Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли. Ч. I: Тонкостенные сосуды и аппараты химических производств: Учебное пособие

Голосов: 1

В пособии в краткой форме изложены теоретические и инженерные аспекты конструирования и расчета элементов тонкостенных сосудов и аппаратов химических производств, приведены примеры расчета. Приложение к пособию включает справочные данные по механическим свойствам материалов, которые необходимы при расчете элементов оборудования, а также требования к конструированию и изготовлению фланцевых соединений с необходимыми для расчета справочными материалами. Пособие подготовлено на кафедре общей химической технологии ТПУ, соответствует программе первой части дисциплины "Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли" по специальности 170500 - "Машины и аппараты химических производств" направления 655400 - "Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии", а также может использоваться при курсовом и дипломном проектировании студентами всех химических специальностей.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                        2.1. Основы безмоментной теории
      Безмоментная теория расчета тонкостенных оболочек предполагает
следующие допущения:
      1. Толщина оболочки должна быть достаточно малой по сравнению с
ее другими геометрическими размерами. Например, для цилиндра
                                s
                                  ≤ 0,1 − 0,2 ,
                               RB
где RВ – внутренний радиус оболочки.
      Вследствие малой толщины нормальные напряжения растяжения или
сжатия по толщине оболочки не изменяются, величина их в RB/s раз больше
изгибных, что и определяет безмоментное состояние.
      2. По форме сосуд обязательно должен представлять оболочку враще-
ния.
      3. Нагрузка (давление на стенки) должна быть симметричной относи-
тельно оси вращения.
      Давление на стенки может изменяться вдоль оси вращения, например,
при наличии жидкости в вертикальном аппарате. Такой аппарат можно счи-
тать по мембранной теории, однако если его положить горизонтально, то на-
грузка станет несимметрична оси и использование теории будет невозможно.
                             Оболочкой вращения называется оболочка,
                        срединная поверхность которой образована враще-
                        нием какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежа-
                        щей в ее плоскости. Срединная поверхность – это
                        поверхность, равноотстоящая от внутренней и на-
                        ружной стенок оболочки. Радиусы кривизны мери-
                        дионального и кольцевого сечений срединной по-
                        верхности

                                      R1=bO≈dO, R2=aA≈bA.
    Рис. 2.1. Схема обо-
     лочки вращения            Для определения усилий и напряжений в
                         оболочке вращения (рис. 2.1) от действия внут-
                         реннего давления р выделим методом сечений
элемент Э, образованный двумя меридиональными и двумя кольцевыми се-
чениями.
     Меридиональное сечение – это сечение оболочки плоскостью,
проходящей через ось вращения.
     Кольцевое сечение – это сечение оболочки конической поверхностью с
вершиной на оси вращения и с образующими, пересекающими поверхность
оболочки под прямым углом.




                                                                      21


                                             На выделенный элемент Э действуют
                                      силы и моменты, указанные на рис. 2.2.
                                      Рассмотрим условие равновесия выделен-
                                      ного элемента Э.
                                             Так как рассматривается безмомент-
                                      ная теория, то принимают K=M=N=0,
                                      где K – кольцевой момент на единицу
                                      длины меридиана срединной поверхности;
                                             М – меридиональный момент на
                                      единицу длины кольцевого сечения сре-
                                      динной поверхности;
                                             N – перерезывающая сила на едини-
                                      цу длины кольцевого сечения срединной
                                      поверхности.
                                             Действующие силы, не равные нулю:
                                             U – меридиональная сила на едини-
  Рис. 2.2. Схема действия сил        цу длины кольцевого сечения срединной
    и моментов на элемент Э           поверхности;
                                             Т – кольцевая сила на единицу дли-
ны меридиана срединной поверхности.
      Запишем уравнение равновесия элемента в проекциях на нормаль n к
срединной поверхности.
      На грани ab длиной dy действует нормальное меридиональное напря-
жение σm :
                                         U
                                  σm = .                                   (2.1)
                                          s
Тогда меридиональная сила упругости, действующая на грань ab,
                                   Udy = σ m sdy .
                            π dβ
Она действует под углом +            к нормали, поэтому ее проекция на нормаль
                            2 2
будет
                                  ⎛ π dβ ⎞         1
                       σ m sdy cos⎜ +       ⎟ ≈ − σ m sdydβ .
                                  ⎝2 2 ⎠           2
      Сила, действующая на грань cd, дает, без учета бесконечно малой
третьего порядка, такую же проекцию на нормаль n.
      На гранях ac и bd длиной dy действует нормальное кольцевое напряже-
ние σt :
                                        T
                                  σt = .                                   (2.2)
                                        s
Тогда кольцевая сила упругости, действующая на гранях ac и bd
                                    Tdx = σ t sdx .



22


                                      π dα
Эта сила составляет с нормалью угол     +    . Ее проекция на нормаль
                                      2 2
                                 ⎛ π dα ⎞    1
                      σ t sdx cos⎜ +    ⎟ ≈ − σ t sdxdα .
                                 ⎝2 2 ⎠      2
      Сила от действия внутреннего давления р P=pdxdу.
      Алгебраическая сумма проекций всех сил должна быть равна нулю. То-
гда
                          σ m sdydβ + σ t sdxdα − pdxdy = 0 .
Так как      dx = dβR 1   и dy = dαR2 ,        получим окончательно уравнение
Лапласа
                           σ m σt       p
                               +     = .                                       (2.3)
                           R 1 R2 s
      Для расчета одного уравнения с двумя неизвестными недостаточно, по-
этому следует найти еще одно уравнение. Таковым будет уравнение равнове-
сия зоны оболочки.
      Рассмотрим условие равновесия зоны оболочки ниже уровня ее опоры
(рис. 2.3). Кольцевым сечением выделим эту зону на уровне mn. На зону дей-
ствуют силы:
                               - от давления среды p на уровне mn;
                               - вес оболочки и содержимого в зоне G;
                               - сила упругости U – меридиональная сила.
                               Так как расчет производится по безмоментной
                               теории, то моменты и перерезывающие силы
                               принимаются равными нулю.
                                      В соответствии с рисунком:
                                   AB = AC = R2 . BA / = CA / = r ; r = R2 sin β .
      Рис. 2.3. Равновесие
                                     Тогда уравнение равновесия зоны оболоч-
         зоны оболсчки
                              ки, т.е. сумма проекций всех сил на ось Х, будет
                                  2πσ m sR2 sin 2 β − pπR2 sin 2 β ∓ G = 0 ,
                                                         2
                                                                               (2.4)
где знак (-) характерен для данного случая, а (+) – когда сечение mn находит-
ся выше уровня опоры и рассматривается верхняя отсеченная часть.
                         Используя уравнения (2.1) – (2.4) можно получить
                   расчетные формулы для вычисления напряжений в любой
                   точке оболочки вращения.

                        Тонкостенная цилиндрическая оболочка, нагруженная
                   внутренним газовым давлением р (рис. 2.4). Радиусы мери-
                   дионального и кольцевого сечений равны соответственно
      Рис. 2.4                         R1=∞;      R2=R,
                   где R – радиус цилиндра.
       Тогда, по уравнению Лапласа (равновесия элемента оболочки),


                                                                                 23


                    U T                                  pR
                       + = p;        T = pR;        σt =      .
                    R1 R                                  s
Из уравнения равновесия зоны оболочки (без учета веса среды и оболочки)
получим
                                                       π         pR        pR
                        2U sin β − pR sin β = 0; β = ; U =          ; σm =    .
                                                       2          2        2s
                            В действительности в результате действия нор-
                      мальных напряжений в стенке тонкостенного сосуда
                      все же возникают изгибающие моменты, изменяющие
                      кривизну оболочки. Для оценки их значения рассмот-
                      рим определение кольцевых моментов в цилиндриче-
                      ской оболочке (рис. 2.5).
                            В результате упругой деформации от давления р
                      дуга АВ принимает размер А/В/. Это происходит за
                      счет растягивающих сил Т. Кривизна дуги уменьшает-
                      ся за счет действия кольцевых моментов К, лежащих в
                      плоскости кольца.
       Рис. 2.5               Относительное удлинение элемента цилиндра
                       определяется по формуле
                                        σ
                                    ε= t ,
                                        E
где Е – модуль упругости материала цилиндра.
Для цилиндрической обечайки
                                        pR
                                    ε=      .
                                        sE
Под влиянием момента К изменяется кривизна элемента, т.е. радиус R полу-
чает приращение ΔR:
                                            pR           pR 2
                  R + ΔR = R + εR = R +        R= R+           .
                                            sE           sE
      Величину изменения кривизны элемента под влиянием момента К
можно выразить так:
                               1      1        K
                                 −          =    ,
                               R R + ΔR EJ
откуда
                                    ⎛1        1 ⎞
                            K = EJ ⎜ −             ⎟.
                                    ⎝ R R + ΔR ⎠
Преобразуя выражение в круглых скобка и учитывая, что R2>>RΔR, получим
                             ΔR           pR 2           pJ
                    K = EJ 2 ; ΔR =            ; K=          .
                             R             sE             s




24


     Относя кольцевой момент к единице длины стенки, т.е. к прямоуголь-
нику длиной 1 и шириной s, находим
                  1⋅ s 3      1⋅ s 2        K s3 p 6   p
              J=         ; W=        ; σ=     = ⋅ ⋅ 2 = .
                   12           6          W 12 s s    2
     Таким образом, величина напряжения от изгиба в цилиндрической
обечайке равна примерно p/2, что в R/s раз меньше σt .

     Тонкостенная сферическая оболочка, нагруженная внутренним газо-
вым давлением р (рис. 2.6). Радиусы меридионального и кольцевого сечений
                      равны радиусу шара: R1=R2=R.
                            По уравнению равновесия зоны оболочки (без
                      учета веса среды и оболочки) получим
                                      2U sin β − pR sin β = 0 ;
                                           pR             pR
                                      U=       ; σm =         .
                                            2             2s
      Рис. 2.6            Из уравнения Лапласа
                   U T
                       + = p; U + T = pR;
                    R R
                      pR                          pR
                          + T = pR;   σt = σ m =      .
                       2                          2s

     Тонкостенная коническая оболочка, нагруженная внутренним газовым
давлением р (рис. 2.7).
                      Для возможного применения уравнения равновесия зо-
               ны оболочки выразим текущий радиус и угол β через из-
               вестные величины
                                              π
                            r = x sin α;   β = − α; sin β = cos α .
                                              2
               Тогда (без учета веса среды и оболочки) получим
    Рис. 2.7                                       pxtgα            pxtgα
                    2U cos α − px sin α = 0;   U=         ;    σm =       .
                                                      2              2s
По уравнению Лапласа
                 U T
                    +    = p;      R1 = ∞; R2 = R ( x) = xtgα;
                 R1 R2
                                              pxtgα
                         T = pxtgα;      σt =       .
                                                s
     Полученные формулы применимы для конических оболочек с углом
при вершине конуса 2α≤160°.




                                                                        25


     Тонкостенная цилиндрическая оболочка, нагруженная внутренним гид-
                 ростатическим давлением жидкости плотностью ρ (рис.
                 2.8).
                       В случае опоры оболочки на днище гидростатиче-
                 ское давление столба жидкости вызывает только кольце-
                 вые напряжения. Без учета веса оболочки меридиональная
                 сила и меридиональные напряжения равны нулю, т.е.
                                     U = 0;   σm = 0 .
                 Тогда из уравнения Лапласа, при R2=R и гидростатиче-
     Рис. 2.8    ском давлении на высоте уровня жидкости x, равном ρgx,
                 кольцевая сила Т будет равна
                               T = ρgxR .
Соответственно кольцевые напряжения
                                    ρgxR
                               σt =      .
                                      s

                 2.2. Основы расчета тонкостенных сосудов,
                   работающих под внутренним давлением
      Согласно безмоментной теории расчета на прочность в каждом элемен-
те тонкостенного сосуда действует два напряжения – меридиональное σm и
кольцевое σt, причем всегда σt≥σm.
      Продольные и поперечные швы обечаек сварных стальных сосудов и
аппаратов должны быть только стыковыми. Допускается тавровое соедине-
ние при приварке плоских днищ, фланцев и т.п. В продольных сечениях тон-
костенных сосудов кольцевые напряжения больше меридиональных (за ис-
ключением сферических оболочек), поэтому при раскрое листов следует
обеспечить минимум продольных швов в обечайке. Продольные швы в
смежных обечайках должны быть смещены относительно друг друга не ме-
нее чем на 100 мм. Не рекомендуется делать отверстия по продольным швам.
      Мембранная теория не учитывает радиальных (σr) и изгибающих (σ)
напряжений (в принципе σr=р, σ=p/2) вследствие их малости по сравнению с
кольцевыми и меридиональными. Поэтому для расчета толщины стенки тон-
костенных оболочек применяют третью теорию прочности:
                              σ экв = σ max − σ min ,
где  σэкв – эквивалентное напряжение;
     σmax – максимальное напряжение;
     σmin – минимальное напряжение.
Условие прочности имеет вид           σ экв ≤ [σ] .
В случае мембранной теории            σ max = σ t ; σ min = σ r ≈ 0 .   Тогда
                         σ экв = σ t , или σ t ≤ [σ] .


26


       Если принять, что σ t = [σ] , то для случая тонкостенного цилиндра
можно получить расчетную формулу для толщины стенки
                                          pR pD
                                    sR =      =     ,                        (2.5)
                                          [σ] 2[σ]
где D – срединный диаметр цилиндрической обечайки.
       Учитывая наличие сварных швов, исполнительная толщина стенки ци-
линдра будет
                                           pD
                                     s=         +c,
                                         2[σ]ϕ
где ϕ - коэффициент прочности продольного сварного шва.
       Подставляя в уравнение (2.5) вместо диаметра D срединной поверхно-
сти внутренний диаметр обечайки DB = D − s R ,              получим для цилиндра
                                           pDB
                                    s=             +c.                       (2.6)
                                        2[σ]ϕ − p
                      [σ]ϕ
При соотношении            ≥ 50 величиной р в знаменателе уравнения (2.6) мож-
                        p
но пренебречь и использовать упрощенное уравнение
                                         pDB
                                    s=         +c.                           (2.6)
                                        2[σ]ϕ
       Используя при расчете в качестве базового наружный диаметр цилинд-
ра, т.е. Dн = D + s R , получим
                                          pDн
                                   s=             +c.
                                       2[σ]ϕ + p
       Рассматривая аналогичным образом сферическую оболочку, имеем
                                            pD
                    σ max = σ t = σU = σ =      ;   σ min = σ r ≈ 0 .
                                             4s
                                        pD
Тогда                              s=        +c,      или
                                      4[σ]ϕ

                                     pDB
                                     s=     +c.                   (2.8)
                                  4[σ]ϕ − p
     Рассматривая коническую обечайку, можно полагать, что максималь-
ные меридиональные и кольцевые напряжения будут на расстоянии l от вер-
шины конуса, где l – длина образующей конической оболочки. Тогда

                            σ max = σ t ;    σ min = σ r ≈ 0 ;

                                pltgα              R                   pR
                 [ σ] = σ t =         ;     l=         ;   [ σ] =           .
                                 sR              sin α              s cos α


                                                                                27


Окончательно
                                  pDB
                        s=                   + c.                    (2.9)
                             2[σ]ϕ cos α − p

               2.3. Основы расчета тонкостенных сосудов,
                 работающих под наружным давлением
      При работе обечаек под внутренним давлением в их стенках возникают
нормальные растягивающие напряжения, а при их работе под наружным дав-
лением – сжимающие напряжения. Поэтому при расчете на прочность обеча-
ек, работающих под наружным давлением, можно использовать формулы,
выведенные для обечаек, работающих под внутренним давлением. Однако
наличие наружного давления может привести к потере устойчивости формы
оболочки.
      Из теории расчета на устойчивость упругих стержней следует, что
стержень легко выдерживает растягивающую нагрузку и не выдерживает оп-
ределенной, т.н. критической, нагрузки при сжатии. При постепенном на-
гружении стержня сжимающей нагрузкой сохраняется одна и та же форма
устойчивого равновесия. По достижении критической величины нагрузки
скачком теряется первоначальная форма стержня и появляется новая форма
устойчивого равновесия.
      Это относится и к другим конструкциям, где возникают деформации
сжатия. Так, тонкостенные сосуды, работающие под наружным давлением,
должны иметь более прочную конструкцию, чем такие же аппараты, рабо-
тающие под внутренним давлением.
      Давление, при котором тонкостенные сосуды теряют устойчивость
формы, называется критическим. Под действием такого давления попереч-
ное сечение первоначально круглой обечайки приобретает волнообразную
форму, причем напряжения сжатия в ее стенках могут быть меньше предела
текучести материала элемента аппарата.
      Потеря устойчивости формы цилиндрической оболочки может про-
изойти и при давлении ниже критического в случае овальности ее попереч-
ного сечения, которое ограничивается нормами. Овальность стальных свар-
ных сосудов при нагружении их наружным давлением не должна быть менее
0,005D, но не более 20 мм, а для корпусов теплообменников – не более 7 мм.
      Величина критического давления зависит от геометрической формы,
размеров аппарата и от механических свойств материала его стенок.

      Определение критического давления. Рассмотрим задачу об устойчиво-
сти кольца, сжатого равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q
(рис. 2.9).
      При некотором значении этой нагрузки круговая форма кольца стано-
вится неустойчивой и оно изгибается, принимая примерно форму эллипса.


28


           Выделим из изогнутого кольца элементарный участок длиной dl (рис.
                           2.10). Местный радиус кривизны будем считать рав-
                           ным R, т.е. ρ≈R. В сечениях кольца возникают нор-
                           мальные силы и изгибающие моменты. Нормальная
                           сила состоит из двух слагаемых:
                                       N0 – нормальная сила до потери устойчи-
                           вости;
                                       N – изменение нормальной силы вследст-
                           вие изгиба кольца.
           Таким образом, N0+N – нормальная сила после потери устойчивости.
                      Из условия равновесия в докритическом состоянии
Рис. 2.9        N 0 = qR .
           Рассмотрим условие равновесия изогнутого элемента. Спроектируем
     все силы на направление нормали и запишем, полагая, что
                                             dl                            dl
                                        dϕ = ,       qdl + dQ − ( N 0 + N ) = 0 .
                                             ρ                             ρ
                                   Далее, подставляя значение N 0 = qR , полу-
                                   чим
                                               ⎛ 1 1 ⎞ 1 dQ N
                                             q⎜ − ⎟ + ⋅
                                               ⎜ R ρ ⎟ R dl − ρR = 0 .
                                               ⎝       ⎠
                                                                               1 1
                                    Обозначая изменение кривизны            χ= −
                                                                               ρ R
                                   и учитывая, что ρ≈R, получим
                Рис. 2.10                                1 dQ N
                                                 − qχ + ⋅     −       = 0.
                                                         R dL R 2
           Составим еще два возможных уравнения равновесия:
                                      Q dN
                                        +     = 0;
                                      R dl

                                  dM
                                      + Q = 0.
                                   dl
    Из трех уравнений исключаем Q и N. Тогда
                            dχ 1 d 3 M     1 dM
                          q   + ⋅ 3 + 2⋅          = 0,
                            dl R dl        R   dl
    или после интегрирования
                               1 d 2M    1
                          qχ + ⋅ 2 + 2 M = C1 .                   (2.10)
                              R dl       R
         Изгибающий момент связан с изменением кривизны известным соот-
    ношением



                                                                               29


                                       ⎛1 1 ⎞
                             M = EJ ⎜ − ⎟ = EJχ .
                                       ⎜ρ R⎟
                                       ⎝         ⎠
Исключая из (2.10) момент М, получаем уравнение относительно одного не-
известного χ
                                 d 2χ                 R
                                       + k 2 χ = C1      ,            (2.11)
                                 dl 2                EJ
где
                                         1 qR
                                 k2 = 2 +          .                  (2.12)
                                        R      EJ
Решение уравнения (2.11) –
                                    R
                         χ = С1 2         + C 2 sin kl + C3 cos kl .  (2.13)
                                 k EJ
     Для замкнутого кольца критическую нагрузку можно определить из ус-
ловия периодичности решения (2.13), т.е. если l = 2πR , то функция χ остает-
ся неизменной. Но для этого необходимо, чтобы kl менялось кратно 2π. По-
этому
                              k (l + 2πR) − kl = 2πn ,
где n – любое целое число. Тогда
                                        kR=n.
Подставляя значение k в (2.12), получим
                                         (n 2 − 1) EJ
                                 q кр =         3
                                                       .              (2.14)
                                              R
     Минимальное, отличное от нуля, значение критической нагрузки будет
                                  min     3EJ
при n=2, т.е.                   q кр = 3 .
                                           R
При таком значении нагрузки кольцо теряет свою форму, приобретая оваль-
ность (эллипсность).
     Если кольцо подкрепить четным числом (2n при n>2) равноотстоящих
опор (рис. 2.11), то изгиб произойдет по 2n полуволнам и критическое значе-
ние нагрузки можно определить по формуле (2.14) для заданного значения n.
                                  В большинстве случаев для сохранения ус-
                           тойчивости формы оболочки целесообразно не уве-
                           личивать толщину ее стенки, а устанавливать спе-
                           циальные кольца жесткости, которые будут вос-
                           принимать часть нагрузки. Они могут располагать-
                           ся внутри и снаружи аппарата. Их обычно соеди-
                           няют с обечайкой методом сварки двухсторонними
                           прерывистыми швами с общей длиной шва не ме-
                           нее половины длины окружности кольца в месте
         Рис. 2.11         его соединения. Расстояние между сварными уча-



30



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика