Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачи по алгебре, арифметике и анализу

Голосов: 12

В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями. Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
          В. В. ПРАСОЛОВ




  ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ,
АРИФМЕТИКЕ И АНАЛИЗУ




           2005


П70


      Прасолов В. В.
П70     Задачи по алгебре, арифметике и анализу.
          В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящие-
      ся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по
      сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количе-
      ство весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических
      классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.
          Для школьников, преподавателей математики, руководителей математи-
      ческих кружков, студентов пединститутов.




                                                    c Прасолов В. В., 2005


Оглавление

Предисловие                                                                      11

Г л а в а 1. Квадратный трёхчлен                                                 13
   1.1. Наименьшее значение квадратного трёхчлена (13). 1.2. Дискри-
   минант (14). 1.3. Разные задачи (14). 1.4. Теорема о промежуточном
   значении (15). 1.5. Уравнение касательной к конике (16). 1.6. Резуль-
   тант (16).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Г л а в а 2. Уравнения                                                            23
    2.1. Замена переменных (23). 2.2. Угадывание корней (23). 2.3. Урав-
    нения с радикалами (24). 2.4. Разные уравнения (24).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Г л а в а 3. Системы уравнений                                                    28
    3.1. Нахождение всех решений (28). 3.2. Нахождение вещественных
    решений (29). 3.3. Положительные решения (30). 3.4. Количество
    решений системы уравнений (30). 3.5. Линейные системы уравне-
    ний (31).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Г л а в а 4. Делимость                                                            39
    4.1. Чёт и нечёт (39). 4.2. Алгоритм Евклида и основная теоре-
    ма арифметики (40). 4.3. Разложения на простые множители (41).
    4.4. Признаки делимости (41). 4.5. Наибольший общий делитель и
    наименьшее общее кратное (42). 4.6. Делимость нацело (42). 4.7. Де-
    лимость на степень простого числа (43). 4.8. Остатки от деле-
    ния (44). 4.9. Взаимно простые числа (45). 4.10. Простые числа (45).
    4.11. Арифметика остатков (46).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

                                         3


4                                                                      Оглавление

Г л а в а 5. Тождества                                                            59
    5.1. Разложения на множители (59). 5.2. Доказательство тож-
    деств (59). 5.3. Суммы квадратов (60). 5.4. Вспомогательные тожде-
    ства (60). 5.5. Разложения рациональных функций (61). 5.6. Разло-
    жения квадратичных функций (61). 5.7. Тождества с целыми частя-
    ми (61).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Г л а в а 6. Рациональные и иррациональные числа                                  67
    6.1. Сравнение чисел (67). 6.2. Иррациональности в знаменате-
    лях (67). 6.3. Тождества с радикалами (68). 6.4. Доказательства ир-
    рациональности и рациональности (69). 6.5. Сопряжённые числа (69).
    6.6. Последовательность Фарея (70). 6.7. Задачи с целыми частя-
    ми (71).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Г л а в а 7. Текстовые задачи                                                     79
    7.1. Решения без вычислений (79). 7.2. Вычисления (79). 7.3. Нера-
    венства (80). 7.4. Целочисленные приближения (81). 7.5. Соответ-
    ствия (81).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Г л а в а 8. Неравенства                                                          86
    8.1. Неравенство x + 1/x           2 (86). 8.2. Неравенство треуголь-
    ника (87). 8.3. Неравенство Коши (87). 8.4. Монотонность (88).
    8.5. Неравенство между средним арифметическим и средним геомет-
    рическим (88). 8.6. Неравенства, имеющие геометрическую интерпре-
    тацию (89). 8.7. Циклические неравенства (89). 8.8. Разные неравен-
    ства (90). 8.9. Выпуклость (91). 8.10. Неравенства Гёльдера и Мин-
    ковского (91).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Г л а в а 9. Вычисление сумм и произведений                                       104
    9.1. Арифметическая      и     геометрическая          прогрессии       (104).
    9.2. Изменение    порядка       суммирования          (105).     9.3. Суммы
    Sk (n) = 1k + 2k + . . . + nk (105). 9.4. Разбиение на пары (106).
    9.5. Вычисление одной суммы двумя способами (107).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Г л а в а 10. Многочлены I                                              112
    10.1. Выделение полного квадрата (112). 10.2. Корни многочле-
    нов (112). 10.3. Коэффициенты многочлена (113). 10.4. Теорема Ви-
    ета (113). 10.5. Делимость (113). 10.6. Неравенства для корней (114).
    10.7. Количество вещественных корней многочлена (115). 10.8. Разные


Оглавление                                                                         5

   задачи (115). 10.9. Интерполяционные многочлены (116). 10.10. Ра-
   циональные функции (116). 10.11. Целозначные многочлены (117).
   10.12. Многочлены от нескольких переменных (117).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Г л а в а 11. Тригонометрия                                                       127
    11.1. Неравенства и сравнение чисел (127). 11.2. Тригонометрические
    тождества (128). 11.3. Уравнения (128). 11.4. Суммы синусов и коси-
    нусов, связанные с правильными многоугольниками (129). 11.5. Вы-
    числение сумм и произведений (129). 11.6. Выражения для cos nϕ и
    т.п. (131). 11.7. Вспомогательные тригонометрические функции (131).
    11.8. Тригонометрические многочлены (132).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Г л а в а 12. Уравнения в целых числах                                            143
    12.1. Пифагоровы тройки (143). 12.2. Нахождение всех решений (144).
    12.3. Нахождение некоторых решений (145). 12.4. Доказательство
    конечности числа решений (145). 12.5. Уравнение Пелля (145).
    12.6. Уравнение Маркова (146).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Г л а в а 13. Индукция                                                            154
    13.1. Вычисление сумм (154). 13.2. Неравенства (154). 13.3. Доказа-
    тельство тождеств (155). 13.4. Разные задачи (156).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Г л а в а 14. Комбинаторика                                                       160
    14.1. Элементы комбинаторики (160). 14.2. Тождества для биномиаль-
    ных коэффициентов (161). 14.3. Бином Ньютона в арифметике (162).
    14.4. Комбинаторика в арифметике (162). 14.5. Неравенства для би-
    номиальных коэффициентов (163). 14.6. Арифметика биномиальных
    коэффициентов (163). 14.7. Формула включений и исключений (163).
    14.8. Аналоги биномиальных коэффициентов (164). 14.9. Числа Ката-
    лана (164). 14.10. Элементы теории вероятностей (166).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Г л а в а 15. Рекуррентные последовательности                                     181
    15.1. Общие свойства (181). 15.2. Числа Фибоначчи (181). 15.3. Числа
    Фибоначчи и алгоритм Евклида (183). 15.4. Числа Фибоначчи в ком-
    бинаторике (183). 15.5. Специальные рекуррентные последовательно-
    сти (184).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184


6                                                                      Оглавление

Г л а в а 16. Примеры и конструкции                                               190
    16.1. Наборы чисел (190). 16.2. Бесконечные последовательно-
    сти (191). 16.3. Последовательности операций (191). 16.4. Много-
    члены и рациональные функции (191). 16.5. Разные примеры и
    конструкции (192).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Г л а в а 17. Принцип Дирихле. Правило крайнего                                   197
    17.1. Остатки от деления (197). 17.2. Разные задачи (198). 17.3. При-
    ближения иррациональных чисел рациональными (198). 17.4. Правило
    крайнего (199).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Г л а в а 18. Инварианты и полуинварианты                                         206
    18.1. Остатки от деления (206). 18.2. Полуинварианты (206).
    18.3. Чётность перестановки (207).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Г л а в а 19. Логика                                                              213
    19.1. Логические задачи (213). 19.2. Логические парадоксы (214).
    19.3. Логика высказываний (215).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Г л а в а 20. Стратегии. Турниры. Таблицы                                         219
    20.1. Выбор стратегии (219). 20.2. Переливания (220). 20.3. Турни-
    ры (220). 20.4. Взвешивания (221). 20.5. Таблицы (222).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Г л а в а 21. Системы счисления                                                   231
    21.1. Последние цифры (231). 21.2. Первые цифры (231). 21.3. Дру-
    гие цифры (232). 21.4. Сумма цифр (232). 21.5. Разные задачи о де-
    сятичной записи (232). 21.6. Периоды десятичных дробей и репьюни-
    ты (233). 21.7. Определение d-ичной записи числа (234). 21.8. Двоич-
    ная система (234). 21.9. Другие системы счисления (235). 21.10. Дру-
    гие представления чисел (235).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Г л а в а 22. Графы                                                               243
    22.1. Обходы графов (244). 22.2. Ориентированные графы (244).
    22.3. Паросочетания (244).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Г л а в а 23. Комплексные числа                                                 249
    23.1. Тождества и неравенства          для   комплексных      чисел    (250).


Оглавление                                                                         7

   23.2. Формула Муавра (250). 23.3. Корни из единицы (251). 23.4. Кор-
   ни многочленов (253).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Г л а в а 24. Уравнения, разрешимые в радикалах                                   258
    24.1. Решение кубических уравнений (259). 24.2. Дискриминант куби-
    ческого многочлена (259). 24.3. Решение уравнений 4-й степени (260).
    24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах (260).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Г л а в а 25. Предел последовательности                                           265
    25.1. Свойства пределов (265). 25.2. Теорема Вейерштрасса (266).
    25.3. Вычисление пределов (267). 25.4. Число e (268). 25.5. Сопряжён-
    ные числа (269). 25.6. Точная верхняя грань (269).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Г л а в а 26. Непрерывные и разрывные функции                                     281
    26.1. Монотонные функции (281). 26.2. Периодические функции (281).
    26.3. Предел функции (281). 26.4. Непрерывность (282). 26.5. Теорема
    о промежуточном значении (283). 26.6. Свойства функций, непрерыв-
    ных на отрезке (283). 26.7. Выпуклые функции (284). 26.8. Равномер-
    ная непрерывность (285). 26.9. Функции ограниченной вариации (285).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Г л а в а 27. Логарифм и показательная функция                                    292
    27.1. Определение показательной функции и логарифма (292).
    27.2. Показательная функция (293). 27.3. Тождества для логариф-
    мов (293). 27.4. Неравенства и сравнения чисел (294). 27.5. Ирраци-
    ональность логарифмов (294). 27.6. Некоторые замечательные преде-
    лы (294). 27.7. Гиперболические функции (294).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Г л а в а 28. Производная                                                         301
    28.1. Определение производной (301). 28.2. Производные элемен-
    тарных функций (302). 28.3. Кратный корень многочлена (303).
    28.4. Производная многочлена (303). 28.5. Тождества (304). 28.6. Ка-
    сательная и нормаль (304). 28.7. Функции, дифференцируемые на от-
    резке (305). 28.8. Неравенства (306). 28.9. Правило Лопиталя (307).
    28.10. Количество корней уравнения (308). 28.11. Периодические
    функции (308). 28.12. Нормированные симметрические функции (308).
    28.13. Алгебраические и трансцендентные функции (309). 28.14. Фор-
    мула Тейлора (309).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310


8                                                                      Оглавление

Г л а в а 29. Интеграл                                                            327
    29.1. Неопределённый интеграл (327). 29.2. Определённый инте-
    грал (328). 29.3. Вычисление интегралов (330). 29.4. Вычисление
    площадей (330). 29.5. Вычисление объёмов (331). 29.6. Длина кри-
    вой (331). 29.7. Площадь поверхности (332). 29.8. Неравенства (333).
    29.9. Вычисление пределов (334). 29.10. Тождества (334). 29.11. При-
    меры и конструкции (334). 29.12. Несобственные интегралы (335).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Г л а в а 30. Ряды                                                                347
    30.1. Вычисление бесконечных сумм (347). 30.2. Вычисление беско-
    нечных произведений (347). 30.3. Гармонический ряд (348). 30.4. Ряд
    для логарифма (349). 30.5. Ряды для числа π (350). 30.6. Экспонента
    в комплексной области (350). 30.7. Доказательства неравенств (351).
    30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды (351). 30.9. Сходимость беско-
    нечных произведений (351).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Г л а в а 31. Элементы теории чисел                                               361
    31.1. Малая теорема Ферма (361). 31.2. Псевдопростые числа (361).
    31.3. Функция Эйлера (362). 31.4. Теорема Вильсона (362). 31.5. За-
    дачи о сравнениях (363). 31.6. Функция σk (n). Делители (364).
    31.7. Квадратичные вычеты (365). 31.8. Квадратичный закон взаим-
    ности (365). 31.9. Гауссовы суммы (367). 31.10. Суммы двух квадра-
    тов (368). 31.11. Суммы четырёх квадратов (369). 31.12. Первообраз-
    ные корни по простому модулю (369). 31.13. Первообразные корни по
    составному модулю (370). 31.14. Теорема Чебышёва о простых чис-
    лах (371).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Г л а в а 32. Многочлены II                                                       393
    32.1. Разделение корней (393). 32.2. Неприводимые многочлены (395).
    32.3. Симметрические многочлены (398). 32.4. Многочлены Чебы-
    шёва (401). 32.5. Алгебраические и трансцендентные числа (402).
    32.6. Присоединение корня многочлена (404).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Г л а в а 33. Алгоритмы и вычисления                                              416
    33.1. Вычисления некоторых чисел (416). 33.2. Арифметические опе-
    рации. Многочлены (417). 33.3. Сортировка (417). 33.4. Криптогра-
    фия с открытым ключом (419).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Г л а в а 34. Функциональные уравнения                               425
    34.1. Метод подстановки (425). 34.2. Функциональные уравнения для


Оглавление                                                                         9

   произвольных функций (426). 34.3. Функциональные уравнения для
   непрерывных функций (426). 34.4. Функциональные уравнения для
   дифференцируемых функций (427). 34.5. Функциональные уравнения
   для многочленов (427).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Г л а в а 35. Цепные дроби                                                        438
    35.1. Определение и основные свойства (438). 35.2. Наилучшие при-
    ближения (440). 35.3. Цепные дроби и уравнение Пелля (440).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Г л а в а 36. Формальные ряды и производящие функции                              446
    36.1. Формальные ряды (446). 36.2. Формальная производная (447).
    36.3. Корень из формального ряда (447). 36.4. Экспонента и лога-
    рифм (447). 36.5. Тождества для формальных рядов (448). 36.6. Про-
    изводящие функции (449). 36.7. Числа и многочлены Бернулли (450).
    36.8. Число разбиений (450). 36.9. Формулы Варинга (451).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

Г л а в а 37. Исчисление конечных разностей                                       462
    37.1. Свойства конечных разностей (462). 37.2. Обобщённая сте-
    пень (463). 37.3. Формула суммирования Эйлера (464).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

Г л а в а 38. Кривые на плоскости                                                 467
    38.1. Полярные координаты (468). 38.2. Огибающая семейства кри-
    вых (468). 38.3. Кривизна (471). 38.4. Соприкасающаяся окруж-
    ность (472). 38.5. Фокальные точки. Эволюта (473).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Г л а в а 39. Теория множеств                                                     482
    39.1. Конечные множества (482). 39.2. Операции над множества-
    ми (482). 39.3. Равномощные множества (483). 39.4. Счётные множе-
    ства (484). 39.5. Мощность континуума (484). 39.6. Свойства мощно-
    сти (485). 39.7. Парадоксы теории множеств (485).
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Дополнение                                                          490
  1. Рациональная параметризация окружности (490). 2. Суммы квад-
  ратов многочленов (493). 3. Представление чисел в виде суммы
  двух квадратов (496). 4. Построение правильного 17-угольника (498).
  5. Построения циркулем и линейкой (501). 6. Хроматический много-
  член графа (507). 7. Трансцендентность чисел e и π (510). 8. Разре-
  шимость уравнений в радикалах (514). 9. Диофантовы уравнения для


10                                                            Оглавление

     многочленов (525). 10. Теорема Ван дер Вардена об арифметической
     прогрессии (529). 11. Происхождение математических терминов (533).

Указатель имён                                                        536

Предметный указатель                                                  538



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика