Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Симметрия в физике элементарных частиц. Часть 1. Пространственно-временные симметрии

Голосов: 0

На основании соображений об однородности и изотропности пространства-времени рассмотрены законы Ньютона, а также возможный вид физических характеристик движущегося тела, зависящих только от скорости. Обсуждается невозможность простых обобщений пространственно-временных симметрий.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                              SYMMETRIES                    СИММЕТРИЯ В ФИЗИКЕ
                          IN ELEMENTARY
                          PARTICLE PHYSICS              ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
                          Part 1. Space–time
                          symmetries                    Часть 1. Пространственно-
                          I. V. TYUTIN                  временные симметрии
                          The Newtonian laws and        а. З. ныназ
                          the possible forms of         еУТНУ‚ТНЛИ ЩЛБЛНУ-ЪВıМЛ˜ВТНЛИ ЛМТЪЛЪЫЪ
                          physical characteristics
                          which depend only on
                                                               1. ЗЗЦСЦзаЦ
                          velocity of a body are con-
                                                                   Один из важнейших разделов физики – теория
                          sidered on the basis of
                                                               элементарных частиц – занимается изучением
                          space–time       uniformity          свойств пространства и времени и взаимодействий
                          and isotropy consider-               элементарных частиц. Элементарные частицы – это
                                                               простейшие известные в настоящее время (или гипо-
                          ations. The impossibility
                                                               тетические) объекты, из которых строятся более
                          of simple generalizations            сложные объекты и, в конце концов, атомы, молеку-
                          of the space–time symme-             лы, вещество. В начале нашего столетия такими эле-
                                                               ментарными объектами были электрон и ядро, со-
                          tries is discussed.
                                                               ставлявшие атом, потом было обнаружено, что ядро
                                                               состоит из протонов и нейтронов, а свет также есть
                          з‡ УТМУ‚‡МЛЛ ТУУ· ‡КВ-               поток частиц – фотонов. Сейчас мы знаем, что про-
                                                               тоны и нейтроны также являются составными объ-
                          МЛИ У· У‰МУ У‰МУТЪЛ Л                ектами: они состоят из кварков и глюонов. Задача
                          ЛБУЪ УФМУТЪЛ Ф УТЪ ‡М-               построения теории (законов “движения”) этого
                          ТЪ‚‡–‚ ВПВМЛ   ‡ТТПУЪ-               многообразного и трудно наблюдаемого мира эле-
                                                               ментарных объектов чрезвычайно сложна и пока еще
                           ВМ˚ Б‡НУМ˚ з¸˛ЪУМ‡, ‡               не решена. Отдельные блоки такой теории считают-
                          Ъ‡НКВ ‚УБПУКМ˚И ‚Л‰                  ся построенными. В 1948 году была создана совре-
                          ЩЛБЛ˜ВТНЛı ı‡ ‡НЪВ ЛТ-               менная теория электромагнитного взаимодействия
                                                               (Томонага, Фейнман, Швингер), а в конце семидеся-
                          ЪЛН ‰‚ЛКЫ˘В„УТfl ЪВО‡,                тых – начале восьмидесятых годов – единая теория
                          Б‡‚ЛТfl˘Лı ЪУО¸НУ УЪ                  слабого и электромагнитного взаимодействий (элек-
                          ТНУ УТЪЛ. й·ТЫК‰‡ВЪТfl                трослабая теория, Вейнберг, Глэшоу, Салам).
                          МВ‚УБПУКМУТЪ¸ Ф УТЪ˚ı                    Одним из руководящих принципов при постро-
                                                               ении теории электрослабого взаимодействия явля-
                          У·У·˘ВМЛИ Ф УТЪ ‡МТЪ-                ется требование симметрии, так называемой калиб-
                          ‚ВММУ-‚ ВПВММ˚ı ТЛП-                 ровочной симметрии. Представление о симметрии
                          ПВЪ ЛИ.                              физических законов возникло со времен Галилея и
                                                               Ньютона, которые сформулировали постулат об эк-
                                                               вивалентности всех инерциальных систем отсчета.
                                                               Однако понимание того, что симметрия должна
                                                               быть одним из требований при формулировке фи-
                                                               зических теорий, появилось в 1905 году после работ
                                                               Пуанкаре, который установил инвариантность
                                                               уравнений Максвелла относительно преобразова-
     © н˛ЪЛМ а.З., 1996




                                                               ний координат, названных им преобразованиями
                                                               Лоренца, и работ Эйнштейна, установившего физи-
                                                               ческий смысл этой инвариантности как внутренне-
                                                               го свойства пространства–времени. С тех пор прин-
                                                               ципы симметрии стали играть в физике все
                                                               возрастающую роль и в настоящее время являются
                                                               главными при построении физических теорий.


64                                                                лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹5, 1996


2. икйлнкДзлнЗЦззхЦ лаееЦнкаа                                    вдоль линии, соединяющей тела A и B. Пусть тело A
   Хорошо известны такие свойства пространства,                  находится в начале системы координат, а тело B – в
как однородность и изотропность. Однородность                    некоторой точке r. Выполним поворот системы ко-
пространства означает, что физические явления                    ординат. В новой системе координат тело B будет
протекают одинаково в двух системах координат,                   находиться в некоторой точке r', причем длины век-
сдвинутых параллельно друг относительно друга.                   торов r и r' равны. При этом силы, действующие на
Изотропность означает, что физические явления                    тело B в одной и другой системах координат, оче-
протекают одинаково в двух системах координат,                   видно, равны. По-другому можно сказать, что если
повернутых одна относительно другой около любой                  с помощью поворотов тело B из точки r можно пе-
оси. Равным образом можно сказать, что если мы                   ревести в точку r', то сила fBA(r'), действующая на те-
перенесем физическую систему в другое место или                  ло B в точке r', получается с помощью этих же пово-
повернем ее как целое, то при сохранении внешних                 ротов из силы fBA(r). В частности, величины этих сил
условий она этого не почувствует. Мы покажем, ка-                равны. Поскольку любые две точки, находящиеся
ким образом можно получать нетривиальные след-                   на одинаковом расстоянии от центра, можно пере-
ствия этих, на первый взгляд простых и естествен-                вести друг в друга поворотами, это означает, что ве-
ных, предположений, а также обсудим возможность                  личина силы зависит только от расстояния между
(точнее говоря, невозможность) обобщения свойств                 телами A и B:
однородности и изотропности пространства.                                                               r
                                                                              F BA = f BA ( r )n,   n = -,           (1)
                                                                                                        r
2.1. лЛППВЪ Лfl Л Б‡НУМ˚ з¸˛ЪУМ‡
                                                                 и по величине сила FBA = | fBA(r) |. Аналогично сила
    Рассмотрим два тела A и B с координатами rA =                FAB , с которой тело B действует на тело A, также на-
= (xA , yA , zA ) и rB = (xB , yB , zB ). Предположим, что си-   правлена вдоль линии, соединяющей тела A и B, а
ла FBA , с которой тело A действует на тело B, зависит           по величине зависит только от расстояния между
только от положений тел A и B (но не зависит от                  этими телами: FAB = −fAB(r)n.
скоростей тел и т.п.):
                                                                     Пусть тело A снова находится в начале коорди-
                         FBA = FBA(rB , rA )                     нат и ось x проходит через тело B. Выполним малое
Удобно рассматривать FBA как функции их отно-                    перемещение тела A вдоль оси x на расстояние ∆x
сительных и средних координат r = rB − rA и R =                  при неподвижном теле B. При этом будет соверше-
= 0,5(rB + rA ):                                                 на работа FAB∆xcosθAB , где угол θAB равен нулю, если
                                                                 сила FAB и перемещение направлены одинаково, и
         F BA = F BA  R + -- r, R – -- r ≡ f BA ( r, R ).      равен π, если FAB и перемещение направлены проти-
                           1         1
                            -         -
                          2         2                          воположным образом. Сделаем сдвиг системы ко-
Выполним перенос системы координат на вектор a,                  ординат вдоль оси x так, чтобы начало координат
так что в новой системе координат положения тел                  новой системы совпадало с новым положением тела
будут задаваться следующим образом:                              A. В новой системе координат положение тел вы-
                                                                 глядит так, как если бы тело B переместили на рас-
    rA = rA + a, rB = rB + a, r' = r, R' = R + a.                стояние −∆x при неподвижном теле A. При этом бу-
Предположение о трансляционной симметрии сис-                    дет совершена работа FBA∆xcosθBA , где угол θBA равен
темы означает, что от переноса начала системы ко-                нулю или π в зависимости от того, совпадают на-
ординат сила, с которой тело A действует на тело B,              правления силы FAB и перемещения тела B или они
не изменится:                                                    противоположны. Приравнивая эти выражения, по-
                                                                 лучаем FBAcosθBA = FABcosθAB, откуда следует FBA = FAB ,
         fBA(r, R) = fBA(r', R') = fBA(r, R + a).
                                                                 θBA = θAB . Тем самым мы установили третий закон
Поскольку вектор a произволен, мы приходим к вы-                 Ньютона:
воду о том, что функции fBA(r, R) не зависят от вто-                                     FAB = −FBA .
рой группы аргументов: fBA = fBA(r), то есть сила, с
которой тело A действует на тело B, зависит только                  Силы, определяемые выражением (1), называ-
от относительного расположения тел A и B.                        ются центральными. Центральные силы обладают
    Выполним теперь поворот системы координат                    важными свойствами. Для них можно ввести поня-
вокруг оси, проходящей через тела A и B. Так как в               тие потенциальной энергии, и они сохраняют угло-
повернутых координатах система тел выглядит точ-                 вой момент.
но так же, как и в исходных, направление силы FBA                   Можно привести ряд других примеров, когда со-
относительно новой системы координат должно                      ображения симметрии позволяют простым образом
быть таким же, как и относительно старой системы                 получить значительную информацию о системе.
координат, то есть сила должна повернуться вместе                Так, соображения симметрии позволяют устано-
с поворотом системы координат. Фактическое на-                   вить, что сила, действующая на пробное тело (за-
правление силы не зависит от поворотов системы                   ряд) со стороны другого тела (заряда) со сферичес-
координат, это означает, что сила FBA направлена                 ки-симметричным распределением массы (заряда),


ныназ а.З. лаееЦнкаь З оабадЦ щгЦеЦзнДкзхп уДлнас                                                                           65


     является центральной. Сила, действующая на проб-                                   величины типа p имеют вид p = f(υ2)v, где f(x) – про-
     ное тело (заряд) со стороны бесконечной плоскости                                  извольная функция одного аргумента.
     с постоянной плотностью массы (заряда), перпен-                                       (d) Величины, четные по компонентам скорости. В
     дикулярна плоскости и по величине зависит только                                   этих случаях отсутствуют величины типа p, а вели-
     от расстояния от плоскости до пробного тела и т.п.                                 чины типа E имеют вид E = ϕ(υ2), где ϕ(x) – произ-
                                                                                        вольная функция одного аргумента.
     2.2. лЛППВЪ Лfl Л НЛМВЪЛ˜ВТН‡fl ˝МВ „Лfl                                                 Мы знаем, что при больших скоростях выраже-
        Обсудим вид физических характеристик тела,                                      ния ньютоновской механики для кинетической
     которые зависят только от его скорости и являются                                  энергии и импульса должны быть модифицирова-
     многочленами по компонентам скорости. Критери-                                     ны. При каких условиях такая модификация воз-
     ем является требование, чтобы физическая величи-                                   можна? Ограничимся анализом выражения для ки-
     на “хорошо” преобразовывалась при переходе (по-                                    нетической энергии. Следующее по сложности
     воротах) от одной системы координат к другой. Под                                  после ньютоновского выражение для кинетической
     “хорошими” трансформационными свойствами мы                                        энергии имеет вид E = (a/2)υ2 + b(υ2)2 = (a/2)υ2(1 +
     будем понимать следующее: физическая характери-                                    + υ2 /c2), где для определенности a и b – положи-
     стика либо должна преобразовываться как скорость                                   тельные константы, c2 ≡ a/2b. Константа c имеет
     (такие величины мы будем обозначать p(v)), либо                                    размерность скорости! Глядя на это выражение,
     вообще не должна преобразовываться (такие вели-                                    можно сказать следующее. Если ньютоновское вы-
     чины называются инвариантами преобразований;                                       ражение для кинетической энергии должно быть
     мы будем обозначать их E(v)). Таким образом, мы                                    изменено, тогда в природе должна существовать
     требуем следующих трансформационных свойств                                        фундаментальная скорость c. При скоростях тел υ,
     физических величин. Пусть при повороте радиус-                                     много меньших фундаментальной скорости, спра-
     вектор преобразуется по правилу                                                    ведливы выражения ньютоновской механики и во-
                                                    3                                   обще сама ньютоновская механика. Когда же ско-
                                                   ∑a r
                                                                                        рости тел приближаются к фундаментальной
                           ri             r i' =         ij j   + ai .
                                                                                        скорости, следует ожидать отклонения от ньюто-
                                                   j=1
                                                                                        новской механики. Если же дополнительно предпо-
        Тогда разности радиус-векторов ∆r = r2 − r1 , а                                 ложить, что наличие фундаментальной скорости яв-
     следовательно, и скорости v = ∆r/∆t преобразуются                                  ляется законом природы и, таким образом, эта
     по правилу                                                                         скорость одинакова во всех инерциальных системах
                                3                                  3                    отсчета, мы приходим к специальной теории отно-
                 ∆r i' =    ∑       a ij ∆r j ,          υ i' =   ∑a υ . ij   j
                                                                                        сительности. Как мы на самом деле знаем, такая
                                                                                        фундаментальная скорость действительно сущест-
                            j=1                                   j=1
                                                                                        вует и она совпадает со скоростью света в вакууме.
         Величины p(v) и E(v) должны преобразовывать-                                      Здесь мы вновь убеждаемся в исключительно
     ся следующим образом:                                                              важной и полезной роли соображений симметрии.
                            3

            p i ( v' ) =   ∑a       ij   p j(v),         E ( v' ) = E ( v ).      (2)   2.3. иУФ˚ЪНЛ У·У·˘ВМЛfl
                           j=1                                                             Нельзя ли расширить множество преобразова-
        (а) Величины, линейные по компонентам скорости.                                 ний симметрии, включив в них, кроме поворотов и
     Рассматривая поочередно повороты вокруг осей x, y, z                               отражений, еще какие-нибудь преобразования?
     и используя равенства (2), убеждаемся, что величин                                 Иными словами, мы ставим следующую задачу. Ка-
     типа E, линейных по скорости, не существует и име-                                 ков общий вид линейных преобразований r     r':
     ется только одна характеристика типа p: p = mv, где                                                                  3
     m – числовой параметр. В механике Ньютона эта ве-
     личина совпадает с импульсом частицы.
                                                                                                                r 'i =   ∑a r ,ij j                     (3)
                                                                                                                         j=1
        (b) Величины, квадратичные по компонентам
     скорости. В этом случае отсутствуют величины ти-                                   сохраняющих длины векторов: x'2 + y'2 + z'2 = x 2 +
     па p и имеется только одна величина типа E :                                       + y 2 + z 2 ? Оказывается, такие преобразования ис-
                                                                                        черпываются поворотами и отражениями. Очень
     E = ( a ⁄ 2 ) ( υ x + υ y + υ z ) ≡ ( a ⁄ 2 )υ , a – произволь-
                       2     2     2               2
                                                                                        просто это увидеть, если преобразуются только две
     ный числовой параметр. В механике Ньютона эта                                      координаты: x' = a11x + a12y, y' = a21x + a22y, z' = z,
     величина называется кинетической энергией (по-                                     (a11x + a12y)2 + (a21x + a22y)2 = x 2 + y 2, откуда
     сле отождествления a и m).
                                                                                        a 11 + a 21 = 1, a 12 + a 22 = 1 a 11 a 12 + a 21 a 22 = 0 . Из пер-
                                                                                          2      2         2      2
        Таким образом видно, что привлечение соображе-                                  вых двух уравнений следует, что a11 = cosϕ, a21 = sinϕ,
     ний симметрии существенно ограничивает возмож-                                     a12 = cosψ, a22 = sinψ. Последнее из уравнений пере-
     ный вид физических характеристик движения тела.                                    писывается в виде sin(ϕ + ψ) = 0, что дает ψ = −ϕ или
        (c) Величины, не четные по компонентам скоро-                                   ψ = −ϕ + π (остальные решения эквивалентны при-
     сти. В этих случаях величины типа E отсутствуют, а                                 веденным выше). В первом случае получаем


66                                                                                          лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹5, 1996


 x' = xcosϕ + ysinϕ, y' = −xsinϕ + ycosϕ, z' = z,                   сохраняющих расстояния между любыми двумя
что представляет собой поворот вокруг оси z на угол                 точками, можно проверить, что их можно предста-
ϕ. Во втором случае имеем                                           вить как суперпозицию отражения относительно
                                                                    начала координат, поворота вокруг некоторой оси
x' = xcosϕ + ysinϕ, y' = −(−xsinϕ + ycosϕ), z' = z,                 (не обязательно проходящей через начало коорди-
что представляет собой поворот вокруг оси z на угол                 нат) и сдвига вдоль этой же оси. Можно пойти еще
ϕ и последующее отражение оси y. Нетрудно также                     дальше и допустить произвольное преобразование
проанализировать случай, когда преобразования                       координат (новые координаты являются произ-
мало отличаются от тождественного. Это означает,                    вольными, не обязательно линейными, функциями
что преобразования имеют вид                                        старых координат), однако расстояние между близ-
                                                                    кими точками в новой системе координат по-преж-
                                                        3
                                                                    нему вычислять по теореме Пифагора. И в этом слу-
           a ij = δ ij + α ij           r 'i = r i +   ∑α r ,ij j   чае оказывается, что допустимые преобразования
                                                       j=1          состоят только из сдвигов, поворотов и отражений
где δii = 1, δij = 0, i j, причем параметры αij являют-             всего пространства как целого. Доказательство это-
                                                                    го факта требует, однако, знания основ дифферен-
ся малыми в том смысле, что величинами α ij можно
                                                   2
                                                                    циального исчисления в частных производных.
пренебречь по сравнению с αij . Условие сохранения                     Проведенное рассмотрение показывает, что
длин векторов дает αij + αji = 0, или α11 = α22 = α33 = 0,          симметрия устойчива относительно попыток ее мо-
α12 = −α21 ≡ ϕz , α13 = −α31 ≡ −ϕy , α23 = −α32 ≡ ϕx . Соот-        дификаций. Только радикальное изменение
ветствующие преобразования имеют вид                                свойств физической системы может привести к из-
x' = x + yϕz − zϕy , y' = y − xϕz + zϕx , z' = z + xϕy − yϕx        менению свойств ее симметрии. Симметрию следу-
                                                                    ет рассматривать как одно из главных внутренних
и представляют собой совокупность вращений около                    свойств физической системы.
осей x, y, z на малые углы ϕx , ϕy , ϕz (при сравнении с
точной формулой преобразования координат при
                                                                    3. лаееЦнкаа икйлнкДзлнЗД–ЗкЦеЦза
поворотах вокруг осей следует учесть, что cos ϕ ≈
≈ 1 − ϕ2 /2 ≈ 1, sinϕ ≈ ϕ при малых углах ϕ).                           Если мы пришли к мысли о том, что время – это
                                                                    еще одна переменная типа координаты, естествен-
    Общий случай несколько более сложен для ана-
                                                                    но пойти дальше и считать, что единое четырехмер-
лиза, однако он вполне доступен школьникам. Ус-
                                                                    ное пространство–время также обладает свойст-
ловие сохранения длин векторов дает
                                                                    вом, аналогичным свойству однородности и
                           3
                                                                    изотропности обычного пространства. Как выгля-
                         ∑a      ik   a jk = δ ij .                 дят соответствующие преобразования координат и
                         k=1                                        времени? Оказывается, их вид определяется посту-
Это уравнение можно решить в общем случае и по-                     латом Эйнштейна, согласно которому скорость све-
лучить для параметров aij представление                             та в вакууме одинакова во всех инерциальных сис-
                                                                    темах отсчета. Этот постулат позволяет полностью
                                                         
                                                             3
                               2ϕ
                                                                    установить вид преобразований.
    a ij = α  cos ϕδ ij + 2sin -- i m j + sin ϕ ε ijk m k ,
                               2
                                 -m
                                                          
                                                             ∑
                                                k=1                 3.1. ЗЛ‰ Ф ВУ· ‡БУ‚‡МЛИ Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡–‚ ВПВМЛ
     ε 123 = ε 231 = ε 312 = − ε 213 = − ε 132 = − ε 321 = 1,          Предположим, что преобразования состоят из
                      εijk = 0, если                                сдвигов и линейных преобразований координат:
   либо i = j, либо i = k, либо j = k, либо i = j = k,                                       3


вектор m – произвольный вектор единичной длины,
                                                                                   x 'ё =   ∑a     x + a ё,
                                                                                                  ёν ν                (4)
ϕ – произвольное число, α = ±1. Из этого выраже-                                            ν=0

ния видно, что преобразование представляет собой                    где ё, ν = 0, 1, 2, 3, x0 = t – временная координата,
поворот вокруг вектора m на угол ϕ, дополненный                     x1 = x, x2 = y, x3 = z – пространственные координаты,
(при α = −1) отражением относительно начала ко-                     aёν и aё – некоторые числа.
ординат. Можно также дать геометрическое доказа-                        Сдвиг координат xё на aё есть сдвиг начала про-
тельство, основанное на том факте, что преобразо-                   странственной системы координат на вектор a =
вания, сохраняющие длины векторов, сохраняют                        = (a1 , a2 , a3) и изменение начала отсчета времени
также углы между векторами и переводят прямую в                     (перевод часов) на величину a0 . При таких преобра-
прямую, плоскость в плоскость. В более общем слу-                   зованиях скорость света будет одной и той же в раз-
чае преобразований                                                  ных системах координат.
                                 3

                       r 'i =   ∑a        r + ai ,
                                        ik k                           Перейдем к линейным преобразованиям. Если
                                k=1                                 преобразования не затрагивают время, то есть


ныназ а.З. лаееЦнкаь З оабадЦ щгЦеЦзнДкзхп уДлнас                                                                           67


     преобразуются только пространственные коорди-                      xyz вдоль оси x. Применение последовательно двух
     наты друг через друга, то для постоянства скорости                 преобразований x ё      x 'ё с параметрами u1 , λ1 , α1 и
     света в разных системах координат необходимо,                       '
                                                                        xё     x ё с параметрами u2 , λ2 , α2 дает при такой ин-
                                                                                 "
     чтобы преобразования сохраняли длины векторов.                     терпретации систему x"y"z", которая движется отно-
     Как мы видели, такие преобразования состоят из                     сительно системы x'y'z' со скоростью u2 вдоль оси x',
     вращений и отражений. Пусть теперь преобразова-                    которая, в свою очередь, движется относительно
     ние таково, что координаты y и z не меняются, а                    системы xyz со скоростью u1 вдоль оси x. Естествен-
     преобразуются друг через друга только t и x:                       но предположить, что полное преобразование
       t' = a00t + a01x, x' = a10t + a11x, y' = y, z' = z. (5)          xё     x ё описывает движение системы x"y"z" отно-
                                                                                 "
                                                                        сительно системы xyz вдоль оси x с некоторой ско-
     Для существования обратного преобразования не-                     ростью u3 . Действительно, явное вычисление дает
     обходимо и достаточно выполнение условия
                     a00a11 − a01a10 0.                                                   t" = λ 3 ( t – u 3 x ⁄ c ) ⁄ 1 – ( u 3 ⁄ c ) ,
                                                                                                                       2                           2


         Предположим теперь, что в момент времени t =
                                                                                          x" = α 3 λ 3 ( x – u 3 t ) ⁄ 1 – ( u 3 ⁄ c ) ,
                                                                                                                                                  2
     = t' = 0 из точки x = x' = y = y' = z = z' = 0 выпущена
     порция света в положительном направлении оси x.                    где
     Тогда в любой момент времени t координаты этой
     порции света в старой системе координат будут x = ct,                                          u1 u2
     y = 0, z = 0, где c – скорость света. В новой системе                          1 + α 1 ---------        -
                                                                                                       c
                                                                                                          2
                                                                                                                                          u1 + α1 u2
     координат свет также движется со скоростью c, так                  λ3 = λ1 λ2 ---------------------------- , α 3 = α 1 α 2 , u 3 = ------------------------- . (6)
                                                                                                              -                                                 -
                                                                                                    u1 u2                                               u1 u2
     что положение светового пятна дается выражения-                                1 + α 1 ---------     2
                                                                                                             -                          1 + α 1 ---------    2
                                                                                                                                                                -
     ми x' = αct', y' = 0, z' = 0, α = ±1. Подставляя эти со-                                          c                                                   c
     отношения в (5), получаем
                                                                              Таким образом, интерпретация параметра u как
                       a10 + ca11 = α(ca00 + c 2a01).                   относительной скорости движения двух пространст-
         Если свет выпущен в отрицательном направле-                    венных систем координат является самосогласован-
     нии оси x, то положение светового пятна на осях x и                ной, а формула (6) дает правило сложения скоростей
     x' определяется формулами x = −ct, x' = −α1ct', α1 = ±1,           (заменяющее правило u3 = u1 + α1u2 , справедливое
     что дает                                                           при малых скоростях). Заметим, что если u1 или u2
                                                                        равны по модулю скорости света c, тогда модуль u3
                    a10 − ca11 = α1(−ca00 + c 2a01).                    также равен скорости света (конечно, это свойство
        Решая совместно эти два уравнения, получаем                     было положено в основу вывода преобразований).
                                                                        Кроме того, если u1 и u2 по модулю меньше c, тогда и
                     1                     1
              a 10 = -- ( α – α 1 )ca 00 + -- ( α + α 1 )c a 01 ,
                      -                     -             2
                                                                        |u3 | < c. Параметр λ отвечает за масштабное преобра-
                     2                     2                            зование координат и времени. Мы ограничимся
                       1                   1                            случаем преобразований, которые сохраняют дли-
               a 11 = -- ( α + α 1 )a 00 + -- ( α – α 1 )ca 01 .
                        -                   -
                       2                   2                            ны векторов, если пространственные координаты
                                                                        x', y', z' выражаются только через пространственные
        Возможны два случая: α1 = α и α1 = −α. Во вто-
                                                                        координаты x, y, z. Это означает, что λ = ±1.
     ром случае имеем a10 = αca00 , a11 = αca01 . При этом
     обратного преобразования не существует, так что                       Итак, мы получили, что преобразования, кото-
     случай α1 = − α должен быть отброшен. В случае                     рые оставляют скорость света одинаковой в разных
                                                                        системах координат, включают сдвиги пространст-
     α1 = α получаем a10 = αc 2a01 , a11 = αca01 . Итак, в об-          венных координат и времени, вращения и отраже-
     щем случае преобразования содержат два произ-                      ния пространственных координат, отражение вре-
     вольных параметра a00 и a01 , а также параметр α = ±1.             мени t     t' = −t, а также преобразования типа
     Вместо параметров a00 и a01 удобно ввести другие не-
                                                                                                        u
     зависимые параметры u и λ: a 00 = λ ⁄ 1 – ( u ⁄ c ) ,
                                                                    2
                                                                                               t – ---2 x -
                                                                                                       c                          x – ut
     a 01 = − λu ⁄ c 1 – ( u ⁄ c ) , так что преобразования
                   2               2                                                  t' = -----------------------,     x' = -----------------------,            (7)
                                                                                                           u 2                               u 2
     принимают вид                                                                             1 –  --    -                    1 –  --    -
                                                                                                         c                               c
                  t' = λ ( t – ux ⁄ c ) ⁄ 1 – ( u ⁄ c ) ,
                                       2                  2
                                                                        которые называются собственными преобразова-
                   x' = αλ ( x – ut ) ⁄ 1 – ( u ⁄ c ) .                 ниями Лоренца. Полная совокупность указанных
                                                         2

                                                                        преобразований называется преобразованиями Пу-
         Рассмотрим координаты начала новой системы                     анкаре. Нетрудно видеть, что преобразования Пу-
     x'y'z' (то есть точки x' = y' = z' = 0) в старой системе           анкаре оставляют инвариантным “4-мерное” рас-
     координат: x = ut, y = z = 0. Таким образом, u – это               стояние ∆s:
     скорость, с которой новая система координат x'y'z'
     движется относительно старой системы координат                         (∆s)2 = (t2 − t1)2c2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2,


68                                                                            лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹5, 1996


                                                                                                            E(υ )
                                                                                                                      2
называемое интервалом между двумя событиями
                                                                                                p 0 ( v ) = ------------- ,         p i ( v ) = f ( υ )υ i ,
                                                                                                                                                        2
(точками в 4-мерном пространстве) x2ё = (t2 , x2 , y2 ,                                                             2
                                                                                                                        -
                                                                                                                 c
z2) и x1ё = (t1 , x1 , y1 , z1), а не только его нулевое зна-
чение:                                                                           числовой множитель 1/c 2 выделен для удобства.
                                                                                 Рассмотрим      следствия    трансформационных
                            (∆s')2 = (∆s)2.                                      свойств pё относительно собственных преобразова-
   Снова можно поставить вопрос, каков наиболее                                  ний Лоренца (7):
общий вид преобразований, оставляющих инвари-
антным интервал. И снова ответ состоит в том, что                                                           2
                                                                                     1       υ–u                         1              1           uυ
                                                                                             --------------- = ----------------------- ---2 ( υ ) – ------ f ( υ ) ,
                                                                                                                                            -E 2                  2
и в общем случае преобразования исчерпываются                                       ---2
                                                                                       -E                   -
                                                                                             1 – ------
                                                                                                       uυ                             2 c                2
преобразованиями Пуанкаре, то есть сдвигами, от-                                    c                                                                  c
                                                                                                                     1 –  --
                                                                                                                                 u
ражениями, вращениями и собственными преобра-                                                          c 
                                                                                                           2
                                                                                                                               c
                                                                                                                                  -
зованиями Лоренца типа (7). В случае линейных
преобразований это можно доказать с помощью                                                                        2
рассуждений, аналогичных проведенным в преды-                                      υ–u              υ–u                         1                u
дущем разделе. Для нелинейных преобразований                                     --------------- f  --------------- = ----------------------- − ---2 ( υ 2 ) + υf ( υ 2 ) .
                                                                                               -                   -                                 -E
                                                                                          uυ                 uυ                             2   c
                                                                                 1 – ------
                                                                                                   
                                                                                                     1 – ------                       u
                                                                                                               c 
доказательство требует знания основ дифференци-                                                                             1 – --       -
                                                                                                                                      c
                                                                                              2                   2
                                                                                           c
ального исчисления в частных производных.
                                                                                   Полагая u = υ, из второго уравнения нахо-
3.2. лЛППВЪ Лfl Л ˝МВ „Лfl–ЛПФЫО¸Т                                                 дим E(υ 2) = c 2f (υ 2), а затем из первого:
    Какими могут быть физические характеристики                                   f ( υ ) = f ( 0 ) ⁄ 1 – ( u ⁄ c ) . Полагая f(0) = m, получа-
                                                                                       2                                      2
тела, которые зависят только от скорости тела и                                  ем окончательно
“хорошо” ведут себя при преобразованиях Пуанка-
                                                                                                                                       2
ре? Под этим мы будем понимать следующее. Пусть
                                                                                   p ё ( v ) =  ---2, p ,
                                                                                                  E                            mc                              mv
                                                                                                    -               E = -----------------------,   p = -----------------------.
пространственные координаты и время преобразу-                                                 c 
                                                                                                                                        u 2                            u 2
ются по закону (4). При этом скорость υi = ∆xi / ∆t,                                                                        1 –  --    -                 1 –  --    -
i = 1, 2, 3, преобразуется по закону                                                                                                  c                            c
                                                                                 Компонентами pё являются релятивистские полная
                                                                  
                                   3                         3
            ∆x 'i
     υ i' = -------- =  a i0 +
             ∆t ' 
                   -           ∑    a ik υ k ⁄  a 00 +
                                             
                                                             ∑
                                                             a 0k υ k .
                                                                     
                                                                                 энергия и импульс тела. Его квадрат “релятивист-
                                                                                 ской длины” p2: p ≡ p 0 c – p 1 – p 2 – p 3 должен быть
                                                                                                       2   2 2  2    2     2
                                k=1                      k=1
                                                                                 пуанкаре-инвариантом, а значит, не должен зави-
   Мы будем рассматривать величины, которые                                      сеть от скорости. Явное вычисление подтверждает
либо инвариантны относительно преобразований                                     это: p2 = m 2c 2. Таким образом, соображения пуанка-
Пуанкаре (такие величины мы будем обозначать                                     ре-симметрии налагают гораздо более сильные ог-
M(v)): M(v') = M(v), либо преобразуются как ∆xё (та-                             раничения на возможный выбор физических харак-
кие величины мы будем обозначать pё(v)):                                         теристик движущегося тела, чем это было в случае
                                       3
                                                                                 чисто пространственных симметрий.
                    p ё ( v' ) =   ∑a      ёν   p ν ( v ).                 (8)      Мы надеемся, что приведенные примеры нагляд-
                                                                                 но демонстрируют, как несколько, казалось бы, про-
                                   ν=0
                                                                                 стых предположений, в данном случае о свойствах
    Инварианты. Так как M(v) инвариантна относи-                                 пространства и времени, приводят к далеко идущим
тельно вращений, должно быть M(v) = m(υ2). Рас-                                  последствиям и как эти следствия можно выводить.
смотрим теперь специальное преобразование Пу-
анкаре – собственное преобразование Лоренца (7)                                  СйийгзанЦгъзДь ганЦкДнмкД
и будем считать, что v = (υ, 0, 0), |υ| < c, |u| < c. Тогда
                                                                                      1. Фейнман Р. Характер физических законов. М.: На-
v' = (υ', 0, 0), υ' = (υ − u)/(1 − uυ/c 2), а условие инва-                           ука, 1987.
риантности принимает вид m[(υ − u)2/(1 − uυ/c 2)2] =                                  2. Барашенков В.С. Кварки, протоны, Вселенная. М.:
= m(υ2). Полагая в этом соотношении u = υ, получа-                                    Знание, 1987.
ем M(v) = m(υ2) = m(0) = const. Таким образом, пу-                                    3. Гарднер М. Теория относительности для миллионов.
анкаре-инвариантными характеристиками движу-                                          М.: Атомиздат, 1979.
щегося тела, которые могли бы зависеть только от
его скорости, являются константы, такие, как масса                                                                            * * *
(покоя) или заряд.
                                                                                    Игорь Викторович Тютин, доктор физико-ма-
    Величины типа pm(v). Формула (8) показывает,                                 тематических наук, профессор, ведущий науч-
что при вращениях p0 является инвариантом и pi                                   ный сотрудник Отделения теоретической физики
преобразуются как компоненты скорости. В преды-                                  им. И.Е. Тамма Физического института им. П.Н. Ле-
дущем пункте было показано, что они должны                                       бедева Российской Академии наук, занимается во-
иметь вид                                                                        просами квантовой теории калибровочных полей.



ныназ а.З. лаееЦнкаь З оабадЦ щгЦеЦзнДкзхп уДлнас                                                                                                                                 69



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика