Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

Голосов: 2

В книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуждаются оба подхода. Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии. Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    § 7. Элементы общей топологии                                                111


замкнутых множеств, поэтому оно замкнуто. Ясно также, что Cα ⊂ Uα
и ψα (x) = 0 при x ∈ Cα . Поэтому supp ψα ⊂ Cα ⊂ Uα .
    Легко проверить, что семейство множеств {Cα } локально конечно.
Действительно, для любой точки x ∈ X существует окрестность W ,
пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия V; обо-
значим их Vβ1 , . . . , Vβk . Окрестность W не пересекается с Cα , если
α ∈ {A(β1), . . . , A(βk)}. Таким образом, семейства множеств {supp ϕβ }
и {supp ψα } локально конечны, поэтому

                  ψα (x) =                  ϕβ (x)   =         ϕβ (x) = 1.    2
            α∈A              α∈A   A(β)=α                β∈B


   Ранее было доказано (см. с. 105), что для любого не более чем счёт-
ного покрытия метризуемого пространства существует подчинённое ему
разбиение единицы. Докажем теперь следующее несколько более сильное
утверждение.
   Т е о р е м а 7.11 (Стоун [124]). Метризуемое пространство па-
ракомпактно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [115]). Пусть U = {Uα | α ∈ A} – откры-
тое покрытие метрического пространства X с метрикой d. Мы снова
воспользуемся тем, что множество A можно вполне упорядочить. Для
x ∈ X и r > 0 рассмотрим открытый шар Dx,r = {y ∈ X | d(x, y) < r}. Для
α ∈ A и n ∈ N определим Vα,n как объединение множеств Dx,2−n для всех
точек x ∈ X, удовлетворяющих следующим трём условиям:
   1) Dx,3·2−n ⊂ Uα ;
   2) x ∈ Uβ при β < α;
   3) x ∈ Vβ, j при j < n.
   Множества Vα,n определяются сначала для n = 1 (в этом случае рас-
сматриваются только первые два условия), затем для n = 2, и т. д.
   Первым делом докажем, что множества Vα,n покрывают всё про-
странство X. Для произвольной точки x ∈ X рассмотрим множество
B = {β ∈ A | x ∈ Uβ }. Пусть α – первый элемент множества B. Число n
выберем так, что Dx,3·2−n ⊂ Uα . Если x ∈ Vβ, j при j < n, то для x
выполняются свойства 1–3, поэтому x ∈ Vα,n . Следовательно, точка x
принадлежит некоторому множеству Vβ, j , где j n.
   Остаётся доказать, что покрытие {Vα,n } локально конечно. Для точки
x ∈ X рассмотрим множество
                  B = {β ∈ A | x ∈ Vβ,n для некоторого n}.
Пусть α – первый элемент множества B и x ∈ Vα,n . Выберем j ∈ N так,
что Dx,2−j ⊂ Vα,n . Покажем, что открытое множество Dx,2−j−n пересе-


112                                Глава III. Топологические пространства


кается лишь с конечным числом множеств Vβ,i . Для этого достаточно
доказать, что это множество не пересекает Vβ,i при i n + j и пересекает
не более одного множества Vβ,i при i < n + j.
   Предположим сначала, что i n + j > n. Множество Vβ,i состоит
из открытых шаров радиуса 2−i , центры которых удовлетворяют услови-
ям 1–3. В частности, из свойства (3) следует, что если y – центр такого
шара, то y ∈ Vα,n . Но Dx,2−j ⊂ Vα,n , поэтому d(x, y) 2− j . С другой
стороны, n + j j + 1 и i j + 1, поэтому 2− j−n + 2−i 2− j , а значит,
Dx,2−j−n ∩ Dy,2−i = ∅.
   Предположим теперь, что i < n + j, p ∈ Dx,2−j−n ∩ Vβ,i и q ∈ Dx,2−j−n ∩
∩ Vγ,i , причём β = γ. Пусть для определённости β < γ. Чтобы прийти
к противоречию, достаточно доказать, что если p ∈ Vβ,i и q ∈ Vγ,i , где
β < γ, то d(p, q) 2− j−n+1 . Пусть y и z – центры шаров Dy,2−i и Dz,2−i ,
для которых p ∈ Dy,2−i ⊂ Vβ,i и q ∈ Dz,2−i ⊂ Vγ,i . Согласно условию 1
Dy,3·2−i ⊂ Uβ , а согласно условию 2 z ∈ Uβ . Поэтому d(y, z) 3 · 2−i ,
а значит,
 d(p, q)   d(y, z) −d(p, y) −d(q, z)   3·2−i −2−i −2−i = 2−i   2−n− j+1 . 2




§ 8.   Симплициальные комплексы
    Евклидово пространство Rn является наиболее важным примером то-
пологического пространства. Все основные классы топологических про-
странств (симплициальные комплексы, CW -комплексы, многообразия)
строятся посредством склейки евклидовых симплексов или шаров. По чи-
сто техническим причинам в гомотопической топологии CW -комплексы
более удобны, чем симплициальные комплексы. Дело в том, что сим-
плициальные комплексы несут слишком много геометрической информа-
ции, явно излишней для нужд топологии. Тем не менее, симплициальные
комплексы представляют собой достаточно интересный и достаточно об-
ширный класс топологических пространств. В геометрической топологии
именно симплициальные комплексы наиболее удобны (по крайней мере,
наиболее часто используются).
    Симплициальным комплексом K называют набор симплексов в Rn ,
удовлетворяющий следующим условиям:
    – любая грань симплекса из K принадлежит K ;
    – пересечение любых двух симплексов из K является гранью каждого
из них (для удобства мы полагаем, что пустое множество является гранью
размерности −1 любого симплекса);


§ 8. Симплициальные комплексы                                     113


   – любая точка, принадлежащая одному из симплексов K , имеет
окрестность, которая пересекается с конечным числом симплексов из K .
   Размерностью комплекса K называют максимальную размерность
входящих в него симплексов.
   Симплициальный комплекс K называют конечным, если он состоит
из конечного числа симплексов. В дальнейшем мы будем рассматривать
в основном конечные симплициальные комплексы.
   Каждому симплициальному комплексу K можно сопоставить топо-
логическое пространство |K | – объединение всех симплексов, входящих
в K ; топология при этом индуцируется из Rn .
   На с. 93 дано определение барицентрического подразделения сим-
плекса. Если каждый симплекс в K разбит таким образом, то мы полу-
чаем барицентрическое подразделение симплициального комплекса K .
   З а д а ч а 8.1. Докажите, что симплексы барицентрического подраз-
деления симплекса ∆n находятся во взаимно однозначном соответствии
с упорядоченными наборами вершин симплекса ∆n .

8.1.   Евклидовы клеточные комплексы
   Выпуклым многогранником размерности k называют подмножество
в Rk , которое задано системой линейных неравенств Ax b и, кроме того,
содержит некоторый k-мерный шар и содержится в некотором k-мерном
шаре.
   Евклидовой клеткой размерности k называют выпуклый многогран-
ник размерности k, расположенный в некотором k-мерном (аффинном)
подпространстве в Rn , где n k.
   Евклидовым клеточным комплексом K называют набор евклидовых
клеток в Rn , удовлетворяющий следующим условиям:
   – любая грань евклидовой клетки из K принадлежит K ;
   – пересечение любых двух евклидовых клеток из K является гранью
каждой из них;
   – любая точка множества |K | имеет окрестность, которая пересе-
кается с конечным числом евклидовых клеток из K (здесь |K | снова
обозначает объединение всех клеток, входящих в K).
   Любой симплициальный комплекс является евклидовым клеточным
комплексом.
   Евклидов клеточный комплекс K называют подразделением евкли-
дова клеточного комплекса K , если |K | = |K | и любая клетка из K
содержится в некоторой клетке из K .
   Объединение всех клеток размерности не более n евклидова клеточ-
ного комплекса K называют n-мерным остовом; мы будем обозначать


114                               Глава III. Топологические пространства


его K n . Если размерность K не меньше n, то его n-мерный остов явля-
ется n-мерным евклидовым клеточным комплексом.
   Т е о р е м а 8.1. Пусть K1 и K2 – евклидовы клеточные комплек-
сы, причём |K1 | = |K2 |. Тогда K1 и K2 обладают общим подразделе-
нием L.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух евклидовых кле-
ток снова будет евклидовой клеткой. Пусть L – множество всех клеток
вида c1 ∩ c2 , где c1 – клетка из K1 , c2 – клетка из K2 . Тогда L – евкли-
дово клеточное разбиение, |L| = |K1 | = |K2 | и любая клетка c1 ∩ c2 из L
принадлежит клетке c1 из K1 и клетке c2 из K2 .                          2
   Следующее утверждение показывает, что с топологической точки зре-
ния евклидовы клеточные комплексы не дают ничего нового по сравнению
с симплициальными комплексами.
   Т е о р е м а 8.2. Любой евклидов клеточный комплекс K обла-
дает подразделением, которое является симплициальным комплек-
сом.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим индукцию по n = dim K . Евкли-
довы клетки размерности 1 являются симплексами, поэтому при n 1
утверждение очевидно. Предположим, что для (m − 1)-мерного остова
комплекса K уже построено подразделение L, которое является сим-
плициальным комплексом. Выберем внутри каждой m-мерной клетки c m
комплекса K некоторую точку M и рассмотрим симплексы, одной из вер-
шин которых служит точка M, а остальными вершинами служат вершины
одного из симплексов, образующих край клетки c m . В результате получим
подразделение комплекса K , являющееся симплициальным подразделе-
нием.                                                                    2
   З а м е ч а н и е. В качестве точки M можно выбирать не внутреннюю
точку клетки c m , а вершину клетки c m . Тогда построенное симплициальное
разбиение будет иметь те же самые вершины, что и евклидов клеточный
комплекс.



8.2.   Симплициальные отображения
   Пусть K1 и K2 – симплициальные комплексы. Отображение f : |K1 | →
→ |K2 | называют симплициальным, если образ любого симплекса ∆1
из K1 является симплексом ∆2 из K2 и при этом ограничение отобра-
жения f на ∆1 линейно в аффинном смысле, т. е.

                        f     λi vi =     λi f(vi),                     (1)


§ 8. Симплициальные комплексы                                             115


где vi – вершины симплекса ∆1 ,              λi = 1 и λi 0. По условию верши-
ны комплекса K1 (т. е. 0-мерные симплексы) переходят в вершины ком-
плекса K2 . Поэтому отображение f определяет отображение 0-мерных
остовов f 0 : K1 → K2 . Формула (1) показывает, что отображение f одно-
                      0     0

значно восстанавливается по отображению f 0 . Отображение f 0 облада-
ет следующим свойством: если v0 , . . . , vn – вершины симплекса из K1 ,
то f 0 (v0), . . . , f 0 (vn) – вершины симплекса из K2 (некоторые из точек
f 0 (v0), . . . , f 0 (vn) могут совпадать). Отображения 0-мерных остовов, об-
ладающие этим свойством, будем называть допустимыми. Каждому до-
                                                       0   0
пустимому отображению 0-мерных остовов K1 → K2 соответствует сим-
плициальное отображение |K1 | → |K2 |. Для симплициальных отображе-
ний мы обычно будем использовать обозначение K1 → K2 .
     У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что любое симплициальное отобра-
жение непрерывно.
     У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что образ k-мерного остова при сим-
плициальном отображении содержится в k-мерном остове.
     Т е о р е м а 8.3. Пусть f : K → K – симплициальное отображе-
ние, ∆ – некоторый симплекс барицентрического подразделения
комплекса K . Тогда если f(∆ ) = ∆ , то ограничение f на ∆ – тож-
дественное отображение.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Для симплекса ∆ однозначно определён
симплекс ∆ в K , который содержит ∆ и имеет ту же самую размерность.
При этом симплекс ∆ однозначно задаёт нумерацию вершин ∆, для
которой v0 – общая вершина ∆ и ∆ , [v0 , v1 ] – общее ребро (точнее
говоря, ребро ∆, содержащее ребро ∆ ), [v0 , v1 , v2 ] – общая грань и т. д.
Наоборот, нумерация вершин ∆ однозначно задаёт соответствующий
симплекс барицентрического подразделения.
     Из равенства f(∆ ) = ∆ следует, что отображение f переставляет
вершины симплекса ∆. Но если эта перестановка не тождественна, то по-
лучается другая нумерация вершин ∆, которой соответствует другой сим-
плекс барицентрического подразделения, т. е. f(∆ ) = ∆ . Поэтому огра-
ничение отображения f на ∆ ⊃ ∆ тождественно.                                2

8.3.   Абстрактные симплициальные комплексы
   С точки зрения топологии интерес представляет не симплициаль-
ный комплекс K , а топологическое пространство |K |. Симплициальный
комплекс задаёт не только само пространство |K |, но и его вложение
в Rn , а это уже излишняя информация, часто затрудняющая работу
с симплициальными комплексами. Чтобы избавиться от конкретного
вложения в Rn , определим абстрактный симплициальный комплекс K


116                                    Глава III. Топологические пространства


как набор вершин {vα } и набор подмножеств этих вершин, называемых
симплексами (набор из k + 1 вершин мы будем называть k-мерным
симплексом); при этом любое подмножество вершин симплекса из K
должно быть симплексом из K .
     Каждому абстрактному симплициальному комплексу K можно сопо-
ставить топологическое пространство |K | следующим образом. Каждому
симплексу vi1 , . . . , vik+1 сопоставим топологическое пространство, явля-
ющееся k-мерным симплексом. В дизъюнктном объединении этих топо-
логических пространств будем считать эквивалентными соответственные
точки симплекса v1 , . . . , v p и грани v1 , . . . , v p симплекса v1 , . . . , v p ,
v p+1 , . . . , vq . В полученном фактормножестве |K | топология задаётся
следующим образом: множество U открыто в |K | тогда и только тогда, ко-
гда пересечение U с каждым симплексом открыто в топологии симплекса.
     Пусть для абстрактного симплициального комплекса K задано взаим-
но однозначное отображение σ : K 0 → L0 , где L0 – 0-мерный остов сим-
плициального комплекса L в Rn , обладающее следующим свойством: на-
бор вершин v1 , . . . , vk является симплексом в K тогда и только тогда,
когда в L есть симплекс с вершинами σ (v1), . . . , σ (vk). Такое отобра-
жение σ можно естественным образом продолжить до гомеоморфизма
|K | → |L|. Этот гомеоморфизм называют реализацией симплициального
комплекса K .
     Т е о р е м а 8.4. Любой конечный n-мерный абстрактный сим-
плициальный комплекс имеет реализацию в евклидовом простран-
стве размерности 2n + 1.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K – абстрактный симплициальный
комплекс с вершинами v1 , . . . , vk . Выберем попарно различные числа
t1 , . . . , tk и рассмотрим в R2n+1 точки σ (vi) = (ti , ti2 , ti3 , . . . , ti2n+1),
где i = 1, . . . , k. Каждому симплексу из K с вершинами vi1 , . . . , vim
сопоставим геометрический симплекс с вершинами σ (vi1), . . . , σ (vim ).
Нужно лишь проверить, что геометрические симплексы, не имеющие
общих вершин, не пересекаются.
     По условию размерности рассматриваемых геометрических симплек-
сов не превосходят n, т. е. количества их вершин не превосходят n + 1.
Количество вершин двух таких симплексов не превосходит 2n + 2. Поэто-
му достаточно проверить, что если на кривой (t, t 2 , t 3 , . . . , t 2n+1) задано
не более 2n + 2 различных точек, то они являются вершинами (невыро-
жденного) симплекса. Если задано ровно 2n + 2 точки, то объём рассмат-
риваемого симплекса равен
                                                                     2n+1
                                    1         τ1         . . . τ1
                              1
                        ±           . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.
                          (2n + 1)!                                  2n+1
                                    1 τ2n+2 . . . τ2n+2


§ 8. Симплициальные комплексы                                                117


Набор из меньшего количества точек можно произвольным образом до-
полнить до набора из 2n + 2 точек.                                               2
       З а м е ч а н и е. Про точки x1 , . . . , xk в пространстве RN говорят,
что они находятся в общем положении, если любые m + 1 из этих точек
не лежат в одном (m − 1)-мерном аффинном подпространстве при m N.
Чтобы построить реализацию n-мерного абстрактного симплициального
комплекса (с вершинами v1 , . . . , vk) в R2n+1 , достаточно указать точки x1 ,
. . . , xk в R2n+1 в общем положении. Помимо той явной конструкции точек
в общем положении, которая приведена в доказательстве теоремы 8.4,
можно использовать, например, следующую конструкцию. Сначала возь-
мём две различные точки x1 и x2 в RN . Затем возьмём точку x3 , не лежа-
щую на прямой x1 x2 . Затем возьмём точку x4 , не лежащую в плоскости
x1 x2 x3 , и т. д. Так мы построим точки x1 , . . . , xN +1 . После этого проведём
гиперплоскости через все наборы N построенных точек и возьмём точку
xN +2 , не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей. В дальнейшем
снова проводим гиперплоскости через все наборы N точек и выбираем
точку, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей.
       Симплициальный подкомплекс L ⊂ K называют полным, если он
обладает следующим свойством: на любой набор вершин комплекса L,
на который натянут симплекс комплекса K , натянут также и симплекс
комплекса L.
       З а д а ч а 8.2. Докажите, что симплициальный подкомплекс L ⊂ K
полный тогда и только тогда, когда он обладает следующим свойством:
если граница симплекса комплекса K лежит в L, то и сам он лежит в L.
       З а д а ч а 8.3. Пусть L ⊂ K – симплициальный подкомплекс, L и
K – барицентрические подразделения L и K . Докажите, что подкомплекс
L ⊂ K полный.

8.4.   Симплициальные аппроксимации
   Симплициальные отображения устроены гораздо проще, чем непре-
рывные отображения. Например, для любых двух симплициальных
комплексов K и L имеется лишь конечное число симплициальных отоб-
ражений K → L. Тем не менее, любое непрерывное отображение можно
приблизить симплициальным отображением. Но при этом, возможно,
от комплексов K и L придётся перейти к их подразделениям. Для
гомотопической топологии наиболее важно то, что любое непрерывное
отображение симплициальных комплексов гомотопно некоторому сим-
плициальному отображению. Это утверждение существенно облегчает
изучение гомотопических классов отображений, но его доказательство
требует определённых усилий.


118                                         Глава III. Топологические пространства


     Пусть K и L – симплициальные комплексы, f : |K | → |L| – непрерыв-
ное отображение. Для каждой точки x ∈ |K | рассмотрим точку f(x) ∈ |L|.
Точке f(x) соответствует ровно один симплекс из L, внутренней точкой
которого она является. Будем говорить, что симплициальное отображение
ϕ : K → L является симплициальной аппроксимацией отображения f ,
если для всех x ∈ |K | точка ϕ(x) принадлежит симплексу, соответствую-
щему точке f(x).
     Т е о р е м а 8.5. Симплициальная аппроксимация ϕ отображе-
ния f гомотопна f .
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ft (x) – точка, делящая в отношении
t : (1 − t) отрезок с концами ϕ(x) и f(x). Тогда ft – гомотопия, связыва-
ющая отображения f0 = ϕ и f1 = f .                                            2
     Для работы с симплициальными аппроксимациями более удобно дру-
гое определение симплициальной аппроксимации, использующее понятие
звезды. Пусть K – симплициальный комплекс, ∆ – симплекс из K . Звез-
дой симплекса ∆ называют объединение внутренностей всех симплексов
из K , содержащих симплекс ∆. Звездой точки x ∈ |K | называют звез-
ду того симплекса из K , внутренней точкой которого является точка x.
Звезду симплекса ∆ обозначают st ∆, а звезду точки x обозначают st x.
     Т е о р е м а 8.6. Симплициальное отображение ϕ : K → L явля-
ется симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения
f : |K | → |L| тогда и только тогда, когда f(st v) ⊂ st ϕ(v) для любой
вершины v комплекса K .
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что ϕ – симплици-
альная аппроксимация отображения f и v – вершина комплекса K . Пусть
x ∈ st v. Рассмотрим симплекс ∆K с вершиной v, внутри которого лежит
точка x, и симплекс ∆L , внутри которого лежит точка f(x). С одной
стороны, точка ϕ(x) лежит внутри симплекса ϕ(∆K ) с вершиной ϕ(v),
а с другой стороны, точка ϕ(x) принадлежит симплексу ∆L . Поэтому
∆L ⊃ ϕ(∆K ) ϕ(v), а значит, f(x) ∈ int ∆L ⊂ st ϕ(v).
     Предположим теперь, что для любой вершины v комплекса K вы-
полняется условие f(st v) ⊂ st ϕ(v). Пусть x ∈ |K | и v0 , . . . , vn – вершины
симплекса ∆ из K , внутри которого лежит точка x. Тогда
                     n                 n                  n
         f(x) ∈ f         st vi   ⊂         f(st vi) ⊂         st ϕ(vi) = int ϕ(∆).
                    i=0               i=0                i=0
Поэтому ϕ(∆) – это как раз тот симплекс, внутри которого лежит точка
f(x). Остаётся заметить, что ϕ(x) ∈ ϕ(∆), поскольку x ∈ ∆.         2
    С л е д с т в и е. Пусть ϕ : K → L и ψ : L → M – симплициальные
аппроксимации непрерывных отображений f : |K |→|L| и g : |L|→|M|.
Тогда ψϕ – симплициальная аппроксимация отображения gf .


§ 8. Симплициальные комплексы                                                          119


    Пусть K – конечный симплициальный комплекс, K (n) – его n-е ба-
рицентрическое подразделение. Отметим, что при n → ∞ максимальный
диаметр симплекса из K (n) стремится к нулю (см. с. 93).
    Т е о р е м а 8.7 (о симплициальной аппроксимации). а) Пусть K
и L – симплициальные комплексы, причём комплекс K конечен,
f : |K | → |L| – непрерывное отображение. Тогда для некоторого
n 0 существует симплициальное отображение ϕ : K (n) → L, явля-
ющееся симплициальной аппроксимацией отображения f .
    б) Если ограничение отображения f на подкомплекс K1 ⊂ K сим-
плициально, то симплициальную аппроксимацию ϕ можно выбрать
так, чтобы она совпадала с f на K1 .
    Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Звёзды вершин комплекса L образуют от-
крытое покрытие топологического пространства |L|. Прообраз этого по-
крытия при отображении f является открытым покрытием U компактно-
го подмножества |K | евклидова пространства. Согласно теореме Лебега
об открытых покрытиях (теорема 4.6 на с. 70) существует такое число
δ > 0, что любое подмножество B ⊂ |K |, диаметр которого меньше δ,
содержится в одном из элементов покрытия U.
    Выберем число n так, что диаметр любого симплекса из K (n) меньше
δ /2. Симплициальное отображение ϕ : K (n) → L определим следующим
образом. Пусть v – вершина K (n) . Тогда диаметр множества st v мень-
ше δ, поэтому множество f(st v) целиком принадлежит некоторому
множеству вида st w, где w – вершина L. Положим ϕ(v) = w (если
в качестве w можно выбрать несколько вершин, то выбираем любую
из них). Мы определили отображение 0-мерных остовов. Нужно про-
верить, что это отображение допустимо, т. е. если v1 , . . . , vk – вершины
некоторого симплекса из K (n) , то ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) – вершины некоторого
симплекса из L. Для этого мы воспользуется тем, что вершины v1 , . . . , vk
                                                                     k
образуют симплекс ∆ тогда и только тогда, когда                           st vi = st ∆ = ∅.
                                                                    i=1
                                                                     k
Пусть v1 , . . . , vk – вершины симплекса из K (n) . Тогда                st vi = ∅, а зна-
                                                                    i=1
        k                        k                  k
чит,         f(st vi) = ∅. Но         st ϕ(vi) ⊃         f(st vi) = ∅, поэтому вершины
       i=1                      i=1                i=1
ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) образуют в L некоторый симплекс.
   Теорема 8.6 показывает, что симплициальное отображение ϕ : K (n) → L
является симплициальной аппроксимацией отображения f .
   б) Пусть v – вершина K1 . Тогда f(v) = w – вершина L. Если разби-
ение K (n) достаточно мелкое (т. е. число n достаточно велико), то для
такого разбиения f(st v) ⊂ st w, поэтому можно положить ϕ(v) = w. 2


120                                    Глава III. Топологические пространства


   С помощью теоремы о симплициальной аппроксимации можно дока-
зать следующее утверждение.
   Т е о р е м а 8.8. Любое непрерывное отображение f : S n → S m ,
где n < m, гомотопно постоянному отображению (т. е. отобра-
жению в одну точку).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что отображение f го-
мотопно отображению ϕ, которое не является сюръективным. Действи-
тельно, если ϕ(x) = ξ0 ∈ S m при всех x ∈ S n , то
                                       tϕ(x) − (1 − t)ξ0
                            ϕt (x) =
                                       tϕ(x) − (1 − t)ξ0
представляет собой гомотопию, связывающую отображение ϕ и постоян-
ное отображение S n → −ξ0 ∈ S m .
    Сферу S n можно представить в виде симплициального комплекса K ,
который является n-мерным остовом (n + 1)-мерного симплекса. Сфе-
ру S m аналогично представим в виде симплициального комплекса L. Для
непрерывного отображения f : |K | → |L| существует симплициальная ап-
проксимация ϕ : K (N) → L. Отображение ϕ не сюръективно, потому что
его образ содержится в n-мерном остове комплекса L. Отображение ϕ
гомотопно отображению f согласно теореме 8.5.                           2
    П р и м е р. Пусть K – триангуляция n-мерного симплекса L с вер-
шинами v0 , v1 , . . . , vn . Предположим, что вершины K помечены числами
0, 1, . . . , n. Построим симплициальное отображение ϕ : |K | → |L|, сопо-
ставив каждой вершине a ∈ K вершину vi , где i – пометка вершины a.
Отображение ϕ является симплициальной аппроксимацией тождествен-
ного отображения |K | → |K | = |L| тогда и только тогда, когда набор по-
меток такой, как в условии леммы Шпернера, т. е. пометка вершины a,
принадлежащей некоторой грани симплекса L, совпадает с одной из вер-
шин этой грани.
    Следующая теорема выводится из леммы Шпернера (в уточнённой
форме: теорема 6.9 на с. 95), но её формулировка без использования
понятия симплициального отображения выглядела бы слишком неесте-
ственно.
    Т е о р е м а 8.9 (комбинаторная формула Лефшеца [85]). Пусть
K – триангуляция n-мерного симплекса L, ϕ : K → L – симплици-
альное отображение, ϕi – количество i-мерных симплексов ∆i ⊂ K ,
для которых ∆i ⊂ ϕ(∆i), с учётом знака∗) . Тогда ϕ0 − ϕ1 + ϕ2 − . . . +
+ (−1) n ϕn = 1.
   ∗) Если симплексы ∆i и ϕ(∆i) одинаково ориентированы, то берётся знак плюс, а если

они ориентированы противоположно, то берётся знак минус. Отметим, что если ∆i ⊂ ϕ(∆i),
то симплекс ϕ(∆i) имеет ту же размерность, что и ∆i .



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика