Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математика до вуза: Контрольное задание N3. Тригонометрические неравенства, текстовые задачи, прогрессии, элементы математического анализа

Голосов: 2

Контрольное задание к учебному курсу "Математика для подготовки к вузу" для учащихся Заочной естественно-научной школе (ЗЕНШ) при Красноярском государственном университете. Темы: тригонометрические неравенства; вычисление производной; уравнения касательной к графику функции; исследование функции с помощью производной; действие с векторами; текстовые задачи; прогрессии.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
      Агентство образования администрации Красноярского края
         Красноярский государственный университет
        Заочная естественно-научная школа при КрасГУ




                 «МАТЕМАТИКА ДО ВУЗА»
                  Контрольное задание № 3




Авторы программы: Е.К. Лейнартас, д-р физ.-мат. наук
                    В.М. Трутнев, канд. физ.-мат. наук




                      Красноярск, 2006


Составители: Е.К. Лейнартас, В.М. Трутнев


Математика до вуза: Контрольное задание №3. /Сост: Е.К. Лейнартас, В.М.
Трутнев; КрасГУ. – Красноярск,-2006- 8с.




Печатается по решению Дирекции
Краевого государственного учреждения дополнительного образования
Заочная естественно-научная школа
при Красноярском государственном университете




                                                    ©Красноярский
                                                     государственный
                                                     университет, 2006


                      Êîíòðîëüíîå çàäàíèå 3
       äëÿ çàî÷íûõ ïîäãîòîâèòåëüíûõ êóðñîâ ÇÅÍØ ïðè ÊðàñÃÓ,
                       2006  2007 ó÷åáíûé ãîä

       Óêàçàíèÿ ïî âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíûõ çàäàíèé.
       ×àñòü A ñîäåðæèò 20 íåñëîæíûõ çàäàíèé (êàê ïðàâèëî, îíè îöå-
    íèâàþòñÿ â 1 áàëë), ê êàæäîìó äàíû 4 âàðèàíòà îòâåòîâ, èç êîòîðûõ
    òîëüêî îäèí âåðíûé. Â òàëîíå îòâåòîâ Âû äîëæíû óêàçàòü íîìåð
    âûáðàííîãî Âàìè îòâåòà.
       ×àñòü B ñîäåðæèò 15 áîëåå ñëîæíûõ çàäàíèé (êàê ïðàâèëî îíè
    îöåíèâàþòñÿ â 1  2 áàëëà). Ïîñëå èõ âûïîëíåíèÿ â òàëîíå îòâåòîâ
    òðåáóåòñÿ çàïèñàòü òîëüêî ïîëó÷åííûé îòâåò. ×àñòü C ñîäåðæèò 5
    íàèáîëåå ñëîæíûõ çàäàíèé (îíè îöåíèâàþòñÿ â 4 áàëëà), ïîäðîáíîå
    ðåøåíèå êîòîðûõ ïðèâåäèòå â îòäåëüíîé òåòðàäè.
       Äëÿ ïðîâåðêè ïî àäðåñó ïîäãîòîâèòåëüíûõ êóðñîâ âûñûëàéòå
    çàïîëíåííûé òàëîí îòâåòîâ è òåòðàäü ñ ðåøåíèÿìè çàäà÷ ÷àñòè C.

Òåìû: òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà; âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé; óðàâíåíèÿ
êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè; èññëåäîâàíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ïðîèç-
âîäíîé; äåéñòâèå ñ âåêòîðàìè; òåêñòîâûå çàäà÷è; ïðîãðåññèè.

A1. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 2 cos x > 1 ÿâëÿþòñÿ ïðîìåæóòêè:
    1) (− π + 2πn; π + 2πn);
           6         6
                               2) (− π + 2πn; π + 2πn);
                                       3      3
    3) ( π + 2πn; 5π + 2πn); 4) (− π ; π ).
         3         3               3 3
                                          √
A2. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 2| cos 2x|           3 ÿâëÿþòñÿ ïðîìåæóòêè:
    1) ( 12 + π n; 5π + π n); 2) ( π + πn; 5π + πn);
         π
              2    12   2          6        6
    3) (− π + πn; π + πn); 4) (− 12 + πn; 12 + πn).
           6        6
                                     π        π




                                      1


                                                  √
                                                        2
A3. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà | sin x| >                  ÿâëÿþòñÿ ïðîìåæóòêè:
                                                 2
    1) (− π + 2πn; π + 2πn);
           4         4
                                           2) (− π + πn; π + πn);
                                                  4       4
         π        3π
    3) ( 4 + 2πn; 4 + 2πn);                4) 1) ( 4 + πn; 3π + πn).
                                                   π
                                                            4

A4. Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f (x) = − sin x + x7 :
                 x8                        x2
    1) cos x +   8
                    ;    2)− cos x +       8
                                              ;       3) cos x + 7x6 ;   4) − cos x + 7x6 .

A5. Íàéäèòå óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíê-
    öèè f (x) = x − 3 ln x â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 = 3:
    1) 0;    2) 2;      3) −7;      4) −6.
                                                            3−x
A6. Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y =                              â òî÷êå x = −3 ðàâíî:
                                                            2+x
    1) −6;     2) −7; 3) −1;               4) −5.

A7. Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
    f (x) = 4 − x2 â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 = −3 ðàâåí:
    1) 0;    2) −5;       3) −6;      4) 6.

A8. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x) = −x3 + 3x íà îòðåçêå [−1; 2]
    ðàâíî:
    1) −4;     2) 4;       3) 2;      4) −2.

A9. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f (x) = 2x3 + 2x2 − 3x + 6
    â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 = −1 èìååò âèä:
    1) y = 8 − x;          2) y = 8 + x;              3) y = x − 8;      4) y = 8x − 1.

A10. Êîëè÷åñòâî òî÷åê ýêñòðåìóìà ôóíêöèè y = 3x4 − 16x3 − 3 ðàâíî:
    1) 4;    2) 3;      3) 2;      4) 1.



                                                  2


                                                                 √
A11. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè f (x) = 6 x + 4 ñ óãëîâûì êîýôôè-
     öèåíòîì k = 0, 6 ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ â òî÷êå x ðàâíîé:
    1) −28;          2) −29;           3) −30;         4) −31.

A12. Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = (x + 2) ln x â òî÷êå x = 1 ðàâíî:
    1) 3 + ln x;           2) 3;       3) 2;      4) 3 ln x.

A13. Îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè y = 4 cos 2x ðàâíà:
    1) [−4; 4]; 2) [−8; 8];              3) [−5; −3];      4) [3; 5].

A14. Äàíû âåêòîð a = (−1; 5) è òî÷êà A(4; 2). Íàéäèòå äëèíó âåêòîðà
     −→
     AB , åñëè èçâåñòíî, ÷òî B ëåæèò íà îñè Oy è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
         −→
     a · AB = 4.
        √                 √            √
    1) 2     5;      2)
                    26;    3) 4;   4) 4 2.
                   −→              −→
A15. Äàíû âåêòîðû AB(α; β; −6) è AC = (4; 2; −3). Åñëè òî÷êè A, B, C
     ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî ñóììà α + β ðàâíà:
    1) 14;        2) 10;      3) 18;     4) 12.

A16. Åñëè âåêòîð a + b äåëèò óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a(111; 222; 333) è b
     ïîïîëàì, òî |a| − |b| ðàâíî:
    1) 111;        2) 0;      3) 7;      4) 10.
                                                                        −→
                                                                         −
A17. Åñëè â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD çàäàíû D(3; 1; −5), DC(−2; −1; 2),
     −→
      −
     DB(4; −3; −1), òî ñóììà êîîðäèíàò âåðøèíû A ðàâíà:
    1) 1;         2) −1;       3) 0;       4) 2.




                                                   3


A18. Äàíû âåêòîðû a(5; −2; 3), b(2; −3; 1) è c = a − 2b. Óãîë ìåæäó
     âåêòîðàìè a è c ðàâåí:
    1) 45◦ ;    2) 60◦ ;    3) 90◦ ;     4) 120◦ .
                    √
A19. Åñëè |a| =    137, |a + b| = 20 è |a − b| = 18, òî |b| ðàâåí:
                  √          √
    1) 15;      2) 13;     3) 27;    4) 5.

A20. Äëèíà îñíîâàíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ
     A(2; 3; 1), B(1; 3; 3), C(2; 4; 3) ðàâíà . . .
                    √             √
    1) 2;      2)    2;    3) 2    2;   4) 4.
                                                      √
                                                       2
 B1. ×èñëî öåëûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà cos x <   íà ïðîìåæóòêå [0, 2π]
     ðàâíî . . .
                                             2
                                                     √
 B2. ×èñëî öåëûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà sin x +          3 cos x < 1, ïðèíàäëåæà-
     ùèõ îòðåçêó [0, 2π], ðàâíî . . .
                                                x5             2
 B3. Íàéäèòå çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x) = −   + x3 + 4x − â òî÷êå ìèíè-
     ìóìà.
                                        5            5

 B4. Íàéäèòå äëèíó ïðîìåæóòêà âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè
             1
    f (x) = − x3 + 4x2 − 15x.
             3
 B5. Òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè f (x) = ex+3 x4 ðàâíà . . .

 B6. Ñóììà êîîðäèíàò òî÷êè ñ ïîëîæèòåëüíîé àáñöèññîé, êàñàòåëüíàÿ ê êî-
     òîðîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f (x) = x2 − 3x + 16 ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî
     êîîðäèíàò, ðàâíà . . .

 B7. ×åðåç òî÷êó (1; −1) ïðîõîäÿò äâå êàñàòåëüíûå ê ãðàôèêó ôóíêöèè
                √
     f (x) = −2 x + 2. Ñóììà àáñöèññ òî÷åê êàñàíèÿ ðàâíà . . .


                                         4


 B8. Âçÿëè îäèíàêîâûå ìàññû ÿãîä è ñèðîïà. Èçâåñòíî, ÷òî â ÿãîäàõ ñîäåð-
     æèòñÿ 65% âîäû, à â ñèðîïå  15% âîäû. ßãîäû çàëèëè ñèðîïîì. Ñêîëü-
     êî ïðîöåíòîâ âîäû ñîäåðæèòñÿ â ñìåñè ÿãîä è ñèðîïà?

 B9.  àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè òðåòèé ÷ëåí ðàâåí 5, à ñóììà âòîðîãî è
     øåñòîãî ðàâíà 18, òîãäà ñóììà äåâÿòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè ðàâíà . . .

B10. Êàòåð ïðîøåë ïî òå÷åíèþ ðåêè ðàññòîÿíèå îò ïóíêòà A äî ïóíêòà B çà
     3 ÷àñà, à îò B äî A  çà 5 ÷àñîâ. Çà ñêîëüêî ÷àñîâ ïðîïëûâåò îò A äî
     B ïëîò?
B11.  àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè èçâåñòíû a14 = −72 è a35 = 117. Íî-
     ìåð k ÷ëåíà ýòîé ïðîãðåññèè, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî âñå å¼ ÷ëåíû íåîòðè-
     öàòåëüíû, ðàâåí . . .

B12. Äâà ýêñêàâàòîðà, ðàáîòàÿ îäíîâðåìåííî ñ îäèíàêîâîé ïðîèçâîäèòåëüíî-
     ñòüþ, ìîãóò âûðûòü êîòëîâàí çà 5 ÷àñîâ. Åñëè îäèí èç íèõ óâåëè÷èò
     ïðîèçâîäèòåëüíîñòü íà 50%, òî, ðàáîòàÿ îäíîâðåìåííî, îíè ñäåëàþò ýòó
     ðàáîòó çà . . .

B13. Ëîäêà çà 5 ÷àñîâ ïðîøëà ïî ðåêå 20 êì è âåðíóëàñü îáðàòíî. Åñëè ñêî-
     ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 3 êì/÷àñ, òî ñêîðîñòü ëîäêè ðàâíà . . .

B14.  ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñóììà ïåðâîãî è âòîðîãî ÷ëåíîâ ðàâíà
     −16, ñóììà âòîðîãî è òðåòüåãî ÷ëåíîâ ðàâíà −48, à né ÷ëåí ðàâåí
     −972. Òîãäà n ðàâíî . . .
B15. Ïåðâûé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè
     áîëüøå âòîðîãî íà 36, à òðåòèé áîëüøå ÷åòâåðòîãî íà 4, òîãäà ïåðâûé
     ÷ëåí ðàâåí . . .




                                    5


C1. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè b óðàâíåíèå x4 − 8x3 − 8x2 + 96x + b = 0 èìååò
    ðîâíî òðè êîðíÿ?

C2. Íàéäèòå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðîì íàèáîëüøåå îòðèöàòåëüíîå
                         ax + 16
   ðåøåíèå íåðàâåíñòâà              −7 ðàâíî −8.
                            x
C3. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ

                     y=    7
                               2x2 − (11a + 1)x − 2 + a
   èìååò ìèíèìóì â òî÷êå x0 = 3.

C4. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè
                     8               √
                y=       arctg(0, 25( 3 sin x − cos x + 2)).
                     π

C5. Èçâåñòíî, ÷òî 2/3 ìàøèí àâòîáàçû ëåãêîâûå, à îñòàëüíûå  ãðóçîâûå.
    Äîëÿ èñïðàâíûõ ìàøèí íà àâòîáàçå ðàâíà 3/4, à äîëÿ èñïðàâíûõ ìà-
    øèí ñðåäè ãðóçîâûõ ðàâíà 1/2. Íàéòè äîëþ èñïðàâíûõ ìàøèí ñðåäè
    ëåãêîâûõ.




                                     6


МАТЕМАТИКА ДО ВУЗА: Контрольное задание № 3



Составитель: Евгений Константинович Лейнартас,
             Вячеслав Михайлович Трутнев

Редактор: О.Ф.Александрова
Корректура автора



Подписано в печать 25.12.2006.     Формат 60х84/16.
Бумага газетная.                   Печать ризографическая.
Усл. печ. л. 0,5.




Тиражируется на электронных носителях
Адрес в Internet: zensh.ru/resourses


Отдел информационных ресурсов управления информатизации КрасГУ
660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 22-05, e-mail: info@lan.krasu.ru




Издательский центр Красноярского государственного университета
660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mail: rio@lan.krasu.ru



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика