Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре: Учебно-методическое пособие

Голосов: 0

В пособии рассмотрены основные понятия и теоремы булевой алгебры, отношений множеств, причем особое внимание уделено частично упорядоченным множествам pi решёткам. Изучаются свойства модулярных, дистрибутивных решёток и решёток с дополнениями. Указанным разделам посвящены первые главы. В последней главе рассматриваются универсальные алгебры. Вводится понятие алгебраической системы, рассматриваются различные типы таких систем и доказываются основные теоремы об их изоморфизме и гомоморфизме. Вводимые понятия и доказанные утверждения иллюстрируются большим количеством примеров. Пособие предназначено для студентов, изучающих соответствующие разделы алгебры и может быть использовано при самообразовании. Электронная версия пособия размещена на сайте факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова <a href="http://www.cs.msu.su" target="_blank">(www.cs.msu.su)</a>.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    4.4. Äèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè                                                       91


Îïðåäåëåíèå 4.8. Íåíóëåâîé ýëåìåíò z ðåø¼òêè íàçîâ¼ì íåðàçëîæèìûì (â îáúåäèíå-
íèå), åñëè èç z = x      y ñëåäóåò z = x èëè z = y .

  Î÷åâèäíî, íåðàçëîæèìûé ýëåìåíò íåëüçÿ çàïèñàòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ ñòðîãî ñîäåð-
æàùèõñÿ â í¼ì ýëåìåíòîâ.
Ïðèìåð 4.8.   1. Àòîìû ëþáîé ðåø¼òêè íåðàçëîæèìû, è â àòîìíîé áóëåâîé àëãåáðå íåò
     äðóãèõ íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ.  ðåø¼òêå N, | íåðàçëîæèìû â òî÷íîñòè ñòå-
     ïåíè ïðîñòûõ ÷èñåë.
  2. Â öåïè íè îäèí ýëåìåíò íå ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæèìûì.
   Ðàíåå ìû ñòðîèëè ÷.ó. ìíîæåñòâî J(P ) äëÿ íåêîòîðîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà P , ðàññìàòðè-
âàÿ âñå ïîðÿäêîâûå èäåàëû ïîñëåäíåãî è èõ âçàèìíûå âêëþ÷åíèÿ. Òåïåðü ìîæíî óêàçàòü
áîëåå ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ äèàãðàììû Õàññå äëÿ ðåø¼òêè ïîðÿäêîâûõ
èäåàëîâ êîíå÷íîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà ïî äàííîé åãî äèàãðàììå Õàññå2 .
   Ïóñòü ìíîæåñòâî M ìèíèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà P èìååò
ìîùíîñòü m.

  1. Ïîñòðîèì äèàãðàììó êîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðû, èçîìîðôíîé J(M ).
  2. Âûáåðåì íåêîòîðûé ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò x ìíîæåñòâà P       M è ïðèñîåäèíèì
     ê J(M ) íåðàçëîæèìûé â îáúåäèíåíèå ýëåìåíò, ñîäåðæàùèé ïîðÿäêîâûé èäåàë
     J(x) {x}.
  3. Äîáàâèì âñå íåîáõîäèìûå îáúåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàùèõ èäåàë J(x) {x},
     ÷òîáû îíè îáðàçîâûâàëè áóëåâó àëãåáðó.
  4. Åñëè ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû, ñîäåðæàùèå ìíîæåñòâî J(x) {x} è ïîêðûâàþùèå
     ýëåìåíòû êîòîðûõ íå èìåþò îáúåäèíåíèé, òî èçîáðàçèì ïîñëåäíèå òàê, ÷òîáû îá-
     ðàçîâàëàñü áóëåâà àëãåáðà.
     Ïðîäîëæàÿ òàêèì îáðàçîì äî òåõ ïîð, ïîêà êàæäîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, ñîäåð-
     æàùåå äàííûé ýëåìåíò íå áóäåò èìåòü îáúåäèíåíèÿ, ïîëó÷èì äèàãðàììó äèñòðè-
     áóòèâíîé ðåø¼òêè J(M ∪ {x}).
  5. Âûáåðåì íåêîòîðûé ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò y ìíîæåñòâà {P M } {x} è ïðèñîåäè-
     íèì ê J(M ∪ {x}) íåðàçëîæèìûé â îáúåäèíåíèå ýëåìåíò, ñîäåðæàùèé ïîðÿäêîâûé
     èäåàë J(x) {y}.
  6. Ïîâòîðÿÿ øàãè 3 è 4, ïîëó÷èì äèàãðàììó äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè J(M ∪ {x, y}).
  7. Ïðîäîëæàåì àíàëîãè÷íî, ïîêà íå ïîëó÷èì äèàãðàììó ðåø¼òêè J(P ).
Ïðèìåð 4.9. Ïîñòðîèì ïî ïðèâåä¼ííîìó àëãîðèòìó ðåø¼òêó ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíî-
æåñòâà Z5 çèãçàã, èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñ. 4.11. Ïîëó÷åííàÿ ðåø¼òêà èçîáðàæåíà



                                            [[  e [[
                                            d
                                             
                                     a             b            c


                                   Ðèñ. 4.11: ×.ó. ìíîæåñòâî Z5

íà ðèñ. 4.12.
   Èçâåñòíî, ÷òî n-ýëåìåíòíûé çèãçàã èìååò Fn+2 ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ( (n + 2)-å ÷èñëî
Ôèáîíà÷÷è). Íàïðèìåð, â íàøåì ñëó÷àå |J(Z5 )| = F7 = 13.
  2 Ïîäðîáíî   àëãîðèòì îïèñàí â ìîíîãðàôèè [15], ñ. 164-166.


92                                                            Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè



                                           d, e
                                                  [[
                                                   [[
                                   
                              [[                                    [[
                              c, d                            a, e


                                    [[                             [[
                                               
                    d
                        [[                [[
                                          a, b, c                           e

                           [[                           [[           
                                                      
                                a, b
                                     [[  a, c [  b, c
                                        [
                                        [       [
                                              [[
                                a
                                    [[       b                 c

                                        [[ 
                                           
                                            ∅


                        Ðèñ. 4.12: Äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà J(Z5 )


    Äîêàçàíî òàêæå, ÷òî ìîùíîñòü e(P ) ìíîæåñòâà âñåõ ëèàíåðèçàöèé êîíå÷íîãî
÷.ó. ìíîæåñòâà P åñòü ÷èñëî âîñõîäÿùèõ ïóòåé ïî ýëåìåíòàì ðåø¼òêè J(P ) îò íàè-
ìåíüøåãî ýëåìåíòà ∅ ê íàèáîëüøåìó P . Äëÿ íàøåãî ïðèìåðà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî
òàêèõ ïóòåé 16 (ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç a, b, c  6 · 2 = 12, à ÷åðåç d è e  ïî 2).
Èç ôîðìóëû (3.4) ñëåäóåò, ÷òî e(Z5 ) åñòü 5! óìíîæåííîå íà 5-å ÷èñëî òàíãåíñà  êîýô-
ôèöèåíò ïðè x5 â ðàçëîæåíèè tg x â ðÿä Ìàêëîðåíà. Ïîñêîëüêó äàííûé êîýôôèöèåíò
       2                        2
åñòü     , ïîëó÷èì e(Z5 ) = 5!    = 16.
      15                       15
Ëåììà 4.2.  êîíå÷íîé ðåø¼òêå êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí
â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ýëåìåíò b íåðàçëîæèì, òî b = b b. Ïóñòü b = b1 b2 è b1 = b = b2 .
Åñëè è b1 , è b2 íåðàçëîæèìû, òî ëåììà äîêàçàíà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåì b1
è/èëè b2 â âèäå îáúåäèíåíèÿ ñòðîãî ñîäåðæàùèõñÿ â íèõ ýëåìåíòîâ, è ò.ä. Â ñèëó êîíå÷-
íîñòè ðåø¼òêè óêàçàííûé ïðîöåññ çàêîí÷èòñÿ, è èñõîäíûé ýëåìåíò b áóäåò ïðåäñòàâëåí
â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ.
    Ìíîæåñòâî íåðàçëîæèìûõ â îáúåäèíåíèå ýëåìåíòîâ (äèñòðèáóòèâíîé) ðåø¼òêè L
áóäåì îáîçíà÷àòü Irr (L). Äëÿ ýëåìåíòà x ðåø¼òêè L îáîçíà÷èì Irr(x) = Irr (L)∩J(x) 
ìíîæåñòâî íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ L, ñîäåðæàùèõñÿ â x. Ôîðìàëüíî ñ÷èòàåì, ÷òî
Irr(o) = ∅. Äîêàçàííàÿ ëåììà óòâåðæäàåò (ñð. ñ (1.2) ), ÷òî

                                     x =                a.                               (4.4)
                                           a ∈ Irr(x)


4.4. Äèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè                                                        93


Ïðè Irr(x) = {a} äîãîâàðèâàþòñÿ ñ÷èòàòü x = a, à ïðè Irr(x) = ∅  x = o.
   Ìíîæåñòâî Irr (L) íàñëåäóåò îò L ïîðÿäîê è, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ ÷.ó. ìíîæå-
ñòâîì.

Ëåììà 4.3. Åñëè P  ÷.ó. ìíîæåñòâî, òî Irr (J(P )) ∼ P .
                                                   =

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P  ÷.ó. ìíîæåñòâî. Òîãäà J(P )  äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà åãî
ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ. ßñíî, ÷òî ïîðÿäêîâûé èäåàë ðåø¼òêè íåðàçëîæèì, åñëè è òîëü-
êî åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì, âèäà x , è, òàêèì îáðàçîì, Irr (J(P )) ∼ J0 (P ). Ðà-
                                                                     =
íåå (ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.6 î ïðåäñòàâëåíèè ÷.ó. ìíîæåñòâ) áûë óñòàíîâëåí
èçîìîðôèçì ìåæäó ÷.ó. ìíîæåñòâîì è ñîâîêóïíîñòüþ åãî ãëàâíûõ èäåàëîâ, ïîýòîìó
P ∼ J0 (P ) = Irr (J(P )).
   =

Ïðèìåð 4.10.  1. Äëÿ ÷.ó. ìíîæåñòâà P , çàäàííîãî äèàãðàììîé íà ðèñ. 4.13.a ìíîæå-
    ñòâî ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ J(P ) ñ âûäåëåííûì ìíîæåñòâîì ãëàâíûõ èäåàëîâ (ýëå-
    ìåíòû x ∈ J0 (P ) ) ïðåäñòàâëåíî íà íà ðèñ. 4.13.b.


