Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие подготовлено на кафедре "Высшая математика" МАТИ-РГТУ и включает два раздела: 1. Линейная алгебра (Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений); 2. Аналитическая геометрия (Векторная алгебра, Прямые и плоскости, Линейные операторы и кривые 2-го порядка). Наряду с теоретическим материалом, пособие включает примеры решения задач и упражнения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                          Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко




     Линейная алгебра и
  аналитическая геометрия
        учебное пособие




МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского
 Кафедра «Высшая математика»
            2011

                                            3


                  ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И
               АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


                      Методические указания

Начинайте каждое занятие с изучения лекции. При этом:
   вначале внимательно прочтите определения и осознайте смысл
     используемых терминов
   затем прочтите формулировки теорем, которые задают свойства
     изучаемых объектов
   разберите доказательства теорем и выводы формул
   в завершение работы прочтите всю лекцию еще раз, чтобы убедиться,
     что теоретический материал освоен.

Следующий этап работы – выполнение заданий практикума.
   каждую задачу попробуйте решить самостоятельно
   в случае неудачи посмотрите указание и вновь повторите попытку
   в случае повторной неудачи внимательно разберите приведенное
     решение
   если вы решили задачу самостоятельно (во всяком случае, ваш ответ
     оказался верным), все равно обязательно прочтите решение, данное в
     учебном курсе – это поможет вам проверить правильность
     примененного метода решения
   закончив решение всех задач практикума, обязательно вернитесь к тем
     из них, которые не получились в первый раз, и попробуйте вновь
     самостоятельно решить их.

При выполнении домашнего задания используйте материал лекции и
практикума.




4


                     1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


                              1.1. МАТРИЦЫ

               1.1.1. Матрицы. Операции над матрицами

                       Определение матрицы
                       1.

                     Матрицей А размера m n
                  называется таблица из т·п чисел

                               a11a12 ...a1n
                               a21a22 ...a2 n
                          A
                               .................
                               am1am 2 ...amn


Часто для краткости пишут А = ||aij||. Числа, из которых состоит матрица,
называются элементами матрицы. Индексы у элементов матрицы указывают
расположение этого элемента в таблице: первый индекс – номер строки, в
которой находится элемент, а второй – номер столбца. Например, элемент а23
находится на пересечении второй строки и третьего столбца:

                               a11a12 a13 ...a1n
                               a21a22 a23 ...a2 n
                               .................
                               am1am 2 am 3 ...amn
Элементы а11, а22, а33, … называются главной диагональю матрицы
                                 a11...............
                                 ......a22 .........
                                 ............a33 ...
                                 ...................
Если матрица А имеет размер n n, то такую матрицу называют квадратной
матрицей порядка п.
Две матрицы одинакового размера А = ||aij|| и B = ||bij|| называют равными
(при этом пишут А = В), если
                         aij bij ; i 1,..., m; j 1,..., n .




                                                                         5


Упражнение 1.
                                             1 1 2
                                     A             .
                                             3 4 3
Найти а12 и а23.

Решение.
Элемент а12 располагается в первой строке и втором столбце, то есть это
второй элемент первой строки: а12 = -1.
Соответственно а23 – элемент, стоящий во второй строке и в третьем столбце;
а23 = -3.

Упражнение 2.
Даны матрицы
                                         2
                                             1        4   1
                               A                 ,B           .
                                         2 3              3
При каких  и  А=В?

Решение.
У равных матриц должны быть равными соответствующие элементы. Для
элементов, заданных численно, это условие выполняется: a12 = b12 = 1,
a22 = b22 = 3. Поскольку b11 = 4, a a21 = -2, для равенства матриц А и В должны
выполняться условия:
                           2
                               4
                                 .
                               2
Следовательно,  = ±2,  = -2.

Ответ:  = ±2,  = -2.


                                     Сумма матриц


                    Суммой двух матриц одинакового размера
                   m n А = ||aij|| и B = ||bij|| называют матрицу С =
                         ||сij|| размера m n такую, что
                            cij aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n .




6


Пример 1.
       12               23                      1 2 2 3         1 5
 A     3 1 ,B           1 3        C    A B     3 1 1 3        4 4 .
       45               0 2                     4 0 5 2        4 7

Упражнение 3.
Даны матрицы
                                   1    3 2                3 2 1
                               A            ,       B            .
                                   5    4 7               4 1 2
Найти А+В.


Решение.
По определению суммы матриц матрица С = А + В имеет размер 2 3 , и ее
элементы являются суммами соответствующих элементов матриц А и В:
 c11   a11   b11       1 3     2; c12   a12   b12   3 2     1; c13   a13   b13   2 1 3;
 c21   a21   b21       5 4     9; c22   a22   b22   4 1    3; c23    a23   b23   7 2   9.
Следовательно, матрица С = А + В имеет вид:
                                    2    1 3
                   C    A B                  .
                                  9     3 9
                          2     1 3
Ответ: A B                            .
                         9     3 9


                          Не забывайте, что складывать можно
                          только матрицы одинакового размера!



Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.
Легко проверить, что выполнены следующие свойства для операции
сложения матриц:


                             1. А+В=В+А (коммутативность),
                             2. (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность),
                             3. А+0=А.




                                                                                            7


                Произведением матрицы размера тп А = ||aij||
                на число  называют матрицу того же размера
                С = ||сij|| такую, что
                              cij  aij , i 1,..., m; j 1,..., n .




Упражнение 4.
Дана матрица
                                                 1 7 3
                                         A             .
                                                 2 4 6
Найти матрицу С= -3А.

Решение.
Из определения произведения матрицы на число следует, что размер матри-
цы С совпадает с размером матрицы А ( 2 3 ), а каждый элемент матрицы С
равен соответствующему элементу матрицы А, умноженному на -3:
                     с11   3а11         3 1         3; с12     3а12     3 7   21;
                                  с13        3а13       3 ( 3) 9;
                 с21       3а21     3 2          6; с22        3а22     3 4   12;
                                  с23         3а23       3 6      18.
Таким образом,
                                                   3    21 9
                                   С                          .
                                               6       12  18

                 3      21 9
Ответ: С                      .
             6         12  18

Нетрудно убедиться, что имеют место следующие свойства:


                                  1.  (А+В)= А+В,
                                  2. (+)А=А+А,
                                  3. ()А= (А).




8


               Разностью матриц одинакового размера
               А и В называется матрица А-В=А+(-1)В.



                                         Знак суммы

Нам часто придется иметь дело с различными суммами. Удобно иметь
обозначение для сумм, позволяющее записывать их более коротким
способом. Этому служит знак суммирования
                                n
                                        aj       a1 a2 ... an .
                                j 1

Из хорошо известных свойств чисел вытекают следующие свойства знака
суммирования:



                                    n                          n                   n
                      1.                 (a j        bj )            aj                bj
                                 j 1                           j 1              j 1
                                                 n                   n
                            2.                           aj                aj
                                              j 1                    j 1
                                             m       n          n        m
                           3.                            aij                 aij
                                             i 1 j 1           j 1 i 1




                           Произведение матриц

Умножение матрицы А = ||aij|| размера m n на матрицу В = ||bij|| размера l k
определено лишь для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с
числом строк матрицы В, т.е. когда n=l. В этом случае произведение матриц
определяется следующим образом:


              Произведением матриц АВ называется матрица
                    С = ||сij|| размера m k , у которой
                       cij ai1b1 j ai 2b2 j ... ainbnj ,
                               i 1,..., m; j 1,..., n



                                                                                            9


Иначе говоря, элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки
матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. С
помощью знака суммирования можно записать это так:
                               n
                         cij         aisbsj , i 1,..., m; j 1,..., k .
                               S 1



Пример 2.
Найти произведение матриц
                                2 3                     2 3 4
                         A                     и B            .
                                 1 4                    3 1 0
Имеем
                   2 2 3 3 2 ( 3) 3 1 2 4 3 0                            13 3 8
            AB                                                                  .
                    1 2 4 3 1( 3) 4 1 1 4 4 0                            10 7 4

Отметим, что произведение матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ
не равно ВА. В приведѐнном выше примере матрицу В просто нельзя даже
умножить на матрицу А. Но, даже если А и В – квадратные матрицы одного
порядка (тогда существуют произведения АВ и ВА), то, как показывает
следующий пример, произведения АВ и ВА могут не совпадать.

Пример 3.
            2     1          1 0
Пусть A              , B           .
            0      1          2 3
                 2 1 1 ( 2)     2 0 13    0 3
Тогда AB                                       ,
                0 1 ( 1) ( 2) 0 0 ( 1) 3  2 3
                           1 2 0 0 1 1 0 ( 1)    2                       1
                     BA                                                     .
                            2 2 3 0 2 1 3 ( 1)    4                       5

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида
                                           1    0 ...    0
                                           0    1 ...    0
                                   Е                         .
                                          ... ... ... ...
                                           0 0 ... 1

Упражнение 5.
Доказать, что для любой квадратной матрицы А
                                АЕ=ЕА=А,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Доказательство.
Пусть А и Е – квадратные матрицы п-го порядка, В = АЕ.

10


Тогда bij = ai1e1j + ai2e2j + ... + aijejj + ... + ainenj.
Но eij = 0 при i, не равном j, a ejj = 1. Следовательно, bij = aij·1 = aij. Таким
образом, все элементы матрицы В равны соответствующим элементам
матрицы А, то есть В = А.
Если матрица С = ЕА, то сij = еi1а1j + еi2а2j + ... + еiiаij + ... + еinаnj = 1·aij = aij
(учитываем, что eii = 1, eij = 0 при i, не равном j). Значит, С = А. Утверждение
доказано.


Приведѐм ряд свойств произведений матриц.


                                                          1. (АВ)С=А(ВС)


Доказательство.
Пусть размер матрицы A = ||aij|| m p, матрицы B = ||bij|| - p n, а матрицы
C = ||cij|| n k. Имеем AB = ||ij||, где
                                                     p

                                          ij               aisbsj , i 1,..., m; j 1,..., n.
                                                    s 1

Тогда (AB)C = ||ij||, где
                         p                            n         p                          p    n                       p

                   ij                     c
                                      ir rj                (         aisbsr )crj                      aisbsr crj              ais      sj   ,
                        r 1                          r 1       s 1                         s 1 r 1                      s 1
           n
где   sj         bsr cri - элемент матрицы ВС. Тем самым, если обозначить элемент
           r 1

матрицы А(ВС) через ’ij, будем иметь
                                               p
                                  /
                             ij                     ais    sj          ij   , m.e. ( AB)C                     A( BC ).
                                              s 1




                                                      2. А(В+С)=АВ+АС,
                                                         (В+С)А=ВА+СА


Доказательство.
Пусть матрица A = ||aij|| имеет размер m p, а матрицы B = ||bij|| и C = ||cij||
имеют размер p n. Тогда для элементов матрицы А(В+С)= ||ij|| имеем
                                      p                                     p                  p

                        ij                    ais (bsi csj )                      aisbsj             aiscsj        ij         ij   .
                                  s 1                                       s 1                s 1




                                                                                                                                                11


Из определения произведения матриц вытекает, что АВ= ||ij||, а АС= ||ij||,
т.е. А(В+С)=АВ+АС. Аналогично доказываем, что (В+С)А=ВА+СА.

Упражнение 1.6.
Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Вывести формулу для
(А+В)2 (при натуральном п под Сn понимается произведение С·С·…·С).

Решение.
Используем свойства сложения и умножения матриц:
(А + В)2 = (А + В)(А + В) = (А + В)А + (А + В)В = А·А + В·А + А·В +В·В =
= А2 + В·А + А·В +В2.


               Заметьте, что результат может совпасть с
                   формулой сокращенного умножения
                         (А + В)2 = А2 + 2АВ + В2
                   только в том случае, если АВ = ВА.
                      В общем случае это неверно!


Ответ: (А + В)2 = А2 + В·А + А·В +В2.


Упражнение7.
Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители
выражение АВ+2В.

Решение.
Используем свойство единичной матрицы (см. упражнение 5):


                               АЕ = ЕА = А.


Следовательно, В = ЕВ. Тогда АВ + 2В = АВ + (2Е)В = (А + 2Е)В
(использовано свойство 2 произведения матриц).

Ответ: АВ + 2В = (А + 2Е)В.

Упражнение 8.
Пусть А,В и С – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на
множители выражение А2С +АС 2.

Решение.
12



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика