Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре: Учебно-методическое пособие

Голосов: 0

В пособии рассмотрены основные понятия и теоремы булевой алгебры, отношений множеств, причем особое внимание уделено частично упорядоченным множествам pi решёткам. Изучаются свойства модулярных, дистрибутивных решёток и решёток с дополнениями. Указанным разделам посвящены первые главы. В последней главе рассматриваются универсальные алгебры. Вводится понятие алгебраической системы, рассматриваются различные типы таких систем и доказываются основные теоремы об их изоморфизме и гомоморфизме. Вводимые понятия и доказанные утверждения иллюстрируются большим количеством примеров. Пособие предназначено для студентов, изучающих соответствующие разделы алгебры и может быть использовано при самообразовании. Электронная версия пособия размещена на сайте факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова <a href="http://www.cs.msu.su" target="_blank">(www.cs.msu.su)</a>.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    4.2. Ðåø¼òî÷íûå ãîìîìîðôèçìû, èäåàëû è ôèëüòðû                                   81



                                                   ι   [[
                                        [    
                                a[   b     c4
                                   [[  44
                                             4
                                                                   4
                                                   •
                                                                    4
                                                                     44
                                dN                 e   [[                    f

                                                                     
                                     N
                                         N                [
                                             N                      
                                               N                  • [
                                                 N
                                                   N
                                                     N          [[
                                                       N g
                                                        N
                                                                     AA
                                                                        h

                                                                 AAA
                                                          N
                                                            N
                                                   o
                                                              AA
                                                              A

              Ðèñ. 4.5: Çàìûêàíèå Ìàêíèëà ÷.ó. ìíîæåñòâà P ñ ðèñ. 4.4

Ïðèìåð 4.3.   1. Ðåø¼òêà L ∼ N5 , îáðàçîâàííàÿ ýëåìåíòàìè o, a, c, d, e (âûäåëåíû
                           =
    æèðíûì) íå ÿâëÿåòñÿ ïîäðåø¼òêîé ðåø¼òêè L (ñì. ðèñ. 4.6), ïîñêîëüêó c d â L
    åñòü b, à â L  o.


                                                         ι




                                         [[[
                                                         e

                                     
                                   c [        d

                               [[ 
                             a[           b
                                [[      
                                     
                                               o


Ðèñ. 4.6: ×.ó. ïîäìíîæåñòâî (âûäåëåíî æèðíûì)  ðåø¼òêà, íî íå ïîäðåø¼òêà èñõîäíîé

  2. Ïåðåñå÷åíèå ïîäðåø¼òîê ëèáî ïóñòî, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ïîäðåø¼òêîé.
      ñèëó ýòîãî, îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì ñ÷èòàòü ïîäðåø¼òêîé è ïóñòîå ìíîæåñòâî. Òîãäà
     ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñîâîêóïíîñòè ïîäðåø¼òîê è ëþáîé èíòåðâàë ðåø¼òêè îêàçûâà-


82                                                        Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


          þòñÿ ïîäðåø¼òêàìè.
     3.   Åñëè L  ðåø¼òêà, à Sub L  ñîâîêóïíîñòü å¼ ïîäðåø¼òîê, òî Sub L ⊆ 
          ÷.ó. ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ.
     4.   Ëþáîå îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ðåø¼òêè åñòü å¼ ïîäðåø¼òêà. Êàæäîå ïîäìíî-
          æåñòâî ðåø¼òêè L ÿâëÿåòñÿ ïîäðåø¼òêîé, åñëè è òîëüêî åñëè L  öåïü.
     5.   Åñëè ϕ  ãîìîìîðôèçì ðåø¼òêè L â ðåø¼òêó L , òî Im ϕ       L.
     6.                        ◦
          Îáîçíà÷èì ÷åðåç N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñâîáîäíûõ îò êâàäðàòîâ
          (ñì. ïðèìåð 1.3.4). Òîãäà N◦ , ∨, ∧   N, ∨, ∧ .
     7.   Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 4.4 óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ââåä¼ííàÿ âûøå ðåø¼òêà N◦ èçî-
          ìîðôíà ðåø¼òêå P0 (A) âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà A.
        Ïîñòðîèì áèåêöèþ ϕ ìåæäó (ñ÷¼òíûì) ìíîæåñòâîì ïðîñòûõ ÷èñåë, êîòîðûå âñå
        ñîäåðæàòñÿ â N◦ , è A. Ïîëîæèì äàëåå ϕ(1) = ∅. Äëÿ îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ
        n = p1 · . . . · pk , k > 1 èç N◦ , ãäå p1 , . . . , pk  ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, ïî-
        ëîæèì ϕ(n) = {ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pk )}. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ϕ åñòü èçîìîðôèçì
        óêàçàííûõ ðåø¼òîê.
     8. Åñëè G  ãðóïïà, òî ìíîæåñòâî âñåõ å¼ ïîäãðóïï Sub G ÿâëÿåòñÿ, êàê èçâåñòíî,
        ðåø¼òêîé, îäíàêî Sub G        P(G).

Îïðåäåëåíèå 4.5. Ïóñòü   L, ,      ðåø¼òêà. Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî I ýëåìåíòîâ
L íàçûâàåòñÿ å¼ (ðåø¼òî÷íûì) èäåàëîì, åñëè

                           x∈I
                     1)        ⇒ y∈I;              2) x, y ∈ I ⇒ x   y ∈ I.
                           y x

     Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî F ýëåìåíòîâ L íàçûâàåòñÿ å¼ ðåø¼òî÷íûì ôèëüòðîì, åñëè

                          x∈F
                    1)        ⇒ y∈F;               2) x, y ∈ F ⇒ x   y ∈ F.
                          x y

   Ìû âèäèì, ÷òî ðåø¼òî÷íûå èäåàëû [ ôèëüòðû ] ñóòü íåïóñòûå è óñòîé÷èâûå îòíîñè-
òåëüíî îïåðàöèé   [ ] ïîðÿäêîâûå èäåàëû [ ôèëüòðû ] ðåø¼òîê.
   Óñëîâèÿ äëÿ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ è ôèëüòðîâ â ïðèâåä¼ííîì îïðåäåëåíèè ÷àñòî çà-
ìåíÿþò íà ýêâèâàëåíòíûå

                  x ∈ I, y ∈ L ⇒ x    y∈I      è    x ∈ F, y ∈ L ⇒ x    y∈F

ñîîòâåòñòâåííî. Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî I [ F ] îêàçûâàåòñÿ ðåø¼òî÷íûì èäåàëîì
[ ôèëüòðîì ], åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ å¼ ýëåìåíòîâ x è y ñïðàâåäëèâà ýêâèâà-
ëåíòíîñòü
                   x, y ∈ I ⇔ x y ∈ I     [ x, y ∈ F ⇔ x y ∈ F ].
    Åñëè ðåø¼òêà èìååò íàèìåíüøèé [ íàèáîëüøèé ] ýëåìåíò, òî îí áóäåò å¼ èäåàëîì
[ ôèëüòðîì ]. Ïóñòü a  ýëåìåíò ðåø¼òêè L, òîãäà å¼ ãëàâíûå ïîðÿäêîâûå èäåàë
J(a) = a è ôèëüòð a ÿâëÿþòñÿ, î÷åâèäíî, òàêæå è (ãëàâíûìè ) ðåø¼òî÷íûìè èäåàëîì
è ôèëüòðîì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â êîíå÷íîé ðåø¼òêå âñå èäåàëû è ôèëüòðû  ãëàâíûå.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè I  èäåàë êîíå÷íîé ðåø¼òêè, òî ðàññìîòðèì ýëåìåíò x = i∈I i,
äëÿ êîòîðîãî áóäåì èìåòü x ∈ I è I = x (àíàëîãè÷íî äëÿ ôèëüòðîâ). Äëÿ áåñêîíå÷-
íûõ ðåø¼òîê ïîñòðîèòü ýëåìåíò a, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî âûøå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ.
Ïîýòîìó ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è íåãëàâíûå ðåø¼òî÷íûå èäåàëû è ôèëüòðû.
Ïðèìåð 4.4. 1. Åñëè A  áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ñîâîêóïíîñòü P0 (A) âñåõ åãî
    êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ áóäåò íåãëàâíûì èäåàëîì ðåø¼òêè P(A).


4.2. Ðåø¼òî÷íûå ãîìîìîðôèçìû, èäåàëû è ôèëüòðû                                            83


  2. Ðàññìîòðèì öåïü C = [ 0, 1 , 2 , 4 , . . . , 1 ] è å¼ ïîäöåïü C0 = C
                                2 3
                                      3
                                                                            {1}. Ýòî ðåø¼òêà,
     à I =     x∈ C0 x  å¼ íåãëàâíûé èäåàë, ïîñêîëüêó ýëåìåíò              x∈ C0 x â ðåø¼òêå
     îòñóòñòâóåò (íåîïðåäåë¼í).
     Ñàìà ðåø¼òêà L âñåãäà áóäåò ñâîèì èäåàëîì è ôèëüòðîì. Âñå äðóãèå èäåàëû è ôèëü-
òðû L íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè. Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé [ íóë¼ì ] èäåàë
[ ôèëüð ] ñîáñòâåííûé, åñëè è òîëüêî åñëè îí íå ñîäåðæèò åäèíèöó è [ íóëü ]. Òàê, èäåàë
I , ïîñòðîåííûé â ï. 2 ïðèìåðà 4.4 ñîáñòâåííûé.
     Ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ îáîçíà÷èì J∗ (L). ßñíî, ÷òî ýòî
÷.ó. ìíîæåñòâî, óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ. Åñëè ðåø¼òêà ñîäåðæèò íóëü o, òî ìíî-
æåñòâî {o} ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ðåø¼òî÷íûì èäåàëîì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ÷èñëî
èäåàëîâ äîãîâàðèâàþòñÿ âêëþ÷àòü ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî. Ïîýòîìó J∗ (L) âñåãäà èìååò
íàèìåíüøèé ýëåìåíò. Ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû J∗ (L) íàçûâàþò ìàêñèìàëüíûìè èäåà-
ëàìè ðåø¼òêè L (ò.å. ìàêñèìàëüíûé èäåàë ðåø¼òêè íå ñîäåðæèòñÿ íè â êàêîì äðóãîì
å¼ ñîáñòâåííîì èäåàëå). Ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíûõ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ è èõ ñâÿçü ñ
äðóãèìè èäåàëàìè ðåø¼òêè îïðåäåëÿåò ñëåäóþùàÿ

Òåîðåìà 4.7 (Î ñîáñòâåííûõ èäåàëàõ ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé). Âñÿêèé ñîáñòâåííûé
èäåàë ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì å¼ ìàêñèìàëüíîì èäåàëå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L,              ðåø¼òêà ñ åäèíèöåé ι. Ïîêàæåì, ÷òî â ÷.ó. ìíîæåñòâå
 J∗ (L), ⊆ âñåõ ñîáñòâåííûõ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ L êàæäàÿ öåïü èìååò âåðõíþþ ãðàíü
è ñîøë¼ìñÿ çàòåì íà ëåììó Êóðàòîâñêîãî-Öîðíà1 .
     Ïóñòü C = [ J1 , J2 , . . . ]  íåêîòîðàÿ (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) öåïü ñîáñòâåííûõ
èäåàëîâ L. Îáîçíà÷èì J =              Jk ∈C Jk è óäîñòîâåðèìñÿ, ÷òî J ∈ J∗ (L), ò.å. ÿâëÿåòñÿ
ñîáñòâåííûì èäåàëîì ðåø¼òêè L.
     Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ∈ J , òî x ∈ Jk ∈ C äëÿ íåêîòîðîãî k . Äëÿ ëþáîãî y              x
èìååì y ∈ Jk ⊆ J . Ïóñòü äàëåå x, y ∈ J . Òîãäà x ∈ Jk ∈ C è y ∈ Jl ∈ C äëÿ íåêîòîðûõ
k, l. Ïîñêîëüêó C  öåïü, òî Jk è Jl ñðàâíèìû â J∗ (L). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè
ñ÷èòàåì, ÷òî Jk ⊆ Jl . Òîãäà x, y ∈ Jl è, ïîñêîëüêó Jl  èäåàë, òî x y ∈ Jl ⊆ J .
     Òàêèì îáðàçîì, J  èäåàë ðåø¼òêè L. Áîëåå òîãî, îí ñîáñòâåííûé, ïîñêîëüêó
ι ∈ Jk ∈ C âëå÷¼ò ι ∈ J . À ò.ê. Jk ⊆ J äëÿ âñåõ Jk ∈ C , òî J áóäåò âåðõíåé ãðà-
íüþ öåïè C .
   Íàïðèìåð, èäåàë I , ïîñòðîåííûé â ï. 2 ïðèìåðà 4.4 ìàêñèìàëüíûé.
   Åñëè èìååòñÿ ãîìîìîðôèçì ϕ ðåø¼òêè L íà ðåø¼òêó ñ íóë¼ì 0, òî ïðîîáðàç íóëÿ
ϕ (0) ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì L. Òàêîé èäåàë íàçûâàåòñÿ ÿäåðíûì. Ðåø¼òêè ìîãóò èìåòü è
íåÿäåðíûå èäåàëû: íàïðèìåð, èäåàë b = {o, a, b, e} ðåø¼òêè, èçîáðàæ¼ííîé íà ðèñ. 4.7,
êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ÿäåðíûì íå ÿâëÿåòñÿ.
   Äèàãðàììû Õàññå îñòàþòñÿ óäîáíûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ðåø¼òîê. Îäíàêî åñëè ðåø¼ò-
êà óñòðîåíà ñëèøêîì ñëîæíî, òàêèå äèàãðàììû ñòàíîâÿòñÿ ìàëî íàãëÿäíûìè. Äðóãèå
âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ðåø¼òîê äà¼ò ñëåäóþùàÿ

Òåîðåìà 4.8 (Î ïðåäñòàâëåíèè ðåø¼òîê). Âñÿêàÿ ðåø¼òêà ìîæåò áûòü âëîæåíà
ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ òî÷íûõ íèæíèõ ãðàíåé â áóëåàí ïîäõîäÿùåãî ìíîæåñòâà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L  ðåø¼òêà. Ïî òåîðåìå 3.6 (î ïðåäñòàâëåíèè ÷.ó. ìíîæåñòâ)
îòîáðàæåíèå ϕ(x) = x îñóùåñòâëÿåò âëîæåíèå L â P(L) êàê ÷.ó. ìíîæåñòâî. Îñòàëîñü
óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî ϕ ñîõðàíÿåò ïåðåñå÷åíèÿ, ò.å. ϕ(x y) = ϕ(x) ∩ ϕ(y).
  1 Ýôôåêòèâíîå   äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî ôàêòà íåèçâåñòíî.


84                                                               Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè



                                              [      ι
                                            [[
                                        
                                      b [   c   d

                                   [[ 
                                 a[   b     e
                                    [[ 
                                        
                                         o


                       Ðèñ. 4.7: Ðåø¼òêà ñ íåÿäåðíûì èäåàëîì b


     Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî (x     y) = x ∩ y . Äåéñòâèòåëüíî,

                                             z   x                   z∈x
        z ∈ (x   y)   ⇔ z   (x    y) ⇔                   ⇔                 ⇔ z ∈ (x ∩ y ).
                                             z   y                   z∈y

Ïîýòîìó
                      ϕ(x   y) = (x   y) = x ∩ y             = ϕ(x) ∩ ϕ(y).


   Äàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâëÿòü ýëåìåíòû ëþáîé ðåø¼òêè ïîäìíîæåñòâàìè
íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà A, ïîëüçóÿñü àíàëîãàìè äèàãðàìì Ýéëåðà-Âåííà. Â òàêèõ äèà-
ãðàììàõ ðåçóëüòàò îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ îòîæäåñòâëÿþò ñ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûì
ïåðåñå÷åíèåì â A, íàèáîëüøåìó ýëåìåíòó ðåø¼òêè (åñëè îí ñóùåñòâóåò) ñîîòâåòñòâóåò
ñàìî ìíîæåñòâî A, à íàèìåíüøåìó (åñëè îí åñòü) äîãîâàðèâàþòñÿ ñîïîñòàâëÿòü ïóñòîå
ìíîæåñòâî (õîòÿ ïî òåîðåìå 4.8 î ïðåäñòàâëåíèè ðåø¼òîê èìååì ϕ(o) = o = {o}, íî
òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ o, ñîäåðæèòñÿ âî âñåõ èäåàëàõ ðåø¼òêè, è å¼ ìîæíî óäàëèòü áåç
íàðóøåíèÿ îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ èäåàëîâ).
   Âûÿñíèì, êàê ñëåäóåò îáîçíà÷àòü ðåçóëüòàò îáúåäèíåíèÿ (òî÷íûå âåðõíèå ãðàíè) íà
òàêèõ äèàãðàììàõ. Èìååì

                                   z∈x               z       x
 z ∈ ϕ(x) ∪ ϕ(y) = x ∪ y     ⇔               ⇔                       ⇒
                                   z∈y               z       y
                                                 ⇒ z             x   y ⇔ z ∈ (x   y) = ϕ(x   y).

Òàêèì îáðàçîì, ϕ(x)∪ϕ(y) ⊆ ϕ(x y), ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî â ýòîì âûðàæåíèè, êàê íåòðóäíî
âèäåòü, áóäåò ëèøü â ñëó÷àå ñðàâíèìîñòè x è y . Ïîýòîìó ïðè îáîçíà÷åíèè îáúåäèíåíèÿ
ýëåìåíòîâ, èçîáðàæàåìûõ â âèäå ñâÿçíûõ âûïóêëûõ îáëàñòåé, íåîáõîäèìî ðèñîâàòü âû-
ïóêëóþ îáëàñòü, ïîêðûâàþùóþ ñ çàïàñîì îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå äàííûì ýëåìåíòàì
(ñì. ðèñ. 4.8).

Òåîðåìà 4.9 (Ìàêíèë). Âñÿêóþ ðåø¼òêó ìîæíî âëîæèòü â ïîäõîäÿùóþ ïîëíóþ ðå-
ø¼òêó ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ òî÷íûõ ãðàíåé.

     Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíûå òèïû ðåø¼òîê, ïðåäñòàâëÿþùèå îñîáûé èíòåðåñ.


4.3. Ìîäóëÿðíûå ðåø¼òêè                                                                      85


                                     '  $
                                      '$
                                     
                                         x               y
                                     
                                     x y&%
                                     &   %
                                                               ι

                 Ðèñ. 4.8: Îáîçíà÷åíèå îáúåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ ðåø¼òêè

4.3 Ìîäóëÿðíûå ðåø¼òêè
Îïðåäåëåíèå 4.6. Ðåø¼òêà L, ,            íàçûâàåòñÿ ìîäóëÿðíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ
x, y, z ∈ L â íåé âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèé ìîäóëÿðíûé çàêîí

    M od :   x   y ⇒ x     (y   z) = y   (x       z) .
   ßñíî, ÷òî ñìûñë ìîäóëÿðíîãî çàêîíà ñîñòîèò â âûïîëíåíèè ñëåäîâàíèÿ, îáðàòíîãî
óòâåðæäàåìîìó â M od . Äâîéñòâåííûé ê ìîäóëÿðíîìó çàêîí
                            x   y ⇒ x        (y    z) = y      (x   z)
åìó ýêâèâàëåíòåí. Ïîýòîìó äëÿ ìîäóëÿðíûõ ðåø¼òîê ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè îñòàåòñÿ
ñïðàâåäëèâûì.
Ïðèìåð 4.5.   1. Ìîäóëÿðíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå öåïè, ðåø¼òêà N, | , áóëåâû àëãåáðû è
     èõ ïîäðåø¼òêè. Âïîñëåäñòâèè ìû óâèäèì, ÷òî äëÿ ýòèõ ðåø¼òîê ñïðàâåäëèâî áîëåå
     ñèëüíîå óñëîâèå äèñòðèáóòèâíîñòè.
  2. Ðåø¼òêà NSub G âñåõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï ãðóïïû G îáðàçóåò ìîäóëÿðíóþ
     ðåø¼òêó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü X, Y, Z  ïðîèçâîëüíûå íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû
     ãðóïïû G è X ⊆ Y . Èçâåñòíî, ÷òî îáúåäèíåíèå X ∪ Z äâóõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï
     X è Z ãðóïïû G ñîâïàäàåò ñ èõ ïðîèçâåäåíèåì XZ       { g ∈ G | ∃ x ∃ z ( g = xz ) },
                                                                                  X   Z
     à ïåðåñå÷åíèå ïîäãðóïï âñåãäà åñòü ïîäãðóïïà. Ïîýòîìó íàì íóæíî ïîêàçàòü ñïðà-
     âåäëèâîñòü âêëþ÷åíèÿ Y ∩ XZ ⊆ X(Z ∩ Y ) ïðè óñëîâèè X ⊆ Y .  ñàìîì äåëå,
     âñåãäà íàéäóòñÿ òàêèå x ∈ X è z ∈ Z , ÷òî
                                t∈Y      z=x−1 t ∈ Y         z ∈Y ∩Z
             t ∈ Y ∩ XZ ⇒                     ⇒                          ⇒ t ∈ X(Z ∩ Y ) .
                                t = xz                       t = xz

     Ìîäóëÿðíûå ðåø¼òêè ÷àñòî íàçûâàþò äåäåêèíäîâûìè, ïîñêîëüêó óêàçàííîå ñâîé-
     ñòâî íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï îáíàðóæèë â 1900 ã. Ð. Äåäåêèíä.
  3. Äðóãèì âàæíûì ïðèìåðîì ìîäóëÿðíîé ðåø¼òêè ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêà âñåõ ïîäïðî-
     ñòðàíñòâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîä îáúåäèíåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâ ïîíèìàåòñÿ
     íàèìåíüøåå ïîäïðîñòðàíñòâî, èõ ñîäåðæàùåå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ïîëíî-
     ñòüþ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ìîäóëÿðíîñòè ðåø¼òêè NSub G. Òî÷íî òàê æå äî-
     êàçûâàþò, ÷òî ðåø¼òêà âñåõ èäåàëîâ ëþáîãî êîëüöà ìîäóëÿðíà.
   Ðåø¼òêà âñåõ ýêâèâàëåíòíîñòåé íà äàííîì ìíîæåñòâå â îáùåì ñëó÷àå íå ìîäó-
ëÿðíà. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M = {1, 2, 3, 4}. Ñðåäè E(M ) èìå-
þòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòè α, β è γ ñî ñìåæíûìè êëàññàìè Dα = {{1}, {2}, {3, 4}},
Dβ = {{1}, {2, 3}, {4}} è Dγ = {{1, 2}, {3, 4}} ñîîòâåòñòâåííî. Âìåñòå ñ äèàãîíàëü-
íûì îòíîøåíèåì â êà÷åñòâå o è àìîðôíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ â êà÷åñòâå ι îíè îáðàçóþò
ðåø¼òêó N5 . Îäíàêî îíà íåìîäóëÿðíà, ïîñêîëüêó α γ , íî
                  α   (γ   β) = α    o=α = γ             (α    β) = γ    ι = γ.


86                                                                                     Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


Òàêèì îáðàçîì, ðåø¼òêà E(M ), ⊆ ñîäåðæèò íåìîäóëÿðíóþ ïîäðåø¼òêó, è, ñëåäîâà-
òåëüíî íåìîäóëÿðíà ñàìà.
   Íåìîäóëÿðíîñòü N5 îêàçûâàåòñÿ êëþ÷åâîé: ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 4.10 (Êðèòåðèé ìîäóëÿðíîñòè ðåø¼òêè). Ðåø¼òêà ìîäóëÿðíà, åñëè è
òîëüêî åñëè íèêàêàÿ å¼ ïîäðåø¼òêà íå èçîìîðôíà ïÿòèóãîëüíèêó N5 .

Äîêàçàòåëüñòâî. (⇐) Ïîñêîëüêó ïÿòèóãîëüíèê íå ìîäóëÿðåí, òî íèêàêàÿ ðåø¼òêà, ñîäåð-
æàùàÿ èçîìîðôíóþ åìó ïîäðåø¼òêó, íå ìîæåò áûòü ìîäóëÿðíîé.
   (⇒) Ïîêàæåì, ÷òî íåìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà L ñîäåðæèò ïîäðåø¼òêó, èçîìîðôíóþ ïÿ-
òèóãîëüíèêó N5 .
   Íåìîäóëÿðíîñòü L îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ å¼ ýëåìåíòîâ x, y è z , ÷òî x y ,
íî x (y z)      y (x z). Ïîêàæåì, ÷òî ýëåìåíòû y z , x (y z), y (x z), z , x z
îáðàçóþò ïîäðåø¼òêó â L, èçîìîðôíóþ N5 .
   Â ñàìîì äåëå, äîëæíû èìåòü ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ

           y   z         z       x        z        è     y     z       x     (y    z)         y       (x    z)        x    z,

ïîñêîëüêó, çàìåíèâ ïåðâûé, âòîðîé, òðåòèé èëè ïÿòûé çíàê                                                íà =, ïîëó÷èì x           z èëè
z y , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò ìîäóëÿðíûé çàêîí.
   Äàëåå

     x   z = (x     z)       z        (x           (y    z))       z        (y    (x    z))       z        (x    y)       z = x     z.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòû x (y                              z) è y     (x z) îáà äàþò â îáúåäèíåíèè ñ z ýëåìåíò
x z.
   Êðîìå òîãî,

 y    z = (y   z)    z           (x           (y       z))    z        (y    (x    z))        z = y        ((x    z)       z) = y        z.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòû x                        (y       z) è y     (x       z) îáà äàþò â ïåðåñå÷åíèè ñ z ýëåìåíò
y z.
   Äàííûé êðèòåðèé âëå÷åò ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ ÆîðäàíàÄåäåêèíäà äëÿ öåïåé:
åñëè â êîíå÷íîé ðåø¼òêå äâå ìàêñèìàëüíûå öåïè ìåæäó ýëåìåíòàìè a          b èìåþò ðàç-
íóþ äëèíó, òî èíòåðâàë [ a, b ] ñîäåðæèò ïîäðåø¼òêó, èçîìîðôíóþ N5 , è, ñëåäîâàòåëüíî,
äàííàÿ ðåø¼òêà íåìîäóëÿðíà.
Ïðèìåð 4.6. Ðåø¼òêà, èçîáðàæ¼ííàÿ íà ðèñ. 4.9 íåìîäóëÿðíà: äëèíû å¼ ìàêñèìàëüíûõ
öåïåé íå ñîâïàäàþò è, êàê ñëåäñòâèå, îíà ñîäåðæèò ïîäðåø¼òêó, èçîìîðôíóþ N5 (íà-
ïðèìåð, {o, a, b, ι, g}).
      çàêëþ÷åíèè ðàçäåëà ïðèâåä¼ì åù¼ äâà êðèòåðèÿ ìîäóëÿðíîñòè ðåø¼òîê.

Òåîðåìà 4.11. Ðåø¼òêà L, ,      ìîäóëÿðíà, åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ å¼ ýëå-
ìåíòîâ x, y è z èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

                                      x        ((x       y)       z)) = (x        y)     (x       z)

èëè ýêâèâàëåíòíîå äâîéñòâåííîå åìó

                                      x        ((x       y)       z)) = (x        y)     (x       z).


4.4. Äèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè                                                                      87




                                         [[
                                              ι
                                       
                                     b        e [
                                                 [
                                           
                                         g
                                           [[      f
                                                
                                     a[       d
                                        [ 
                                              o


                              Ðèñ. 4.9: Íåìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà


Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ðåø¼òêà L ìîäóëÿðíà, òî ïåðâîå òîæäåñòâî ñëåäóåò èç îòíîøåíèÿ
x x y , åñëè â ìîäóëÿðíîì çàêîíå çàìåíèòü y íà x y . Îáðàòíî, ïðè x y , ò.å. ïðè
x y = y , ïåðâîå òîæäåñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â x (y z) = y (x z), ÷òî ÿâëÿåòñÿ
çàêëþ÷åíèåì ìîäóëÿðíîãî çàêîíà.
   Ñïðàâåäëèâîñòü âòîðîãî òîæäåñòâà ñëåäóåò èç ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè.
   Ïóñòü x, y è z  ýëåìåíòû ðåø¼òêè                L,   ,        . Ïðàâèëî

                                          x    z=y           z
                            Abbr :                                ⇒ x = y.                     (4.3)
                                          x    z=y           z

íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì ñîêðàùåíèÿ äëÿ x è y .
    îáùåì ñëó÷àå äàííîå ïðàâèëî íåñïðàâåäëèâî: íàïðèìåð, äëÿ ïÿòèóãîëüíèêà N5
(ñì. ðèñ. 4.3) èìååì a b = c b = ι è a b = c b = o, íî a = c.

Òåîðåìà 4.12 (Ïðàâèëî ñîêðàùåíèÿ äëÿ ìîäóëÿðíûõ ðåø¼òîê). Ðåø¼òêà ìîäó-
ëÿðíà, åñëè è òîëüêî åñëè ïðè ñðàâíèìîñòè å¼ ýëåìåíòîâ x è y ñïðàâåäëèâî ïðàâèëî
èõ ñîêðàùåíèÿ Abbr.

Äîêàçàòåëüñòâî.
   (⇒) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ x, y, z ìîäóëÿðíîé ðåø¼òêè ñïðàâåäëèâû ðà-
âåíñòâà x z = y z è x z = y z ñëåäîâàíèå x y . Òîãäà

            Abs                                   M od                                Abs
          x = x        (x   z) = x   (y       z) = y             (x   z) = y   (y   z) = y .

   (⇐) Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè ìîæåò áûòü íàéäåíî â [13].



4.4 Äèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè
Îïðåäåëåíèå 4.7. Ðåø¼òêà íàçûâàåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé, åñëè â íåé âûïîëíÿþòñÿ
äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû

    Dtr1 : (x     y)   z = (x   z)    (y      z);
    Dtr2 : (x     y)   z = (x   z)    (y      z).


88                                                                         Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


   ßñíî, ÷òî ñìûñë äèñòðèáóòèâíûõ çàêîíîâ ñîñòîèò â âûïîëíåíèè ñëåäîâàíèé, îáðàò-
íûõ óòâåðæäàåìûì â ñîîòâåòñòâóþùèõ íåðàâåíñòâàõ ïîëóäèñòðèáóòèâíîñòè. Òàê æå ïî-
íÿòíî, ÷òî äëÿ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè îñòàåòñÿ ñïðàâåäëè-
âûì.  ï. 1.1 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî çàêîíû ïîãëîùåíèÿ îáåñïå÷èâàþò ýêâèâàëåíòíîñòü
äèñòðèáóòèâíûõ çàêîíîâ. Òàê ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà àêñèîì äëÿ äèñòðèáóòèâíûõ
ðåø¼òîê èçáûòî÷íà, è äîñòàòî÷íî áûëî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ ëèøü îäíîãî èç äèñòðè-
áóòèâíûõ çàêîíîâ (îáû÷íî â òàêîì ñëó÷àå ïîñòóëèðóþò âûïîëíåíèå Dtr1).
Ïðèìåð 4.7.    1. Âñå öåïè, áóëåâû àëãåáðû è èõ ïîäðåø¼òêè äèñòðèáóòèâíû. Ìàêñèìèí-
     íàÿ àëãåáðà åñòü äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà.
  2. Ïîêàæåì äèñòðèáóòèâíîñòü ðåø¼òêè N, | , ò.å., ÷òî äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
     x, y, z ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

                                     x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ,

       ãäå x ∧ y  íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, à x ∨ y  íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå
       x è y . Âîñïîëüçóåìñÿ êàíîíè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë â âèäå
       ïðîèçâåäåíèé èõ ïðîñòûõ ñîìíîæèòåëåé
                                      s                     s                       s
                               x =         piαi ,   y =           piβi ,    z =           piγi ,
                                     i=1                   i=1                     i=1


       ñ÷èòàÿ, ÷òî íåêîòîðûå ïîêàçàòåëè ìîãóò áûòü ðàâíû 0 (ò.å. α, β, γ ∈ N0 ). Òîãäà
                                                       s
                                                                min{αi , max{βi , γi }}
                                  x ∧ (y ∨ z) =             pi                            ,
                                                      i=1
                                                       s
                                                                max{min{αi , βi }, min{αi , γi }}
                            (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) =            pi                                       ,
                                                     i=1

       è òðåáóåìîå ðàâåíñòâî

                       min {α, max {β, γ}} = max {min{α, β}, min{α, γ}}

        ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñòðèáóòèâíûé çàêîí äëÿ öåïè íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë.
     3. Ðåø¼òêà âñåõ ïîäïðîñòðàíñòâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà, óïîìÿíóòàÿ âûøå â êà÷å-
        ñòâå ïðèìåðà ìîäóëÿðíîé ðåø¼òêè, íå ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé.
     4. Íåïóñòàÿ ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùàÿ âìåñòå ñ
        äâóìÿ ïîäìíîæåñòâàìè èõ îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå íàçûâàåòñÿ ðåø¼òêîé èëè
        êîëüöîì ìíîæåñòâ (ñð. ñ îïðåäåëåíèåì ïîëÿ ìíîæåñòâ íà ñ. 9). Âñÿêàÿ ðåø¼ò-
        êà ìíîæåñòâ äèñòðèáóòèâíà, ïîñêîëüêó äèñòðèáóòèâíû òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå
        îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ.
     5. Ðåø¼òêà Sub C âñåõ ïîäãðóïï öèêëè÷åñêîé ãðóïïû C äèñòðèáóòèâíà. Çàìåòèì,
        ÷òî, îäíàêî, Sub C íå ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêîé ìíîæåñòâ, ïîñêîëüêó îáúåäèíåíèå å¼ ýëå-
        ìåíòîâ (â îòëè÷èå îò ïåðåñå÷åíèÿ) íå ñîâïàäàåò ñ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûì.
     Ïÿòèóãîëüíèê N5 íåäèñòðèáóòèâåí: äåéñòâèòåëüíî (ñì. ðèñ. 4.3),

                  (a   b)    c = ι    c = c = (a            c)       (b     c) = a            o = a.

Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî

Òåîðåìà 4.13. Âñÿêàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà ìîäóëÿðíà.


4.4. Äèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè                                                                                         89


   Ýòî óòâåðæäåíèå òàê æå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìîäóëÿðíûé çàêîí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
îñëàáëåííóþ ôîðìó ïåðâîãî äèñòðèáóòèâíîãî çàêîíà: åñëè x y , òî x y = y è
                                     Dtr1
                      x     (y     z) = (x       y)    (x    z) = y             (x    z).

   Ðåø¼òêà NSub G âñåõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï ãðóïïû G ìîäóëÿðíà (ñì. ïðèìåð 4.5.2),
íî â îáùåì ñëó÷àå íå äèñòðèáóòèâíà. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ÷åòâåðíóþ ãðóïïó
Êëåéíà V4 = {e, x, y, xy} ñ îïðåäåëÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè x2 = y 2 = e, xy = yx.
Ñîáñòâåííûå å¼ ïîäãðóïïû ñóòü a = {e, x}, b = {e, y} è c = {e, xy}. Âñå îíè íîðìàëü-
íû, ïîñêîëüêó V4 àáåëåâà. Ðåø¼òêà Sub V4 å¼ ïîäãðóïï (ñì. ðèñ. 4.10) èçîìîðôíà M3 è
ìîäóëÿðíà, íî íå äèñòðèáóòèâíà, ò.ê. íå äèñòðèáóòèâåí ðîìá M3 :



                                                   [[
                                                  V4
                                                     [
                                             
                                    a=
                                             [
                                            x b = xy c =              y
                                               [[    
                                                   
                                                  E


                                    Ðèñ. 4.10: Ðåø¼òêà Sub V4


                 (a   b)    c = ι     c = c = (a        c)       (b   c) = o              o = o.

Íåäèñòðèáóòèâíîñòü M3 , îêàçûâàåòñÿ êëþ÷åâîé: ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 4.14. Ìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé, åñëè è òîëüêî åñëè
íèêàêàÿ å¼ ïîäðåø¼òêà íå èçîìîðôíà ðîìáó M3 .
Äîêàçàòåëüñòâî. (⇐) Ïîñêîëüêó ðîìá M3 íå äèñòðèáóòèâåí, òî íèêàêàÿ ðåø¼òêà, ñîäåð-
æàùàÿ èçîìîðôíóþ åìó ïîäðåø¼òêó, íå ìîæåò áûòü äèñòðèáóòèâíîé.
   (⇒) Ïóñòü ðåø¼òêà L ìîäóëÿðíà è íå ñîäåðæèò M3 â êà÷åñòâå ïîäðåø¼òêè. Äëÿ ïðî-
èçâîëüíûõ x, y, z ∈ L ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïÿòü ýëåìåíòîâ

        a = (z   (x   y))     (x    y);           b = (y         (x       z))        (x     z);
        c = (x   (y   z))     (y    z);
        u = (x   y)    (y    z)     (z x);        v = (x         y)       (y     z)         (z        x).

   Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî

            a    b = b      c = c    a = v        è          a    b = b          c = c           a = u.

Èìååì

 (z   (x   y))   (y   (x     z)) = (x       y)   ((y    (x       z)) z) =
                                                                 = (x y) ((x                     z)     (y   z)) = v.

Âûâîä ñäåëàí ñ ó÷¼òîì ìîäóëÿðíîãî çàêîíà, à òàêæå ñëåäîâàíèé y (x z)     x y
è z    x z äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ðàâåíñòâ ñîîòâåòñòâåííî. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî
a b = v , è â ñèëó ñèììåòðèè, ÷òî b c = c a = v .


90                                                                 Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


   Ó÷èòûâàÿ ìîäóëÿðíûé çàêîí è î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèå x y                          x y ïîëó÷àåì äðóãîå,
äâîéñòâåííîå ê èñõîäíîìó, âûðàæåíèå äëÿ a:

                               a = (z        (x    y))        (x    y).

Àíàëîãè÷íî
                b = (y   (z   x))       (z   x),    c = (x          (y    z))    (y   z).
   Èñïîëüçóÿ òåïåðü ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè äëÿ ìîäóëÿðíûõ ðåø¼òîê è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
u äâîéñòâåííî v , ïîëó÷èì a b = b c = c a = u.
   Òàêèì îáðàçîì, åñëè âñå ýëåìåíòû a, b è c ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî ïîäðåø¼òêà
{u, a, b, c, v} â L èçîìîðôíà ðîìáó M3 (u   a, b, c v) . Ýòî íåâîçìîæíî, è, çíà÷èò,
u = a = b = c = u, íî òîãäà

                         (x   y)    z        a=u         (x    z)    (y    z),

è, ñëåäîâàòåëüíî, â L âûïîëíÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíûé çàêîí.

Ñëåäñòâèå (Êðèòåðèé äèñòðèáóòèâíîñòè ðåø¼òêè). Ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà, åñ-
ëè è òîëüêî åñëè íèêàêàÿ å¼ ïîäðåø¼òêà íå èçîìîðôíà íè ïÿòèóãîëüíèêó N5 , íè ðîìáó
M3 .
     Â äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òêàõ è òîëüêî â íèõ ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî.
Òåîðåìà 4.15 (Ïðàâèëî ñîêðàùåíèÿ äëÿ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê). Ðåø¼òêà
äèñòðèáóòèâíà, åñëè è òîëüêî åñëè â íåé ñïðàâåäëèâî ïðàâèëî ñîêðàùåíèÿ Abbr (4.3).
Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì â òåîðåìå 4.12, ïîñêîëüêó
äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà ìîäóëÿðíà, à äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè ìîæåò áûòü íàéäå-
íî â [13].

    äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ëåììû, êîòîðûå, âïðî÷åì, ïðåäñòàâëÿþò
è ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ.
Ëåììà 4.1. Ñîâîêóïíîñòü J(P ) ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíîæåñòâà P åñòü äèñòðè-
áóòèâíàÿ ðåø¼òêà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P  ÷.ó. ìíîæåñòâî è J(P )  ñîâîêóïíîñòü ïîðÿäêîâûõ èäå-
àëîâ P . Ââåä¼ì íà J(P ) îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå. Ñ îäíîé ñòîðîíû, äëÿ ÷.ó. ìíîæåñòâà îáúåäèíåíèå è ïåðå-
ñå÷åíèå ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ åñòü ïîðÿäêîâûé èäåàë, ò.å. ìíîæåñòâî J(P ) óñòîé÷èâî
îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ∪ è ∩. Ñ äðóãîé  äàííûå îïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò âñåì àêñèî-
ìàì ðåø¼òêè, à òàêæå çàêîíàì äèñòðèáóòèâíîñòè (ñì. óòâåðæäåíèå 1.1). Òàêèì îáðàçîì,
J(P ) åñòü äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà.
   Â ñîîòâåòñòâèè ñ äàííîé ëåììîé, ðåø¼òêà J(P ), ïîñòðîåííàÿ â ïðèìåðå 3.9 (ðèñ. 3.5),
äèñòðèáóòèâíà. Òàì îíà ñòðîèëàñü ñíèçó ââåðõ, ñ÷èòàÿ ÷òî åñëè èìåþòñÿ äâà ïîðÿä-
êîâûõ èäåàëà, òî äîëæíî ñóùåñòâîâàòü è èõ îáúåäèíåíèå. Íèæå áóäåò îïèñàí àëãîðèòì
ïîñòðîåíèÿ äèàãðàììû J(P ) ïî äèàãðàììå êîíå÷íîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà P . Çàìåòèì, ÷òî
ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, óñòîé÷èâàÿ îòíîñèòåëüíî òåîðåòèêî-
ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ìíîæåñòâ è
J(P )  ïðèìåð êîëüöà ìíîæåñòâ.
    êîíå÷íûõ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òêàõ àòîìû íå èãðàþò òàêîé ðîëè, êàê â áóëåâûõ
àëãåáðàõ. Íàïðèìåð, â êîíå÷íîé öåïè âñåãî îäèí àòîì. Çäåñü ãîðàçäî áîëüøåå çíà÷åíèå
èìåþò íåðàçëîæèìûå â îáúåäèíåíèå ýëåìåíòû.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика