; N − 2 изделий небракован- ных и два изделия бракованных; . . . ; все N изделий в ящике бракован- ные. 3.6. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар белый. 3.7. Имеется четыре урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар, во второй 2 белых и 3 черных, в третьей 3 белых и 5 черных шаров, и четвертой 4 белых и 7 черных шаров. Событие Hi выбор i-й урны (i = 1, 2, 3, 4). Известно, что вероятность выбора i-й равна i/10. Выбира- ют наугад одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. 3.8. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего на- удачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). 3.9. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оп- тического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из 14 наудачу взятой винтовки. 3.10. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на первом за- воде, 20 деталей на втором заводе и 18 деталей на третьем заводе. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе, отлич- ного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на втором и тре- тьем заводах, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. 3.11. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. 3.12. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым. 3.13. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности об- наружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти веро- ятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одно- го из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , . . . , Bn , которые образуют полную группу событий. Если событие A уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса P (Bi ) · PBi (A) PA (Bi ) = n (i = 1, 2, . . . , n). P (Bk ) · PBk (A) k=1 Пример 6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены опти- ческим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтов- ки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? Решение. Пусть B1 гипотеза: для поражения мишени была выбрана 15 винтовки с оптическим прицелом; B2 без оптического прицела. По 4 6 условию задачи P (B1 ) = , P (B2 ) = , PB1 (A) = 0, 95 и PB2 (A) = 10 10 0, 8. По формуле полной вероятности находим вероятность события A мишень поражена: 4 6 P (A) =· 0, 95 + · 0, 8 = 0, 86. 10 10 По формуле Бейеса находим вероятности гипотез: 0, 4 · 0, 95 19 0, 6 · 0, 8 24 PA (B1 ) = = и PA (B2 ) = = . 0, 86 43 0, 86 43 Так как PA (B2 ) > PA (B1 ), то вероятнее, что винтовка была без оптиче- ского прицела. Задачи для самостоятельного решения 3.14. В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй 100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый? 3.15. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 бе- лых шаров, во втором 10 белых и 10 черных шаров, в третьем 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычис- лить вероятность того, что шар вынут из первого ящика. 3.16. Два автомата производят одинаковые детали, которые посту- пают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в сред- нем 60 % деталей отличного качества, а второй 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. 3.17. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. 3.18. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % боль- ных с заболеванием K, 30 % с заболеванием L, 20 % с заболеванием M . Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезней 16 L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, посту- пивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K. 3.19. Событие A может появиться при условии появления лишь одно- го из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , . . . , Bn , образующих пол- ную группу событий. После появления события A были переоценены вероятности гипотез, т. е. были найдены условные вероятности PA (Bk ) (k = 1, 2, . . . , n). Доказать, что n PA (Bk ) = 1. k=1 3.20. Событие A может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , B3 , образующих полную груп- пу событий. После появления события A были переоценены вероятности гипотез, т. е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что PA (B1 ) = 0, 6 и PA (B2 ) = 0, 3. Чему равна условная веро- ятность PA (B3 ) гипотезы B3 ? 3.21. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии. 3.22. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда по- пали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны p1 = 0, 4, p2 = 0, 3, p3 = 0, 5. 3.23. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если веро- ятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны: p1 = 0, 1, p2 = 0, 2, p3 = 0, 4, p4 = 0, 4. 3.24. Задача р разорении. Петя с папой играют в следующую игру. Пе- тя бросает монету, предварительно сообщив папе, какая сторона, по его мнению, выпадет: орел или решка . Если Петя угадал, то папа пла- тит Пете 1 руб., в противном случае Петя платит папе 1 руб. Начальный капитал Пети составляет x = 100 руб. Игра продолжается до тех пор, 17 пока Петя не наберет заранее определенную сумму s, либо пока он не ра- зорится, проиграв весь имеющийся капитал x. Найти вероятность того, что Петя разорится, так и не набрав желаемую сумму, если эта сумма s составляет: а) 110 руб; б) 1000 руб. 3.25. В условиях предыдущей задачи папа играет нечестно: он дал Пе- те монету со смещенным центром тяжести, так что Петя (считая монету правильной и выбирая в среднем в половине случаев орел и в поло- 2 вине случаев решку выигрывает с вероятностью и проигрывает 5 3 с вероятностью . Начальный капитал Пети составляет, как и в преды- 5 дущей задаче, x = 100 руб. Игра продолжается до тех пор, пока Петя не наберёт заранее определённую сумму s, либо пока он не разорится, проиграв весь имеющийся капитал x. Найти вероятность разорения Пе- ти в общем случае (для произвольной суммы s) и в конкретных случаях s = 110 руб. и s = 1000 руб. 3.26. Что произойдет с вероятностью разорения Пети в условиях двух предыдущих задач, если ставка на каждом ходе будет равна не 1 руб., как раньше, а 3 руб.? 3.27. Найти среднюю продолжительность m(x) игры, описанной в за- даче 3.24.. 3.28. Задача о разборчивой невесте. У одной из Машиных подруг есть достаточно большое число женихов. Заранее она ничего о своих жени- хах не знает, кроме их числа n. Расположившись в очередь в случайном порядке, женихи представляются разборчивой невесте один за другим, так что, встречая очередного жениха, она знает всех предшествующих. Представленный и отвергнутый жених больше не возвращается. Невеста решила избрать следующую стратегию выбора: она просматривает пер- вых m женихов, никого не выбирая, а затем останавливает свой выбор на первом из оставшихся (n−m) женихов, который окажется лучше, чем любой из первых m женихов. Найти вероятность Pm (A), сделать наилуч- ший выбор при такой стратегии. Определить такое число mn , чтобы веро- ятность Pmn (A) была максимальной среди всех Pm (A), m = 0, 1, 2, . . . , n. 3.29. Шейх разгневался на звездочёта и приказал казнить его, но в последний момент передумал и решил дать звездочёту возможность спа- стись. Он взял два чёрных и два белых шара, отличающихся только цве- том, и предложил звездочёту распределить их произвольным образом по двум одинаковым сундукам. Палач должен с завязанными глазами вы- брать сундук и достать из него один шар. Если он достанет белый шар, 18 шейх помилует звездочёта, в противном случае казнит. Как звездо- чёт должен распределить шары по сундукам, чтобы иметь наибольшие шансы спастись? 4. Повторные испытания. Формула Бернулли Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие A появится в этих n испытаниях k раз, выражается формулой Бернулли k Pk,n (A) = Cn pk q n−k , где q = 1 − p. Пример 7. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)? Решение. Пусть A партия выиграна. Играют равносильные шах- 1 матисты, поэтому вероятность выигрыша p = ; следовательно, вероят- 2 1 ность проигрыша q = 1 − p = . Так как во всех партиях вероятность 2 выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны: 2 2 4·3 1 1 3 P2,4 (A) = C4 p2 q 4 2 = = . 1·2 2 2 8 Вероятность того, что будут выиграны три партии из шести, равна 3 3 6·5·4 1 1 5 P3,6 (A) = C6 p3 q 3 3 = = . 1·2·3 2 2 16 Так как P2,4 (A) > P3,6 (A), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести. Задачи для самостоятельного решения 4.1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероят- нее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются. 19 4.2. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. 4.3. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. 4.4. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх? 4.5. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых? 4.6. Вероятность появления события A равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие A появится не более трех раз? 4.7. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара? 4.8. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 2 : 1. На этот отре- зок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки C и две правее. Предполагается, что веро- ятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 4.9. На отрезок AB длины a наудачу брошено пять точек. Найти веро- ятность того, что две точки будут находиться от точки A на расстоянии, меньшем x, а три на расстоянии, большем x. Предполагается, что ве- роятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 4.10. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок науда- чу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что ве- роятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Число k0 называется наивероятнейшим числом наступлений события A в n испытаниях, если значение Pk,n (A) при k = k0 не меньше остальных значений Pk,n (A), т. е. Pk0 ,n (A) Pk,n (A). Если p = 0 и p = 1, то число k0 можно определить из двойного неравенства np − q k0 np + p. 20
Яндекс цитирования