                                                         b, c
                                                                [
                                                              [[
                     b   [[               c   b    [[                 c
                           [ 
                           [                      [           
                                                                
                               a                         a


                                                          ∅



                              a) P                b) J(P ) è J0 (P )


 Ðèñ. 4.13: ×.ó. ìíîæåñòâî P , äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà J(P ) è ÷.ó. ìíîæåñòâî J0 (P )

  2. Ñì. ðèñ. 3.5.
   Äëÿ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 4.16 (Áèðêãîô). Âñÿêàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà âëîæèìà â áóëåàí ïîä-
õîäÿùåãî ìíîæåñòâà ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ òî÷íûõ ãðàíåé.

    Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [12]. Ìû äîêàæåì ýòó
òåîðåìó äëÿ êëàññà êîíå÷íûõ ðåø¼òîê, ãäå îíà äîïóñêàåò âàæíîå óñèëåíèå. Îíî âûðà-
æàåòñÿ â òîì, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû 4.1 ¾ñîâîêóïíîñòü ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíî-
æåñòâà åñòü äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà¿ ìîæíî îáðàòèòü, åñëè ðåø¼òêà êîíå÷íà. Ñëåäóÿ
[15], íàçîâ¼ì íèæåïðèâåä¼ííóþ òåîðåìó ¾ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðåìîé äëÿ êîíå÷íûõ äèñ-
òðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê (ÔÒÊÄÐ)¿.

Òåîðåìà 4.17 (ÔÒÊÄÐ). Âñÿêàÿ êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà èçîìîðôíà ðå-
ø¼òêå ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ïîäõîäÿùåãî ÷.ó. ìíîæåñòâà.


94                                                   Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L, ,           êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà ñ íóë¼ì o è
J(Irr (L))  ðåø¼òêà ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíîæåñòâà Irr (L).
    Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ψ : L → J(Irr(L)), ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëå-
ìåíòó x ðåø¼òêè ìíîæåñòâî å¼ íåðàçëîæèìûõ â îáúåäèíåíèå ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàùèõñÿ
â x: ψ(x) = J(Irr(x)). Ïîêàæåì, ÷òî ψ  èçîìîðôèçì ìåæäó ðåø¼òêàìè L è J(Irr (L)).
Ïðè ýòîì, ïî òåîðåìå 4.4 äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ïîðÿäêîâûé èçîìîðôèçì.
    Ïî ëåììå 4.2 ñîîòíîøåíèå (4.4), ñ ó÷¼òîì ïðèâåä¼ííûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñîãëà-
øåíèé, îïðåäåëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó x ïîðÿäêîâûì èäåàëîì
Irr(x) ∈ J(Irr(L)). Êðîìå òîãî, ïî ñâîéñòâàì âçàèìîñâÿçàííûõ îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ
è îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà , èìååì
                       x    y ⇔ Irr(x) ⊆ Irr(y) ⇔ ψ(x) ⊆ ψ(y) .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ψ  ïîðÿäêîâûé ìîíîìîðôèçì èç L â J(Irr (L)). Îòîáðàæåíèå ψ
òàêæå è ñþðúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü I  ïðîèçâîëüíûé ïîðÿäêîâûé èäåàë èç
J(Irr (L)). Ïîëîæèì y = a ∈ I a. Ïî ñîîòíîøåíèþ (4.4) èìååì I = Irr(y) = ψ(y).
   Òàêèì îáðàçîì ïîêàçàíî, ÷òî ðåø¼òêè L è J(Irr (L)) èçîìîðôíû.
    Ïîíÿòíî, ÷òî èçîìîðôèçì êîíå÷íûõ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê îïðåäåëÿåò-
ñÿ èçîìîðôèçìîì ÷.ó. ìíîæåñòâ èõ íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ. Îòìåòèì, ÷òî
J(Irr (L)) = comp(Irr (L)) , ò.å. ðåø¼òêà J(Irr (L)) åñòü ïîïîëíåíèå ÌàêÍèëà ÷.ó. ìíîæå-
ñòâà Irr (L) (ñì. ñ. 80).
    Äîêàçàííàÿ òåîðåìà èãðàåò áîëüøóþ ðîëü â ïåðå÷èñëèòåëüíîé êîìáèíàòîðèêå, ãäå
êîíêðåòíîé çàäà÷å îáû÷íî íåÿâíî ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ÷.ó. ìíîæåñòâî.  óïîìÿíóòîé
ìîíîãðàôèè [15] äàæå çàìå÷åíî, ÷òî ¾äëÿ êîìáèíàòîðíûõ öåëåé áûëî áû ëó÷øå âñåãî
îïðåäåëèòü êîíå÷íóþ äèñòðèáóòèâíóþ ðåø¼òêó, êàê ïðîèçâîëüíîå ÷.ó. ìíîæåñòâî âèäà
J(P ), P êîíå÷íî¿.
Ïðèìåð 4.11.     1. Ðàññìîòðèì äèàãðàììó íà ðèñ. 4.13.b êàê äèàãðàììó Õàññå íåêîòî-
      ðîé èñõîäíîé êîíå÷íîé äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè L. Òîãäà íà ðèñ. 4.13.a èçîáðàæå-
      íî ÷.ó. ìíîæåñòâî Irr (L), è ðåø¼òêà âñåõ ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ êîòîðîãî J(Irr (L))
      ñîâïàäàåò èçîáðàæ¼ííîé íà ðèñ. 4.13.b.
   2. Íà ðèñ. 4.14 ïðåäñòàâëåíû äèàãðàììû êîíå÷íîé äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè L è
      ÷.ó. ìíîæåñòâà Irr (L). Äèàãðàììà Õàññå ðåø¼òêè ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ J(Irr (L))
      ïîâòîðÿåò äèàãðàììó L ñ çàìåíîé x → ψ(x), x ∈ L. Ïðè ýòîì
                        ψ(o)   =∅;                      ψ(a) = a
                        ψ(b)   = b ;                    ψ(c) = a, b
                        ψ(d)   = d ;                    ψ(e) = a, d
                        ψ(ι)   = ι .
   Òåîðåìà Áèðêãîôà ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâëÿòü ýëåìåíòû ëþáîé äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼ò-
êè ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà è ïîëüçîâàòüñÿ äèàãðàììàìè Ýéëåðà-Âåííà.
Èç íå¼ òàêæå âûòåêàåò èíòåðåñíîå
Ñëåäñòâèå. Âñÿêàÿ êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà âëîæèìà â óïîðÿäî÷åííóþ äå-
ëèìîñòüþ ðåø¼òêó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû Áèðêãîôà ñëåäóåò, ÷òî êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà
L âêëàäûâàåòñÿ â áóëåàí P(A) íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ âèäîâ èçîìîðôèçìà ðåø¼òîê è ïðèìåð 4.3.7 ïîêàçûâà-
þò, ÷òî P(A), ⊆ âëîæèìà â N◦ , ∨, ∧ . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êîíå÷íîé äèñòðèáóòèâíîé
ðåø¼òêè L è ïîäõîäÿùåãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A èìååì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåíèé
                           L → P(A) → N◦ , ∨, ∧     →    N, | .


4.5. Ôàêòîððåø¼òêè. Ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè                                        95



                                  ι




                            [[[                                    h [[
                            e                                        ι

                        
                                                                hh     [
                                                                h
                      [[                                  hh
                      c          d                                          d

                        [                             h
                                                      h
                a[          b                       a                       b
                   [[     
                     [ 
                        
                        o



                       1) L                                     2) Irr L


            Ðèñ. 4.14: Äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà L è ÷.ó. ìíîæåñòâî Irr (L)



   Ïîêàæåì, êàê êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà L ìîæåò áûòü âëîæåíà â N, ∨, ∧ .
Íàèìåíüøåìó ýëåìåíòó o ðåø¼òêè L ñîïîñòàâëÿåòñÿ ÷èñëî 1, à n           1 å¼ àòîìàì 
ïåðâûå n ïðîñòûõ ÷èñåë p1 , . . . , pn . Ïóñòü ñîñòîÿëîñü ïðèïèñûâàíèå âñåì ýëåìåíòàì
ìíîæåñòâà x     x ýëåìåíòà x ðåø¼òêè L. Åñëè ýëåìåíòó x íåïîñðåäñòâåííî ïðåäøå-
ñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò, êîòîðîìó ñîïîñòàâëåíî ÷èñëî k , òî ñîïîñòàâëÿåì x ÷èñëî
kp, ãäå p  ïåðâîå èç åù¼ íå èñïîëüçîâàííûõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Åñëè ýëåìåíòó x íåïî-
ñðåäñòâåííî ïðåäøåñòâóþò íåñêîëüêî ýëåìåíòîâ, òî ñîïîñòàâëÿåì x íàèìåíüøåå îáùåå
êðàòíîå âñåõ ÷èñåë, èì ñîîòâåòñòâóþùèõ. Òàêîå ñîïîñòàâëåíèå äëÿ íåêîòîðûõ ðåø¼òîê
ïðèâåä¼íî íà ðèñ. 4.15.
   Ïðèâåä¼ì áåç äîêàçàòåëüñòâà åù¼ îäíó õàðàêòåðèçàöèþ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê
Òåîðåìà 4.18. Ðåø¼òêà L äèñòðèáóòèâíà, åñëè è òîëüêî åñëè íàéä¼òñÿ òàêîå
÷.ó. ìíîæåñòâî P , ÷òî L ∼ 2P .
                         =


4.5 Ôàêòîððåø¼òêè. Ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè
   Ïóñòü L  ðåø¼òêà è íà íåé êàê íà ìíîæåñòâå èìååòñÿ îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè
∼ ∈ R(L), ñîõðàíÿþùåå îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ, ò.å.

                              a∼c         (a   b) ∼ (c        d)
                                      ⇒                          .              (4.5)
                              b∼d         (a   b) ∼ (c        d)

Òàêèå ýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàþò êîíãðóýíöèÿìè. Óñëîâèÿ (4.5) ïîçâîëÿþò ðàññìàòðè-
âàòü ôàêòîðìíîæåñòâî L/ ∼ ñ îïåðàöèÿìè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ, ïðèìåí¼ííûå
ê åãî ýëåìåíòàì (êëàññàì ýêâèâàëåíòíîñòè), ò.å. ôàêòîððåø¼òêó L ïî êîíãðóýíöèè ∼
(ñèìâîëè÷åñêîå îáîçíà÷åíèå òàêîå æå, L/ ∼).


96                                                        Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè



                                                               210




                      [[[                               [[[
                        30                                      30

                                                   
                6 [        10                      6 [        15
                    [[                           [[ 
                                            
                           2                 2 [         3
                                                 [[ 
                                                     
                           1                         1


                        a)                           b)


      Ðèñ. 4.15: Âëîæåíèÿ êîíå÷íûõ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê â ðåø¼òêó            N, |


   Äëÿ ãîìîìîðôèçìà ðåø¼òîê ϕ : L → L ïî (2.9) îïðåäåëÿåòñÿ ÿäåðíàÿ ýêâèâàëåíò-
íîñòü Ker ϕ:
                          a(Ker ϕ)b ⇔ ϕ(a) = ϕ(b) .
Äàëåå èìååì

           a(Ker ϕ)c           ϕ(a   b) = ϕ(a)   ϕ(b) = ϕ(c)     ϕ(d) = ϕ(c   d) ,
                       ⇔
           b(Ker ϕ)d           ϕ(a   b) = ϕ(a)   ϕ(b) = ϕ(c)     ϕ(d) = ϕ(c   d) .

Ñëåäîâàòåëüíî, (a b) (Ker ϕ) (c d) è (a b) (Ker ϕ) (c d), ò.å. Ker ϕ îêàçûâàåòñÿ
êîíãðóýíöèåé. Ýòà êîíãðóýíöèÿ íàçûâàåòñÿ ÿäðîì ãîìîìîðôèçìà ϕ.
   Ðàññòðîèì âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé êîíãðóýíòíîñòåé íà ðåø¼òêàõ. Ïóñòü I  èäåàë
äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè L. Ðàññìîòðèì áèíàðíîå îòíîøåíèå ∼I íà L, ââîäèìîå ïî
ïðàâèëó
                           a ∼I b ⇔ ∃ x (a x = b x) .                       (4.6)
                                         I

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî îòíîøåíèå åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü. Äåéñòâèòåëüíî, åãî ðåôëåêñèâ-
íîñòü è ñèììåòðè÷íîñòü î÷åâèäíû. Ïîêàæåì òðàíçèòèâíîñòü. Ïóñòü a ∼I b è b ∼I c.
Ýòî îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå x, y ∈ I òàêèõ, ÷òî a x = b x è b y = c y . Äàëåå
ïîëó÷àåì
                   a x = b x
                                 ⇒ a x y = b x y = c x y
                   b y = c y
è a ∼I c, ò.ê. x y ∈ I .
   Ôàêòîðìíîæåñòâî ïî ýòîé ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷àþò L/I , ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåæ-
íûå êëàññû  [·]I , ïðè÷¼ì, êàê ëåãêî óñòàíîâèòü, [a]I = a I äëÿ ýëåìåíòà a ∈ L. Êîãäà
ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì, èíäåêñ I ó îáîçíà÷åíèÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè
îïóñêàþò. Òàêæå ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ýêâèâàëåíòíîñòü ∼I ñîõðàíÿåò îáúåäèíåíèÿ


4.5. Ôàêòîððåø¼òêè. Ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè                                              97


è ïåðåñå÷åíèÿ (ñì. (4.5) ), ò.å. ÿâëÿåòñÿ êîíãðóýíöèåé. Òàêèì îáðàçîì, L/I åñòü ôàêòîð-
ðåø¼òêà (ñ íóë¼ì). Ãîìîìîðôèçì ϕ : L → L/I åñòü îòîáðàæåíèå ϕ(x) = [x]I , èìåþùåå
ñâîèì ÿäðîì äàííûé èäåàë I .
Ïðèìåð 4.12. Ðàññìîòðèì ðåø¼òêó, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 4.16.1). Ìíîæåñòâî
I = {o, a, b, c} ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, å¼ èäåàëîì. Ïðè ýòîì e ∼I d, ïîñêîëüêó äëÿ c ∈ I
ïîëó÷èì e c = d c, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíòû e è d íàõîäÿòñÿ â îäíîì êëàññå
ýêâèâàëåíòíîñòè ïî I .


                                       ι                        [ι]



                                  [[[
                                       e

                              
                            c [           d                     [d]
                           [[          
                                   
                      a[    I      b
                         [[      
                              
                              o                                 I


                             1) L                             2) L/I


       Ðèñ. 4.16: Ðåø¼òêà L è ôàêòîððåø¼òêà L/I ïî èäåàëó I = { o, a, b, ab }

   Ôàêòîððåø¼òêà L/I èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.16.2). Ãîìîìîðôèçì ϕ : L → L/I , åñòü
îòîáðàæåíèå ϕ(x) = [x]I , ò.å. ϕ(x) = I äëÿ x ∈ I , ϕ(c) = ϕ(ac) = [a], ϕ(ι) = [ι]. Èäåàë I
åñòü íóëü ðåø¼òêè L/I .
   Ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà, åñëè è òîëüêî åñëè êàæäûé å¼ èäåàë ÿäåðíûé. Çàìåòèì, ÷òî
äâà ðàçíûõ ãîìîìîðôèçìà äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè íà îäíó è òó æå ðåø¼òêó ìîãóò
èìåòü ñîâïàäàþùèå ÿäåðíûå èäåàëû.

Îïðåäåëåíèå 4.9. Åñëè â ðåø¼òêå L, ,       ñ óíèâåðñàëüíûìè ãðàíÿìè äëÿ ýëåìåíòà
x ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y òàêîé, ÷òî x y = o è x y = ι, òî ïîñëåäíèé íàçûâàåòñÿ
äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà x.
   Ðåø¼òêà íàçûâàåòñÿ ðåø¼òêîé ñ äîïîëíåíèÿìè, åñëè â íåé êàæäûé ýëåìåíò èìååò
õîòÿ áû îäíî äîïîëíåíèå. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ðåø¼òêè îáëàäàåò â òî÷íîñòè îäíèì
äîïîëíåíèåì, òî å¼ íàçûâàþò ðåø¼òêîé ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
   ßñíî, ÷òî åñëè y  äîïîëíåíèå x, òî è x  äîïîëíåíèå y , è ÷òî â ëþáîé îãðàíè÷åííîé
ðåø¼òêå o è ι ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè äðóã äëÿ äðóãà.
Ïðèìåð 4.13.    1. Â ðåø¼òêå àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A êàæäûé ýëåìåíò
     X ⊆ A èìååò åäèíñòâåííîå äîïîëíåíèå X = A {X}. Ýòî êëàññè÷åñêèé ïðèìåð
     ðåø¼òêè ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
  2. Â ðåø¼òêå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 4.15.a ýëåìåíò 2 íå èìååò äîïîëíåíèÿ.
  3. Ïÿòèóãîëüíèê N5  ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè. Â íåé (ñì. ðèñ. 4.3) äîïîëíåíèÿìè
     a è c áóäåò ýëåìåíò b, à äîïîëíåíèÿìè b  ýëåìåíòû a è c.


98                                                          Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


   Îòìåòèì, ÷òî êðèòåðèé ìîäóëÿðíîñòè (òåðåìà 4.10) äëÿ àòîìíûõ ðåø¼òîê ñ äîïîëíå-
íèÿìè ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, à èìåííî, ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 4.19 (Ìàêëàôëèí). Åñëè àòîìíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè íå ñîäåðæèò â
êà÷åñòâå ïîäðåø¼òêè ïÿòèóãîëüíèê N5 , íàèìåíüøèé è íàèáîëüøèé ýëåìåíòû êîòîðî-
ãî ñîâïàäàþò ñ íóë¼ì è åäèíèöåé ðåø¼òêè, òî îíà ìîäóëÿðíà.

   Äîêàçàòåëüñòâî èìååòñÿ, íàïðèìåð, â [12]. Èç òåîðåìû Ìàêëàôëèíà ñëåäóåò, ÷òî àòîì-
íàÿ ðåø¼òêà ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè ìîäóëÿðíà. Áîëåå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
òàêàÿ ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà.
   Ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî â äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêå ñïðàâåäëèâî ïðàâèëî ñîêðàùåíèÿ
Abbr (ñì. òåîðåìó 4.15) ÿâëÿåòñÿ

Òåîðåìà 4.20. Åñëè îãðàíè÷åííàÿ ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà, òî êàæäûé å¼ ýëåìåíò
èìååò íå áîëåå îäíîãî äîïîëíåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ýëåìåíò x äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè èìååò äâà äîïîëíå-
íèÿ  y1 è y2 . Òîãäà
                            x y1 = x y2 = ι Abbr
                                              ⇒ y1 = y2 .
                            x y1 = x y2 = o


    Èç òåîðåìû Áèðêãîôà 4.16 ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà âëîæèìà â
äèñòðèáóòèâíóþ ðåø¼òêó ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
    Âîïðîñ î ñâÿçè ñâîéñòâ äèñòðèáóòèâíîñòè è íàëè÷èÿ åäèíñòâåííîãî äîïîëíåíèÿ ó
ðåø¼òîê ÿâëÿåòñÿ, êàê îêàçàëîñü, äîñòàòî÷íî ãëóáîêèì è òðóäíûì.  íà÷àëå XX âåêà
ïðè ôîðìóëèðîâêå ñèñòåì àêñèîì äëÿ áóëåâîé àëãåáðû åñòåñòâåííîé áûëà ïîïûòêà îïðå-
äåëèòü å¼ êàê ðåø¼òêó ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè. Ýòî ñòàëî áû âîçìîæíûì, åñëè
åäèíñòâåííîñòü äîïîëíåíèÿ ó ýëåìåíòîâ ðåø¼òêè âëåêëà áû å¼ äèñòðèáóòèâíîñòü. Â ñâÿçè
ñ ýòèì Ý. Õàíòèíãòîíîì (ñì. ñ. 8) áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî âñå ðåø¼òêè
ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè äèñòðèáóòèâíû. Âîïðîñ î òîì, âåðíà ëè ýòà ãèïîòåçà è
ñîñòàâëÿë çíàìåíèòóþ ïðîáëåìó Õàíòèíãòîíà.
    Ê êîíöó 30-õ ãîäîâ XX â. áûëî èññëåäîâàíî çíà÷èòåëüíîå êîëè÷åñòâî êîíêðåòíûõ
ðåø¼òîê ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè. Âñå îíè îêàçàëèñü äèñòðèáóòèâíûìè, â ñèëó
÷åãî ñïðàâåäëèâîñòü óêàçàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå âûçûâàëà ñîìíåíèé ó
ìàòåìàòèêîâ. Ïîýòîìó áîëüøîé íåîæèäàííîñòüþ áûëî ïîÿâëåíèå â 1945 ã. ðàáîòû àìå-
ðèêàíñêîãî ìàòåìàòèêà Ð. Äèëóîðñà â êîòîðîé áûëà äîêàçàíà

Òåîðåìà 4.21. Âñÿêàÿ ðåø¼òêà ìîæåò áûòü âëîæåíà â ïîäõîäÿùóþ ðåø¼òêó ñ åäèí-
ñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.

    ÷àñòíîñòè, ìîæíî âçÿòü ïÿòèóãîëüíèê N5 , è òîãäà òåîðåìà Äèëóîðñà äàñò íåìîäó-
ëÿðíóþ è, òåì áîëåå, íåäèñòðèáóòèâíóþ ðåø¼òêó ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè. Òàêèì
îáðàçîì, áûëî äîêàçàíî3 , ÷òî ñóùåñòâóþò íåäèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè ñ åäèíñòâåííûìè
äîïîëíåíèÿìè. Îòìåòèì îäíàêî, ÷òî äàííûé îáúåêò â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Äèëó-
îðñà ïîÿâëÿåòñÿ ëèøü â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, è äî ñèõ ïîð íåò
íè îäíîãî ÿâíîãî ïðèìåðà íåäèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
 êëàññå ïîëíûõ ðåø¼òîê ïðîáëåìà Õàíòèíãòîíà äî ñèõ ïîð íå èìååò ðàçðåøåíèÿ.

  3 Dilworth R.P. Lattices with unique complements.  Trans. Amer. Math. Soc., 1945, 57, p. 123-154.
Ñîâðåìåííîå äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû èìååòñÿ â [12].


4.5. Ôàêòîððåø¼òêè. Ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè                                          99


Îïðåäåëåíèå 4.10. Åñëè [ a, b ]  èíòåðâàë ðåø¼òêè L, x ∈ [ a, b ] è ýëåìåíò y ðåø¼òêè
L òàêîâ, ÷òî x y = a è x y = b. Òî y íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíûì äîïîëíåíèåì
ýëåìåíòà x â èíòåðâàëå [ a, b ].
   Åñëè â íåêîòîðîé ðåø¼òêå âñå èíòåðâàëû ñóòü ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè, òî îíà íàçû-
âàåòñÿ ðåø¼òêîé ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè.

   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè y  îòíîñèòåëüíîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà x â èíòåðâàëå [ a, b ],
òî y ∈ [ a, b ], è x, â ñâîþ î÷åðåäü, òàêæå áóäåò îòíîñèòåëüíûì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà y
â èíòåðâàëå [ a, b ].
Ïðèìåð 4.14. Ðåø¼òêà, èçîáðàæåííàÿ íèæå (ìû ïîâòîðÿåì ðèñ. 4.7) íå ÿâëÿåòñÿ ðåø¼ò-
êîé ñ äîïîëíåíèÿìè, ò.ê., íàïðèìåð, ýëåìåíò b íå èìååò äîïîëíåíèÿ. B òîæå âðåìÿ ýòî
ðåø¼òêà ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè: äîïîëíåíèÿìè ýëåìåíòà b â èíòåðâàëå [ e, ι ]
ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû c è d, ýëåìåíòû a è e ñëóæàò äðóã äëÿ äðóãà åäèíñòâåííûìè äî-
ïîëíåíèÿìè â èíòåðâàëå [ o, b ]; â òîì æå èíòåðâàëå äîïîëíåíèå b åñòü o.



                                           [[[
                                               ι

                                       
                                     b [    c     d

                                  
                                         [[
                                             
                                a[          e
                                   [[ 
                                       
                                      o


                  Ðèñ. 4.17: Ðåø¼òêà ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè


Òåîðåìà 4.22 (Äèëóîðñ). Ëþáûå äâå êîíãðóýíöèè íà ðåø¼òêå ñ îòíîñèòåëüíûìè äî-
ïîëíåíèÿìè ïåðåñòàíîâî÷íû.

   Äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò áûòü íàéäåíî â [13].
Òåîðåìà 4.23. Ìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêîé ñ îòíîñè-
òåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L, , , , o, ι  ìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè è a, b, x
è y  òàêèå å¼ ýëåìåíòû, ÷òî a x b, x y = ι è x y = o, ò.å. y åñòü (êàêîå-òî)
äîïîëíåíèå x. Ñ ó÷¼òîì ìîäóëÿðíîãî çàêîíà ïîëó÷àåì

        x   (a   (y   b)) = x   ((b (a y)) = b (x a      y) = b   ι = b     è
        x   (a   (y   b)) = a   (x y b) = a o = a .

Ïîýòîìó a   (y   b) åñòü îòíîñèòåëüíîå äîïîëíåíèå x â èíòåðâàëå [ a, b ].


100                                                  Ãëàâà 5. Áóëåâû àëãåáðû (ïðîäîëæåíèå)


Ãëàâà 5
Áóëåâû àëãåáðû (ïðîäîëæåíèå)
5.1 Áóëåâû àëãåáðû êàê ðåø¼òêè. Áóëåâû ãîìîìîðôèçìû è ïî-
    äàëãåáðû
Îïðåäåëåíèå 5.1. Äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè íàçûâàåòñÿ áóëåâîé àëãåá-
ðîé.

   Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.20 â áóëåâîé àëãåáðå, êàê îíà îïðåäåëåíà âûøå, êàæäûé ýëåìåíò
èìååò îäíî è òîëüêî îäíî äîïîëíåíèå. Íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî îáà îïðåäåëåíèÿ áóëåâîé
àëãåáðû  äàííîå òîëüêî ÷òî è íà ñ. 6  ýêâèâàëåíòíû.
Òåîðåìà 5.1. Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è y áóëåâîé àëãåáðû (ñ íóëåâûì è åäèíè÷íûì
ýëåìåíòàìè o è ι ñîîòâåòñòâåííî) ñïðàâåäëèâî

                x   y ⇔ x       y =o ⇔ x  y=ι ⇔ x             y=x ⇔ x        y = y;
                                      x y ⇔ x  y .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ýêâèâàëåíòíîñòè x            y ⇔ x       y=x ⇔ x       y = y ñóòü îïðåäåëåíèÿ
îòíîøåíèÿ    ïî (4.1), îòêóäà

                       x   y = y ⇔ (x        y)   y =y    y ⇔ x       y =o

è x     y =o ⇔ x        y = ι ïî äâîéñòâåííîñòè. Äàëåå

         x     y ⇔ x   y = x ⇔ (x       y) = x ⇔ x       y =x ⇔ y         x ⇔ x       y .

(çàêîí àíòèèçîòîííîñòè äîïîëíåíèÿ ).
      Ñëåäóþùóþ ïðîñòóþ òåîðåìó ïðèâåä¼ì áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü B, , , , o, ι     áóëåâà àëãåáðà è M  ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå
ìíîæåñòâî. Òîãäà ìíîæåñòâî B = F un (M, B) âñåõ îòîáðàæåíèé èç M â B òàêæå
                                        M

áóäåò áóëåâîé àëãåáðîé îòíîñèòåëüíî ¾ïîòî÷å÷íûõ¿ îïåðàöèé

          (f    g)(x) = f (x)   g(x),   (f    g)(x) = f (x)   g(x),   (f )(x) = (f (x))

äëÿ ëþáûõ f, g ∈ F un (M, B). Íóë¼ì è åäèíèöåé F un (M, B) áóäóò ïîñòîÿííûå îòîá-
ðàæåíèÿ f0 (x) = o è f1 (x) = ι ñîîòâåòñòâåííî (âåçäå x  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò
M ).

   Âçÿâ â êà÷åñòâå M n -þ äåêàðòîâó ñòåïåíü B n áóëåâîé àëãåáðû B , ïîëó÷èì áóëåâó
           n
àëãåáðó B B = F un(B n , B) âñåõ ôóíêöèé èç B n â B , èãðàþùóþ âàæíóþ ðîëü â òåî-
                                                                            n
ðèè áóëåâûõ ìíîãî÷ëåíîâ. B ÷àñòíîñòè, ïðè B = 2 ïîëó÷àåì áóëåâó àëãåáðó 22 âñåõ
áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ.
   Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè òîëüêî àòîìíûå áóëåâû àëãåáðû. Ïðèâåä¼ì ïðèìåð áó-
ëåâîé àëãåáðû, íå èìåþùèõ àòîìîâ. Ðàññìîòðèì âñå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà âñåâîç-
ìîæíûõ ïîëóèíòåðâàëîâ âèäà (x, y], ñîäåðæàùèõñÿ â ïðîìåæóòêå (0, 1]: 0 < x y 1.
Ýòà ñîâîêóïíîñòü, î÷åâèäíî, óñòîé÷èâà îòíîñèòåëüíî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðà-
öèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ äî (0, 1], ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áóëåâó



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика