Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математическое моделирование течений вязкой жидкости вблизи твердых поверхностей: Учебное пособие

Голосов: 2

В учебном пособии к спецкурсу "Математические модели в теории пограничного слоя" даны теоретические основы аэрогидромеханических течений несжимаемой вязкой жидкости вблизи ограниченных твердых поверхностей. Приведены математические модели течения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое и осредненного турбулентного движения. Рассмотрены решения актуальных задач течений в трубах и обтеканий профилей тел произвольной формы. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность - прикладная математика) и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
       МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
        ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


     САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В МЕХАНИКЕ




                 И.С. Загузов, К.А. Поляков


   Математическое моделирование течений вязкой жидкости
               вблизи твердых поверхностей




              Учебное пособие для студентов
          механико - математического факультета
          специальности «прикладная математика»




           Издательство "Самарский университет"
     САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


      Кафедра математического моделирования в механике


                  И.С. Загузов, К.А. Поляков




МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
             ВБЛИЗИ ТВЕРДЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ




                      Учебное пособие




                                                         2


        БКК 22.253
                3 148
        УДК 532.517
                    Загузов И.С., Поляков К.А. Математическое
            моделирование течений вязкой жидкости вблизи твердых
            поверхностей. Самара: Изд-во Самарского университета,
            1999. ...........с.
         ISBN. 5-230-06019-0




         В учебном пособии к спецкурсу "Математические модели в теории
    пограничного слоя" даны теоретические основы аэрогидромеханических
    течений несжимаемой вязкой жидкости вблизи ограниченных твердых
    поверхностей. Приведены математические модели течения вязкой жидкости
    в ламинарном пограничном слое и осредненного турбулентного движения.
    Рассмотрены решения актуальных задач течений в трубах и обтеканий
    профилей тел произвольной формы.
         Пособие предназначено для студентов механико - математических
    факультетов университетов (специальность - прикладная математика) и
    может       быть      полезным    для     научных   работников     в   области
    аэрогидромеханики.
        Рецензенты: Шахматов Евгений Владимирович, доктор технических
        наук,    профессор,       проректор   по   научной    работе   Самарского
        государственного аэрокосмического университета,
        Астафьев Владимир Иванович, доктор физико - математических наук,
        профессор, проректор по научной работе Самарского государственного
        университета.


    1603040100 −
3                без объявл,
      6К4(03)99




ISBN. 5-230-06019-0                             © Загузов И.С., Поляков К.А. 1999


                                                                                     3


                                    ВВЕДЕНИЕ
      В конце XIX столетия наука о движении жидкости распалась на две ветви,
почти не связанные между собой. С          одной стороны, достигла большого
совершенства теоретическая гидродинамика, исходившая из уравнений Эйлера
для движения идеальной жидкости. Однако результаты этой так называемой
классической гидромеханики во многом резко противоречили опыту. Особенно
резкое противоречие получалось в весьма важных вопросах о потере давления в
трубах и каналах и о сопротивлении, которое оказывает жидкость движущемуся в
ней телу; поэтому классическая гидромеханика имела для практики лишь
небольшое значение, что и побудило создать для решения важных проблем,
выдвигавшихся быстро развивавшейся техникой, свою собственную науку о
движении жидкости, так называемую гидравлику. Эта наука, принявшая резко
выраженный     эмпирический    характер,   опиралась    на   большое   число
экспериментальных результатов и очень сильно отличалась от теоретической
гидродинамики как своими методами, так и своей целью.
    В начале настоящего столетия Л.Прандтль нашел путь, позволивший вновь
соединить в одно целое указанные выше далеко отошедшие друг от друга ветви
науки о движении жидкости. Кроме того, связав теорию с практикой, Л.Прандтль
положил начало направлению, дальнейшее развитие которого в современной
гидродинамике привело на протяжении первой половины настоящего столетия к
неожиданным успехам. В этом состоит большая заслуга Л.Прандтля. Правда, уже
давно было известно, что резкое расхождение между результатами классической
гидродинамики и действительностью возникало в очень многих случаях вследствие
пренебрежения в теоретических исследованиях вязкостью жидкости. Тогда же
были составлены уравнения движения жидкости с учетом трения, так называемые
уравнения Навье - Стокса для движения вязкой жидкости. Однако эти уравнения
вследствие больших математических трудностей не удалось применить к
теоретическому исследованию движений жидкости с трением (за исключением
немногих частных случаев). Между тем для воды и воздуха, т.е. для жидкостей,
особенно важных в технике, коэффициент вязкости весьма мал, и, следовательно,
силы трения, обусловленные вязкостью, получаются в целом очень небольшими по
сравнению с остальными силами (силою тяжести и силами давления); поэтому
долгое время не удавалось понять, каким образом малые силы трения, которые в
классической теории считалось возможным отбрасывать, оказывали тем не менее
                                                                            4


решающее влияние на процесс движения.
     В 1904 г. Л. Прандтль в своем докладе "О движении жидкости при очень
малом   трении",   прочитанном     на    математическом    конгрессе,    указал   путь,
сделавший доступными теоретические, исследования течений жидкости с трением
в практически важных случаях. А именно, исходя из теоретических соображений и
некоторых простых экспериментов, Л. Прандтль показал, что течение в окрестности
тела можно разделить на две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела
(пограничный слой), где трение играет существенно роль, и на область вне этого
слоя, где трением можно пренебрегать. Эта гипотеза, с одной стороны, позволила
получить физически очень наглядное объяснение важной роли вязкости в
проблеме сопротивления, а с другой стороны, дала возможность преодолеть
математические     трудности   и   тем     самым   открыла    путь      теоретическому
исследованию течений жидкости с трением. Свои теоретические соображения Л.
Прандтль уже тогда подтвердил некоторыми очень простыми опытами в
небольшом, построенном им самим, гидроканале. Таким образом, гипотеза Л.
Прандтля положила начало восстановлению утраченной связи между теорией и
практикой.   Теория   пограничного       слоя   Прандтля   оказалась      чрезвычайно
плодотворной и сразу же после своего опубликования дала мощный толчок к
дальнейшему развитию теоретических исследований[1]. Под влиянием задач,
поставленных в нашем столетии расцветом авиационной и космической техники,
новая теория весьма быстро развивалась и вскоре превратилась, вместе с другими
важными теориями - теорией крыла и теорией движения газа при больших
скоростях, - в основу современной механики жидкости и газа.
    В качестве областей применения теории пограничного слоя упомянем о
вычислении сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения
жидкости о поверхность тела (корабля, профиля крыла, фюзеляжа самолета или
корпуса ракеты и т.д.). Особенностью пограничного слоя является его свойство
допускать при некоторых обстоятельствах возникновение возвратного течения в
непосредственной близости от стенки. С этим свойством связаны отрыв
пограничного слоя от тела и возникновение более или менее сильных вихрей на
кормовой части обтекаемого тела. Эти явления обусловливают значительное
изменение распределения давления вдоль поверхности обтекаемого тела по
сравнению с распределением давления в потоке без трения, что приводит к
возникновению так называемого сопротивления давления обтекаемого тела.
                                                                                      5


Теория пограничного слоя указывает путь к вычислению этого сопротивления.
Далее, теория пограничного слоя дает ответ на важный вопрос о том, какую форму
должно иметь обтекаемое тело для того, чтобы не возникало вредного отрыва
потока от тела. Однако отрыв потока от тела может возникать не только при
обтекании тела, но и при течении жидкости в канале. Следовательно, теория
пограничного слоя дает возможность исследовать особенности течения             в
межлопаточных каналах гидравлических и газовых машин (насосов, турбин).
Только на основе теории пограничного слоя могут быть объяснены явления,
возникающие при достижении подъемной силой крыла максимального значения и
также связанные с отрывом потока. Наконец, теплопередача между телом и
обтекающей его жидкостью (или газом) также связана с особенностями течения в
пограничном слое.
        Вначале теория пограничного слоя развивалась главным образом в
применении к ламинарным течениям несжимаемой жидкости. Эта область
применения теории пограничного слоя была в дальнейшем столь глубоко развита
в многочисленных исследованиях, что в настоящее время ее можно считать в
основных     чертах   исчерпанной.   Позже   теория   пограничного   слоя   была
распространена также на практически более важные случаи несжимаемых
турбулентных течений в пограничных слоях. Существенный успех в этой области,
был достигнут только после введения Л. Прандтлем понятия пути перемешивания.
Введение этого понятия наряду         с выполнением систематических опытов
позволило применить теорию пограничного слоя для теоретического исследования
турбулентных течений. В дальнейшем, под влиянием сильного возрастания
скоростей в аэрокосмической технике, были тщательно исследованы пограничные
слои      для движений сжимаемой среды. При таких движениях, наряду с
динамическим пограничным слоем, образуется температурный пограничный слой,
играющий большую роль в теплопередаче между текущей средой и обтекаемым
телом. При больших числах Маха тепло, выделяющееся вследствие трения между
движущимся телом и средой, приводит к сильному нагреванию поверхности
обтекаемого тела. Расчет этого нагревания представляет собой трудную проблему,
особенно для ракет и искусственных спутников ("тепловой барьер").
       Все реальные жидкости обладают вязкостью и поэтому их называют вязкими.
В некоторых задачах влиянием вязкости можно пренебречь и ввести понятие -
идеальная жидкость, вязкость которой равна нулю[2]. Для всех реальных
                                                                               6


жидкостей и газов такие физические характеристики, как вязкость, теплоемкость,
теплопроводность и т.д. зависят от их параметров, например, от температуры. Но
во многих задачах с достаточной степенью точности можно полагать эти величины
постоянными.
    Идеальная жидкость - это жидкость, не обладающая трением. При движении
жидкости без трения между отдельными ее соприкасающимися слоями возникают
только нормальные силы (давления), касательные же силы (напряжения сдвига)
отсутствуют. Это означает, что идеальная жидкость не оказывает          изменению
формы никакого внутреннего сопротивления.
      Теория   движения   идеальной   жидкости    математически очень      глубоко
разработана и во многих случаях дает вполне удовлетворительную картину
действительных движений. В то же время теория идеальной жидкости совершенно
бессильна для решения проблемы изучения сопротивления тела, движущегося в
жидкости, так как в этом случае она приводит к результату, что тело, равномерно
движущееся в неограниченно распространенной жидкости, не испытывает никакого
сопротивления (парадокс Даламбера). Такой совершенно неприемлемый результат
теории идеальной жидкости объясняется тем, что в действительных жидкостях
между жидкостью и поверхностью обтекаемого тела действуют не только
нормальные, но и касательные силы. Эти касательные силы, или, другими
словами, силы трения действительных жидкостей, связаны как раз с тем свойством
жидкости, которое и называется вязкостью.
      В   идеальной   жидкости   касательные     силы   отсутствуют,   поэтому   на
поверхности соприкосновения твердого тела с жидкостью в общем случае имеется
разность касательных скоростей, т.е. происходит скольжение жидкости вдоль
стенки.   Напротив, в действительной жидкости на обтекаемую твердую стенку
передаются касательные силы (силы трения), и это приводит к тому, что жидкость
прилипает к стенке.
      Наличие касательных напряжений (напряжений сдвига) и прилипание
жидкости к твердым стенкам существенно отличают действительную жидкость от
идеальной. Некоторые жидкости, важные в практическом отношении, например,
вода и, особенно, воздух, обладают малой вязкостью. Течения таких маловязких
жидкостей      во многих случаях хорошо совпадают с течениями идеальной
жидкости, так как касательные силы в них в общем являются очень малыми.
Поэтому в теории идеальной жидкости вязкость совершенно не учитывают,
                                                                                  7


поскольку это проводит к существенному упрощению уравнений движения, что
позволяет построить широкую математическую теорию. Необходимо, однако,
подчеркнуть, что в жидкостях даже с очень малой вязкостью, в противоположность
идеальной жидкости, прилипание к стенкам все же существует, что является
физической    причиной       указанного     выше          несоответствия    между    законами
сопротивления   для    действительной                и    идеальной      жидкостей   (парадокс
Даламбера).
Сущность вязкости жидкости можно уяснить на опыте Куэтта. Рассмотрим течение
между двумя очень длинными параллельными плоскими пластинами, из которых
одна, например, нижняя, неподвижна, в то время как другая движется в
собственной плоскости с постоянной скоростьюυ                      (см. рис 1). Обозначим
расстояние между пластинами через h




и предположим, что давление во всем пространстве, занимаемом жидкостью,
постоянно. Опыт показывает, что жидкость прилипает к обеим пластинам,
следовательно, непосредственно около нижней пластины скорость жидкости равна
нулю, а непосредственно около верхней пластины она совпадает со скоростью υ
верхней пластины. Далее, опыт показывает, что в пространстве между пластинами
имеет место линейное распределение скоростей, т.е. скорость пропорциональна
расстоянию "у" от нижней пластины и выражается формулой
                                                    y
                                          υ (y) =     υ
                                                    h
    Для того, чтобы существовало такое состояние движения, к жидкости со
стороны верхней       пластины    должна быть приложена                  касательная сила в
направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. На основании
результатов   опыта    эта    сила   (отнесенная           к   единице   площади     пластины)
пропорциональна скорости υ верхней пластины и обратно пропорциональна
расстоянию h между пластинами. Следовательно, сила трения τ, отнесенная к
единице площади, т.е. касательное напряжение, пропорционально отношению υ/h,

                                                                                             8


вместо которого можно взять отношение dυ/dy. Множитель пропорциональности
между τ и dυ/dy , обозначенный через μ, зависит от природы жидкости. Он мал для
так называемых маловязких жидкостей, например, для воды и спирта, и, напротив,
велик для очень вязких жидкостей, например, для масла и глицерина. Таким обра-
зом, имеем элементарный закон трения жидкости в следующем виде:

                                        τ = μ dυ
                                              dy
    Величина μ[Па⋅с] называется динамическим коэффициентом вязкости                 и
представляет   собой   физическую    характеристику        жидкости.   Закон   трения,
выражаемый вышеприведенным равенством, называют законом Ньютона.
     Необходимо подчеркнуть, что рассмотренное нами движение представляет
очень простой, частный случай. Течение, изображенное на рис.1, называется
движением чистого сдвига.
     Во многих движениях жидкости, где наряду с силами вязкости действуют
также силы инерции, важную роль играет отношение вязкости μ к плотности ρ,
называемое кинематическим коэффициентом вязкости
                                   μ м 2 ⎡ cм 2
                              ν=     ,          − С то к   с⎤
                                   ρ   c ⎢ c
                                         ⎣                  ⎥
                                                            ⎦
Необходимо отметить, что динамическая вязкость сильно зависит от температуры,
причем для жидкостей при повышении температуры она уменьшается, а для газов -
возрастает. Давление мало влияет на значения μ.




                                                                                     9


                  1. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ


                            1.1. Понятие о пограничном слое


        Под пограничном слоем понимают тонкую при известных условиях в
поперечном направлении к потоку область течения, где, в отличие от окружающего
ее безвихревого      потока,   движение   является    вихревым    и   характеризуется
сосредоточенными в этой области резкими изменениями скорости              (скоростной
пограничный      слой),    температуры     (температурный      пограничный     слой),
концентрации примеси (концентрационный или диффузионный пограничный слой).
Скоростным (или динамическим) пограничным слоем называют тонкий слой
жидкости, прилегающий к поверхности обтекаемого тела и заторможенный
вследствие     трения.    Температурным    (или    тепловым)     пограничным   слоем
называется примыкающая к поверхности тела область течения, в которой темпера-
тура жидкости изменяется от ее значения на стенке до значения температуры
внешнего потока жидкости. При этом температура стенки и температура жидкости у
стенки принимаются равными друг другу. Диффузионным пограничным слоем
называется область течения вблизи стенки, в которой происходит изменение
концентрации примеси от ее значения на стенке до значения во внешнем потоке.

Различают ламинарные и турбулентные пограничные слои в зависимости от
ламинарного или турбулентного режима течения в них. Основным условием
образования скоростных ламинарных погранслоев является малая вязкость
жидкости, или точнее, большое значение числа Рейнольдса

                                      Re = υ ⋅ l
                                            ν

(υ - скорость потока; l - характерный размер), не достигающее, однако, той
критической величины, при которой режим течения в пограничном слое становится
турбулентным.     Аналогично    для   температурных    слоев     подобным   условием
становится достижение больших значений числа Пекле Ре=Pr⋅Re (число Прандтля
       c pμ
Pr =        , где λ - коэффициент теплопроводности, ср - удельная теплоемкость при
        λ
постоянном давлении) , для концентрационных слоев - больших значений
диффузионного числа Пекле Реd.


                                                                                   10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика