Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Электродинамика: Учебно-методическое пособие (Практические занятия по физике для студентов-математиков. Часть III)

Голосов: 0

Пособие составлено в соответствии с программой раздела "Электричество и магнетизм" курса физики по специальности "Прикладная математика". В начале каждого параграфа даются краткие теоретические сведения по рассматриваемой теме. Затем приводятся решения и подробный анализ шести-десяти типовых задач, достаточно полно раскрывающих тему. В конце параграфов предлагаются задачи для самостоятельного решения. Все задачи тщательно отобраны с целью обеспечения свелений и навыков, которые необходимо приобрести студентам при самостоятельном изучении электромагнитных явлений. Всего в пособие включено около 400 задач, из которых свыше 100 снабжено решениями и анализом. Пособие предназначено для студентов математических специальностей классических университетов. Оно может оказаться также полезным преподавателям высших учебных завелений при подготовке и проведении практических занятий по физике со студентами различных специальностей. Отдельные задания можно использовать в курсах теоретической электротехники и теории волн.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
          им. М.В. ЛОМОНОСОВА

 Факультет вычислительной математики и кибернетики




  ПРАКТИЧЕСКИЕ
  ЗАНЯТИЯ
  ПО ФИЗИКЕ
  ДЛЯ СТУДЕНТОВ-
  МАТЕМАТИКОВ

  Под редакцией
  профессора В.А. Макарова

  ЧАСТЬ III


           Н.В. Нетребко, И.П. Николаев,
        М.С. Полякова, В.И. Шмальгаузен


            ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
              И МАГНЕТИЗМ


                    МОСКВА
                     2006


УДК 530.1 (075.8)
ББК 22.2
    Н62


        Печатается по решению Редакционно-издательского совета
         Факультета вычислительной математики и кибернетики
      Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

                                    Рецензенты:
                      заведующий кафедрой общей физики
              физического факультета МГУ профессор А.М. Салецкий,
              заведующий кафедрой физики и прикладной математики
             Владимирского госуниверситета профессор С.М. Аракелян

                       Под редакцией профессора В.А. Макарова

   Нетребко Н.В., Николаев И.П., Полякова М.С., Шмальгаузен В.И.
Н62    Электродинамика: Учебно-методическое пособие. – М.: Издатель-
      ский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД
      №05899 от 24.09.2001 г.), 2006. − 327 с.: ил. (Практические занятия по
      физике для студентов-математиков. Под ред. В.А. Макарова. Часть III)
       ISBN 5-89407-263-8
         Пособие составлено в соответствии с программой раздела "Электричество и
   магнетизм" курса физики по специальности "Прикладная математика". В начале
   каждого параграфа даются краткие теоретические сведения по рассматриваемой теме.
   Затем приводятся решения и подробный анализ шести – десяти типовых задач,
   достаточно полно раскрывающих тему. В конце параграфов предлагаются задачи для
   самостоятельного решения. Все задачи тщательно отобраны с целью обеспечения
   сведений и навыков, которые необходимо приобрести студентам при самостоятельном
   изучении электромагнитных явлений. Всего в пособие включено около 400 задач, из
   которых свыше 100 снабжено решениями и анализом.
         Пособие предназначено для студентов математических специальностей
   классических университетов. Оно может оказаться также полезным преподавателям
   высших учебных заведений при подготовке и проведении практических занятий по
   физике со студентами различных специальностей. Отдельные задания можно
   использовать в курсах теоретической электротехники и теории волн.
         Ил. 183.
                                                        УДК 530.1(075.8)
                                                        ББК 22.2
ISBN 5-89407-263-8              © Факультет вычислительной математики и
                              кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006
     © Нетребко Н.В., Николаев И.П., Полякова М.С., Шмальгаузен В.И., 2006


Оглавление                                                                                                  3




                                              Оглавление


Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           4
 §1 Электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              5
 §2 Потенциал электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      25
 §3 Проводники и диэлектрики в элекрическом поле. Теорема Гаусса                                           41
 §4 Уравнения электростатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 59
 §5 Электроемкость. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . . .                                84
 §6 Квазистационарные токи. Закон Ома. ЭДС . . . . . . . . . . . . . . . . .                              105
 §7 Магнитное поле квазистационарных токов . . . . . . . . . . . . . . . . . .                            122
 §8 Магнитное поле в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 143
 §9Магнитный поток. Индуктивность. Энергия магнитного поля. . .                                           159
 §10 Закон электромагнитной индукции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         174
 §11 Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              192
 §12 Электрические цепи. Правила Кирхгофа. . . . . . . . . . . . . . . . . . .                            214
 §13 Электромагнитные волны.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 239
 §14 Задачи повышенной трудности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     258
 §15 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   283
 ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           314
 ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         322


4                                               Предисловие редактора


                      Предисловие редактора

     Настоящий том является третьим, в состоящей из пяти томов серии
учебных пособий («Механика», «Молекулярная физика и термодинамика»,
«Электродинамика», «Волновые процессы и оптика», «Квантовая
механика»), написанных на основе более чем тридцатилетнего опыта
преподавания физики студентам факультета вычислительной математики и
кибернетики (ВМК) МГУ им. М.В. Ломоносова.
     В начале каждого раздела дается краткое изложение теории в объеме,
необходимом для решения задач, далее приводится подробное решение и
анализ нескольких типовых задач, затем сформулированы задания для
самостоятельной работы. К ним даны ответы и необходимые указания.
Сложность задач соответсвует математической подготовке студентов-
математиков, которой они обладают на момент начала изучения курса.
Читателю должно быть ясно, что глубокое изучение физики должно
базироваться на проверенных временем классических учебниках, и
помeщенные в пособии краткие теоретические сведения носят справочный
характер и не могут их заменить.
     Хочется отметить большое внимание, уделяющееся руководством
факультета ВМК МГУ преподаванию физики. Усилиями деканов (академика
А.Н.Тихонова,     член-корреспондента    Д.П.Костомарова,    академика
Е.И.Моисеева), а также профессоров М.М.Хапаева, Е.В.Шикина и доцентов
В.Г.Сушко, Б.И.Березина, занимавшихся в разные годы организацией
учебного процесса на этом факультете, сформировался высокий уровень
требований к обучению физике. Это способствовало формированию
педагогических традиций преподавания физики студентам-математикам,
которые бережно сохраняются и развиваются на кафедре общей физики и
волновых процессов физического факультета МГУ. От лица авторов
пособия выражаю глубокую благодарность всем преподавателям и научным
сотрудникам кафедры, ведущим занятия на факультете ВМК и
способствовавшим становлению этого курса. Глубоко признателен также
профессорам А.М.Салецкому и С.М.Аракеляну за рецензирование пособия и
ценные критические замечения.
     Учебное пособие написано в рамках инновационного проекта в 2006 г.

                                                          В.А. Макаров


§1.Электрическое поле                                                              5




                                     §1. Электрическое поле

                                 Краткие теоретические сведения
        Электрические заряды. Все атомы и молекулы включают в свой
состав частицы, обладающие свойством притягивать или отталкивать другие
подобные частицы. Количественная мера такого взаимодействия частиц
называется электрическим зарядом. Различают два типа зарядов:
положительные и отрицательные. Носителем отрицательного заряда
является электрон, а положительного - протон. Заряд электрона по
абсолютной величине равен заряду протона и составляет элементарный
(наименьший возможный) электрический заряд e = 1,6021892 ⋅ 10 −19 Кл . В
системе СИ заряд измеряется в кулонах: 1Кл = 1А ⋅ 1с , где ампер            ( А)   -
единица измерения силы тока (см. параграф 7). О наличии зарядов можно
судить по их взаимодействию. В природе существует закон сохранения
заряда: суммарный заряд, находящийся на изолированной системе тел
остается неизменным.
        Закон Кулона. Два точечных заряда (заряженных тела, размеры
которых малы по сравнению с расстоянием между ними) взаимодействуют с
силой, прямо пропорциональной величинам зарядов q1 , q 2 и обратно
пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

         F = kq1 q 2 r / r 3 .                                      (1.1)

      Эта сила направлена по прямой, соединяющей заряды, и является
силой притяжения для разноименных зарядов и отталкивания для
одноименных (вектор r направлен в сторону того заряда, для которого
рассчитывается сила). Коэффициент пропорциональности k зависит от
выбора единиц измерения и в системе СИ равен k = 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 / Кл 2 .

Часто его записывают в виде k =
                                  1
                                4πε 0
                                                                     (
                                      , где ε 0 = 8,85 ⋅10 −12 Кл 2 / Н ⋅ м 2 -)


6                                                 §1.Электрическое поле

электрическая постоянная. Размерность   ε0   можно записать по-другому:

     (        )
Кл 2 / Н ⋅ м 2 = Ф / м , где Ф − фарад, единица измерения емкости (см.
параграф 5).
        Если при внесении в некоторую точку пространства заряженного
тела на него действует сила, пропорциональная его заряду (например, со
стороны других зарядов), то говорят, что в этой точке существует
электрическое поле.
        Напряженность электрического поля. Векторную величину, равную
отношению силы, действующей на точечный заряд, к величине этого заряда
называют напряженностью электрического поля

         E = F /q.                                              (1.2)

       Напряженность не зависит от величины заряда q, а определяется
величиной и расположением зарядов, действующих на него.
       Пусть в начале координат находится заряд Q . Тогда согласно (1.1)
и (1.2) напряженность электрического поля, создаваемого зарядом Q в

произвольной точке М, характеризуемой радиус-вектором   r , равна
                  Q
         E=               r.                                   (1.3)
              4πε 0 r 3

                                       Принцип             суперпозиции.
                               Напряженность      электрического   поля,
                               создаваемого в любой точке пространства
                               системой зарядов (см. рис.1.1), равна
                               сумме       напряженностей         полей,
                               создаваемых различными зарядами по
                               отдельности     (в     отсутствие    всех
              Рис. 1.1
                               остальных).


§1.Электрическое поле                                                 7

       Силовой линией называют линию, касательная к которой в каждой
точке пространства совпадает с направлением вектора E в этой точке.
Примеры картин силовых линий для простейших систем точечных зарядов
показаны на рис.1.2.




                                 Рис.1.2

         Важный частный случай такой системы – диполь (см. рис.1.2б).
Диполь состоит из двух равных по величине зарядов противоположного
знака, находящихся на расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется
дипольным моментом (электрическим моментом)
         r      r
         p e = ql ,                                           (1.4)

где вектор l проводится от отрицательного заряда к положительному. Поле,
создаваемое диполем, во многих случаях рассматривается на расстояниях,
много больших, чем l . Тогда диполь называют точечным, а его поле
                                               r
однозначно определяется дипольным моментом p e .


                            Примеры решения задач

Пример 1. 1. В трех вершинах правильного тетраэдра с длиной ребра a
находятся заряды q , а в четвертой - заряд Q . Найдите силу, действующую
на каждый из зарядов.


8                                                       §1.Электрическое поле

                                Решение. Определим силу, действующую
                                на заряд Q . Силы Кулона, действующие
                                между зарядами           q i и Q , направлены
                                вдоль ребер AD, BD и CD соответственно
                                (см. рис.1.3). По модулю эти силы
                                одинаковы и, согласно (1.1), равны
                                                   qQ
                                        Fi =                    (i = 1,2,3) .
                                                 4πε 0 a 2
                                                               (1.5)
             рис.1.3                    По        принципу         суперпозиции,
результирующая сила равна F = F1 + F2 + F3 . Ось 0 z направим по высоте
тетраэдра OD, а плоскость      x 0 y совместим с плоскостью основания

тетраэдра ABC. В силу симметрии проекции сил Fi на плоскость x 0 y равны
по модулю, а углы между ними составляют 1200. Их сумма равна нулю, или
                                Fxy = 0 . Для определения проекции Fi на
                                ось 0 z    рассмотрим сечение ADE
                                тетраэдра (см. рис.1.4). Из подобия
                                заштрихованных треугольников следует,
                                       F1Z       DO
                                что          =      .        Треугольник        ADE
                                       F1        DA

                                                                a 3
                                равнобедренный, где AE=DE=            --
                                                                 2
                                высота равностороннего треугольника.
                                Высоту OD в треугольнике ADE найдем,
                                записав его площадь S через высоту OD и
         Рис.1.4                через высоту EP:

                                                 1          1
                                        S=         AE ⋅ OD = AD ⋅ EP ,
                                                 2          2
       или


§1.Электрическое поле                                                                                     9

                                                                      2
                   a AE 2 − a 2 / 4         a        2
          OD =                      = a 1−        =a   .
                        AE                  2 AE     3

                                                      Qq                                      qQ         2
          Согласно           (1.5),          F1 =                 ,       откуда   F1Z =                   .
                                                    4πε 0 a   2
                                                                                           4πε 0 a   2   3
Окончательно сила, действующая на заряд Q , направлена вдоль оси 0 z и
                             qQ
равна Fz = 3F1Z =                       6.
                        4πε 0 a 2
          Найдем силы, действующие на заряды q i . В силу симметрии можно
рассмотреть только заряд, находящийся в вершине А. На него со стороны
зарядов, находящихся в вершинах В и С, согласно закону Кулона действуют
                                                       q2
равные по модулю силы F5 = F4 =                                   . Они направлены вдоль отрезков
                                                    4πε 0 a 2
AB    и     AC , а их результирующая --                                    вдоль оси   0x     и равна
                              q2
Fx = 2 F4 cos 30 0 =                    3 . На заряд q , находящийся в вершине А,
                         4πε 0 a 2

действует      также         сила       F1     со     стороны             заряда   Q   (см.    рис.1.4).
Результирующая сил                 Fx    и     F1 , согласно теореме косинусов, равна

F ' = Fx2 + F12 − 2 Fx F1 cos(π − α ) . Из рассмотрения треугольника ADO
следует, что

                                               2
                     AO       OD    1
          cos α =       = 1−      =    .
                      a        a     3

       Подставив найденное значение в выражение для F ' , окончательно
получим

                    q
          F' =                 3q 2 + Q 2 + 2qQ .
                 4πε 0 a 2


10                                                                             §1.Электрическое поле

Пример 1.2. Два одинаковых положительных заряда q находятся в точках
А и В на расстоянии 2a друг от друга. Найдите напряженность
электрического поля в произвольной точке на прямой, соединяющей эти
точки, а также на оси, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через
его середину (точка О).
                                  Решение. Направим ось 0 x по прямой,
                                  соединяющей       заряды,   а     ось
                                                  0 z проведем из середины отрезка AB
                                                 (точка О), как показано на рис.1.5.
                                                 Напряженность электрического поля в
                                                 точке     M (0,0, z ) складывается из
                                                 напряженностей, создаваемых зарядами,
                                                 находящимися в точках А и В:
                                                              1     q     1       q
                                                 E A = EB =      ⋅     =      ⋅
                                                            4πε 0 AM 2 4πε 0 a 2 + z 2

             Рис.1.5                             . Сумма E A + E B направлена вдоль оси
                                                 0 z и равна

                                                         MO
        E z = 2 E Az = 2 E A cos α = 2 E A                  .
                                                         AM

       Подставляя E A , окончательно получим
                      1           q                  z             1            qz
        E z (M ) =        ⋅                 ⋅                 =                             .   (1.6)
                     2πε 0 a + z
                              2         2        2
                                                 a +z     2
                                                                       (
                                                                  2πε 0 a + z 2
                                                                           2
                                                                                     )
                                                                                     3/ 2


                                    1       2q
       При z >> a E z ≈                          , то есть два заряда как бы «сливаются» в
                                  4πε 0 z 2
один величиной 2q и напряженность поля на достаточном удалении от
зарядов задается законом Кулона.
       Напряженность поля в точке N (x,0,0) также равна сумме E A + E B ,
где обе напряженности направлены вдоль оси 0 x в одну сторону, если
x > a , и в разные стороны в противном случае. Их модули согласно (1.3)



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика