Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Аполлоний Пергский

Голосов: 0

Труды многих величайших математиков древности переведены на многие языки, об этих математиках написано много исторических книг и статей. Переводы же книг Аполлония Пергского - создателя теории конических сечений - издавались крайне редко, большинство переводов были по существу пересказами. На русском языке были изданы только первые 20 теорем из главного труда Аполлония "Конические сечения". Настоящая книга представляет собой попытку создания научной биографии Аполлония, содержащей анализ его трудов с точки зрения современной науки. Для широкого круга читателей, интересующихся математикой.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
             Б. А. Розенфельд




      АПОЛЛОНИЙ




      ПЕРГСКИЙ




     ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА
НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
            МОСКВА — 2004


УДК 51(09)
ББК 22.1г
    Р64




          Розенфельд Б. А.
    Р64       Аполлоний Пергский. — М.:                   МЦНМО,          2004. —
          176 с.: ил. — ISBN 5-94057-132-8.
                Труды многих величайших математиков древности переведены на многие
          языки, об этих математиках написано много исторических книг и статей. Пере-
          воды же книг Аполлония Пергского — создателя теории конических сечений —
          издавались крайне редко, большинство переводов были по существу переска-
          зами. На русском языке были изданы только первые 20 теорем из главного
          труда Аполлония <Конические сечения>. Настоящая книга представляет собой
          попытку создания научной биографии Аполлония, содержащей анализ его тру-
          дов с точки зрения современной науки.
                Для широкого круга читателей, интересующихся математикой.
                Ил. 89. Библиогр. 59 назв.

                                                                       ББК 22.1г




ISBN 5-94057-132-8                                     © Б. А. Розенфельд, 2004.
                                                       © МЦНМО, 2004.


                                ОГЛАВЛЕНИЕ




Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                          5
Глава 1. Аполлоний в Перге и Эфесе             . . . . . . . . . . . . .           6
   Малая Азия — родина Аполлония (6). Аполлоний в Перге (7). Аполлоний
   в Эфесе (9). Удвоение куба (9).
Глава 2. Аполлоний в Александрии . . . . . . . . . . . . . .                      10
   Александрийская школа (10). Евклид (10). Эратосфен (13). Архимед (14).
   Конон (16). Аполлоний в Александрии (17).
Глава 3. Математические труды Аполлония                . . . . . . . . . .        18
   Конические сечения (18). Другие математические сочинения Аполлония (20).
Глава 4. Астрономия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     22
   Деференты и эпициклы (22). Стереографическая проекция (26). Астролябия (29).
Глава 5. Конические сечения . . . . . . . . . . . . . . . . .                     32
   Конические сечения Менехма, Аристея и Евклида (32). Конические сечения
   Архимеда (36). Конические сечения Аполлония (38).
Глава 6. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . .                    43
   Координаты Аполлония (43). Координатный угол (44). Прямая и поперечные
   стороны (45). Уравнение параболы (45). Уравнение гиперболы (47). Уравне-
   ние эллипса (48). Построение конических сечений (50). Выражение прямой
   стороны через углы, определяющие коническое сечение (52). Сопряженные
   диаметры и центры конических сечений (53). Эйдосы эллипсов и гипер-
   бол (55). Симметрии конических сечений (55). Касательные к коническим
   сечениям (56). Свойства диаметров конических сечений (57). Пары произ-
   вольных диаметров (58). Преобразования координат (59). Прямой круговой
   конус (59). Прямые стороны как удвоенные координаты некоторых точек
   конических сечений (60). Асимптоты гиперболы (61). Геометрические места
   к трем и четырем прямым (63). Связь между пересечением прямых и парами
   точек конических сечений (64). Нахождение диаметров, центров и осей кони-
   ческих сечений (64). Совершенный циркуль (65).
Глава 7. Аффинная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . .                     66
   Аффинные преобразования (66). Аффинные образы симметрии (68). Пара-
   болические, эллиптические и гиперболические повороты (68). Сопряженные
   пары противоположных гипербол (70). Применение параболических, эллипти-
   ческих и гиперболических поворотов (70). Зависимость прямых сторон кони-
   ческих сечений от диаметров (72). Конгруэнтность конических сечений (73).
   Подобие конических сечений (74). Аффинные преобразования конических
   сечений (76). Расположение конических сечений на поверхности прямого кру-
   гового конуса (76). Сравнение диаметров конических сечений с их осями (77).
                                                                                   3


Глава 8. Проективная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . .                      79
    Проективные преобразования (79). Двойные отношения четверок точек (82).
    Принцип двойственности (83). Проективные соответствия между прямы-
    ми и пучками прямых (84). Проективные преобразования конических
    сечений (84). Гармонические четверки точек (85). Проективные образы сим-
    метрии (86). Теоремы Аполлония о полюсах и полярах (88). Построение
    касательных к коническому сечению с помощью проективного соответствия
    между прямыми (92). Пересечения конических сечений (94). Циклические
    точки проективной плоскости (94). Касание конических сечений (95). Опре-
    деление конического сечения по пяти точкам (96). Построение конического
    сечения с помощью проективного соответствия между пучками прямых (97).
    Проективные преобразования, определяемые полюсами и полярами (99).
Глава 9. Фокусы конических сечений . . . . . . . . . . . . . 101
    Фокусы эллипса и гиперболы (101). Оптические свойства фокусов (102). Фо-
    кальные радиус-векторы (103). Фокусы и параметры эллипса и гиперболы (105).
    Фокус параболы (106). Зажигательные зеркала (106). Фокусы и директрисы (107).
Глава 10. Конформная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . 111
    Круговые преобразования (111). Двойные отношения (112). Инверсии отно-
    сительно окружностей (112). Пучки окружностей (115). Круговые преобразо-
    вания и комплексные числа (117). Конформные образы симметрии (118).
Глава 11. Инверсии относительно конических сечений . . . . . 120
    Инверсии относительно эллипсов и гипербол (120). Инверсия относительно пара-
    болы (121). Кремоновы преобразования (122). Псевдоевклидов аналог круговых
    преобразований (122). Изотропный аналог круговых преобразований (126).
Глава 12. Дифференциальная геометрия . . . . . . . . . . . . 130
    Касательные к коническим сечениям (130). Нормали к коническим сечени-
    ям (131). Нормали к параболе (132). Соприкасающиеся окружности (132).
    Нормали к коническим сечениям как минимумы и максимумы (134). Прове-
    дение нормалей к коническим сечениям из точек их осей (135). Проведение
    нормалей к коническим сечениям из любой точки плоскости (139). Вспомо-
    гательные гиперболы (142). Эволюты конических сечений (145).
Глава 13. Алгебраическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . 150
    Алгебраические уравнения и алгебраическая геометрия (150). <Вставки> Ар-
    химеда (151). <Вставки> Аполлония (153). <Отсечения> Аполлония (153).
    Решение алгебраических уравнений с помощью конических сечений (154).
    <Общий трактат> (155).
Глава 14. Контактная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . 156
    Контактные преобразования (156). Сочинение Аполлония <Касания> (157).
    Реконструкция Хабелашвили (158). Конформная и контактная интерпрета-
    ции (161).
Глава 15. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . 163
    Правильные многогранники в философии Платона (163). Правильные мно-
    гогранники в <Началах> Евклида (166). XIV книга <Начал> Евклида (166).
    Сочинение Аполлония <Сравнение додекаэдра с икосаэдром> (167). Винтовые
    линии (169).
Глава 16. Числа и иррациональности              . . . . . . . . . . . . . 170
    Числа (170). Иррациональности (170). <Быстросчет> (171).
Даты жизни и деятельности Аполлония . . . . . . . . . . . . 172
Б и б л и о г р а ф и я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4


                      ПРЕДИСЛОВИЕ




    Аполлоний был одним из трех величайших математиков древ-
ности. Труды Евклида и Архимеда переведены на многие языки,
в том числе на русский, и об этих математиках написано много
книг и статей. Переводы же сочинений Аполлония издавались крайне
редко, большинство переводов были по существу пересказами. На рус-
ский язык переведены только первые 20 предложений главного труда
Аполлония <Конические сечения>. Единственной научной биографией
Аполлония является статья Дж. Дж. Тумера [55] в <Словаре научных
биографий>, много информации об Аполлонии содержит статья Туме-
ра [56] в его издании V—VII книг <Конических сечений>.
    Настоящая книга представляет собой попытку создания научной
биографии Аполлония, содержащей анализ его трудов с точки зрения
современной науки.
    В главах о <Конических сечениях> использованы книги [16—18]
и результаты магистерской и докторской диссертаций Дайаны Л. Родс,
подготовленных в университете штата Пенсильвания (США).
    Большую помощь в работе над этой книгой мне оказала профессор
университета штата Пенсильвания Светлана Каток.
    Выражаю благодарность преподавательнице Ярославского педа-
гогического института Р. З. Гушель, предоставившей мне русский
перевод <Конических сечений> И. Ягодинского и другие материалы
об Аполлонии из ее обширной библиотеки работ по истории матема-
тики на русском языке.
    В создании чертежей к этой книге принимала участие моя внучка
Даниэла Каток.
    Эта книга не могла быть написана без самоотверженного труда
моей жены Люси Львовны Розенфельд, которая не только напечатала
всю книгу на компьютере, но и была ее строгим редактором.
                                                                 5


                                Глава 1

                 АПОЛЛОНИЙ В ПЕРГЕ И ЭФЕСЕ




                  Малая Азия — родина Аполлония

    Малая Азия, где родился и вырос Аполлоний, представляет собой
обширный полуостров, омываемый на севере Черным морем, на запа-
де и юго-западе — проливами и Средиземным морем. Этот полуостров
в течение многих столетий был для индоевропейских племен мостом
в Европу из их прародины, находившейся южнее Каспийского моря.
Индоевропейский народ, который населял Малую Азию во II тысяче-
летии до н. э. и в начале I тысячелетия, обычно называют хеттами.
    Хетты упоминаются в Библии как <хеттеяне> и в египетских
папирусах, где они именовались <хити>.
    Хетты создали мощную державу, столица которой Хаттушаш на-
ходилась восточнее нынешней Анкары. Одним из полководцев библей-
ского царя Давида был хетт Урия, жена которого Вирсавия после его
смерти стала женой Давида и матерью царя Соломона.
    Хетты обладали довольно высокой культурой, сохранилось боль-
шое число хеттских текстов, написанных клинописью, аналогичной
вавилонской, и иероглифами, аналогичными египетским.
    Чешский археолог Бедржих Грозный (1879—1952), который
в 1915 г. расшифровал хеттскую клинопись, установил, что хеттский
язык принадлежал к западной группе индоевропейских языков. Отсю-
да ясно, что такие народы Европы, как греки и римляне, галлы и готы,
славяне и литовцы были потомками хеттских племен. Подобно тому,
как слова мужского рода в наиболее древних из этих языков оканчи-
вались на -os, -us, -as, -es, -is, хеттские слова мужского рода оканчива-
лись на -уш, -аш, -иш. Окончания -os, -es сохранились у современных
греков, -as, -us, -is — у литовцев, латинские -us, -is у итальянцев
заменились на -o, -e, а у французов — на <немое е>. Древнеславян-
ские -ос, -ус, -ис у русских сначала потеряли <с>, затем превратились
в краткие гласные звуки, обозначавшиеся буквами <ъ> и <ь>, ко-
торые впоследствии перестали произноситься и стали обозначать
только твердость или мягкость предшествовавшего согласного звука.
    Хеттское слово <вадар> (<вода>) похоже и на русское слово вода,
и на греческое hydor, и на английское water. Хеттское слово <паххур>
6


(<огонь>) похоже на греческое слово pyr, немецкое Feuer и английское
fire. Хеттское слово <гордион> (<город>) похоже и на русское сло-
во город, и на английское garden. Хеттское слово <эшми> — 1-е лицо
настоящего времени глагола <быть> похоже на славянское есмь, ла-
тинское sum и английское I am.
     В I тысячелетии до н. э., после переселения хеттских племен с во-
стока на запад Малой Азии и в Европу, держава хеттов распалась
на отдельные государства, важнейшие из которых находились в запад-
ной части Малой Азии. Наиболее известные из городов этих государств
были Илион в Трое, Пергам в Мизии, Сарды в Лидии и Гордион
во Фригии. Царь Лидии Крез был знаменит своим богатством, с име-
нем царя Фригии Гордия была связана легенда о <гордиевом узле>.
     В городе Пергаме был впервые изготовлен пергамент.
     Во время греко-персидских войн все эти государства были завоева-
ны персами. Хеттский город Сарды одно время был столицей Персии.
После победы греков хеттские государства подверглись эллинизации.
Впоследствии эти государства вошли в состав империи Александра
Македонского, Римской и Византийской империй, а в XIV—XV вв.
были завоеваны турками.

                         Аполлоний в Перге

     Имя <Аполлоний> означает <посвященный Аполлону>, так же
как <Артемий> означает <посвященный Артемиде>, а <Димитрий> —
<посвященный Деметре>.
     Город Перга, в котором родился Аполлоний, в течение многих ве-
ков был связан с культом Аполлона. Этот город находился на южном
побережье Малой Азии, недалеко от нынешнего турецкого города Бур-
сы. На рис. 1 изображен современный вид развалин города Перги.
     Название этого города, родственное греческому слову pyrgos и не-
мецкому Burg, означало <башня, замок>; первоначальный смысл этого
слова <скала> был связан со словами перунаш и пергунаш, означа-
ющими <бог-громовержец, разрушитель скал>. Слово <перга> также
входит в название города Пергама. Греческое государство, в которое
входила Перга, носило название Pamphylia, что означало <относящееся
ко всем племенам> и, по-видимому, было переводом хеттского назва-
ния этой области, где находились святилища, общие для всех хеттских
племен.
     Греки немало заимствовали из культуры хеттов, в частности, культ
хеттского бога-громовержца Завайи, которого они стали называть Зев-
сом (Zeus), бога Солнца Апулунаша и его сестры-близнеца богини
Луны Артиму, которых они называли Аполлоном (Apollo) и Артемидой
(Artemis) [46, с. 173—174]. Предки славян и литовцев слова <перу-
наш> и <пергунаш> принесли в Европу, где они превратились в имена
богов-громовержцев Перуна и Пяркунаса.
                                                                     7


    Греки считали Аполлона и Артемиду детьми Зевса, родившимися
на острове Делос. Аполлона рассматривали как покровителя искусств
и наук, в частности, медицины, и предводителя муз — богинь искусств
и наук. Артемида была покровительницей охоты.




                               Рис. 1

     Центром культов Завайи, Апулунаша и Артиму была Перга. Впо-
следствии греки перенесли главные святилища Зевса в Олимпию,
а Аполлона — в Дельфы, главное святилище Артемиды оставили в Пер-
ге. Другой храм Артемиды, считавшийся одним из <семи чудес света>,
также находился в Малой Азии в городе Эфесе на западном берегу
полуострова.
     Геродот в своей <Истории> упоминает, что цари хеттских госу-
дарств посылали богатые дары в главное святилище Аполлона. Геродот,
живший в IV в. до н. э., когда это святилище находилось в Дельфах,
считал, что эти дары посылались в Дельфы. Но хеттские государ-
ства, о которых писал Геродот, существовали до перевода святилища
из Перги в Дельфы, и дары посылали в Пергу.
     В предисловии ко II книге <Конических сечений> Аполлоний
упоминает своего взрослого сына, которого также звали Аполлоний.
Это имя было традиционным в роду Аполлония, по-видимому, его
предки были жрецами Апулунаша и Аполлона.
8


                        Аполлоний в Эфесе

     Аполлоний посвятил первые три книги <Конических сечений>
Евдему Пергамскому. В предисловии ко II книге Аполлоний писал:
<Познакомь с этой книгой геометра Филонида, которого я рекомен-
довал тебе в Эфесе, если он окажется вблизи Пергама> [25, т. 2,
с. 2]. Как известно [38], Филонид, ученик Евдема, был математиком
и философом-эпикурейцем, состоявшим при дворе Селевкидских ца-
рей Антиоха IV Епифана (175—163 до н. э.) и Деметрия I Сотера
(162—150 до н. э.). Евдем Пергамский был первым учителем Фило-
нида и Аполлония, которые учились у него в Эфесе. Даты жизни
Филонида позволяют установить, что Аполлоний родился около 250 г.
до н. э. Евдем посоветовал Аполлонию продолжать учение в Алек-
сандрии. Поэтому естественно, что Аполлоний прислал свой основной
труд Евдему Пергамскому.

                          Удвоение куба

    Со святилищем Аполлона в Дельфах связана задача об удвое-
нии куба. Согласно легенде, на острове Делос, считавшемся родиной
Аполлона, разразилась эпидемия чумы. Перепуганные жители острова
обратились в святилище Аполлона и молили бога, покровителя ме-
дицины, спасти их. Жрецы сказали, что для этого следует удвоить
жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса
соорудили такой же куб и поставили его на первый куб. Эпидемия
не прекратилась. Тогда жрецы объяснили, что удвоенный жертвенник
также должен иметь форму куба, т. е. если ребро первоначального куба
было равно a, ребро нового куба должно быть равно корню уравнения
                              x3 =2a3 .                        (1.1)
     Эту задачу, получившую название <делийской задачи>, нельзя
было решить циркулем и линейкой. Этой задачей занимались многие
греческие математики IV в. до н. э. Ее решение привело к открытию
конических сечений.
     Возможно, что легенда об удвоении кубического жертвенника по-
явилась тогда, когда святилище Аполлона находилось еще в Перге,
и, таким образом, открытие конических сечений было связано с род-
ным городом Аполлония.




                                                                   9


                               Глава 2

                 АПОЛЛОНИЙ В АЛЕКСАНДРИИ




                      Александрийская школа

     После окончания учебы в Эфесе Аполлоний продолжал изучение
наук в Александрии.
     Александрия — город и порт при впадении Нила в Средиземное
море — была основана Александром Македонским после завоевания
им Египта. Еще при Александре этот город был столицей Египта,
а после распада империи Александра стал резиденцией царей Египта
из династии Птолемеев, основанной военачальником Александра Ма-
кедонского Птолемеем Лагом.
     При царице Клеопатре Египет был завоеван римлянами и вошел
в состав Римской империи.
     Еще при Птолемее Лаге Александрия стала главным научным
центром всего эллинистического мира, а после римского завоевания —
главным научным центром всей Римской империи.
     Основным научным учреждением Александрии был Мусейон (Mou-
seion) — храм муз. Большинство муз были покровительницами различ-
ных искусств, но две музы — муза истории Клио и муза астрономии Ура-
ния — были покровительницами гуманитарных и точных наук. От ла-
тинского названия Мусейона (Museum) произошло наше слово <музей>.
     Мусейон представлял собой академию наук с университетом и бо-
гатой библиотекой рукописей.
     Основателем Мусейона был Евклид.
     Наиболее крупных ученых Мусейона называли первыми буквами
греческого алфавита. Второй буквой — Бета — называли Эратосфена, пятой
буквой — Эпсилон — Аполлония. Очевидно, что первой буквой — Альфа —
называли Евклида, а третьей буквой — Гамма — Архимеда. Четвертой
буквой — Дельта, — по-видимому, называли Конона — рано умершего
талантливого ученого, которому Архимед посылал свои сочинения.

                               Евклид

    Евклид жил в середине IV в. — конце III в. до н. э. Главный
труд Евклида <Начала> (Stoicheia) представлял собой свод почти всех
10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика