Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математический анализ в вопросах и задачах: Учебно-методическая разработка

Голосов: 0

Данная методическая разработка предназначена для школьников, выбравших программу ускоренного бакалавриата на направление "Экономика" или "Государственное муниципальное управление". Она охватывает раздел программы по математике "Математический анализ", который является базовым теоретическим курсом финансово-экономических дисциплин. В школе в курсе "Алгебра и начала анализа" даются основные понятия из разделов "Пределы функций", "Дифференциальное и интегральное исчисления". Цель данного пособия - углубить полученные знания, сформировать навыки в решении типовых задач, помочь активному усвоению изучаемого предмета. Чтобы облегчить школьникам восприятие новых понятий после формулировок определений или теорем даются поясняющие примеры или некоторые комментарии. Контрольные вопросы и задания направлены на раскрытие сути определений и теорем.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
     ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
         Нижегородский государственный университет
                   им. Н.И. Лобачевского
        Национальный исследовательский университет




                                                В.Н. Фокина

             Математический анализ
              в вопросах и задачах
               Учебно-методическая разработка




                   Нижний Новгород
                        2011


УДК 517.2
ББК В 161.
Ф - 75



D – 50 Математический анализ в вопросах и задачах. Составили: Фокина
В.Н. – методическая разработка. – Нижний Новгород: Нижегородский
госуниверситет, 2011.




В методической разработке рассмотрены основные разделы из программы по
математическому анализу для ускоренного бакалавриата по направлению
«Экономика» и «Государственное муниципальное управление»




                                                             УДК 517.2
                                                             ББК В 161
                                                                       2


     Дисциплина «Математический анализ» является базовым
 теоретическим и практическим курсом финансово-экономических
           дисциплин подготовки бакалавра экономики

                                    Введение
      Данная методическая разработка предназначена для школьников, выбравших
программу ускоренного бакалавриата на направление «Экономика» или «Государственное
муниципальное управление».

      Она охватывает раздел программы по математике «Математический анализ»,
который является базовым теоретическим курсом финансово-экономических дисциплин.

      В школе в курсе «Алгебра и начала анализа» даются основные понятия из разделов
«Пределы функций», «Дифференциальное и интегральное исчисления».

     Цель данного пособия – углубить полученные знания, сформировать навыки в
решении типовых задач, помочь активному усвоению изучаемого предмета.

      Чтобы облегчить школьникам восприятие новых понятий после формулировок
определений или теорем даются поясняющие примеры или некоторые комментарии.

      Контрольные вопросы и задания направлены на раскрытие сути определений и
теорем.

      Предполагается, что основная работа по теоретическим материалам ведется по
конспектам лекций.

      Данное пособие поможет школьникам в овладении методами математического
анализа в их самостоятельной работе.




                                                                                   3


                             Содержание разделов дисциплины
Раздел I. Число. Числовая последовательность

      Действительное число. Множество действительных чисел.

      Числовая последовательность. Прогрессии. Иллюстрация применения прогрессии
при финансовых расчетах. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и
бесконечно большие последовательности и их свойства.

Раздел II. Числовая функция. Предел и непрерывность функции

      Числовая функция.      Элементарные   функции.   Роль   функции   в   анализе
экономических показателей.

      Предел функции в точке и при неограниченном изменении аргумента. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции и их свойства. Основные теоремы о пределах
функций. Замечательные пределы. Иллюстрация применения второго замечательного
предела при финансовых задачах.

      Непрерывность функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о
непрерывных функциях в точке и на промежутке.

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

     Производная и дифференциал функции. Техника дифференцирования. Связь
дифференцируемости функции с ее непрерывностью.

      Применение производной для вычисления пределов функций. Правило Лопиталя.
Применение производной для исследования для и построения графика функции одной
переменной. Эластичность функции. Иллюстрация применения эластичности функций в
экономических примерах.

      Производные и дифференциалы функций высших порядков.

Раздел IV. Интегральное исчисление функций одной переменной

      Первообразная. Таблица неопределенных интегралов. Методы интегрирования:
метод разложения, метод замены переменной, метод интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных и некоторых иррациональных функций.

      Определенный интеграл. Интеграл с переменным верхним пределом.Формула
Ньютона-Лейбница. Особенности применения методов интегрирования для расчетов
определенных интегралов. Геометрические применения определенного интеграла.

Перечень контрольных вопросов

     1.   Действительное число. Множество действительных чисел.
     2.   Числовая функция. Элементарные функции.

                                                                                  4


3.   Числовая последовательность. Прогрессии.
4.   Предел числовой последовательности.

5.   Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

6.   Предел функции в точке и при неограниченном изменении аргумента.

7.   Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

8.   Основные теоремы о пределах функций.

9.   Замечательные пределы. Иллюстрация применения второго замечательного
     предела при финансовых расчетах.

10. Непрерывность функции в точке и на промежутке.

11. Основные теоремы о непрерывных функциях в точке и на промежутке.

12. Производная и дифференциал функции.

13. Техника дифференцирования функции одной переменной.

14. Связь дифференцируемости функции одной переменной с ее непрерывностью.

15. Применение производной для вычисления пределов функций. Правило
    Лопиталя.

16. Применение производной для исследования и построения графика функции
    одной переменной.

17. Эластичность функции. Иллюстрация применения эластичности функции в
    экономических примерах.

18. Производные и дифференциалы функции высших порядков.




                                                                               5


I Действительные числа

        Множество натуральных чисел N ={1, 2, 3, ….}

        Множество целых чисел Z = {0, ±1,±2, …. }

        Множество рациональных чисел, имеющих вид , где m – целое, n – натуральное.
Числа, которые нельзя представить в виде , называются иррациональными.

        Примером иррационального числа, например, является             . Покажем, что         .

        Доказательство проведем методом от противного.

Пусть       =       - несократимая дробь.

2=      /       ,    2   =     , отсюда m = 2k – четное

2    =4     ,            =2   , следовательно

n – четное, n = 2 , то есть дробь           =   - сократимая, что противоречит условию.

        Заметим, что иррациональность             приписывают еще Пифагору, который доказал
несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю.

      Объединение рациональных и иррациональных чисел                        и   есть   множество
действительных чисел, которое будем обозначать R.

      Существенный вклад в содержание понятия действительного числа внес Декарт, он
выразил числа посредством длин и получил геометрическое определение множества
действительных чисел.

      Итак, представим прямую, на которой выбрана точка отсчета 0, которая будет
соответствовать числу нуль, а точка расположена правее и соответствует числу один, то
есть мы задали масштаб на этой прямой.

      Справа от точки 0 будут располагаться положительные числа, слева –
отрицательные.




        Пусть надо изобразить число                   , тогда есть две возможности: либо оно
попадет между точками           , либо попадет между точками       и     .




                                                                                                  6


        Значит, в этом числе есть                  целых единиц. Внедрение десятичной системы
счисления фактически содержит в себе алгоритм приближения к действительному числу.
Разделим отрезок   ,     ] на десять равных частей.

                   ,   ,   , ……      =           . Если точка    совпадает из точек   (           ), то
точке       соответствует положительное рациональное число                    .

        Если же        попадет в интервал (              ), то разделим его на 10 равных частей и так
далее. Пусть процесс этот конечен, тогда точке                  соответствует рациональное число, если
же процесс бесконечен, то иррациональное число. (либо рациональное, если комбинация
чисел повторяется)

        Введем понятие абсолютной величины действительного число

        |     =

        Перечислим основные свойства

        1)
        2)
        3)
        4)                          |

           Определение 1.1
        Окрестностью точки а назовем множество точек , удовлетворяющих неравенству

        |         |<       а- < <а+          (1.1)




        Определение 1.2

        Множество                точек действительной оси называется ограниченным, если
существуют два таких числа m и M, что для всех                        из этого множества выполняется
неравенство m               M,           (1.2)




                                                                                                     7


II Функции действительного переменного

        Пусть есть два множества действительных чисел                   и        ,   R –
действительные числа.

        Определение 2.1

        Пусть каждому элементу              поставлен в соответствие по определенному
правилу единственный элемент            . Тогда говорят, что на множестве   определена
функция

                     (2.1)

        Примеры

   1)

   2)


        Числовые последовательности
        Определение 2.2
        Функция натурального аргумента называется числовой последовательностью.
         (n) =     n=1,2,3….. (2.2)
        Примеры
        1)                   ={ }      ={                   }

        2)                   =         ={             … ….. }
        3)                   =         = {-1, -2, -3, -4 ……………}

          Важным свойством поведения последовательности является понятие предела
числовой последовательности.
          Определение 2.3
          Число называется пределом числовой последовательности { }, если для
любого положительного числа         , найдется такой номер, зависящий от    , начиная с
которого будет выполняется неравенство |      -а| <
             Это определение записывают так :
                                  (2.3)
             С геометрической точки зрения вне окрестности числа      будет находиться
конечное число членов последовательности, которое зависит от заданного .
           Определение предела корректно. А именно, если последовательность сходится,
то предел единственный. Докажем, методом от противного.
           Пусть                  ,
рассмотрим                                                                   =

                                                                                       8


          Итак,                              где   – любое положительное число. Тогда           .
          Важно научиться          работать с определением предела числовой
последовательности, чтобы постичь смысл этого определения.
          По существу надо при заданном        > 0 показать, что номер, начиная с
которого будет выполняться неравенство             а- <    <а+                    существует.
          Поэтому надо от неравенства                                 переходить к более простому,
которое легко решается.
          Рассмотрим некоторые примеры.
          Примеры
                             = 0 Докажем этот факт.

          Оценим |            |



          Так как                        ,
                         ,
          то мы числитель увеличили, а знаменатель уменьшили.
          Следовательно, N = [ ] +1. Здесь [a] – целая часть числа а.
          Так [5,93] = 5, [-4,2] = - 4
          1)                      =




                    , N = [ ] +1
               Если смотреть на число , как на заданную точность, то из определения
          предела последовательности следует, что начиная с некоторого номера все
          члены последовательности равны в пределах этой точности.
               Также в примере 1, если       = 0,1, то N = 21, мы можем в своих рассуждениях
          считать все члены последовательности            {                   }    считать равными
          нулю, начиная с этого номера.
            Если    = 0,01, то N = 201. В этом случае с этого номера все члены
          последовательности в пределах этой точности равны 1.
            Определение 2.4
            Последовательность { } называется бесконечно малой,                     если ее предел
          равен нулю.
                         =0                                (2.4)
               Тогда любую сходящуюся к числу                          последовательность можно
          представить в виде:
                 =            n = 1,2 …..                     (2.5)
               Докажем следующий факт:

                                                                                                    9


         Произведение                        бесконечно                    малой            последовательности     {     }на
     ограниченную                                    {       }         последовательность есть бесконечно малая
     последовательность.
                   =0                                    |       |
         |       |
                         |           |       |                   = ,
         Следовательно,
                     =0
         Определение 2.5
         Последовательность {                                } называется бесконечно большой, если для любого
     положительного числа                                 найдется номер, зависящий от , начиная с которого
     будет выполняться неравенство |                                       |        E
                                     =                                                  (2.6)
         Примеры бесконечно больших последовательностей
                     =           ,           =                   n     ,        =       -
         Теорема (арифметические свойства предела)
         Если                ,                 , то:
1)
2)
3)                               , если
     Докажем свойство 1
     Имеем




     |                                                                                          +   =
                 ,
      Эта теорема                            применяется                       для      вычисления      пределов   различных
последовательностей
Пример
                             =                               =

(использовали формулы для суммы геометрической прогрессии)
      Однако не всегда можно применить теорему, так как могут возникнуть
следующие типы неопределенностей:
 ,0*         ,               ,           ,       ,
Рассмотрим способы раскрытия указанных неопределенностей




                                                                                                                          10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика