Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачи с параметрами. Серия: Математика для абитуриентов. Сам себе репетитор: Учебное пособие

Голосов: 7

Изучение физических, химических, экономических и многих других закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами, к исследованию процесса в зависимости от параметра. Поэтому навыки решения задач с параметрами, знание некоторых их особенностей нужны всем специалистам, в любой области научной и практической деятельности. Для старшеклассников, абитуриентов, участников физико-математических олимпиад, учителей, преподавателей и слушателей подготовительных курсов.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     Дальневосточный государственный университет
  Институт математики и компьютерных наук




                  Г. К. Пак




ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ




                Владивосток
 Издательство Дальневосточного университета
                   2000


ББК 22.10



П 13 Пак Г.К.
   Задачи с параметрами. Серия: математика для абитуриента. Сам себе
репетитор. Учебное пособие. Владивосток. Изд-во Дальневосточного университета,
2000, 16 с.




   Изучение физических, химических, экономических и многих других
закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами, к исследованию
процесса в зависимости от параметра. Поэтому навыки решения задач с
параметрами, знание некоторых их особенностей нужны всем специалистам,
в любой области научной и практической деятельности.
   Для старшеклассников, абитуриентов, участников физико-математиче-
ских олимпиад, учителей, преподавателей и слушателей подготовительных
курсов.




                                                         Издательство
                                                     Дальневосточного
                                                         университета
                                                                 2000


Предисловие
Задачи с параметрами по сути тест на проверку уровня математической
культуры, на ее присутствие или отсутствие. Причем возникают они не
только в алгебре или геометрии. Изучение физических, химических, экономических
и многих других закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами,
к исследованию процессов в зависимости от параметра. Практически каждая
задача из учебника физики или экономики это текстовая алгебраическая
задача с параметрами.
   Решение задач с параметрами требует особой тщательности и глубины
анализа. При этом следует правильно разрешить три главные проблемы:

   • особое правило записи ответа задач с параметрами,
   • учет области допустимых значений,
   • учет области применимости формул.

   Особое правило записи ответа вытекает из самой постановки задачи с
параметрами. Решить уравнение с параметром это значит для каждого
значения параметра выяснить имеет ли уравнение корни или нет; если
уравнение имеет корни, то найти их. Аналогично трактуется вопрос о
решении уравнений или неравенств, или систем с одним или несколькими
параметрами.
   Необходимо четко сформулировать в решении задачи с параметрами
условия, указывающие область допустимых значений уравнения или неравенства,
область допустимых значений параметров. Учет области применимости
формулы часто является ядром задания задачи с параметром. При этом
надо учитывать свойства участвующих функций. От них зависят условия,
обеспечивающие равносильность преобразований. Такие условия особенно
важны при решении неравенств. Для того чтобы были соблюдены все
эти требования, во многих пособиях рекомендуется записывать все их в
виде системы и затем осуществлять равносильные переходы от системы к
системе.
   В брошюрах серии Математика для абитуриента. Сам себе репетитор
рассматриваются в основном методы решения задач, предлагаемых на вступительных
экзаменах в вузы или на олимпиадах. Уже вышли в свет брошюры Метод
интервалов , Метод оценок , Медиана , Биссектриса , Высота треугольника ,
 Сегмент, вмещающий данный угол , Метод площадей , Задачи на построение ,
 Графики , Целые числа .




                                  3


1    Особое правило записи ответа
Для каждого значения параметра или набора значений параметров указать
имеет ли задача решение и если имеет, то привести все решения.
   Если хотя бы для одного значения параметра или хотя бы для одного
набора значений параметров из записи ответа не видно имеет ли задача
решение или нет или неясно, как выглядит решение, то проведенное исследование
нельзя считать полным.
Пример: Решите уравнение ax = b.
Ответ: нет корней, если a = 0, b = 0;
       любое число, если a = 0, b = 0;
       b/a, если a = 0.


Пример: Решите уравнение (a2 − 9)x = (a − 1)(a + 3).
Ответ: (a − 1)/(a − 3), если a = −3, a = 3,
       любое число, если a = −3, нет корней, если a = 3.

Пример: Решите уравнение ax + by = k.
Ответ: (α, β), если a = b = k = 0;
       нет решений, если a = 0, b = 0, k = 0;
       (α, (k − aα)/b), если b = 0;
       ((k − bβ)/a, β), если a = 0, где α и β любые числа.

                           ax + by = k,
Пример: Решите систему:
                           cx + dy = 1.

Ответ: (α, β), если a = b = c = d = k = l = 0;
       нет решений, если ad = cb, kd = lb или al = ck; или если a = b =
       c = d = 0, k = 0 или l = 0;
       (kd − lb, al − ck), если ad = cb,
       ((k − bβ)/a, β), если ad = cb, kd = lb, al = ck, a = 0,
       (α, (k − aα)/b), если ad = cb, kd = lb, al = ck, b = 0,
       ((l − dβ)/c, β), если ad = cb, kd = lb, al = ck, c = 0,
       (α, (l − cα)/d), если ad = cb, kd = lb, al = ck, d = 0,

где α и β   любые числа.
Пример: Решите неравенство ax < b.

                                    4


Ответ: нет решений, если a = 0, b 0,
       любое число, если a = 0, b > 0,
       (−∞, b/a), если a > 0,
       (b/a, +∞), если a < 0.

Пример: Решите неравенство loga x > loga 5.
Ответ: нет решений при a < 0 или a = 1;
       (0; 5) при 0 < a < 1;
       (5; +∞) при a > 1.

Пример: Решите неравенство ax < a3 при a > 0.


Ответ: ∅ при a = 1;
       (3, +∞) при 0 < a < 1;
       (−∞, 3) при a > 1.


2    Учет области допустимых значений
При решении обычных уравнений ОДЗ можно не находить. Но в уравнениях
с параметрами это, как правило, необходимо, а чаще всего учет ОДЗ составляет
задание.
                              a      √
Пример. Решите уравнение √         = x − 7.
                             x+7
  . Для x 0 уравнение равносильно такому: a = x − 49, т. е. x = a + 49;
a + 49 0.
Ответ: нет решений при a ∈ (−∞, −49), a + 49 при a ∈ [−49, +∞).
Замечание. Типичная ошибка в таких примерах       не учитывается ОДЗ
уравнения. В данном случае, как правило, ответ записывается просто:
x = a + 49. Но для a < −49 это значение переменной x не удовлетворяет
уравнению.
                             √
Пример. Решите неравенство a x + 1 < 1.
  . ОДЗ: x 1. Если a 0, то неравенству удовлетворяют все значения
                                      √         1
переменной x из ОДЗ. Если a > 0, то x + 1 < , т. е. с учетом ОДЗ
                                                a
               1
−1 x −1 + 2 .
               a
                                    1
Ответ: [−1, +∞) при a 0; −1, −1 + 2 при a > 0.
                                    a


                                    5


                            √        √
Пример. Решите неравенство x + 2       x − a.
  . x −2, x a. После возведения в квадрат обеих частей неравенства
получим a −2. Следовательно, x a.
Ответ: нет решений при a ∈ (−∞, −2); [a, +∞) при a ∈ [−2, +∞).

Пример. Упростите выражение

                                     2 cos2 π − sin2 2a
                                            4
                  sin( π
                       3    + a) sin( π − a) + sin( π + a) cos( π + a)
                                      3             6           3

Решение
                                2 cos2 π − sin2 2a
                                       4
                                                                  =
              sin( π
                   3   + a) sin( π − a) + sin( π + a) cos( π + a)
                                 3             6           3
                                   1 − sin2 2a
          =                                                         =
              sin( π + a) cos( π − π + a) + sin( π + a) cos( π + a)
                   3           2   3             6           3
                                       1 − sin2 2a
          =                                                           =
              sin( π
                   3   +   a) cos( π
                                   6   + a) + sin( π + a) cos( π + a)
                                                   6           3
                            2
                       cos 2a            cos2 2a     cos2 2a
          =                         =              =         = cos 2a.
              sin( π
                   3
                             π
                       + a + 6 + a)        π
                                      sin( 2 + 2a)    cos 2a

Знаменатель исходного выражения равен cos 2a. Поэтому должно выполняться
                               π                     π πn
условие cos 2a = 0, т. е. 2a = + πn, n ∈ Z, или a = +      , n ∈ Z.
                                2                    4   2
                         π πn
Ответ: cos 2a, если a = +        , n ∈ Z.
                         4    2
          π πn
Если a = +        , n ∈ Z, то исходное выражение не определено.
          4     2


3    Учет области применимости формулы
Пример. При каких значениях параметра a имеет ровно один корень
уравнение 2ax2 − 4(a + 1)x + 4a + 1 = 0?
  . При a = 0 получаем линейное уравнение −4x + 1 = 0 с единственным
корнем x = 1/4. При a = 0 получаем квадратное уравнение, которое имеет
единственный корень, если дискриминант равен нулю, т. е.

    4(a + 1)2 − 2a(4a + 1) = 0,            2a2 − 3a − 2 = 0,    a1 = −1/2, a2 = 2.

Ответ: 0, −1/2, 2.


                                               6


Замечание. Типичная ошибка при решении таких задач потеря корня, в
данном случае корня 0. Ошибка заключается в том, что решение сводится
только к выяснению условий равенства дискриминанта D нулю. Но ведь
                     √
                −b ± D
формулы x1,2 =           нахождения корней уравнения ax2 + bx + c = 0
                   2a
применимы лишь в случае, когда a = 0, т. е. когда уравнение квадратное.
Поэтому для применения формул корней квадратного уравнения следует
предварительно выяснить при каких значениях параметра коэффициент
при квадрате переменной отличен от нуля.
Пример. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения
4x2 − 28x + a = 0 равна 22, 5?
  . По теореме Виета x1 + x2 = 7, x1 x2 = a/4. Следовательно, x2 + x2 =
                                                                 1    2
(x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 49 − a = 22, 5 и a = 53. Но выписывать ответ рано.
                            2
Уравнение имеет решение, если D 0, т. е. 282 − 16a 0, a 49. Число 53
не может быть ответом, так как при этом значении a уравнение не имеет
корней.
Ответ: ни при каких значениях параметра a.

Пример. При каких значениях параметра m уравнение

                          42x − 4x+1 − 3m + m2 = 0

имеет единственный корень?
      . Заметив, что данное уравнение является квадратным относительно
4x , находим
                        4x = 2 ± 4 + 3m − m2 ,
где 4 + 3m − m2 0, т. е. −1 m 4.
    Если 4 + 3m − m2 = 0, то 4x = 2 и x = 1    2    единственный корень
уравнения при m = −1 или m = 4.                √
    Если 4 + 3m − m2 > 0, то уравнение 4x = 2 + 4 + 3m − m2 всегда имеет
один корень. Чтобы он был единственным необходимо, чтобы уравнение
          √
4x                     2
√ = 2 − 4 + 3m − m не имело корней, а это будет только тогда, когда
  4 + 3m − m  2  2. То есть имеем систему

   4+3m−m2 > 0,        4 + 3m − m2   2, =⇒ m2 −3m−4 < 0m2 −3m     0, =⇒ 0   m   3.

   Ответ: {−1; 4} ∪ [0; 3].




                                     7


                                 Упражнения
    1. При каком значении параметра a имеет единственный корень уравнение
(a − 1)x2 − 2(a + 1)x + a − 2 = 0?
Ответ: {1; 1 }.
            5
    2. При каких значениях m имеет единственный корень уравнение
a) 20002x − 6 · 2000x + m2 − 8m = 0.
b) 20002 sin x − 6 · 2000sin x + m2 − 8m = 0.


4      Метод введения дополнительного
       параметра
Пример. Если m + n = 2, то m4 + n4 2. Докажите.
  . Введем дополнительный параметр a, для которого m = 1 − a, значит,
n = 1 + a. Тогда m4 + n4 = 2 + 12a2 + 2a4 2.
                                                                     x
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y =               .
                                                                  1 + x2
                                             x
  . Введем дополнительный параметр a =           . Задача свелась к нахождению
                                          1 + x2
таких значений параметра, для которых имеет корни уравнение ax2 − x +
a = 0. При a = 0 уравнение имеет корень x = 0. Если a = 0, то уравнение
                                                               1        1
имеет корни тогда и только тогда, когда 1 − 4a2 0, откуда −        a       .
                                                               2        2
               1                     1
Ответ: ymin = − при x = −1; ymax = при x = 1.
               2                     2
Пример. Какое наименьшее значение может принимать выражение 2x − y,
если 3x2 + 3xy + x = 20, x2 − 4y 2 = 0?
  . Введем обозначение a = 2x − y. Тогда y = 2x − a. Задача свелась
к нахождению наименьшего значения параметра a, при котором имеет
решение система

    3x2 + 3x(2x − a) + x = 20,             9x2 + x(1 − 3a) = 20,
                                  =⇒
    x2 − 4(2x − a)2 = 0,                   x = 2(2x − a) или x = −2(2x − a).

После подстановки значения x = 2a/3 в первое уравнение получим 3a2 +
a − 30 = 0; a1 = −10/3, a2 = 3. Во втором случае после подстановки в
первое уравнение значения x = 2a/5 получим 3a2 + 5a − 250 = 0; a3 = −10,
a4 = 25/3. Если a = −10, то x = −4, y = 2.


                                       8


Ответ: наименьшее значение −10 выражение 2x − y принимает при x = −4,
y = 2.
                             Упражнения
                                                           x2 + x − 2
   1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = 2           .
                     √                   √                2x − x + 3
Ответ: ymin = (−1 − 208)/23, ymax = (−1 + 208)/23.
   2. Какое наименьшее значение может принимать выражение x+2y, если
x2 + y + 2x = 9, (x + y)2 = 9?
Ответ: −9 при x = 3, y = −6.
   3. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения 2x2 −xy−y 2 ,
если x2 + 2xy + 3y 2 = 4.


5    Исследование функций
Пример. При каких значениях параметра a имеют корни уравнения
а) sin6 x + cos6 x = a,
   √          √
б) x − 1 − x − 5 = a?
     а) Рассмотрим функцию f (x) = sin6 x+cos6 x. После цепочки преобразований
получим: f (x) = 1 − 3(sin 2x)2 − 4. 0    sin2 2x    1, 0   3    2
                                                            4 sin 2x
                                                                       3
                                                                       4,
  3      3    2         1    3   2
− 4 − 4 sin 2x 0, 4 1 − 4 sin 2x 1.
Ответ: уравнение имеет решение, если 1 a 1.
                                     √4        √
  . б) Представим функцию f (x) = x − 1 − x − 5 в виде
                                        4
                         f (x) = √        √   .
                                     x−1+ x−5

При x     5 функция непрерывна и убывает от 2 (включая) до нуля (не
включая).
Ответ: a ∈ (0; 2].

Пример. Найдите все значения a, при которых имеет решения уравнение
7 sin x + 3 cos x = a.
                                      √      7           3
  .                7 sin x + 3 cos x = 58       sin x +    cos x =
                   √                        58       √  58
                  = 58(cos ϕ sin x + sin ϕ cos x) = 58 sin(x + ϕ)
где ϕ = arctg 3 .
             √ √
              7
Ответ: a ∈ [− 58, 58].



                                      9


Пример. При каких значениях параметра a имеют разные знаки корни
уравнения x2 + x = a(a + 1)?
   . Нули функции f (x) = x2 + x − a(a + 1) существуют и имеют разные
знаки, если дискриминант 1 + 4a(a + 1) положителен и по теореме Виета
                              1
f (0) < 0, т. е. a(a + 1) > − 4 и a(a + 1) > 0.
Ответ: a ∈ (−∞, −1) ∪ (0, +∞).

Пример. Решите уравнение

(x + m + n)2 + (m + n − x)2 + (x − m + n)2 + (x + m − n)2 = 4(x2 + m2 + n2 ).

  . Положим f (x) = (x + m + n)2 + (m + n − x)2 + (x − m + n)2 + (x + m −
n)2 − 4(x2 + m2 + n2 ). Тогда сразу видим, что f (x) = 0, значит, f (x) = c,
где c число. А так как f (0) = 0, то c = 0 и f (x) ≡ 0.
Ответ: α, где α любое число.
                              Упражнения
    1. При каких значениях параметра a имеют корни уравнения 3 sin x −
             √         √
4 cos x = a, x − 1 − x − 5 = a?
    2. При каких c возрастают и не имеют критических точек функции
f (x) = 8cx − c sin 6x − 7x − sin 5x? g(x) = 5cx − sin 8x − c sin 3x − 3x?
    3. При каких значениях a отрицательна абсцисса точки экстремума
                   a
функции f (x) = x3 + (a + 2)x2 + (a − 1)x + 2?
                   3
    4. При каких значениях параметра a имеет ровно три корня уравнение
|x + 1||x − 3| = a?


6    Системы
                            mx + 2y = m − 1,
Пример. Решите систему
                            (10 − m)x + (m − 1)y = 3(1 − m).

     . Из первого уравнения y = 1 (m − 1 − mx), подставляя во второе,
                                  2
получим (10 − m)x + 1 (m − 1)(m − 1 − mx) = 3(1 − m) и после упрощений
                     2
(m + 5)(m − 4)x = (m + 5)(m − 1). При m = −5 (подставляем в исходную
систему!) система приобретает вид

                              −5x + 2y = −6,
                              15x − 6y = 18



                                     10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика