Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    пии.
      При косом скачке уплотнения сверхзвуковое обтекание может остать-
ся тоже сверхзвуковым, но меньшей интенсивности.
      Уравнение Прандтля при помощи скоростного коэффициента Чаплы-
гина можно записать следующим образом:
                                                     υ           υ
                           λ1λ2=1, где λ 1 = 1 ; λ 2 = 2 ,                     (3.26)
                                                     a*          a*
                   k +1          M
а так как λ =                               , то уравнение Прандтля можно получить
                     2          k −1 2
                            1+         M
                                  2
и в следующем виде:
                       k +1         M1                k +1         M2
                                                  ⋅                        .   (3.27)
                         2          k −1 2              2          k −1 2
                               1+          M1                 1+        M2
                                      2                              2
                                  k −1 1                      k −1 2
                                          + 2             1+         M1
                                     2      M1                   2
Отсюда                 M2 =                           =                  .    (3.28)
                                       k −1 1                       k −1
                                 k−                2
                                                           kM 1 −
                                                               2

                                         2 M1                         2
На этом соотношении можно построить аналог сверхзвуковой трубы. Если
скорость набегающего потока на тело M1→∞, то
                                                 k −1
                                   M2 →                  = 0.378 .
                                                   2k
      Следовательно, если создать аэрогазодинамическую трубу со скоро-
стью M=0.4≈120 м/с, то смоделируем сверхзвуковую трубу для исследова-
ния течения газа за прямым скачком уплотнения.
      Теперь ответим на вопрос: какие параметры потока остаются посто-
янными при прохождении через прямой скачок уплотнения?
      Из уравнения энергии:
                                   υ1 2
                                                               υ2
                          C p T1 +      = h 1, 0 , C p T2 + 2 = h 2, 0 ,
                                    2                            2
где CpT1 – энтальпия набегающего потока; CpT2 - энтальпия после скачка
уплотнения; h1,0 и h2,0 – полная энтальпия. Согласно закону сохранения
энергии h1,0 = h2,0 = h0 или T1,0 = T2,0 = T0 (если Cp = const). Тогда а1,0=а2,0=а0;
  T1* = T2* = T * , и, следовательно, a 1 = a * = a * .
                                                *
                                                       2

Итак, при прохождении через прямой скачок уплотнения энтальпия и тем-
пература адиабатически заторможенного потока сохраняют постоянную
величину. Также сохраняют постоянную величину скорости звука, крити-
ческие скорости до и после прямого скачка уплотнения. Кроме того, со-
гласно формуле Клапейрона:


                                                                                  81


                          p 2, 0 p1, 0    p * p *
                                =      или 2 = 1 .
                          ρ 2, 0 ρ1, 0    ρ 2 * ρ1 *


              3.5. Изменение характерных параметров газа
                     при прямом скачке уплотнения

     За относительное изменение параметров при прямом скачке уплотне-
ния принимается:
             Δp p 0 − p 1      Δρ ρ 0 − ρ1          ΔT T0 − T1
                 =         ;        =         ;          =       .
             p1      p1        ρ1      ρ1           T1       T1
Все эти величины легко находятся при использовании полученных инте-
гралов для нашей задачи.
1. Действительно, из закона сохранения полного импульса:
                Δp p 0 − p1 ρ1 υ1 − ρ 2 υ 2 ρ1 υ1 ⎛ ρ 2 υ 2 ⎞
                                  2               2
                   =         =            2
                                            =       ⎜1 −
                                                    ⎜ ρ υ2 ⎟ .
                                                             2
                                                               ⎟
                p1      p1          p1          p1 ⎝       1 1 ⎠

                                                             ρ2 υ2 υ2
    Из уравнения сохранения масс: ρ1 υ1 = ρ 2 υ 2 , тогда        2
                                                                   =  и, сле-
                                                             ρ1 υ1 υ1
                                                                 2


                Δp p 0 − p1 ρ1 υ1
                                2
                                      ⎛ υ 2 ⎞ kρ1 υ1 ⎛ υ1 υ 2 ⎞
                                                      2
    довательно,    =       =          ⎜1 − ⎟ =
                                      ⎜ υ ⎟             ⎜1 − 2 ⎟ . (3.29)
                p1    p1     p1       ⎝      1 ⎠   kp1 ⎜⎝       υ1 ⎟
                                                                   ⎠
                                                  υυ
    Так как из формулы Прандтля υ1υ2=a*2, то 1 2 2 =
                                                          (a *) = 1 .
                                                                2


                                                   υ1       υ12
                                                                   λ21
                kp
    Поскольку 1 = a 1 , то υ1 / a 1 = M 1 , и тогда
                     2      2     2     2

                ρ1
                                   Δp          2⎛    1⎞
                                        = kM 1 ⎜1 − 2 ⎟ .
                                                 ⎜ λ ⎟                        (3.30)
                                    p1           ⎝     1 ⎠

    Применяя формулы перехода от λ1 к М1 и наоборот, т.е.
                 k +1         M1                             2     λ1
          λ1 =                           ,        M1 =                     ,
                   2          k −1 2                       k +1    k −1 2
                         1+        M1                           1+      λ1
                                2                                  k +1
    получим искомые соотношения:
          Δp     2k       λ2 − 1
    а)        =       ⋅     1
                                      ;
           p1 k + 1        k −1 2
                        1−        λ1
                           k +1
          p2       Δp           2k        λ2 − 1
    б)        = 1+      = 1+         ⋅      1
                                                   ;                         (3.31)
          p1        p1         k +1        k −1 2
                                       1−       λ1
                                           k +1

                                                                                 82


                 Δp       2k                              p2          2k
      в)             =         (M 1 − 1) ;
                                    2
                                                  г)         = 1+          (M 1 − 1) .
                                                                               2

                 p1 k + 1                                 p1         k +1
     Δρ ρ 2 − ρ 1 ρ 2
2.       =            =       −1
     ρ1        ρ1        ρ1
       Применяя к этому уравнению уравнение неразрывности ρ1 υ1 = ρ 2 υ 2 ,
                    Δρ υ1                 υ2          υ2
       получим:          =       − 1 = 1 − 1 = 12 − 1 = λ2 − 1 .   1
                    ρ1 υ 2               υ1 υ 2      a*
               ρ2          Δρ                             ρ2 k + 1            M1 2
       Тогда        = 1+        = λ1 ;
                                     2
                                                  или        =         ⋅                   (3.32)
                ρ1         ρ1                             ρ1      2          k −1 2
                                                                         1+         M1
                                                                               2
     ΔT T2 − T1 h 2 − h 1
3.       =            =             .
      T1       T1            h1
                                                             υ2             υ2
Из закона сохранения полной энтальпии h 1 + 1 = h 2 + 2 получим:
                                                              2             2
                                         υ − υ2
                                          2     2
                          h 2 − h1 = 1                    и      h1=CpT1.
                                            2
                 ΔT υ1 − υ 2
                           2
                                          υ1 ⎛ υ 2 ⎞
                                            2
Тогда                 =           2
                                     =          ⎜1 − 2 ⎟ .                                  (3.33)
                 T1       2C p T1       2C p T1 ⎜ υ1 ⎟
                                                ⎝
                                                      2
                                                        ⎠
       Умножим и разделим член перед скобкой уравнения (3.33) на kR, а
        υ2         2 υ 2 υ1
                        2    2
                                   a *2      1
член 2 на υ1 ; 2 2 = 4 = 4 .
         2

        υ1            υ1 υ1         υ1      λ1
Тогда
  ΔT       υ1 kR ⎛
             2
                            1 ⎞ υ 2 k (C p − C v ) ⎛          1 ⎞ k −1 2 ⎛             1⎞
       =             ⎜1 − 4 ⎟ = 12 ⋅                     ⎜1 − 4 ⎟ =          M 1 ⎜1 − 4 ⎟ , (3.34)
   T1            p ⎜ λ 1 ⎟ 2a 1                 Cp       ⎜ λ ⎟           2        ⎜ λ ⎟
          2C p k 1 ⎝           ⎠                         ⎝     1 ⎠                ⎝    1 ⎠
                 ρ1
      (C p − C v )        1 k −1
т.к.               = 1− =              .
          Cp              k       k
                       k +1         M1
Если взять λ 1 =                     , то можно после преобразований на-
                         2k −1 2
                      1+         M1
                            2
писать это выражение через М1:
               ΔT     2(k − 1)
                  =              (M 1 − 1)(1 + kM 1 ) .
                                    2             2
                                                                     (3.35)
                T1 (k − 1) M 1
                          2    2




                                                                                               83


                                        2           λ1
Если взять выражение M 1 =                           , то
                                      k +1  k −1 2
                                        1+        λ1
                                            k +1
                         ΔT (k − 1)         λ4 − 1
                           =                 1
                                                          .             (3.36)
                         T1 (k + 1) 2 ⎛ (k − 1) 2 ⎞
                                    λ 1 ⎜1 −
                                        ⎜ (k + 1) λ 1 ⎟ ⎟
                                        ⎝               ⎠
           T2        ΔT
И наконец      = 1+      , т.е. температура T2 за скачком уплотнения всегда
           T1        T1
больше температуры Т1 до прямого скачка уплотнения (за счет необрати-
мого превращения механической энергии в тепловую).
            T2          2(k − 1)
Тогда           = 1+                  (M 1 − 1)(1 + kM 1 )
                                          2            2
                                                                       (3.37)
            T1        (k − 1) M 1
                              2     2


            T2        (k − 1)           λ4 − 1
или             = 1+                     1
                                                     .                 (3.38)
            T1        (k + 1) 2 ⎛ (k − 1) 2 ⎞
                               λ 1 ⎜1 −
                                   ⎜ (k + 1) λ 1 ⎟ ⎟
                                   ⎝               ⎠
    Как известно, при наличии необратимых потерь в адиабатической
системе возрастает ее энтропия. Для определения этого возрастания вос-
пользуемся следующей формулой:
                                 R ⎡ p 2 ρ1 ⎤  k
                  S 2 − S1 =           ⎢ln       ⎥.                     (3.39)
                               k − 1 ⎣ p1 ρ k ⎦2



Применим это равенство к параметрам адиабатически и изоэнтропически
заторможенного газа, что допустимо, т.к. изэнтропическое торможение не
влияет на приращение энтропии.
Тогда получим
                                 R ⎡ p 2, 0 ρ1, 0 ⎤
                                                k

                     S 2 − S1 =       ⎢ln            ⎥             (3.40)
                                k − 1 ⎣ p1, 0 ρ k, 0 ⎦
                                                2

Но из формулы Клапейрона следует: ρ1,0/ρ2,0 = p1,0/p2,0 ,      (3.41)
                                      1− k
        S 2 − S1     1    ⎛ p 2,0 ⎞                ⎛ p 2,0 ⎞
тогда            =      ln⎜       ⎟          = − ln⎜       ⎟
                                                   ⎜ p ⎟ = − ln ж .    (3.42)
            R      k − 1 ⎜ p1, 0 ⎟
                          ⎝       ⎠                ⎝ 1, 0 ⎠

Эта формула выражает асимптотический закон роста энтропии при прохо-
ждении газа через скачки большой интенсивности. При сравнительно ма-
лой интенсивности скачков уплотнения, т.е. при М, близком к 1, будет на-
блюдаться слабое изменение энтропии, т.е. около-звуковые явления можно
с достаточной степенью приближения рассматривать как изоэнтропиче-
ские.


                                                                           84


        3.6. Математическая модель косого скачка уплотнения

     Элементарную теорию косого скачка уплотнения можно рассматри-
вать на примере течения газового потока внутри тупого угла. При течении
внутри тупого угла сверхзвукового потока газа со скоростью υ1 создается
косой скачок уплотнения, который образует с горизонтальной осью угол β
(рис. 24). Надо отметить, что если при прямом скачке уплотнения согласно
теореме Прандтля сверхзвуковое течение после скачка уплотнения непре-
менно становится дозвуковым, то при прохождении потока через косой
скачок уплотнения сверхзвуковая скорость может сохраниться и за скач-
ком уплотнения.




                                 Рис. 24
                                 r
     Разложим вектор скорости υ1 на две составляющие: нормальную υ1n
(перпендикулярную линии скачка уплотнения) и касательную υ1t (парал-
лельную линии скачка уплотнения). При прохождении потока через косой
                                      r
скачок уплотнения вектор скорости υ 2 потока имеет направление, парал-
                                                                r
лельное ограничивающей поверхности. Разложим вектор скорости υ 2 так-
же на две составляющие: υ2n и υ2t (см. рис. 24).
     При исследовании косого скачка уплотнения будем использовать сле-
дующие интегральные соотношения:
     1) уравнение неразрывности (закон сохранения массы), записанное
для нормальных составляющих скоростей, полученных при косом скачке
уплотнения:
                           ρ1 υ1n = ρ 2 υ 2 n ;                    (3.43)
     2) закон сохранения полного импульса в проекции на линию разрыва
(импульса, связанного с касательной скоростью, которая направлена по
косому скачку уплотнения):
                          ρ1 υ1n υ1t = ρ 2 υ 2 n υ 2 t .           (3.44)
То же в проекции на нормаль к линии разрыва (или теорема об изменении


                                                                       85


импульсов для нормальных составляющих скоростей):
                                   p1 + ρ1 υ1n = p 2 + ρ 2 υ 2 n ;
                                               2
                                                             2            (3.45)
     3) уравнение энергии (закон сохранения полной энтальпии):
                                 υ1n υ1t
                                   2        2
                                                       υ 2n υ 2 t
                           h1 +        +       = h2 + 2 + 2 .             (3.46)
                                   2       2            2       2
     Из уравнения (3.43) с учетом (3.44) следует, что
                                   υ1t = υ 2 t = υ t .                    (3.47)
     Это равенство указывает на то, что касательные составляющие скоро-
стей до и после косого скачка уплотнения одинаковы. Иными словами, ко-
сой скачок уплотнения не вызывает изменения характера течения каса-
тельных скоростей до и после скачка уплотнения.
     Тогда система уравнений (интегральных соотношений) будет иметь
вид:
                                         ⎫
     1) ρ1 υ1n = ρ 2 υ 2 n               ⎪
                                         ⎪
                                         ⎪
     2) p1 + ρ1 υ1n = p 2 + ρ 2 υ 2 n ⎬
                  2
                                      2
                                         ⎪
              υ1n
                2
                              υ 2n       ⎪
     3) h 1 +      = h2 +       2
                                         ⎪
               2               2         ⎭
     Видно, что полученная система уравнений для косого скачка уплот-
нения отличается от системы уравнений, характеризующих прямой скачок
уплотнения. Система уравнений для косого скачка уплотнения получается
из системы уравнений для прямого скачка уплотнения заменой векторов
            r     r
скоростей υ1 и υ 2 на их нормальные составляющие υ1n и υ2n. Следова-
тельно, все, что было сказано относительно прямого скачка уплотнения,
сохраняет свой смысл и для косого скачка уплотнения, если во всех соот-
ношениях, полученных для прямого скачка уплотнения, заменить векторы
            r     r
скоростей υ1 и υ 2 на их нормальные составляющие.
     Тогда уравнение Прандтля для косого скачка уплотнения будет вы-
глядеть следующим образом:
                                   υ1n υ 2 n = a *2 ,                     (3.48)
где
                                                      k −1 2
                                     a *2 = a *2 −         υt .           (3.49)
                                                      k +1
     Это значение для a *2 получается из рассмотрения уравнения инте-
грала энергии в следующем виде:
                                     υ2       a2     υ2     k +1
                              h+         =        +      =         a *2 .
                                     2 k − 1 2 2(k − 1)
     Для нашего случая:



                                                                             86


                                    a2  υ2 υ2    k +1
                                       + n + t =        a *2 .                         (3.50)
                                   k −1 2    2 2(k − 1)
Отсюда следует:
                     υ2    υ1
                            2
                                 k +1 ⎛ 2 k −1 2 ⎞
                      n
                        +     =       ⎜υ* −       υ1 ⎟ .             (3.51)
                     2 k − 1 2(k − 1) ⎝      k +1 ⎠
При наличии косого скачка уплотнения критическая скорость a *2 оказы-
вается несколько меньшей, чем при прямом скачке уплотнения ( a *2 ).
     Теорему Прандтля можно также записать в виде:

                                         λ1n λ 2 n = 1 ,                               (3.52)
              υ1n            υ
где    λ1n =      , λ 2n = 2n .                                                         (3.53)
              a*              a*
Относительное изменение характерных параметров при косом скачке уп-
лотнения можно получить из аналогичных соотношений для прямого скач-
                                                                r   r
ка уплотнения, если вместо векторов скоростей υ1 и υ 2 в выражениях для
М и λ поставить их нормальные компоненты:
                p          2k
1) Например 2 = 1 +             (M 1n − 1) ,
                                    2
                                                                                 (3.54)
                p1        k +1
               υ
где     M 1n = 1n . Из треугольника скоростей υ1n=υ1sinβ, тогда
                a1
        υ sin β
M 1n = 1         = M 1 sin β , и окончательно:
          a1
                           p2          2k
                               = 1+        (M 1 sin β − 1) .
                                                2
                                                                                         (3.55)
                           p1         k +1
Это же выражение через λ1 выглядит следующим образом:
                           p2          2k        λ2n − 1
                               = 1+        ⋅       1
                                                             .                           (3.56)
                           p1         k +1        k −1 2
                                             1−         λ 1n
                                                  k +1
Из треугольника скоростей: υ1t=υ1cos β, тогда с учетом (3.49):
                                              k −1 2
                               a *2 = a *2 −          υ1 cos 2 β
                                              k +1
Из уравнения (3.53):
                  υ1 sin 2 β
                    2
                                             λ2 sin 2 β           λ2 (1 − cos 2 β)
    λ1n =
      2
                                     =        1
                                                               =   1
                                                                                     . (3.57)
                   k −1 2                  k −1 2                  k −1 2
            a* −
              2
                        υ1 cos β 1 −
                                 2
                                                  λ 1 cos β 1 −
                                                          2
                                                                          λ 1 cos β
                                                                                  2

                   k +1                    k +1                    k +1
Следовательно, с учетом формул (3.56) и (3.57) имеем:




                                                                                            87


                                                         ⎛ k −1 2                    ⎞
                             [(λ2 − λ2 cos 2 β) / ⎜1 −
                                 1       1                              λ 1 cos 2 β ⎟] − 1
            p2
                 = 1+
                        2k                               ⎝ k +1                      ⎠     =
            p1         k +1                  k − 1 (λ 1 − λ 1 cos β)
                                                             2      2       2
                                       1−            ⋅
                                             k +1             k −1 2
                                                       1−            λ 1 cos 2 β
                                                             k +1
                                                                k −1 2
                                λ2 − λ2 cos 2 β − 1 +                   λ 1 cos 2 β
                     2k            1       1
                                                                k +1
             = 1+                                                                          .
                    k +1      k −1 2                     k −1 2 k −1 2
                         1−           λ 1 cos β −
                                               2
                                                                 λ1 +         λ 1 cos β2

                              k +1                       k +1           k +1
Окончательно имеем:
                                                                  2 2
                                               (λ2 − 1) −              λ 1 cos 2 β
                          p2            2k         1
                                                               k +1
                              = 1+                                                   .       (3.58)
                          p1           k +1                    k −1 2
                                                          1−           λ1
                                                               k +1
2) Аналогично:
                           k +1 2                            k +1 2
                                  M 1 sin 2 β                        M 1n
                  ρ2         2                                 2
                      =                              =                                       (3.59)
                   ρ1        k −1 2                            k −1 2
                         1+          M 1 sin β 1 +
                                                2
                                                                      M 1n
                               2                                  2
или
                          ρ2                  λ2 (1 − cos 2 β)
                              = λ1n =
                                    2           1
                                                                        .                    (3.60)
                          ρ1                    k −1 2
                                           1−             λ 1 cos β2

                                                k +1
             T2               2(k − 1)
3)                = 1+                             (M 1 sin 2 β − 1)(1 − kM 1 sin 2 β) =
                                                         2                           2

              T1        (k + 1) M 1 sin β
                                2     2      2


                                          2(k − 1)
                              = 1+                         (M 1n − 1)(1 − kM 1n ) .
                                                                2                  2
                                                                                             (3.61)
                                      (k + 1) M 1n
                                                 2     2


     И, наконец, останутся теми же самыми, что и для прямого скачка уп-
лотнения, выражения: h1,0= h2,0=h0; T1,0= T2,0=T0; a1,0= a2,0=a0, T1*= T2*=T* и
a1*= a2*=a*.
Останется той же и ударная адиабата Гюгонио.




                                      3.7 . Ударная поляра

     Из треугольников скоростей перед и за косым скачком уплотнения
(рис. 24) следует:

                                                                                                88


                          υ1n = υ1 sin β ;      υ 2 n = υ 2 sin(β − θ) ,
где θ - половинный угол клина, он же – угол отклонения потока за скач-
ком; β - угол, образованный линией косого скачка уплотнения с направле-
                                                       r
нием набегающего потока (вектора скорости υ1 )
                         υ1t = υ2t = υ1cosβ = υ2cos(β-θ) = υ1.
Для проекций скоростей на оси прямоугольной декартовой системы коор-
динат имеем:
               υ1x = υ1, υ1y =0; υ2x = υ2cos(β-θ), υ2y = υ2sin(β-θ).
Еще:          υ1n = υ1x sin β;      υ2n = υ2x sin β - υ2ycos β;
               υ1t = υ2t = υt = υ1xcosβ = υ2xcos β +υ2ysin β =υ1cos β.
Из последнего соотношения находим:
       υ2ysin β =(υ1-υ2x)cos β ⇒
            υ − υ2x        υ − υ2x
а) sin β = 1             = 1          ;
           υ 2 y / cos β       N
             υ2y
б) cos β =   .
          N
С учетом предыдущих соотношений: N = (υ1 − υ 2 x ) 2 + υ 2 y .
                                                         2

Эти соотношения позволяют найти выражение касательных и нормальных
                                        r      r
компонент векторов скоростей υ1 и υ 2 через их декартовые проекции:
                                                            υ1 υ 2 y
                               υ t = υ1 cos β → υ t =                ;
                                                              N
                                                       υ
                         υ1n = υ1 sin β → υ1n = 1 (υ1 − υ 2 x ) ;
                                                        N
                                                            1
          υ 2 n = υ 2 x sin β − υ 2 y cos β → υ 2 n = [υ 2 x (υ1 − υ 2 ) − υ 2 y .
                                                                             2
                                                            N
Используем формулу Прандтля для косого скачка уплотнения в виде:
                                       υ1n υ 2 n = a *2 .
Подставим туда выражения для υ1n и υ2n через декартовы проекции векто-
ров скоростей и после преобразований получим:
                                    (υ − υ 2 x ) 2 (υ1 υ 2 x − a *2 )
                           υ2y = 1
                             2                                         .           (3.62)
                                                2 2
                                     a* +
                                        2
                                                    υ1 − υ1 υ 2 x
                                            k +1
Деля обе части этого равенства на а*2 или на a 1 , перепишем его в следую-
                                                               2


щих видах:
                                       υ             υ
                           2    (λ 1 − 2 x ) 2 (λ 1 2 x − 1)
                 ⎛ υ2y ⎞                a*           a*
                 ⎜ a* ⎟ =
                 ⎜       ⎟                                       ,                 (3.63)
                 ⎝       ⎠              2 2             υ2x
                                   1+       λ1 − λ1
                                      k +1              a*

                                                                                      89


                         ⎛     υ     ⎞  ⎡2
                                             υ2x ⎛ a * ⎞ ⎤
                                                        2

                         ⎜ M1 − 2x
                         ⎜           ⎟
                                     ⎟  ⎢M 1     −⎜ ⎟ ⎥
               ⎛ υ2y ⎞
                       2
                         ⎝      a1   ⎠  ⎢    a1 ⎜ a1 ⎟ ⎥
                                                  ⎝ ⎠ ⎦
               ⎜     ⎟ =                ⎣                  .                 (3.64)
               ⎜ a ⎟              2
               ⎝ 1 ⎠       ⎛ a *⎞       2           υ2x
                           ⎜ ⎟ +
                           ⎜a ⎟            M1 − M1
                                             2

                           ⎝ 1⎠       k +1          a1
Эти соотношения представляют собой уравнения семейства кривых соот-
ветственно в плоскостях (υ2x/a*; υ2y/a*) или (υ2x/a1; υ2y/a1) с параметрами λ1
и M1. Полученные семейства представляют собой геометрические места
                                    r
точек концов вектора скорости υ 2 за косым скачком уплотнения, отнесен-
ного в первом случае к a* и во втором - к a1, причем в качестве параметров
                                                r
семейств используется величина скорости υ1 до скачка, отнесенная к a*
или a1. Кривые этих семейств представляют собой строфоиды (их еще на-
зывают гипоциссоидами или декартовыми листами).
                                                  На рис. 25 в размерных коор-
                                                  динатах (υ2x; υ2y) показана
                                                  одна из таких строфоид. Она
                                                  имеет асимптоту, опреде-
                                                  ляемую следующим выраже-
                                                  нием:
                                                            2       a *2
                                                   υ2x =       υ1 +      .   (3.65)
                                                          k +1        υ1
                                                  Вертикальная составляющая
                                                  скорости υ2 обращается          в
                                                  нуль (υ2y=0) в двух случаях:
                                                  1) в точке B, в которой
                     Рис. 25
                                                             υ2x = υ2 = υ.
     При этом величина и направление скорости не меняются, т.е. скачок
уплотнения вырождается в слабую волну возмущения;
2) в точке A, в которой υ2x = υ2 = a*2/υ1 или υ1 υ2 = a*2 (уравнение Прандтля
для прямого скачка уплотнения).
     В этом случае скорость υ2 имеет минимальное значение при заданной
сверхзвуковой скорости υ1, следовательно, скачок уплотнения имеет в точ-
ке A наибольшую интенсивность.
     Луч, проведенный из начала координат под углом θ, равным повороту
потока (или углу полураствора клина), пересекает строфоиду в трех точках
                                                                           r
1, 2, 3 и, таким образом, определяет три значения вектора скорости υ 2 за
косым скачком уплотнения. Какие же из этих трех точек имеют физиче-
ский смысл?
      Поскольку скорость в точке 3 больше скорости в точке B (см. рис. 25),
т.е. скорость υ2 в этой точке больше υ1, что является невозможным, т.к. за


                                                                                90



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика