Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре: Учебно-методическое пособие

Голосов: 0

В пособии рассмотрены основные понятия и теоремы булевой алгебры, отношений множеств, причем особое внимание уделено частично упорядоченным множествам pi решёткам. Изучаются свойства модулярных, дистрибутивных решёток и решёток с дополнениями. Указанным разделам посвящены первые главы. В последней главе рассматриваются универсальные алгебры. Вводится понятие алгебраической системы, рассматриваются различные типы таких систем и доказываются основные теоремы об их изоморфизме и гомоморфизме. Вводимые понятия и доказанные утверждения иллюстрируются большим количеством примеров. Пособие предназначено для студентов, изучающих соответствующие разделы алгебры и может быть использовано при самообразовании. Электронная версия пособия размещена на сайте факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова <a href="http://www.cs.msu.su" target="_blank">(www.cs.msu.su)</a>.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    6.2. Ïîäñèñòåìû. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ÀÑ                                                     121


Ïðèìåð 6.6.     1. Ïîäêîëüöî ÷¼òíûõ êîëüöà öåëûõ ÷èñåë ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòîì 2.
  2. Ïóñòü A = {a1 , a1 , . . . , an }, f1  óíàð, ãäå f1 (ai ) = ai+1 äëÿ i = 1, 2, . . . , n−1
     è f1 (an ) = a0 . Òîãäà A ïîðîæäàåòñÿ ëþáûì ýëåìåíòîì ñâîåãî íîñèòåëÿ.
        1

  3. N, + = [1], + .
  4. ÀÑ N, · íå åñòü êîíå÷íîïîðîæä¼ííàÿ àëãåáðà.
   Èòàê, íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ïîäñèñòåì ÀÑ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ å¼ ïîäñèñòåìîé. Îáúåäè-
íåíèå ïîäñèñòåì ÀÑ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîäñèñòåìîé íå ÿâëÿåòñÿ, ÷òî ïîêàçûâàåò íèæåñëå-
äóþùèé
Ïðèìåð 6.7. nZ, + è mZ, + ïðè ëþáûõ öåëûõ n è m ñóòü ïîäñèñòåìû Z, + ,
îäíàêî ïðè íåêðàòíûõ äðóã äðóãó n è m ìíîæåñòâî nZ ∪ mZ íåóñòîé÷èâî ïî îòíîøåíèþ
ê ñëîæåíèþ (íàïðèìåð, ïðè n = 6 è m = 10 ìíîæåñòâî { 0, ±6, ±10, ±12, ±20, . . . } íå
ñîäåðæèò ýëåìåíòà 4 = 10 − 6), è â ýòîì ñëó÷àå nZ ∪ mZ, + â ñèëó íåóñòîé÷èâîñòè
íîñèòåëÿ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè, äàæå íå åñòü ÀÑ.
   Íèæå ñôîðìóëèðîâàíî óñëîâèå, êîãäà îáúåäèíåíèå ïîäñèñòåì áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîäñè-
ñòåìîé.
Îïðåäåëåíèå 6.2. Ñîâîêóïíîñòü S ïîäìíîæåñòâ A íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîé, åñëè ëþáîå
êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî A ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì ýëåìåíòå S .

   Ïðèìåðîì ëîêàëüíîé ïîäñèñòåìû ìíîæåñòâà R ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü èíòåðâàëîâ
âèäà (−n, n), n ∈ N.
Òåîðåìà 6.2 (Îá îáúåäèíåíèè ïîäñèñòåì ÀÑ). Ïóñòü A =             A, Op A, Rel A 
àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà è {Ai ⊆ A | i ∈ I}  ëîêàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ å¼
íîñèòåëÿ A. Òîãäà    i∈I Ai , Op A, Rel A  A.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ëèøü óñòîé÷èâîñòü ìíîæåñòâà U = i∈I Ai îòíîñè-
òåëüíî îïåðàöèé èç Op A, ïîñêîëüêó âñå îñòàëüíûå ñâîéñòâà ïîëó÷åííîé ñèñòåìû áóäóò
íàñëåäîâàòüñÿ îò èñõîäíîé.
   Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ n-ìåñòíóþ îïåðàöèþ f èç Op A. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íà-
áîðà (a1 , . . . , an ) = a èìååì: ñ îäíîé ñòîðîíû, a ∈ U , à ñ äðóãîé  íàéäåòñÿ òàêîå
ìíîæåñòâî Ai ⊆ U , ÷òî {a ∪ f (a)} ∈ Ai . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî U óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî f .

   Òàêèì îáðàçîì, óñòîé÷èâîñòü íà îáúåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ëîêàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñëå-
äóåò èç òîãî, ÷òî îïåðàöèè îïðåäåëåíû íàä êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì àðãóìåíòîâ.
   Âûøå ìû îòìå÷àëè, ÷òî ñîâîêóïíîñòü Sub A âñåõ ïîäñèñòåì ÀÑ A åñòü ÷.ó. ìíî-
æåñòâî. Áîëåå òîãî, îíî ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åíî, åñëè äëÿ ÀÑ áåç ãëàâíûõ ýëåìåíòîâ
ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàòü óñòîé÷èâûì îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ îïåðàöèé. Òîãäà ïå-
ðåñå÷åíèå ïîäñèñòåì âñåãäà åñòü ïîäñèñòåìà (âîçìîæíî ïóñòàÿ), è äëÿ A1 , A2 ∈ A ìîæíî
ïîëîæèòü inf { A1 , A2 } = A1 ∩ A2 . Äàëåå ïîëîæèì sup { A1 , A2 } = [ A1 ∪ A2 ]. Äàëåå, ïî-
ñêîëüêó êîëüöî ìíîæåñòâ  ïîëíàÿ ðåø¼òêà, òî è Sub A îêàçûâàåòñÿ ïîëíîé ðåø¼òêîé
(ñì. ñ. 77).
Ïðèìåð 6.8. Ïðîäîëæàÿ ðàññìîòðåíèå ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà îòìåòèì, ÷òî íàèìåíü-
øåé ïîäñèñòåìîé ÀÑ Z, + , ñîäåðæàùåé å¼ ïîäñèñòåìû nZ, + è mZ, + áóäåò
 [ m ∧ n ], + . Íàïðèìåð, äëÿ 6Z, + è 10Z, + ýòî 2Z, + .
   Åñëè A1 è A2  äâå îäíîòèïíûå ÀÑ àáñòðàêòíîé ñèãíàòóðû σ ñ íîñèòåëÿìè A1
è A2 ñîîòâåòñòâåííî, òî ìîæíî îïðåäåëèòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå A = A1 Ч A2 , òàêæå
ÿâëÿþùååñÿ ÀÑ. Ñèãíàòóðà ÀÑ A áóäåò ñîñòîÿòü èç òàêîãî æå ÷èñëà òåõ æå ñèìâîëîâ
îïåðàöèé è îòíîøåíèé, íî ìåñòíîñòè ñèìâîëîâ óäâàèâàþòñÿ. Ïóñòü f1 è f2  îäíîèì¼í-
íûå îïåðàöèè ìåñòíîñòè , à r1 è r2  îäíîèì¼ííûå îòíîøåíèÿ àðíîñòè m , èç A1 è


122                                                               Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


A2 ñîîòâåòñòâåííî. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì îïåðàöèÿ f Ч è îòíîøåíèå rЧ â ÀÑ A1 Ч A2
îïðåäåëÿþòñÿ êàê

                 f Ч (a, b) = ( f1 (a), f2 (b) )    è     rЧ (a, b) = r1 (a)         r2 (b) .

Çäåñü a è b  ïðîèçâîëüíûå íàáîðû ýëåìåíòîâ èç A1 è A2 ñîîòâåòñòâåííî äëèíû n
(äëÿ îïåðàöèé) èëè m (äëÿ îòíîøåíèé). Åñëè c1 è c2  ãëàâíûå îäíîèì¼ííûå ýëåìåíòû
èç A1 è A2 ñîîòâåòñòâåííî, òî
                                  cЧ = (c1 , c2 )
 ãëàâíûé ýëåìåíò èç A1 Ч A2 .
Ïðèìåð 6.9.      1. Z2 , + Ч Z3 , + ñîñòîèò èç øåñòè ýëåìåíòîâ (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0),
     (1, 1), (1, 2). Ïðè ýòîì, íàïðèìåð, (1, 1) + (1, 1) = (0, 2).
  2. Ðàññìîòðèì äâå îäíîòèïíûå ÀÑ ñèãíàòóðû 2, 2, 0 : A = {0, 1, 2}, +3 , , 0
     è B = {0, 1}, max, <, 1 , ãäå max  îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ìàêñèìàëüíîãî èç äâóõ
     ÷èñåë, à îòíîøåíèÿ        è < ïîíèìàþòñÿ â îáû÷íîì ñìûñëå. Òîãäà

                A Ч B = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1) }, ∗, ≤, (0, 1) ,

      ãäå áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ ∗ è îòíîøåíèå ≤ îïðåäåëåíû êàê

                           (a1 , b1 ) ∗ (a2 , b2 ) = ( (a1 +3 a2 ), max {b1 , b2 } ) ,
                          (a1 , b1 ) ≤ (a2 , b2 ) = (a1 a2 ) (b1 < b2 ) ,

     ãäå a1 , a2 ∈ {0, 1, 2}, b1 , b2 ∈ {0, 1}, à (0, 1)  åäèíèöà ÀÑ A Ч B.
  3. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå áóëåâûõ àëãåáð åñòü áóëåâà àëãåáðà.
   ßñíî, ÷òî îïðåäåëåíî è ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ ñèñòåì. Ïðÿ-
ìîå ïðîèçâåäåíèå k ÀÑ A îáîçíà÷àþò Ak .


6.3 Ãîìîìîðôèçìû ÀÑ
Îïðåäåëåíèå 6.3. Ïóñòü A, Op A, Rel A è B, Op B, Rel B  äâå îäíîòèïíûå ÀÑ,
à f ∈ Op A è f ∈ Op B  ïàðà îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé ìåñòíîñòè n. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî
îòîáðàæåíèå ϕ : A → B ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îïåðàöèÿìè, åñëè

            ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) è ϕ(f (A0 )) = f (ϕ(A0 ))      (6.1)

äëÿ n > 0 è ïðè ïðîèçâîëüíûõ a1 , . . . , an ∈ A è n = 0 ñîîòâåòñòâåííî.

Ïðèìåð 6.10. Äëÿ àëãåáð R {0}, · è R, + îòîáðàæåíèå ϕa (x) = loga |x| ïðè ëþáîì
äåéñòâèòåëüíîì a > 0, a = 1 ñîãëàñîâàííî ñ îïåðàöèÿìè · è + äàííûõ ÀÑ.
   Åñëè îòîáðàæåíèå ϕ îêàæåòñÿ ñîãëàñîâàííûì ñî âñåìè ïàðàìè îäíîèì¼ííûõ îïåðà-
öèé äâóõ ÀÑ, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ϕ ñîãëàñîâàííî ñ îïåðàöèÿìè ýòèõ ÀÑ.

Îïðåäåëåíèå 6.4. Ïóñòü A, Op A, Rel A è B, Op B, Rel B    äâå îäíîòèïíûå ÀÑ,
à r ∈ Rel A è r ∈ Rel B  ïàðà îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé àðíîñòè m. Òîãäà ãîâîðÿò,
÷òî îòîáðàæåíèå ϕ : A → B ñîîòâåòñòâåííî

 1) ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îòíîøåíèÿìè, åñëè

                                r(a1 , . . . , am )   r (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ;
                                                    ¡                                           (6.2)


6.3. Ãîìîìîðôèçìû ÀÑ                                                                                          123


 2) ñèëüíî ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îòíîøåíèÿìè, åñëè

        r (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ⇒
                          ⇒ ∃ x1 , . . . , x m   ϕ(ak ) = ϕ(xk ), k = 1, m              r(x1 , . . . , xm ) ; (6.3)
                             A

 3) ïîëíîñòüþ (èëè òîæäåñòâåííî ) ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îòíîøåíèÿìè, åñëè
                                   r(a1 , . . . , am ) ≡ r (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) .

    Åñëè îòîáðàæåíèå ϕ îêàæåòñÿ (ñèëüíî, òîæäåñòâåííî) ñîãëàñîâàííûì ñî âñåìè ïàðà-
ìè îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé äâóõ ÀÑ, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ϕ (ñèëüíî, òîæäåñòâåííî)
ñîãëàñîâàííî ñ îòíîøåíèÿìè ýòèõ îäíîòèïíûõ ÀÑ.
Ïðèìåð 6.11. Ðàññìîòðèì äâå ìîäåëè òèïà 1 : {a1 , a2 }, r è {b}, r . Åäèíñòâåííîå
âîçìîæíîå îòîáðàæåíèå ϕ èç A íà B çàäà¼òñÿ ðàâåíñòâàìè ϕ(a1 ) = ϕ(a2 ) = b. Ïóñòü
r (b) = 1. Òîãäà
 1) åñëè r(a1 ) = r(a2 ) = 0, òî ϕ ñîãëàñîâàííî,
 2) åñëè r(a1 ) = 1 è r(a2 ) = 0, òî ϕ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî,
 3) åñëè r(a1 ) = r(a2 ) = 1, òî ϕ òîæäåñòâåííî ñîãëàñîâàííî
ñ ïàðîé ( r, r ) îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëåé.
Îïðåäåëåíèå 6.5. Ïóñòü A è B  äâå îäíîòèïíûå ÀÑ. Òîãäà îòîáðàæåíèå ϕ : A → B ,
ñîãëàñîâàííîå ñ îïåðàöèÿìè ýòèõ ÀÑ íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî
 1) ãîìîìîðôèçìîì èç A â B, åñëè ϕ ñîãëàñîâàííî;
 2) âçàèìíîîäíîçíà÷íûì (èëè áèåêòèâíûì ) ãîìîìîðôèçìîì ìåæäó A è B, åñëè ϕ 
    áèåêöèÿ, ñîãëàñîâàííàÿ;
 3) ñèëüíûì ãîìîìîðôèçìîì èç A â B, åñëè ϕ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî;
 4) èçîìîðôèçìîì ìåæäó A è B, åñëè ϕ  áèåêöèÿ, ïîëíîñòüþ ñîãëàñîâàííàÿ
ñ îòíîøåíèÿìè ýòèõ ÀÑ.
   Âìåñòî òåðìèíà ¾ñèëüíûé¿ äëÿ ãîìîìîðôèçìà èíîãäà óïîòðåáëÿþò òåðìèí ñòðîãèé.
Äëÿ àëãåáð ïîíÿòèå ñèëüíîãî ãîìîìîðôèçìà îòñóòñòâóåò, à âçàèìíîîäíîçíà÷íûé ãîìî-
ìîðôèçì âñåãäà åñòü èçîìîðôèçì. ÀÑ A è B íàçûâàþò èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò
èçîìîðôèçì ìåæäó A è B, ÷òî çàïèñûâàþò êàê A ∼ B. Ïîíÿòíî, ÷òî òîæäåñòâåííîå
                                                  =
îòîáðàæåíèå ëþáîé ÀÑ íà ñåáÿ åñòü èçîìîðôèçì.
Ïðèìåð 6.12.   1. Ìîäåëü A = Z, < íå èçîìîðôíà, à ëèøü áèåêòèâíî ãîìîìîðôíà
     ìîäåëè B = 2Z,        : îòîáðàæåíèå ϕ(n) = 2 n åñòü âçàèìíîîäíîçíà÷íûé ãîìî-
     ìîðôèçì èç A â B. Îí íå ñèëüíûé, ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ϕ ñîãëàñîâàííî, íî íå
     òîæäåñòâåííî ñîãëàñîâàííî ñ îòíîøåíèÿìè < è .
  2. Äëÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ A Ч B àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì A è B îïðåäåëåíû
     îòîáðàæåíèÿ π1 (a, b) = a è π2 (a, b) = b èç A Ч B íà A è B ñîîòâåòñòâåííî.
     Èç îïðåäåëåíèÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî âèäíî, ÷òî π1 è π2 ñóòü
     ñèëüíûå ãîìîìîðôèçìû.
  3. Z,      ∼ 2Z,
             =         ; Z2 ∼ V4 (÷åòâåðíàÿ ãðóïïà Êëåéíà).
                           2 =

Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì âàæíîå ñâîéñòâî ñèëüíûõ ãîìîìîðôèçìîâ, êîòîðîå íàì ïîíàäîáèòñÿ
â äàëüíåéøåì. Ñîîòíîøåíèå (6.3) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî åñëè (â ââåä¼ííûõ îáîçíà÷å-
íèÿõ) ñïðàâåäëèâî r (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )), òî â A íàéäóòñÿ òàêèå b1 , . . . , bm èç ÿäðà ϕ (0),
÷òî ñïðàâåäëèâî r(b1 , . . . , bm ), è, òàêèì îáðàçîì, r (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ))   r(b1 , . . . , bm ).
                                                                                    ¡
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìû ñîõðàíèëè èñòèííîñòü íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ,
ñâÿçàííûõ îòíîøåíèåì r , ïåðåõîäÿ îò íåãî ê îäíîèìåííîìó îòíîøåíèþ r ïðè äâèæå-
íèè ïðîòèâ îòîáðàæåíèÿ ϕ.


124                                                                  Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


   Òî, ÷òî ϕ  ãîìîìîðôèçì èç A â B çàïèñûâàþò êàê ϕ ∈ Hom(A, B). Ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ãîìîìîðôíûå êàê îáðàç, òàê è ïðîîáðàç ïîäñèñòåì ÀÑ òàêæå
ñóòü ïîäñèñòåìû (ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì).
Òåîðåìà 6.3. Ïóñòü A = A, Op A, Rel A , B = B, Op B, Rel B                             äâå îäíîòèïíûå
ÀÑ, A       A, B         B è ϕ ∈ Hom (A, B). Òîãäà Im ϕ(A )                    B è Im ϕ−1 (B ) A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî ïîêàçàòü óñòîé÷èâîñòü ãëàâíûõ îïåðàöèé è ãëàâíûõ ýëåìåíòîâ
èç A è B íà îáðàçå è ïðîîáðàçå ϕ ñîîòâåòñòâåííî.
    Óñòîé÷èâîñòü ãëàâíûõ ýëåìåíòîâ ÀÑ îòíîñèòåëüíî ãîìîìîðôèçìîâ è âçÿòèé ïîäñè-
ñòåì î÷åâèäíà. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïàðó f , f îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé ìåñòíîñòè n > 0
èç Op A è Op B ñîîòâåòñòâåííî.
    Ïóñòü b1 . . . , bn  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç ϕ(A ). Òîãäà ϕ(ai ) = bi äëÿ íåêîòîðûõ
ai ∈ A, i = 1, n è

               f (b1 , . . . , bn ) = f (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) = ϕ(f (a1 , . . . , an )) ∈ ϕ(A ) ,

ïîñêîëüêó f (a1 , . . . , an ) ∈ A â ñèëó óñòîé÷èâîñòè A . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäìíîæåñòâî
ϕ(A ) óñòîé÷èâî â ÀÑ B .
   Åñëè æå a1 . . . , an  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç ϕ−1 (B ), òî ϕ(ai ) ∈ B , i = 1, n è
òîãäà
                       ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) ∈ ϕ(B ) ,
îòêóäà f (a1 , . . . , an ) ∈ ϕ−1 (B ) è, çíà÷èò, ϕ−1 (B ) óñòîé÷èâî â A.
   Ëåãêî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå èçîìîðôèçìó, åñòü èçîìîð-
ôèçì è êîìïîçèöèÿ ãîìîìîðôèçìîâ [ èçîìîðôèçìîâ ] åñòü ãîìîìîðôèçì [ èçîìîðôèçì ].
Òàêæå ÿñíî, ÷òî îòíîøåíèå èçîìîðôèçìà åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæå-
ñòâå àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû ðàñïàäàþòñÿ
íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèå èçîìîðôíûå ñèñòåìû. Îáû÷íî èçó÷àþò ñâîé-
ñòâà àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Òàêèå ñâîéñòâà íàçûâàþò
àáñòðàêòíûìè.
   Ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì ÀÑ íàçûâàþò ýïèìîðôèçìîì, à èíúåêòèâíûé ãîìîìîð-
ôèçì  ìîíîìîðôèçìîì 2 , ò.å. òàê æå, êàê è ñîîòâåòñòâóþùå îòîáðàæåíèÿ. Ãîìîìîðôèçì
ÀÑ â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ ýíäîìîðôèçìîì. Èçîìîðôèçì ÀÑ íà ñåáÿ íàçûâàþò àâòîìîðôèç-
ìîì. Ñ êàæäîé ÀÑ A ñâÿçàíû ðåø¼òêà ïîäñèñòåì Sub A, ìîíîèä ýíäîìîðôèçìîâ End A
è ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ Aut A (ãðóïïà îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ ìîíîèäà End A ).
   Êëàññ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì íàçûâàåòñÿ àáñòðàêòíûì, åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ÀÑ â
í¼ì ëåæàò âñå ñèñòåìû, åé èçîìîðôíûå. Äëÿ àëãåáð ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 6.4 (Áèðêãîô). Êëàññ àëãåáð ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì, åñëè è òîëüêî åñëè
îí çàìêíóò îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ïîäàëãåáð, ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé è ãîìîìîðôíûõ îá-
ðàçîâ.

      Ñëåäóþùèé ôàêò ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå.
Òåîðåìà 6.5. Âñÿêèé ñþðúåêòèâíûé ýíäîìîðôèçì êîíå÷íîé ñèñòåìû åñòü èçîìîðôèçì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ÀÑ A, Op A, Rel A ñ êîíå÷íûì íîñèòåëåì A è ñþðúåê-
òèâíûé ýíäîìîðôèçì ϕ. Ïóñòü r  ïðîèçâîëüíîå îòíîøåíèå àðíîñòè m èç Rel A. Ïî-
ñêîëüêó ϕ  ãîìîìîðôèçì, òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà a1 , . . . , am èç m ýëåìåíòîâ íîñèòåëÿ
  2 Çàìåòèì,  ÷òî â òåîðèè êàòåãîðèé òåðìèíû ¾ýïèìîðôèçì¿ è ¾ìîíîìîðôèçì¿ èìåþò äðóãèå îïðåäå-
ëåíèÿ è, êàê ñëåäñòâèå, íåñêîëüêî èíûå ñâîéñòâà.  ÷àñòíîñòè, êàòåãîðíûå ýïèìîðôèçìû íå îáÿçàòåëüíî
ÿâëÿþòñÿ ñþðúåêòèâíûìè ãîìîìîðôèçìàìè.


6.4. Êîíãðóýíöèè è ôàêòîðñèñòåìû                                                                 125


A èñòèíà èìïëèêàöèÿ r(a1 , . . . , am )   r(ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )), ò.å. äëÿ å¼ ïîñûëêè è çàêëþ-
                                                 ¡
÷åíèÿ ìîãóò èìåòü ìåñòî òîëüêî ñëåäóþùèå ïàðû èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé ïîñûëêè è
çàêëþ÷åíèÿ: (0, 0), (0, 1), (1, 1). Òåîðåìà áóäåò äîêàçàíà, åñëè âûÿñíèòñÿ, ÷òî âòîðîé
ñëó÷àé â íàøèõ óñëîâèÿõ íå ðåàëèçóåòñÿ.
   Íàëîæåíèå ìíîæåñòâà íà ñåáÿ ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé è, â ñèëó êîíå÷íîñòè A, ïåðåñòà-
íîâêîé åãî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîé ñòåïåíè. Òîãäà ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå d òàêîå, ÷òî ϕ d
åñòü òîæäåñòâåííàÿ ïåðåñòàíîâêà. Ïóñòü îòíîøåíèå r(ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) âûïîëíåíî. Îò-
ñþäà ñëåäóåò, ÷òî, ïîñêîëüêó ϕ  ãîìîìîðôèçì, äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî t âûïîëíåíî
r(ϕ t (a1 ), . . . , ϕ t (am )). Ïðè t = d ïîëó÷àåì, ÷òî âûïîëíåíî è r(a1 , . . . , am ). Òàêèì îáðà-
çîì, r(ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am ))   r(a1 , . . . , am ), è ñëó÷àé (0, 1) íåâîçìîæåí.
                                    ¡
   B ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè r ìû ïîêàçàëè òîæäåñòâåííóþ ñîãëàñîâàííîñòü ϕ ñî âñåìè
îòíîøåíèÿìè èç Rel A.



6.4 Êîíãðóýíöèè è ôàêòîðñèñòåìû
Îïðåäåëåíèå 6.6. Îäíîðîäíîå îòíîøåíèå ρ íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ñòàáèëüíûì
îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè f ìåñòíîñòè n íà A, åñëè ïðè n > 0 äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ
a1 , a1 , . . . , an , an ∈ A ñïðàâåäëèâî
                         n

                        & (ai ρ ai )   ⇒ f (a1 , . . . , an ) ρ f (a1 , . . . , an ) ,
                        i=1

à ïðè n = 0  ρ ðåôëåêñèâíî.

   Ñòàáèëüíîñòü îòíîøåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî åñëè íàáîðû àðãóìåíòîâ ôóíêöèè íàõîäÿòñÿ
â äàííîì îòíîøåíèè, òî è ðåçóëüòàòû îïåðàöèè òàêæå íàõîäÿòñÿ â ýòîì îòíîøåíèè.
   Îäíîðîäíîå îòíîøåíèå ρ íà ÀÑ A, Op A, Rel A íàçûâàåòñÿ ñòàáèëüíûì íà ýòîé
ÀÑ, åñëè îíî ñòàáèëüíî îòíîñèòåëüíî ëþáîé îïåðàöèè èç Op A. Íàïðèìåð, ïîëíîå   è
äèàãîíàëüíîå    îòíîøåíèÿ ñòàáèëüíû íà ëþáîé ÀÑ.

Îïðåäåëåíèå 6.7. Ñòàáèëüíàÿ íà ÀÑ ýêâèâàëåíòíîñòü íàçûâàåòñÿ êîíãðóýíöèåé íà íåé.
   ßñíî, ÷òî ïîëíîå è äèàãîíàëüíîå îòíîøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êîíãðóýíöèÿìè íà ëþáîé ÀÑ.
Êîíãðóýíöèÿ íà ÀÑ A îïðåäåëÿåò ïîäñèñòåìó ÀÑ A2 . Ñîâîêóïíîñòü âñåõ êîíãðóýíöèé
Con A åñòü ÷.ó. ìíîæåñòâî, óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ. Con A èìååò óíèâåðñàëüíûå
ãðàíè: ýòî îòìå÷åííûå âûøå äèàãîíàëü (o) è àìîðôíàÿ êîíãðóýíöèÿ (ι).
Ïðèìåð 6.13. B êà÷åñòâå ÀÑ A ðàññìîòðèì ïîëóãðóïïó                       Z, · .

   1. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ≡2 (÷¼òíîñòè) íà ìíîæåñòâå Z åñòü êîíãðóýíöèÿ íà
      ÀÑ A. Äåéñòâèòåëüíî,
                                 k ≡2 m
                                          ⇒ kl ≡2 mn,
                                 l ≡2 n
      ò.å. îòíîøåíèå ≡2 ñòàáèëüíî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ. Èìååì
      A2 = Z2 , · , ãäå (k, l) · (m, n) = (km, ln) è íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (äëÿ ïðîñòî-
      òû óêàçàíèå íà êëàññ mod 2 îïóñêàåì)

                                 { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }, ·          A2 .

   2. Äëÿ êîíãðóýíöèé ≡2 è ≡4 íà ÀÑ A èìååì ≡4 ⊆≡2 , è âîîáùå ≡m ⊆ ≡n , åñëè n | m.


126                                                             Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


   Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ñåìåéñòâà êîíãðóýíöèé ñàìî ÿâëÿåòñÿ êîí-
ãðóýíöèåé, ïðèòîì íàèáîëüøåé èç âñåõ, ñîäåðæàùèõñÿ â êàæäîé èç êîíãðóýíöèé ñåìåé-
ñòâà. Èç òåîðåìû 4.2 ñëåäóåò, ÷òî ÷.ó. ìíîæåñòâî êîíãðóýíöèé Con A  ïîëíàÿ ðåø¼òêà,
íàçûâàåìàÿ ðåø¼òêîé êîíãðóýíöèé ÀÑ A. Ïîíÿòíî, ÷òî Con A ⊆ A2 . Ïðè ýòîì ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ α, β ∈ Con A âåðíî sup { α, β } = { α, β }e ∈ Con (ñð. ñ ïðèìåðîì 2).
Òàê æå ñâîéñòâî {α, β}e = α ∪ β = αβ äëÿ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýêâèâàëåíòíîñòåé α è β
ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ êîíãðóýíöèé ÀÑ.

Òåîðåìà 6.6. Åñëè íà ÀÑ A âñå êîíãðóýíöèè ïåðåñòàíîâî÷íû, òî ðåø¼òêà Con A
ìîäóëÿðíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α, β, γ ∈ Con A è α ⊆ β . Äëÿ òîãî, ÷òîáû â ðåø¼òêå êîíãðóýíöèé
âûïîëíÿëñÿ ìîäóëÿðíûé çàêîí, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå

                           α ⊆ β ⇒ α ∪ (β ∩ γ) ⊇ β ∩ (α ∪ γ),

îáðàòíîå ê íåðàâåíñòâó ïîëóìîäóëÿðíîñòè.
   Çàìåíèâ îáúåäèíåíèå êîíãðóýíöèé íà èõ ïðîèçâåäåíèå, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîäñèñòåì
A è B ÀÑ A èìååì

      A(β ∩ (α γ))B ⇔ AβB          ∃X ( AαX        XγB ) ⇔ ∃X ( AβB          AαX    XγB ) .

Çäåñü X  íåêîòîðàÿ ïîäñèñòåìà A.
   Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå AβB ìîæíî çàìåíèòü íà XβB . Äåéñòâèòåëüíî,

                                  AαX ⇒ AβX ⇔ XβA

â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè êîíãðóýíöèé. Âìåñòå ñ AβB ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñïðàâåäëèâî

                            XβA       AβB ⇒ Xβ 2 B ⇔ XβB.

Òàêèì îáðàçîì,

 ∃X ( AβB     AαX     XγB ) ⇒ ∃X ( AαX XβB XγB ) ⇔
                                    ⇔ ∃X ( AαX X(β ∩ γ)B ) ⇔ A[α (β ∩ γ)]B,

ò.å. β ∩ (α ∪ γ) ⊆ α ∪ (β ∩ γ).
   Ïóñòü x, y  äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà ÀÑ A. Íàèìåíüøàÿ èç êîíãðóýíöèé, ñîäåðæà-
ùèõ ïàðó (x, y), îáîçíà÷àåòñÿ θ(x, y) è íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé êîíãðóýíöèåé, ïîðîæä¼ííîé
óêàçàííîé ïàðîé. Òàêèì îáðàçîì,

                                  θ(x, y)                 α (xαy) .
                                               α∈ Con A


Ðîëü ãëàâíûõ êîíãðóýíöèé ðàñêðûâàåò

Òåîðåìà 6.7. Åñëè α ∈ Con A, òî

                                     α =                θ(x, y) .
                                            θ(x, y)⊆α


6.5. Òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìàõ è èçîìîðôèçìàõ ÀÑ                                                            127


   Òàêèì îáðàçîì, âñÿêàÿ êîíãðóýíöèÿ α ÀÑ ÿâëÿåòñÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûì îáú-
åäèíåíèåì ñîäåðæàùèõñÿ â íåé ãëàâíûõ êîíãðóýíöèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ãëàâíîé êîíãðóýíöèè, åñëè xαy , òî θ(x, y) ⊆ α. Òàê êàê
xθ(x, y)y , òî
                       α ⊆        θ(x, y) ⊆      θ(x, y) ⊆ α ,
                                   θ(x, y)⊆α            θ(x, y)⊆α

ãäå θ(x, y)⊆α θ(x, y)  ðåø¼òî÷íîå îáúåäèíåíèå âñåõ ãëàâíûõ êîíãðóýíöèé, ñîäåðæàùèõ-
ñÿ â α, ò.å. íàèìåíüøàÿ èç êîíãðóýíöèé, ñîäåðæàùèõ âñå θ(x, y), ãäå xαy .
Òåîðåìà 6.8. ßäðî ãîìîìîðôèçìà ÀÑ åñòü êîíãðóýíöèÿ íà íåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ  ãîìîìîðôíîå îòîáðàæåíèå ÀÑ ñ íîñèòåëåì A. Ïîñêîëüêó ÿä-
ðî ϕ (0) åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü, íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü åãî ñòàáèëüíîñòü îòíîñèòåëüíî
îïåðàöèé äàííîé ÀÑ.
   Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ îïåðàöèþ f äàííîé ÀÑ. Ïóñòü ìåñòíîñòü f åñòü n.
   Åñëè n > 0, òî âîçüì¼ì a1 , a1 . . . , an , an ∈ A òàêèå, ÷òî ai (Ker ϕ) ai , èëè èíà÷å
ϕ(ai ) = ϕ(ai ) äëÿ âñåõ i = 1, n. Ïîñêîëüêó ϕ  ãîìîìîðôèçì, èìååì:
 ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) =
                                                     = f (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) = ϕ(f (a1 , . . . , an )),
ò.å. f (a1 , . . . , an ) (Ker ϕ) f (a1 , . . . , an ).
    Åñëè n = 0, òî çàìåòèì, ÷òî ÿäåðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãîìîìîðôèçìà  ðåôëåêñèâíîå
îòíîøåíèå, ñòàáèëüíîå îòíîñèòåëüíî íóëüìåñòíîé îïåðàöèè ïî îïðåäåëåíèþ.
   Ïóñòü íà ÀÑ A = A, Op A, Rel A çàäàíà êîíãðóýíöèÿ α. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðåçóëü-
òàòû îïåðàöèé èç Op A íå èçìåíÿþòñÿ ïðè çàìåíå ýëåìåíòà a íà êàêîé-ëèáî äðóãîé èç
êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè [a]α . Ýòî ïîçâîëÿåò êîððåêòíî îïðåäåëèòü íà ôàêòîðìíîæåñòâå
A/α îäíîèì¼ííûå îòíîñèòåëüíî sgnt A îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ.
   Îïåðàöèÿ f ∗ íà A/α, îäíîèì¼ííàÿ îïåðàöèè f ∈ Op A àðíîñòè n, çàäà¼òñÿ ðàâåí-
ñòâîì
                        f ∗ ([a1 ]α , . . . , [an ]α ) = [f (a1 , . . . , an )]α (6.4)
ïðè n > 0, à ïðè n = 0 
                                        f ∗ ((A/α)0 ) = [f (A0 )]α .                                    (6.5)
   Îòíîøåíèå r∗ , îäíîèì¼ííîå îòíîøåíèþ r ∈ Rel A àðíîñòè m, çàäà¼òñÿ ðàâåíñòâîì
 r∗ ([a1 ]α , . . . , [am ]α ) =
                                      = ∃ x1 , . . . , xm ( ai αxi , i = 1, m )    r(x1 , . . . , xm ) . (6.6)
                                          A
   Ïîëó÷åííûå ìíîæåñòâà îïåðàöèé è îòíîøåíèé íà A/α áóäåì îáîçíà÷àòü Op ∗ A/α è
Op ∗ A/α ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîðñèñòåìà
                                   A/α =       A/α, Op ∗ A/α, Rel ∗ A/α
áóäåò êîððåêòíî îïðåäåë¼ííîé ÀÑ, îäíîòèïíîé ñ A. Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî åñòåñòâåííîå
îòîáðàæåíèå nat(A, α) â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.6) áóäåò ñèëüíûì ãîìîìîðôèçìîì èç A â
A/α è èìåòü α â êà÷åñòâå ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè.
Çàìå÷àíèå. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî òåîðåìà 6.8 äîïóñêàåò îáðàùåíèå: åñëè α  êîí-
ãðóýíöèÿ íà ÀÑ A, òî åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå nat(A, α) åñòü ãîìîìîðôèçì (íà å¼
ôàêòîðñèñòåìó).
Ïðèìåð 6.14.    1. Äëÿ ïðèìåðà 6.13 èìååì Z/ ≡2 = Z2 , · è Z/ ≡4 = Z4 , · .
  2. Äëÿ ÀÑ A èìååì A/ ∼ A è A/  îäíîýëåìåíòíàÿ ÀÑ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðè-
                           =
     ìåðà 6.13 èìååì Z/      ∼ Z, · è Z/
                             =                  ∼ {[0]}, · .
                                                =


128                                                                     Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


6.5 Òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìàõ è èçîìîðôèçìàõ ÀÑ
   Íèæåñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïèñûâàåò ñèòóàöèþ, êîãäà â êà÷åñòâå êîíãðóýíöèè íà ÀÑ
áåð¼òñÿ ÿäåðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãîìîìîðôèçìà.
Òåîðåìà 6.9 (Î ãîìîìîðôèçìàõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì). Ïóñòü ϕ  ãîìîìîð-
ôèçì èç ÀÑ A =           A, Op A, Rel A â îäíîòèïíóþ åé ÀÑ B =                          B, Op B, Rel B . Òîãäà
 1) îòîáðàæåíèå ψ , çàäàâàåìîå ïðàâèëîì ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a), åñòü áèåêòèâíûé ãîìî-
    ìîðôèçì èç A/ Ker ϕ â Im ϕ B;
 2) åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëüíûé, òî ψ  èçîìîðôèçì ìåæäó A/ Ker ϕ è Im ϕ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå îá îñíîâíîì ñâîéñòâå îòîáðàæåíèé ñóùåñòâóåò âëîæåíèå
           ψ
A/ Ker ϕ → B òàêîå, ÷òî äèàãðàììà

                                           A    ''
                                                            ϕ
                                                                       w
                                                    )
                                                    '                [B
                                                                     ]
                                        nat (Ker ϕ)                [[ψ
                                                        A/ Ker ϕ

êîììóòàòèâíà. Ýòî îòîáðàæåíèå çàäà¼òñÿ ïðàâèëîì

                                               ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a).                                              (6.7)

   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 1) òåîðåìû íàì íàäî ïîêàçàòü ñîãëàñîâàííîñòü îòîá-
ðàæåíèÿ ψ ñ îïåðàöèÿìè è îòíîøåíèÿìè ÀÑ A/ Ker ϕ è B.
   Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òðîéêó îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé f ∈ Op A, f ∈ Op B è
f ∈ Op ∗ A/ Ker ϕ ìåñòíîñòè n. Ïðè n > 0 èìååì:
 ∗


                               (6.4)                            (6.7)
 ψ(f ∗ ([a1 ], . . . , [an ])) = ψ([f (a1 , . . . , an )]) =
                                                    (6.1)                              (6.7)
                         = ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) =
                                                                      = f (ψ([a1 ]), . . . , ψ([an ])) (6.8)

äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , an èç A, à ïðè n = 0 

                           (6.5)                (6.7)
 ψ(f ∗ ((A/ Ker ϕ)0 )) = ψ([f (A0 )]) =
                                                                             (6.1)
                                                                = ϕ(f (A0 )) = f (ϕ(A0 )) = f (ψ([A0 ]))

(çäåñü âñå ñìåæíûå êëàññû  ïî ýêâèâàëåíòíîñòè Ker ϕ ). Ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà îçíà-
÷àþò ñîãëàñîâàííîñòü ψ ñ f ∗ è f è  â ñèëó èõ ïðîèçâîëüíîñòè  ñî âñåìè îïåðàöèÿìè
ñèñòåì A/ Ker ϕ è B.
   Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òðîéêó îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé r ∈ Rel A,
r ∈ Rel B è r∗ ∈ Rel ∗ A/ Ker ϕ àðíîñòè m. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , am
èç A èìååì:
                         (6.6)
 r∗ ([a1 ], . . . , [am ]) =
                                                                                                 (6.2)
                 ⇔ ∃ x1 , . . . , x m     xi (Ker ϕ)ai , i = 1, m          r(x1 , . . . , xm )   ⇒
                     A
                                                                                                         (6.7)
           ⇒ r(x1 , . . . , xm ) ⇒ r (ϕ(x1 ), . . . , ϕ(xm )) = r (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) =
                                                                  = r (ψ([a1 ]), . . . , ψ([am ])) (6.9)


6.5. Òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìàõ è èçîìîðôèçìàõ ÀÑ                                      129


(âñå ñìåæíûå êëàññû  ïî ýêâèâàëåíòíîñòè Ker ϕ ). Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò ñî-
ãëàñîâàííîñòü ψ ñ r∗ è r è  â ñèëó èõ ïðîèçâîëüíîñòè  ñî âñåìè îòíîøåíèÿìè ñèñòåì
A/ Ker ϕ è B.
   Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî ψ åñòü ìîíîìîðôèçì èç A/ Ker ϕ â B è, ñëåäîâàòåëüíî, áèåê-
òèâíûé ãîìîìîðôèçì èç A/ Ker ϕ â Im ϕ.
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 2) òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëü-
                   (6.2)
íûé, òî ñëåäîâàíèå ⇒ â (6.9) ìîæíî îáðàòèòü (ñì. çàìå÷àíèå íà ñ. 123) è, ñëåäîâàòåëü-
íî, çàìåíèòü íà ⇔.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òî îòîáðàæåíèå ψ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî ñ
r∗ ∈ Rel A/ Ker ϕ è r ∈ Rel B è îòñþäà  ñî âñåìè îòíîøåíèÿìè ñèñòåì A/ Ker ϕ è
Im ϕ ⊆ B. Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ψ áèåêòèâíî, òî ñèëüíàÿ ñîãëàñîâàííîñòü îçíà÷àåò
ñîãëàñîâàííîñòü òîæäåñòâåííóþ è ψ  èçîìîðôèçì ìåæäó A/ Ker ϕ è Im ϕ.
   Òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò, ÷òî åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ  ñèëüíûé, òî Im ϕ ∼ A/ Ker ϕ èëè,
                                                                     =
äðóãèìè ñëîâàìè, îáðàç ñèëüíîãî ãîìîìîðôèçìà ÀÑ èçîìîðôåí ôàêòîðñèñòåìå ïî åãî
ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Ñ ó÷¼òîì çàìå÷àíèÿ íà ñ. 127, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî
ïåðåôîðìóëèðîâàòü è òàê: ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñèëüíî ãîìîìîðôíûõ îáðàçîâ ÀÑ ñ òî÷íî-
ñòüþ äî èçîìîðôèçìà ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ôàêòîðñèñòåì ïî ðàçëè÷íûì êîíãðó-
ýíöèÿì. ßñíî, ÷òî äëÿ àëãåáð óòî÷íåíèå ¾ñèëüíîãî¿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îïóñêàåòñÿ.
   Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìà íîñèò íàçâàíèå ¾î ãîìîìîðôèçìàõ...¿, à íàèáîëåå ñèëüíîå å¼
óòâåðæäåíèå ãîâîðèò îá èçîìîðôèçìå. Ïðèâåä¼ííîå òðàäèöèîííîå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ
òåì, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî òåîðåìà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ àëãåáð.
Ïðèìåð 6.15.    1. Ðàññìîòðèì äâå îäíîòèïíûå àëãåáðû  A =                N0 , + è
      B = {+1, −1}, · è îòîáðàæåíèå ϕ íîñèòåëÿ A íà íîñèòåëü B, çàäàâàåìîå ïðà-
      âèëîì ϕ(n) = (−1)n . Èìååì:
                     ϕ(m + n) = (−1)m+n = (−1)m · (−1)n = ϕ(m) · ϕ(n),
     ò.å. ϕ  ãîìîìîðôèçì èç A â B (è, â ñèëó ñþúðåêòèâíîñòè  áèåêòèâíûé).
     ßäåðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ϕ ðàçáèâàåò N0 íà äâà ñìåæíûõ êëàññà  ÷¼òíûõ (âêëþ-
     ÷àÿ 0) è íå÷¼òíûõ ÷èñåë, ò.å. m(Ker ϕ)n ⇔ m ≡ 2 n. Äàëåå ïîëó÷èì
                                                      ψ
                              A/ Ker ϕ = {[0], [1]}, ⊕ ∼ B ,
                                                       =
                           ψ([1]) = ϕ(1) = −1 , ψ([0]) = ϕ(0) = +1.
  2. Ïóñòü ϕ : L → L  ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì ðåø¼òêè L â ðåø¼òêó L .
     Òîãäà ïî òåîðåìå î ãîìîìîðôèçìàõ ñóùåñòâóåò òàêîé èçîìîðôèçì ψ ðåø¼òîê L
     è L/ Ker ϕ, ÷òî ψ(ϕ(a)) = π(a) äëÿ âñåõ a ∈ L, ãäå π  åñòåñòâåííûé ãîìîìîðôèçì
     ðåø¼òêè L íà å¼ ôàêòîððåø¼òêó L/ Ker ϕ.
   Ñëåäñòâèåì òåîðåì î ãîìîìîðôèçìàõ ÀÑ è î ôàêòîðìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíàÿ
Òåîðåìà    6.10 (Î ôàêòîðñèñòåìàõ). Ïóñòü ϕ                 ãîìîìîðôèçì èç ÀÑ
A =      A, Op A, Rel A â îäíîòèïíóþ å¼ ÀÑ B =              B, Op B, Rel B è ∼ 
ýêâèâàëåíòíîñòü íà A òàêàÿ, ÷òî ∼ ⊆ Ker ϕ. Òîãäà:
 1) îòîáðàæåíèå χ, çàäàâàåìîå ïðàâèëîì χ([a]∼ ) = ϕ(a), åñòü ýïèìîðôèçì èç A/ ∼
    íà Im ϕ B;
 2) åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëüíûé, òî è χ  ñèëüíûé ãîìîìîðôèçì.
                                                                                χ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå î ôàêòîðìíîæåñòâàõ ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå A/ ∼ → B
òàêîå, ÷òî äèàãðàììà
                                A
                                       ϕ
                                        [[    B   w
                                           ]
                                           [    
                                                
                                                
                                   nat (∼)     χ
                                           A/ ∼


130                                                         Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


êîììóòàòèâíà. Ýòî îòîáðàæåíèå çàäà¼òñÿ ïðàâèëîì

                                     χ([a]∼ ) = ϕ(a).                                 (6.10)

    Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû íàäî ïîêàçàòü ñîãëàñîâàííîñòü îòîáðàæå-
íèÿ χ ñ îïåðàöèÿìè è îòíîøåíèÿìè ÀÑ A/ ∼ è B. Ýòî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçà-
òåëüñòâó òåîðåìû 6.9.
    Ïóñòü f ∈ OpA, f ∈ OpB è f ∗ ∈ Op∗ A/ ∼  òðîéêà îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé
àðíîñòè n. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , an èç A ïðè n > 0 áóäåì èìåòü
öåïî÷êó ðàâåíñòâ, ñîâïàäàþùóþ ñ (6.8), ïîíèìàÿ ïîä [·] êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ∼
è çàìåíîé (6.7) → (6.10). Òàêæå è äëÿ n = 0. Ýòî îçíà÷àåò ñîãëàñîâàííîñòü χ ñ f ∗ è
f , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñî âñåìè îïåðàöèÿìè ñèñòåì A/ ∼ è B.
    Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òðîéêó îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé r ∈ RelA,
r ∈ RelB è r∗ ∈ Rel∗ A/ ∼ àðíîñòè m. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , am èç
A áóäåì èìåòü öåïî÷êó ñîîòíîøåíèé, ñîâïàäàþùóþ ñ (6.8), ïîíèìàÿ ïîä [·] êëàññû ýê-
âèâàëåíòíîñòè ïî ∼ è ñ çàìåíîé (6.7) → (6.10). Ýòî îçíà÷àåò ñîãëàñîâàííîñòü χ ñ r∗
è r , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñî âñåìè îòíîøåíèÿìè ñèñòåì A/ ∼ è B.
    Òàêèì îáðàçîì ïîêàçàíî, ÷òî χ åñòü ãîìîìîðôèçì èç A/ ∼ â B è, ñëåäîâàòåëüíî,
ýïèìîðôèçì A/ ∼ â Im ϕ.
    Åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëüíûé, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ èìïëèêàöèþ â ïîñëåäíèõ ñîîòíî-
øåíèÿõ ìîæíî îáðàòèòü.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òî îòîáðàæåíèå χ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî
ñ r∗ ∈ Rel A/ ∼ è r ∈ Rel B è, ñëåäîâàòåëüíî, χ  ñèëüíûé ãîìîìîðôèçì èç A/Ker â
Im ϕ.
  Ïóñòü α  îäíîðîäíîå íà ìíîæåñòâå A îòíîøåíèå, òî åãî ñóæåíèå íà ïîäìíîæåñòâî
B ⊆ A åñòü B 2 ∩ α.  ýòîì ñëó÷àå ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè α  êîíãðóýíöèÿ íà A è
B A, òî B 2 ∩ α  êîíãðóýíöèÿ íà B.

Òåîðåìà 6.11 (Ïåðâàÿ îá èçîìîðôèçìàõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì). Ïóñòü ÀÑ
A ñ íîñèòåëåì A èìååò ïîäñèñòåìó B ñ íîñèòåëåì B , α  êîíãðóýíöèÿ íà A,
ϕ = nat(A, α) è β = B 2 ∩ α  êîíãðóýíöèÿ íà B. Òîãäà ñóùåñòâóåò áèåêòèâíûé
ãîìîìîðôèçì ψ ôàêòîðñèñòåìû B/β íà Im ϕ , ãäå ϕ  ñóæåíèå ϕ íà B .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äèàãðàììó

                              A
                                             ϕ
                                                         w A/α
                                   ñóæåíèå                  ñóæåíèå
                               u                         u
                              B     [
                                             ϕ
                                                     w Im ϕ
                                     [[              
                            nat (B, β) [
                                       ]            
                                                    ψ
                                             B/β

   Ñóæåíèå ϕ ñèëüíîãî ãîìîìîðôèçìà ϕ = nat(A, α) íà B ⊆ A åñòü ãîìîìîð-
ôèçì B. Ïî òåîðåìå 6.9 î ãîìîìîðôèçìå ÀÑ îòîáðàæåíèå ψ , çàäàâàåìîå ïðàâèëîì
ψ([x]Ker β ) = ϕ (x)  âçàèìîîäíîçíà÷íûé ãîìîìîðôèçì B/ Ker β íà Im ϕ .
   Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñóæåíèè îáëàñòè çàäàíèÿ ñâîéñòâî ãîìîìîðôèçìà ¾áûòü ñèëüíûì¿
ìîæåò áûòü ïîòåðÿíî, òàê ÷òî ãîìîìîðôèçì ϕ â âûøåïðèâåä¼ííîé òåîðåìå, âîîáùå ãî-
âîðÿ, íå ñèëüíûé. Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî ψ  èçîìîðôèçì,



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика