Главная
Каталог
Библиотека
Избранное
Порталы
Библиотеки вузов
Отзывы
Новости
 
12+
 
Предварительный просмотр документа

Дифференциальные уравнения: Учебное пособие

Автор/создатель: Ребро И.В., Кузьмин С.Ю., Н.Н. Короткова, Мустафина Д.А.
Год: 2006 
Пособие содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюстрирующие основные понятия по теме "Дифференциальные уравнения". Разработаны варианты контрольных (семестровых) работ. Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших технических заведений всех специальностей и направлений.
Показать полное описание документа
РЕЙТИНГ

Оценка пользователей: 4.6
Количество голосов: 11
Оцените ресурс:
5 4 3 2 1

ОТЗЫВЫ


Популярные ресурсы по теме

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
Вариант 26 Часть А Найти общее решение дифференци- 5.Найти частное решение диффе- ального уравнения 1-го порядка с раз- ренциального уравнения допускаю- деляющимися переменными: x щее понижение порядка: y ' ' ' = е . 2 a) yy ' x = ( y + 1)( x 2 − 1) , 6.Найти решение задачи Коши: b) y ′ 1 − x2 − x 1 − y2 = 0 . (5 + x ) y ' '+ y ' = 0 , y(1) = 2, y ' (1) = 6 . 2.Найти общее решение однородно- 7.Найти общее решение однородного го дифференциального уравнения 1-го дифференциального уравнения 3-го порядка: порядка: x y′ = xy + y . 2 2 y ' ' '+4 y ' '+3 y ' = 0 . 3.Найти общее решение линейного 8.Найти общее решение неоднород- дифференциального уравнения 1-го ного дифференциального уравнения порядка: xy′ − 2 y = x + 1 . 2-го порядка: y ' '+8 y '+16 y = −10e −4 x . 4.Найти общее решение дифферен- циального уравнения в полных диф- 9.Решить систему дифференциаль- ференциалах: ных уравнений: ⎧ x' = 3 x − 4 y ( x 2 + y 2 + 2 x)dx + 2 xydy = 0 . ⎨ . ⎩ y' = x + 4 y Часть В Решить уравнения: 1. ( x − 5 y + 4 )dx − (3 x + y − 4 )dy = 0 5. y ' ' = y ' (1 + 4 y ) 2. y ′ 1 − x 2 − x 1 − y 2 = 0 6. xy ′ − y = y 2 + 2x 2 3. y ' '−8 y '−48 y = e , y (0) = 4, y ' (0) = 1 8x 7. y ' '+2 y ' = 6 e x ( cos x + sin x) dy 4 xy 1 ⎧ x′ = 4 x + y − e 2t 9. y ' '+ y = −сtg x 2 4. + 2 = 2 ,если y (0) = 1 ; 8. ⎨ dx x + 1 x + 1 ⎩ y′ = y − 2 x Часть С 1. Найти линию, проходящую через точку М 0 (1,2) и обладающую тем свой- ством, что в любой ее точке М касательный вектор MN с концом на оси Оу имеет проекцию на ось Оу равную -1. 2. Решить уравнения: 3. Решить систему, записанную в 2 а) ( y + x y) ⋅ dx − x ⋅ dy = 0 векторной форме: x ' = Ax , где x – век- в) y ' '+81y = 9 sin(9 x) + 3 cos(9 x) + 162e 9x тор, A – данная матрица, еx ⎛ −1 − 2 2⎞ с) y ' '+ y ' = , если ⎜ ⎟ 2 + ex A= ⎜ − 2 − 1 2 ⎟ . y (0) = ln 27, y ' (0) = 1 − ln 9 ⎜ − 3 − 2 3⎟ ⎝ ⎠ 60 Вариант 27 Часть А 1.Найти общее решение диффе- 5.Найти частное решение диффе- ренциального уравнения 1-го по- ренциального уравнения допускающее рядка с разделяющимися перемен- понижение порядка: y ' ' = 20 x 3 − 2 . ными: x3 a) xy ' = 1 + y 2 , b) 3 y' tg (3x ) = y . 6.Найти решение задачи Коши: xy ' ' = 1 + y ' , y (0,5) = 0,5, y ' (0,5) = 1 . 2.Найти общее решение однород- ного дифференциального уравне- 7.Найти общее решение однородного ния 1-го порядка: дифференциального уравнения 3-го ( x − y ) ydx − x 2 dy = 0 . порядка: y ' ' '−81y ' = 0 . 3.Найти общее решение линейного 8.Найти общее решение неоднород- дифференциального уравнения 1-го ного дифференциального уравнения 2- 3y порядка: y′ + =x. го порядка: x y ' '+4 y '+4 y = 2 cos(2 x) − 3 sin(2 x) . 4.Найти общее решение диффе- 9.Решить систему дифференциаль- ренциального уравнения в полных ных уравнений: дифференциалах: ⎧ x' = 5 x + 4 y y ⎨ . dx + (ln( x) + 3 y )dy = 0 . 2 ⎩ y' = 2 x + 3 y x Часть В Решить уравнения: 1. (3 x − 2 y − 1) y ′ − ( x − y ) = 0 5. 7 xdy = 7 ydx + x 2 + y 2 dx 2. y′ − y ⋅ tg ( x ) + y 2 cos( x ) = 0 6. 4 + y 2 ⋅ dx − y ⋅ dy = x 2 y ⋅ dy 3. y ' '−3 y '−18 y = xe 6 x , y (0) = 6, y ' (0) = 0 7. y ' '−18 y '+36 y = 5e 6 x 3 x +1 ⎧ x ′ = 2 x − 4 y + 4e −2t 9. xy' ' '+2 y ' = 0 4. y ' '+2 y '+ y = 8. ⎨ ex ⎩ y′ = 2x − 2 y Часть С 1. Найти линию, проходящую через точку М 0 (1,5) и обладающую тем свой- ством, что в любой ее точке М касательный вектор MN с концом на оси Оу имеет проекцию на ось Оу равную -2. 2. Решить уравнения: 3. Решить систему, записанную в а) xy ( xy′ + y) = 1 2 векторной форме: x ' = Ax , где x – век- тор, A – данная матрица, в) y ' ' '−64 y ' = −64е8 x + 128 cos(8 x) ⎛3 − 2⎞ 1 A=⎜⎜4 −1 ⎟ . ⎟ с) y ' '−3 y '+2 y = −x , если ⎝ ⎠ 1+ e y (0) = 1 + 2 ln 2, y ' (0) = 3 ln 2 61 С разделяющими переменными: Дифференциальное уравнение В полных дифференциалах: f1 ( x)ϕ1 ( y )dx + f 2 ( x)ϕ 2 ( y )dy = o . первого порядка: F(x; y; y′)=0 P ( x; y )dx + Q( x; y )dy = 0 . f1 ( x) ϕ2 ( y) Решение: ∫ f ( x) dx = −∫ ϕ ( y) dy . 2 1 ∂P ∂Q ∂P ∂Q Приводящее к однородным: Если = , Если ≠ , ∂y ∂x ∂y ∂x ⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ Однородное: P( x; y )dx + Q( x; y )dy = 0 y′ = f ⎜ 1 ⎜a x+b y +c ⎟. ⎟ то находим то находим ⎝ 2 2 ⎠ ∂P ∂Q u = ∫ P ( x; y )dx + C ( y ) , 2 Замена y = tx , dy = tdx + xdt . ∂y − ∂x ∫ dx ∂u t = e Q затем = Q( x; y ) . a1 b1 ∂y или a1 b1 ⎧x = u + α, Если = 0, ∂Q ∂P Если ≠ 0 , то замена ⎨ где (α ; β ) a2 b2 Вычисляем С(у) и − ∂x ∂y a2 b2 ⎩y = v + β , тогда замена: подставляем в u. ∫ dy t =e P . ⎧ a x + b1 y + c1 = 0, a1 x + b1 y = t и точка пересечения прямых: ⎨ 1 ⎩a2 x + b2 y + c2 = 0. 1 a Линейные: y′ = t′ + 1 Метод Лагранжа. b1 b1 y′ + p ( x ) y = q ( x ) . Решаем уравнение: Уравнение Лагранжа: y = x ⋅ ϕ ( y′) + ψ ( y′) . Под- y′ + p ( x) y = 0. Получаем Уравнения не разре- y = C ( x )e ∫ становка p = y’ . Полу- шенные относительно Метод Бернулли. − P ( x ) dx . Нахо- чаем: ⎧ x = F ( p, C ) производной Замена: y = u ⋅ v , дим y′ и подставляем в ис- ⎨ ⎩ y = xf ( p ) + ϕ ( p ) y′ = u′v + v′u . Затем создаем сис- ходное уравнение. Вычис- Уравнение Клеро: Уравнение y = f(y’) или ⎧v′ + p( x)v = 0, ляем С(х) и подставляем y = x ⋅ y′ + ψ ( y′) . Замена x = f(y’). Замена: y′ = p . тему: ⎨ полученный у. y′ = p . После подстановки После подстановки по- ⎩ u′v = q( x) ⎧ x + ϕ ′( p) = 0, ⎧ f ′( p) и решаем. Уравнение Дарбу получаем: ⎨ . лучаем: ⎪x = ∫ dp + C . M ( x; y ) dx + N ( x; y ) dy + P ( x; y )( xdy − ydx ) = 0 ⎨ p ⎩ y = x ⋅ p + ϕ ( p) ⎪ y = f ( p) ⎩ Замена y = z ⋅ x . 62 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Агишева Д.К., Короткова Н.Н., Мустафина Д.А. Математика II часть: Учеб.пособие / ВолгГТУ, ВПИ(филиал), Волгоград, 2004.- 94 с. 2. Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики: Учеб. для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – М.: Просвещение, 1995. – 464 с.: ил. 3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с. 4. Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ: Справ. Пособие. В 2 ч. Ч I. – Мн: Выш. шк., 1989. 5. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: спра- вочное пособие по решению задач/ А.А. Гусак. – Изд-е 2-е, стереотип. – Мн.: «ТетраСистемс», 2001. 6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражне- ниях и задачах. В 2-х ч. Ч. I: Учеб. Пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1999. 7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анали- зу: Учеб.пособие для вузов. – 10-е изд., испр. – М.: Наука, 1990. 8. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анали- зу. М.: Высшая школа, 1969. 9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. для втузов. – М., 1970. 10. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. 11. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики. – Изд. 2-е, перераб. и доп. Учеб. пособие для втузов. – М.: «Высшая школа», 1969. 12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Изд. 4-е, дополненное и переработанное. – М.: Издательство «Наука», 1973. 13. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей матема- тики ч.1. – М.: Высшая школа, 1978. 63 Ирина Викторовна Ребро Сергей Юрьевич Кузьмин Неля Николаевна Короткова Джамиля Алиевна Мустафина Дифференциальные уравнения Учебное пособие Редактор О.П. Чеботарева Темплан 2006, поз.№ 27 Лицезия ИД № 04790 от 18.05.2001 Подписано в печать ____19. 12. 06.______. Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 3, 72 Уч.-изд.л. 3, 84 Тираж 300. Заказ__977__. Волгоградский государственный технический университет. 400131 Волгоград, просп. им. В.И. Ленина, 28. РПК ”Политехник” Волгоградского государственного технического университета. 400131 Волгоград, ул. Советская, 35. 64
Яндекс цитирования