Статический класcический и сингулярный предельный анализ идеально жестко-пластических систем в условиях не вполне достоверной информации о внешней нагрузке: Монография

Голосов: 1

Даются методы расчета верхней границы несущей способности жестко-пластических систем в условиях их многопараметрического нагружения на основе статического метода теории предельного равновесия. Предлагаемые методы могут быть использованы при экспертной оценке возможности коллапса жестко-пластических систем в условиях сложного нагружения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                            21


предельного равновесия системы, является единственным. Ему соответствует
одновременно статически и кинематически допустимое распределение реакций
связей системы.

  Перейдем к вопросу определения несущей способности жестко-пластических
систем при многопараметрическом нагружении. Полная несущая способность
системы определяется статически допустимой областью C и ее границей С*. Так
как описание границы С* с помощью аналитического выражения является
затруднительным, то это побуждает нас к введению критерия оптимизации. В
качестве оптимизируемой функции рассмотрим функцию, выражающую
суммарную нагрузку жестко-пластической системы при ее многопараметрическом
нагружении:

                                    N
                              T
                                   ∑         ( ёn ⋅ Pn)
                                  n=1

                                                                         (2.7)

                  ёn > 0                          n       1, , , ,N


  В выражениях (2.7) ёn – постоянные коэффициенты, каждый из которых равен
суммарной нагрузке n-ой группы сил при Pn=1. В соответствии с соотношениями
(2.7) и тем обстоятельством, что Pn≥0(n=1,…,N) , T≥0. Функция T принимает
нулевое значение лишь при Pn=0(n=1,…,N). Так как коэффициенты ёn строго
положительны, то функция Т является строго возрастающей по каждой из
переменных Pn. При каждом фиксированном положительном значении Т=Т0
равенство

                             N

                             ∑    ( ёn ⋅ Pn) − T0         0
                            n=1

представляет собой гиперплоскость в N–мерном евклидовом пространстве
комбинаций параметров нагружения, причем эта гиперплоскость пересекает
координатные оси в неотрицательном ортанте евклидового пространства (Рис.2). В
дальнейшем мы будем рассматривать только те части гиперплоскостей,
соответствующих тому или иному значению суммарной нагрузки, которые лежат в
неотрицательном ортанте. Введем следующие определения.




                                        21


                                     22


Определение 1

  Значение суммарной нагрузки T=Ts называется статически допустимым, если
каждая точка пересечения, соответствующей этому значению Ts гиперплоскости, с
неотрицательным ортантом является статически допустимой.

 Упомянутое пересечение рассматриваемой гиперплоскости с неотрицательным
ортантом обозначим через Hs (Рис.3).




                                              ∑(ёn·Pn)-T0=0




Рис.2. К графической иллюстрации гиперплоскости,              соответствующей
фиксированному значению суммарной нагрузки Т0.


Определение 2

  Значение суммарной нагрузки T=Td называется разрушающим, если хотя бы одна
точка пересечения, соответствующей этому значению гиперплоскости, с
неотрицательным ортантом является разрушающей.


                                     22


                                     23




 Упомянутое пересечение рассматриваемой гиперплоскости с неотрицательным
ортантом обозначим через Hd (Рис.3).

Определение 3

  Значение суммарной нагрузки T=Tv называется статически возможным, если
хотя бы одна точка пересечения, соответствующей этому значению Tv
гиперплоскости, с неотрицательным ортантом является статически допустимой.

 Упомянутое пересечение рассматриваемой гиперплоскости с неотрицательным
ортантом обозначим через Hv (Рис.3).




Рис.3. Графическая иллюстрация к определениям 1-3.

Докажем следующее утверждение.

Лемма 1

 Для жестко-пластических систем рассматриваемого класса, существует хотя бы
одно статически допустимое значение суммарной нагрузки Ts, отличное от нуля.


                              Доказательство.



                                    23


                                     24




  Для доказательства леммы рассмотрим две возможности. Первая возможность:
для жестко-пластических систем рассматриваемого класса не существует ни одного
статически допустимого значения суммарной нагрузки. Это означает, что при
непрерывном уменьшении значений суммарной нагрузки от некоторого
положительного значения Т до нуля все рассматриваемые значения не являются
статически допустимыми. В этом процессе при Т=0 получаем гиперплоскость
∑(ёn∙Pn)=0, проходящую через начало координат (Рис.4). Это означает, что
постоянная часть нагрузки либо соответствует состоянию предельного равновесия,
либо является разрушающей. Оба эти случая были исключены при формировании
рассматриваемого класса жестко-пластических систем. Таким образом остается
вторая возможность, а именно - для               жестко-пластической системы
рассматриваемого класса, найдется хотя бы одно статически допустимое
положительное значение суммарной нагрузки Т=Ts. При этом, соответствующая
значению Ts гиперплоскость Hs, отсекает в неотрицательном ортанте выпуклый
полиэдр Zs (Рис.5) . Так как все точки Hs, лежащие в неотрицательном ортанте,
являются статически допустимыми, то и точки пересечения Hs с осями
неотрицательного ортанта также являются статически допустимыми. Кроме того
точка координат также является статически допустимой. Таким образом все
вершины полиэдра Zs являются статически допустимыми и принадлежат выпуклой
области С. Из этого непосредственно следует, что и весь выпуклый полиэдр Zs
лежит в статически допустимой выпуклой области С (Рис.5).


Докажем следующее утверждение.


Лемма 2

  Множество статически допустимых значений суммарной нагрузки ограниченно
сверху и имеет точную верхнюю границу.


                               Доказательство.


  Для доказательства рассматриваемого      утверждения    рассмотрим   сперва
следующую оптимизационную задачу (2.8):




                                     24


                                  25




                                   Положение гиперплоскости
                                   ∑(ёn·Pn) =0 при Т=0.




Рис.4. Графическая иллюстрация к случаю прохождения гиперплоскости
через начало координат.




Рис.5 К доказательству леммы 1.




                                  25


                                             26




                                           N              
                                  Maximize
                                           ∑    ( ёn ⋅ Pn)
                                                           
                                          n = 1           
                                                                                            (2.8)
                         Pn ≥ 0                        (n     1 , , , , N)


                   g ( R1, , , , RQ) ≤ 0
                     j                            (j        1 , , , , J)

           N                      Q

          ∑     ( Wsn ⋅ Pn) +     ∑    ( Wsq ⋅ Rq) + Gs        0             (s   1 , , , , S)
          n=1                   q=1



  В силу компактности области, соответствующей системе разрешающих
соотношений экстремальной задачи (2.8), она имеет решение. В силу самой
структуры задачи (2.8) оптимальное значение Tv*, соответствующее задаче (2.8),
достигается в статически допустимой точке Sv* (рис.6). Поэтому значение
суммарной нагрузки Tv* является или статически допустимым, или статически
возможным. Во всех случаях оно является максимальным статически возможным
значением. Поэтому для любого статически допустимого значения Ts:


                                        Ts≤Tv*                                              (2.9)


  В силу (2.9) множество статически допустимых значений суммарной нагрузки
ограничено сверху. Поэтому оно имеет точную верхнюю границу. Этим и
доказывается лемма 2. Из теории выпуклых задач математического
программирования следует, что гиперплоскость

                                ∑(ёn∙Pn)-Tv*=0,


соответствующая оптимальному значению задачи (2.8), является опорной к
статически допустимой области С (рис.6).




                                             26


                                      27




                                           ∑(ёn∙Pn)-Tv*=0




Рис.6 К доказательству леммы 2.



Метод    определения       предельного      значения        суммарной   нагрузки
(А.Н.Ахвледиани,1990г./ 9 /)

1. Для каждого i=1,..., N и каждого номера n (1≤n≤N) последовательно, начиная с
n=1, полагаем: если i ≠n то Pn=0, если i=n то Pn=Pi. Этим самым мы определяем N
программ однопараметрического нагружения вдоль каждой из осей координат
неотрицательного ортанта EN+ пространства комбинаций параметров нагрузок.

2. Для каждой из N упомянутых однопараметрических программ решаем
экстремальную задачу (2.8). Максимальное значение функции суммарной нагрузки,
соответствующее каждой i-й программе нагружения обозначим Ti*. В результате
получим конечное множество значений:


                          T=[T1*,…, Ti*,…, TN* ]                           (2.10)

3. Из конечного множества (2.10) выбираем минимальный элемент:

                        T*=Min[T1*,…, Ti*,…, TN* ]                        (2.11)

Определенное таким образом значение суммарной нагрузки T* и будет
предельным.




                                      27


                                       28


 Выше мы только описали метод определения предельного значения суммарной
нагрузки. Теперь следует пояснить в каком смысле значение T* является
предельным и описать его свойства. Вначале докажем следующую теорему.

Теорема о верхней границе суммарной нагрузки (А.Н.Ахвледиани,2008г.)

  Предельное значение T* является верхней границей множества всех статически
допустимых значений Ts суммарной нагрузки.

                                 Доказательство.

  В соответствии с методом определения предельного значения суммарной
нагрузки (пункты 1 и 2), и статической теоремой теории предельного рановесия для
случая однопараметрического нагружения, каждая i-ая программа нагружения,
соответствующая i-ой координатной оси неотрицательного ортанта комбинаций
параметров нагрузок, определяет, как предельное частичное i-ое значение Ti*
суммарной нагрузки, так и соответствующую этому значению точку Xi*
пересечения i-ой координатной оси с границей статически допустимой области С*
(рис.7). Все точки Xi* являются граничными статически допустимыми точками на
соответствующих координатных осях. Это означает, что для каждой координатной
оси, все точки Xi, удаленные от начала координат на расстояние большее чем
|ОXi*| являются разрушающими (на рис.7 они обозначены красным цветом). В
соответствии с методом определения предельного i-го значения суммарной
нагрузки все точки Xi*(i=1,…,N) являются точками пересечения границы
статически допустимой области С* с координатными осями неотрицательного
ортанта.

  Вначале докажем, что T* является статически допустимым значением параметра
нагрузки. Для этого в соответствии с определением 1 достаточно доказать, что все
точки множества Hs*, соответствующего значению T*, являются статически
допустимыми. Напомним, что в соответствии с определением 1, множество Hs*
представляет собой пересечение неотрицательного ортанта с гиперплоскостью

                              ∑(ёn∙Pn)-T*=0                                 (2.12)

Множество Hs* и гиперплоскость (2.12) изображены на рис.7.

  Hs* , как часть гиперплоскости (2.12), отсекает в неотрицательном ортанте
выпуклый полиэдр Zs*. Этот полиэдр содержит Hs*. Вершинами полиэдра Zs*
являются начало координат (точка О) и точки пересечения Hs* с осями координат.
Обозначим упомянутые точки пересечения через Yi*(i=1,…,N).Так как Hs*
является частью гиперплоскости (2.12),то во всех его точках,в том числе и в точках
Yi*(i=1,…,N), значение суммарной нагрузки равно одному и тому же значению T*.
В соответствии с методом определения предельного значения суммарной нагрузки
(пункты 1-3),в одной из точек Xi* значение суммарной нагрузки так же равно T*.




                                       28


                                        29


  Рассмотрим вопрос, может ли полиэдр Zs* содержать разрушающие точки.
Существует две возможности. Первая - полиэдр Zs* содержит разрушающие точки.
Вторая - полиэдр Zs* не содержит разрушающих точек. Если полиэдр Zs*
содержит разрушающие точки, то в этом случае хотя бы одна из его вершин лежит
вне статически допустимой области С и ее границы С*.

  Так как все точки Xi*(i=1,…,N) являются точками пересечения границы
статически допустимой области С* с координатными осями неотрицательного
ортанта, а одна из вершин полиэдра Yi* (i=1,…,N) лежит вне области С и ее
границы С* это означает, что для некоторого i=n и соответствующей n-ой оси
неотрицательного ортанта , точка Xn* лежит между началом координат О и точкой
Yn* на упомянутой оси, причем точки Xn* и Yn* не совпадают.

  Отметим, что поскольку точки Xn* и Yn* лежат на n-ой оси неотрицательного
ортанта , все их координаты за исключением n-ой равны нулю. n-ые координаты
упомянутых точек численно равны расстояниям |OXn*| и |OYn*|        от начала
координат О до соответствующих точек Xn* и Yn*. Так как точка Xn* лежит
между началом координат О и точкой Yn* то имеет место соотношение:

                                   |OYn*|>|OXn*|                       (2.13)

Так как функция суммарной нагрузки является строго возрастающей по каждому
из параметров нагружения, то из (2.13) следует:

                            T(|OYn*|)>T(|OXn*|)                        (2.14)

 Так как точка Xn* является одной из точек Xi* (i=1,…,n,,,,N), а точкам
Xi*(i=1,…,n,,,,N) соответствует множество значений суммарной нагрузки,
определяемое соотношением (2.10), то в силу соотношений (2.14) и (2.11) будем
иметь:


              T(|OYn*|)> T(|OXn*|)≥ Min[T1*,…, Ti*,…, TN* ]=Т*         (2.15)

 Окончательно из (2.15) следует:

                               T(|OYn*|)> Т*                           (2.16)


  С другой стороны во всех точках Yi*(i=1,…,n,…,N) достигается одно и то же
значение суммарной нагрузки равное Т*. Это означает, что

                                   T(|OYn*|)= Т*                       (2.17)

  Соотношения (2.16) и (2.17) противоречат друг другу.Таким образом допущение
о том, что полиэдр Zs* содержит разрушающие точки, привело к противоречию.



                                        29


                                      30


Рассмотрим теперь второй вариант - все точки полиэдра Zs*, а значит и все точки
его подмножества Hs*, не содержат разрушающих точек в смысле нарушения
системы соотношений (2.1). В этом случае все точки множества Hs* являются
статически допустимыми, поэтому в силу определения 1 значение суммарной
нагрузки Т* также является статически допустимым. Противоречия нет.

  Рассмотрим вопрос, является ли значение суммарной нагрузки Т* максимальным
статически допустимым значением. Рассмотрим сперва один из двух возможных
вариантов, а именно: существует статически допустимое значение Т**, большее
чем Т*. В соответствии с методом определения предельного значения суммарной
нагрузки (пункты 1-3), в одной из точек Xi* пересечения i-х координатных осей с
границей статически допустимой области С* значение суммарной нагрузки так же
равно T*. Это означает, что значение T* достигается при некотором i=I, в
соответствующей точке XI*. Поэтому точка XI* принадлежит множеству Hs*(как
геометрическому месту точек в которых суммарное значение нагрузки равно T*). С
другой стороны точка XI* принадлежит границе статически допустимой области
С* и является граничной точкой статически допустимой области С. Из этого
следует, что все точки I-ой координатной оси, удаленные от начала координат на
расстояние большее чем |O XI*|, являются разрушающими. Множество Hs**
представляет собой пересечение неотрицательного ортанта с гиперплоскостью

                             ∑(ёn∙Pn)-T**=0                              (2.18)

  Гиперплоскости (2.12) и(2.18)    параллельны друг другу, поэтому части этих
гиперплоскостей Hs* и Hs**, лежащие в неотрицательном ортанте, не имеют точек
пересечения. Гиперплоскость (2.18) и ее часть Hs** пересекают все оси
неотрицательного ортанта, в том чиле и I-ую координатную ось. Как было
установлено ранее Hs* пересекает I-ую координатную ось в точке XI*. Статически
допустимое значение суммарной нагрузки в этой точке равно T*. Обозначим через
КI** точку пересечения Hs** с I-ой координатной осью. Значение суммарной
нагрузки в этой точке равно T**. Согласно рассматриваемому варианту имеет
место соотношение:

                                  T**> T*                                (2.19)

  Так как функция суммарной нагрузки является строго возрастающей по каждому
из параметров нагружения, то из (2.19) следует:

                              |О КI**|>|О XI* |                          (2.20)

Соотношение (2.20) означает, что на I-ой координатной оси расстояние точки КI**
от начала координат превышает расстояние точки XI* от начала координат. Но
точка XI* является граничной статически допустимой точкой. Поэтому в силу
соотношения (2.20) точка КI** является разрушающей. С другой стороны значение
суммарной нагрузки в точке КI** равно T**. Следовательно значение суммарной
нагрузки T** является разрушающим, а не статически допустимым, что вступает в



                                      30



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика