Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачи с параметрами: Учебное пособие

Голосов: 7

Учебное пособие предназначено для занятий со слушателями подготовительных курсов факультета довузовской подготовки СГАУ и самостоятельной работы абитуриентов. В учебное пособие включены все основные типы задач с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в СГАУ, на централизованном тестировании и Едином государственном экзамене. Ко всем задачам приведены решения или ответы.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
   УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА




ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

         УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
    ДЛЯ ФАКУЛЬТЕТА ДОВУЗОВСКОЙ
         ПОДГОТОВКИ СГАУ




               Самара 2006


Составители: Е. А. Ефимов, Л. В. Коломиец


УДК 510.2(075)


Задачи с параметрами: Учебное пособие для факультета довузов-
ской подготовки СГАУ /Самарский гос. аэрокосмический университет.
Сост. Е. А. Ефимов, Л. В. Коломиец. Самара, 2006, 64 с.


   Учебное пособие предназначено для занятий со слушателями подго-
товительных курсов факультета довузовской подготовки СГАУ и само-
стоятельной работы абитуриентов.
   В учебное пособие включены все основные типы задач с параметра-
ми, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в СГАУ,
на централизованном тестировании и Едином государственном экза-
мене. Ко всем задачам приведены решения или ответы.




Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарско-
го государственного аэрокосмического университета имени академика
С. П. Королева.




Рецензент: Е. Я. Горелова


Содержание
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                   1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4
1. Квадратный трехчлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     5
2. Абсолютная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Рациональные уравнения и системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Иррациональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства                                                                   46
6. Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . 58




                                                               3


ВВЕДЕНИЕ

   Практика вступительных экзаменов по математике в вузы пока-
зывает, что задачи с параметрами представляют для абитуриентов
наибольшую сложность. Основная цель пособия повысить матема-
тическую подготовку абитуриентов в рамках школьного курса мате-
матики.
   Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неиз-
вестными величинами в них фигурируют параметры, численные зна-
чения которых не указаны конкретно, но считаются известными и
заданными на некотором числовом множестве. При этом значения
параметров существенно влияют на логический и технический ход
решения задачи и форму ответа. Ответ в задачах с параметрами,
как правило, имеет развернутый вид: при конкретных значениях па-
раметра ответы могут значительно различаться.
   В пособии рассмотрены основные методы и идеи решения задач
с параметрами. Разбираемые и предлагаемые для самостоятельно-
го решения задачи подобраны в соответствии с действующими про-
граммами вступительных экзаменов по математике. В основном это
задачи, предлагавшиеся на конкурсных экзаменах в СГАУ за по-
следние 10 лет, на централизованном тестировании (ЦТ) и Едином
государственном экзамене (ЕГЭ).
   Пособие охватывает важнейшие темы школьного курса математи-
ки: квадратный трехчлен, функции, графики, рациональные и ирра-
циональные уравнения и неравенства, системы уравнений, логариф-
мические, показательные и тригонометрические уравнения и нера-
венства. В ряде случаев опущены промежуточные этапы решения,
которые абитуриент может восстановить самостоятельно. К задачам
для самостоятельного решения приведены ответы.
   Значения параметров и искомых величин считаются дей-
ствительными (вещественными). Кратные корни многочле-
нов считаются одним решением, если речь идет о числе кор-
ней (решений). Значения параметров, при которых задача
не имеет смысла, включены в число тех значений, при ко-
торых задача не имеет решений.
   Методические пособие предназначено для изучения методов ре-
шения задач с параметрами на подготовительных курсах СГАУ, а
также будет полезно учащимся старших классов, самостоятельно го-
товящихся к конкурсным экзаменам по математике.


                               4


1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

  Задача 1.1. (ЦТ) При каком значении параметра a парабола
      y = 4ax2 − 8x + 25 имеет с осью Ox две общие точки?
  Решение.
  Данный квадратный трехчлен имеет два различных действитель-
ных корня, если выполняются условия:
         4a = 0
         D = 16 − 100a > 0.
          4
                                                        4
Решением системы является промежуток a ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 25 ).
                            4
  Ответ: a ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 25 ).
   Задача 1.2. (ЦТ) При каких значениях параметра a квадрат-
ный трехчлен        y = (k−1)x2 +(k+4)x+k+7 можно представить
в виде полного квадрата?
   Решение.
   Квадратный трехчлен ax2 + bx + c можно представить в виде
a(x − x0 )2 , если его корни равны x1 = x2 = x0 , т.е. D = 0. В
данном случае D = (k+4)2 −4(k−1)(k+7) = 0. Решая последнее
уравнение, получим k = − 22 и k = 2.
                               3
   Ответ: k = − 3  22 ; k = 2.

   Задача 1.3. (ЦТ) Найдите значение параметра a, при которых
                                   3
неравенство (2a+1)x2 +(a+2)x+ 4 0 выполняется при всех x.
   Решение.
   График квадратного трехчлена y = ax2 + bx + c расположен не
ниже оси Ox при выполнении условий:
          a>0
          D 0.
В данной задаче эти условия имеют вид
          2a + 1 > 0
          (a + 2)2 − 3(2a + 1) 0.
Решением последней системы является a = 1.
   Ответ: a = 1.
  Задача 1.4. (ЦТ) При каких значениях параметра a все корни
уравнения    ax2 − 2(a + 1)x + a − 3 = 0  отрицательны?
  Решение.


                              5


                                                       3
   При a = 0 уравнение имеет один корень x = − 2 , который
удовлетворяет условию задачи.
   Рассмотрим случай a = 0. Для того, чтобы оба корня уравнения
были отрицательны, необходимо и достаточно выполнения условий
       
        D 0
          x · x2 > 0
        x1 + x < 0.
           1      2
Применяя теорему Виета, запишем эти условия в виде:
       
        D = (a + 1)2 − a(a − 3) 0
        4
          x1 · x2 = a − 3 > 0
       
                        a
                      2(a + 1)
       
       
          x1 + x2 =            < 0.
       
                          a
Решая эту систему, находим, что a ∈ [− 1 ; 0). Ответ задачи объеди-
                                            5
няет два случая.
                      1
   Ответ: a ∈ [− 5 ; 0].
   Задача 1.5. (ЦТ) При каких значениях параметра a все корни
уравнения         ax2 − (2a + 1)x + 3a − 1 = 0  больше 1?
   Решение.
   При a = 0 уравнение имеет один корень x = −1, который
требованиям задачи не удовлетворяет.
   Рассмотрим случай a = 0. Заметим, что способ решения за-
дачи 1.4. не может быть применим в данном случае, т.к. сравнение
суммы и произведения корней с 1 являются необходимыми, но не
достаточными условиями.
   Опишем общий способ решения подобных задач. Для того, чтобы
оба корня квадратного трехчлена f (x)=ax2 +bx+c были больше чи-
сла d, необходимо и достаточно выполнения условий (см. рис. 1):
        D 0
                    b
          xв = − 2a > d
          a · f (d) > 0.
       
   Аналогично, требование того, чтобы корни были меньше числа d,
означает выполнение условий
        D 0
       
                    b
          xв = − 2a < d
          a · f (d) > 0.
       
   В данной задаче условия записываются в виде



                                6


       y6 r       a>0                  y6       a<0

                    xв        -             d            -
       0    d                  x       0            xв   x
                                            r

                              Рис. 1:

                2
      
       (2a + 1) − 4a(3a − 1) 0
        2a + 1 > 1
       2a
        a(a − 2a − 1 + 3a − 1) > 0.
                                              √
   Решая эту систему, находим, что a ∈ 1; 2+ 6 .
                                             4
   Очевидно, что тот же результат мы получили бы и решая нера-
венство x1 > 1, где x1    меньший корень уравнения, однако такой
способ является более сложным.
                       √
   Ответ: a ∈ 1;   2+ 6 .
                      4
    Задача 1.6. При каких значениях параметра a корни x1 и
x2 уравнения (3a + 2)x2 + (a − 1)x + 4a + 3 = 0 удовлетворяют
условиям x1 < −1 < x2 < 1 ?
    Решение.
    Задача равносильна следующей: при ка-
                                                    y6
ких значениях параметра a только один                   f(x) r
(больший) корень квадратного трехчлена
f (x) = (3a+2)x2 +(a−1)x+4a+3 принад-          r          r    -
лежит интервалу (−1; 1), а другой корень     x1  −1 0 x2 1 x
меньше −1?                                       r
    Из рис. 2 видно, что условием выполне-
ния требований задачи является система           Рис. 2:
          (3a + 2) · f (−1) < 0
                                ⇒
          (3a + 2) · f (1) > 0
           (3a + 2)(3a + 2 − a + 1 + 4a + 3) < 0
      ⇒
           (3a + 2)(3a + 2 + a − 1 + 4a + 3) > 0.
  Решением системы является интервал a ∈ (−1; − 2 ).
                                                3
  Ответ: a ∈ (−1; − 2 ).
                    3


                                   7


    Задача 1.7. (СГАУ) Найдите все значения параметра a, при
которых неравенство         x2 −2(a−2)x+a−2 0             имеет решения
и все они являются решениями неравенства              x2 + 9|x| − 10   0.
    Решение.
                                Второе неравенство лучше решать гра-
                y6
                             фически (рис. 3), построив график квад-
                             ратного трехчлена       y = x2 + 9|x| − 10
   −10        r     r  - с учетом четности функции (график сим-
           −1 0 1       x метричен относительно оси Oy ). Решени-
                             ем второго неравенства является отре-
                             зок [−1; 1].
                                Первое неравенство будет иметь реше-
         Рис. 3:             ния, если D 0, причем, так как ветви
                             параболы f (x) = x2 − 2(a − 2)x + a − 2
направлены вверх, решением будет являться отрезок [x1 ; x2 ], где
x1 , x2   меньший и больший корни.
    По условию задачи нужно записать необходимые и достаточные
                                                x1 −1
условия того, что [x1 ; x2 ] ∈ [−1; 1] или
                                                x2 1.
                           Такие условия имеют вид (рис. 4)
         y6
                 f(x)                     D 0
    r
                               
                               
                                  −1 xв 1
                               
            xв      r
                      -         f (−1) 0
                                       f (1) 0
                               
 −1      0          1 x
                           или в данном случае
                                          D = (a − 2)2 − (a − 2) 0
                               
                                          4
                               
                               
        Рис. 4:
                               
                                                     −1 a − 2 1
                                f (−1) = 1 + 2(a − 2) + a − 2 0
                               
                                    f (1) = 1 − 2(a − 2) + a − 2 0
                               

                           Решением системы является отрезок 5 ; 2   3
                           и одна точка a = 3.
    Ответ: a ∈ 5 ; 2 ∪ {3}.
                   3
    Задача 1.8. (СГАУ) При каких значениях параметра p отно-
шение корней уравнения           2x2 + (p − 10)x + 6 = 0        равно 12?
    Решение.
    Уравнение имеет действительные корни при D                0, причем,
если x2 = 12x1 , то по теореме Виета составим систему



                                   8


       D = (p − 10)2 − 48 0
                                 2
     
                                 p − 20p + 52 0
                                 
      x = 12x
      2                          x = 12x
                1
                                  2       1
                  p − 10      ⇒           10 − p
      x1 + x2 = − 2              13x1 =
      x ·x = 6 =3
                                           2
                                       2 =3
                                
                                    12x1
                                 
         1  2   2
  Решением системы являются значения p = −3 и p = 23.
  Ответ: p = −3; p = 23.
   Задача 1.9. (СГАУ) При каких значениях параметра a уравне-
ние       x4 + (a − 5)x2 + (a + 2)2 = 0       имеет ровно 4 различных
действительных корня? При каких значениях параметра эти 4 корня
образуют арифметическую прогрессию?
   Решение.
   Пологая y = x2 , получим квадратное уравнение
       y 2 + (a − 5)y + (a + 2)2 = 0.
Первое требование задачи будет выполнено, если это квадратное
уравнение имеет 2 различных положительных корня y1 > y2 > 0.
Аналогично задаче 1.4 составим систему:
                            
        D>0                  (a − 5)2 − 4(a + 2)2 > 0
           y +y >0 ⇒           5−a>0
        y1 · y 2 0           (a + 2)2 > 0
            1 2>
   Решением системы является интервал a ∈ (−9; −2) ∪ (−2; 3 ).     1
При этих значениях параметра a корни исходного уравнения будут
                √       √     √     √
иметь вид − y1 ; − y2 ; y2 ; y1 .
   Эти значения образуют арифметическую прогрессию, если раз-
ность между ними есть постоянное число:
            √      √      √         √         √     √
       d = y1 − y2 = y2 − (− y2 ) = − y2 + y1 .
                        √       √
Отсюда следует, что       y1 = 3 y2 или y1 = 9y2 . Аналогично зада-
че 1.8 составим по теореме Виета систему
       
        y1 = 9y2
           y +y =5−a
        y1 · y 2 (a + 2)2 ,
                 =
                                        решением которой являются
            1 2                                        5
                                        числа a = − 13 и a = −5.
                     5
   Ответ: a = − 13 ; a = −5.
   Задача 1.10. При каких значениях параметра a уравнение
x(x12 − ax6 + a4 ) = 0 имеет ровно 5 корней, образующих арифме-
тическую прогрессию?
   Решение.
   Один из корней уравнения очевиден это x = 0.


                                 9


   Положим y = x6 > 0 при x = 0. Тогда уравнение запишется в
виде f (y) = y 2 − ay + a4 = 0. Это квадратное уравнение будет
иметь различные положительные корни, если выполнены условия:
        D = a2 − 4a4 > 0
       
         yв = a > 0
               2
         f (0) = a4 > 0.
       
                                                  1
   Решением системы является интервал a ∈ (0; 2 ). Запишем те-
перь условия, при которых корни исходного уравнения образуют
арифметическую прогрессию. Пусть y1 > 0 и y2 > 0         корни
уравнения после замены. Тогда пятью корнями, образующими ариф-
метическую прогрессию, будут значения x вида
                − 6 y2 ; − 6 y1 ; 0; 6 y1 ; 6 y2 ,
где для определенности считаем y2 > y1 > 0. Тогда, по свойству
арифметической прогрессии, ее разность
                    d = 6 y2 − 6 y1 = 6 y1 − 0,
откуда    6 y =26 y      или y2 = 64y1 .
             2         1
   По теореме Виета из квадратного уравнения y 2 − ay + a4 = 0
             
следует:      y1 · y2 = a4
                 y +y =a
              1 y2 = 64 y
                      2      1
                                       2
   Из этой системы находим y1 = a ; y2 = 8a2 . Подставляя
                                      8
эти значения во второе уравнение системы, приходим к равенству
       2                      8
8a2 + a = a, откуда a = 65 (значение a = 0 не удовлетворяет
      8
требованиям задачи).
                                 1              8
   Ответ: 5 корней при a ∈ (0; 2 ); при a = 65 корни
            образуют арифметическую прогрессию.
   Задача 1.11. (ЦТ) При каких значениях параметра a графики
функций y1 = (x − 4)|x| − 1 и y2 = a имеют 3 общие точки?
   Решение.
   Рассмотрим графический способ решения задачи. Построим гра-
фик функции y1 , которая имеет вид:
              x2 − 4x − 1, если x 0
       y1 =
              4x − x2 − 1, если x < 0  (рис. 5).
   Графиком y2 = a является прямая, параллельная оси Ox. Из
рис. 5 видно, что графики функций y1 и y2 будут иметь 3 общие
точки, если a ∈ (−5; −1).


                              10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика