Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        Очевидно, что чем больше υ∞, тем ближе располагается скачок уплот-
нения к телу.
    Скачок уплотнения, строго говоря, представляет собой слой весьма
малой толщины (порядка длины свободного пробега молекул). Поэтому в
теории скачков уплотнения математически их можно заменять поверхно-
стями разрыва.

    3.1. Сильные разрывы в газе. Прямые и косые скачки уплотнения

     В случае полета со сверхзвуковой скоростью (υ>a) перед телом воз-
никает волна сжатия или ударная волна (скачок уплотнения). Известно,
что всякое повышение давления (плотности), возникшее в каком-либо мес-
те газовой среды, распространяется в ней с большой скоростью во все сто-
роны в виде волн давления. Слабые волны давления движутся со скоро-
стью звука, их изучением занимаются в акустике. Сильные волны давле-
ния распространяются со скоростями значительно бульшими, чем скорость
                               звука. Основная особенность сильной вол-
                               ны давления заключается в том, что фронт
                               волны очень узок (толщина его порядка
                               длины свободного пробега молекул), в свя-
                               зи с чем параметры состояния газа (давле-
                               ние, плотность, температура) изменяются
                               скачком.
                                    Качественно это можно объяснить сле-
                               дующим образом. Пусть в некоторой об-
                               ласти среды (рис. 18) произошло изменение
            Рис. 18            давления, и вначале волна получила плав-
ную форму 1АВ2. На отдельных бесконечно узких участках волны вели-
чина давления возрастает незначительно, поэтому распространение такой
волны происходит со скоростью звука. В области высоких сжатий (точка
А) наблюдаются, естественно, более высокие температуры, чем в области
малых сжатий (точка В), в силу чего верхняя часть волны давления дви-
жется быстрее, чем ее нижняя часть (так как скорость звука пропорцио-
нальна температуре среды). Таким образом, если даже вначале волна сжа-
тия была пологой, то со временем она делается все круче и круче. Процесс
этот остановится, и волна приобретет устойчивую форму только в тот мо-
мент, когда фронт волны сжатия станет совсем плоским (1’–2’). Следова-
тельно, волны сжатия распространяются как скачки давления (разрывы), в
связи с чем их и называют ударными волнами. После того как ударная
волна образовалась, по обе стороны от ее фронта параметры состояния газа
и его скорость будут иметь значения, различающиеся между собой на ко-
нечные величины (рис. 19).



                                                                      71


     Уровень параметров                          Невозмущенная область
  за скачком уплотнения


                                                 Уровень параметров
                                                 до скачка уплотнения
  Возмущенная область
                                   Скачок уплотнения (с.у.)
                                   Рис. 19

     Фронт ударной волны представляет собой поверхность (в нашем слу-
чае - плоскость) разрыва параметров состояния газа, перемещающуюся по
газу и вызывающую скачкообразное изменение этих параметров, причем
невозмущенный газ перед фронтом ударной волны имеет меньшее дав-
ление, плотность и температуру, чем после прохождения фронта.
     Наличие такого скачкообразного изменения параметров газа (или точ-
нее, очень резкого их изменения на участке длины, равной по порядку пу-
ти свободного пробега молекулы) показывает, что здесь имеет место внут-
ренний молекулярный процесс, связанный с переходом кинетической
энергии упорядоченного течения газа в кинетическую энергию беспо-
рядочного теплового движения молекул. Этим объясняется разогрев газа в
возмущённой области после прохода фронта ударной волны по сравнению
с невозмущенной областью перед фронтом ударной волны. Повышение
средней квадратичной скорости пробега молекул вызывает также возрас-
тание давления и плотности газа при прохождении через него фронта
ударной волны. Обратим движение, сообщив мысленно среде поступа-
тельное движение влево со скоростью распространения фронта ударной
волны. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее явление с точки
зрения галилеевой системы координат, движущейся поступательно вместе
с фронтом ударной волны. Тогда ударная волна окажется как бы останов-
ленной, а газ приобретает стационарное движение.
     Неподвижную ударную волну, плоскость которой перпендикулярна к
направлению потока, называют прямым скачком уплотнения. Невозму-
щенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к пря-
мому скачку уплотнения со скоростью перемещения фронта ударной вол-
ны.




                                                                     72


Невозмущенная область                              Возмущенная область

                                   Рис. 20

      Нарисуем новую картину возмущенной и невозмущенной области
 среды (рис. 20), где поток будет двигаться слева направо (так привычнее
 для рассмотрения и принято в механике сплошных сред). Условимся в
 дальнейшем обозначать индексом 1 параметры состояния среды и скорость
 потока перед скачком уплотнения, индексом 2 – после скачка уплотнения.
      Скорость потока перед скачком уплотнения будет υ1, после скачка уп-
 лотнения – υ2, при этом очевидно υ1>υ2. Параметры состояния среды в
 возмущенной области будут иметь большие величины по сравнению с па-
 раметрами в невозмущенной области, т.е. p2>p1; T2>T1; ρ2>ρ1.




                 Рис. 21                          Рис. 22

      Характерной особенностью прямого скачка уплотнения является то,
 что, пересекая его фронт, газовый поток не меняет своего направления,
 причем фронт прямого скачка располагается нормально к направлению по-
 тока. Помимо прямых скачков уплотнения существуют и так называемые
 косые скачки уплотнения. Фронт косого скачка располагается наклонно к
 направлению потока (рис. 21), т.е. угол между вектором скорости потока и
 плоскостью скачка отличен от 90°. Таким образом, косым скачком уплот-
 нения называют неподвижную ударную волну, плоскость которой рас-
 положена под определенным углом (не равным 90°) к направлению потока.
 Косой скачок уплотнения получается в том случае, когда, пересекая фронт
 скачка, газовый поток изменяет свое направление. Например, при сверх-
 звуковом обтекании клиновидного тела (рис. 22), которое отклоняет поток
 от начального направления на угол ω, перед телом образуются плоские,
 косые скачки уплотнения, сходящиеся на его носике. Косой скачок уплот-
 нения образуется и при обтекании конуса. В этом случае поверхностью

                                                                       73


разрыва будет конус с вершиной в носике обтекаемого конуса. Таким об-
разом, если до встречи потока с фронтом косого скачка вектор скорости υ1
составлял с ним угол α, то после пересечения фронта поток отклоняется на
угол ω, а угол между вектором скорости υ2 и фронтом косого скачка уп-
лотнения становится равным β=α-ω.

          3.2. Математическая модель прямого скачка уплотнения

    Решим задачу определения взаимосвязи потока до и после прямого
скачка уплотнения. Чтобы найти связь между υ1, ρ1, p1, T1 и υ2, ρ2, p2, вос-
пользуемся условием стационарности потока и применим к нему теоремы
сохранения массы, количества движения и энергии. Кроме того, будем
считать, что газ является идеальным и массовые силы отсутствуют (т.е.
пренебрегаем влиянием массовых сил, поскольку имеем дело с газами).
    Тогда вышеперечисленные уравнения в интегральной форме запи-
шутся следующим образом:
    1) уравнение неразрывности:
                   v                     ∂ρ
            ∫
            V
              div(ρυ)dV = 0 , так как ∫ dV = 0 ;
                                       V ∂t
                                                                         (3.1)

    2) уравнение движения в форме Эйлера
          ∫ div(ρυ )dV + ∫ Pn dS = 0 ;
                   2
                                                                         (3.2)
            V                       S
    3) уравнение энергии
               ⎡ ⎛      υ2 ⎞ ⎤
         ∫ div ⎢ρ⎜ u +
                  ⎜        ⎟υ⎥dV + ∫ Pn υ n dS = 0 .
                         2 ⎟ ⎦
                                                                 (3.3)
         V     ⎣ ⎝         ⎠       S

    Все эти уравнения содержат под знаком интеграла дифференциальные
соотношения, которые надо устранить. Применяя ко всем уравнениям тео-
рему Остроградского-Гаусса, получим:
     1)    ∫ ρυ n dS = 0 ,
                S
                                                                 (3.4)

     2)         ∫ (ρυυ
                S
                         n   + Pn )dS = 0 ,                              (3.5)

             ⎡ ⎛     υ2 ⎞        ⎤
     3)    ∫ ⎢ ⎜ 2 ⎟υ n + Pn υ n ⎥dS = 0 .
              ρ⎜ u +
           S ⎣ ⎝
                        ⎟
                        ⎠
                                                                    (3.6)
                                 ⎦
     Рассмотрим одномерное течение газа и будем считать, что в сечениях
1 (до поверхности разрыва) и 2 (после поверхности разрыва) поля скоро-
стей и других величин однородны. В этих условиях закон сохранения мас-
сы при прохождении через скачок уплотнения (уравнение неразрывности)
запишется в виде:
                           ρ1 υ1 = ρ 2 υ 2 .                        (3.7)


                                                                           74


     Здесь для внутренней задачи (течения газа в цилиндрической трубе)
принято S1=S2, а для внешней задачи S опускается.
     Уравнение движения при приведенных выше условиях дает второе
искомое равенство – сохранение полного импульса (p+ρυ2) при прохожде-
нии через скачок уплотнения:
                                p1+ρ1υ12 = p2+ρ2υ22                 (3.8)
     Уравнение энергии преобразуется следующим образом:
                  ⎡ ⎛         υ2 ⎞               ⎤
                ∫ ⎝ρ⎜ c v T +
                  ⎢ ⎜
                S ⎣            2 ⎟
                                  ⎟υ n + Pn υ n ⎥dS = 0
                                  ⎠
                                                                    (3.9)
                                                 ⎦
(здесь заменили u=cvT).
                                                     p
Произведя замену u = c v T = c p T − RT = h − , получим:
                                                     ρ
                          ⎛     υ2 ⎞
                      ∫ ρ⎜ h + 2 ⎟υ n dS = 0                       (3.10)
                      S ⎝           ⎠
                                                                 p
(здесь энтальпия h=CpT, а из уравнения Клапейрона = RT ).
                                                                 ρ
     Тогда при наших допущениях получим:
                            ⎛       υ1 ⎞
                                      2
                                                   ⎛       υ2 ⎞
                                                             2

                      ρ1υ1 ⎜ h 1 +
                            ⎜
                                        ⎟ = ρ 2 υ2 ⎜ h 2 +     ⎟.  (3.11)
                            ⎝        2 ⎟⎠
                                                   ⎜
                                                   ⎝        2 ⎟⎠
Учитывая, что ρ1 υ1 = ρ 2 υ 2 , получим искомое третье уравнение:
                                     2           2
                                      υ           υ
                                h1 + 1 = h 2 + 2 .                            (3.12)
                                       2           2
Это равенство представляет собой закон сохранения полной энтальпии
         υ2
h0 = h +     газа при его прохождении прямо через скачок уплотнения.
         2
     С учетом уравнения Клапейрона:
                                         Cp        C p p1    k p1
                         h 1 = C p T1 =     RT1 =         =
                                          R         R ρ1 k − 1 ρ1
        Cp       Cp          Cp / Cv        k
(здесь     =             =              =      , где R = C p − C v - соотношение
        R Cp − Cv Cp / Cv −1 k −1
Майера, C p / C v = k ).
                       k p2
Аналогично h 2 =               .
                     k − 1 ρ2
И тогда третье равенство можно записать в следующем виде:
                            k p1 υ1     2
                                              k p 2 υ2
                                    +     =          + 2.                     (3.13)
                          k − 1 ρ1 2 k − 1 ρ 2 2
     Таким образом, получили систему из трех уравнений: неразрывности

                                                                                 75


течения (3.7), изменения количества движения одномерного потока (3,8) и
уравнения энергии (3.13) - с тремя неизвестными величинами υ2, p2, ρ2.
     Мы видим, что независимо от характера движения (разрывного или
нет) количество уравнений одно и то же. Но есть положительный момент:
эти соотношения в интегральном виде можно непосредственно использо-
вать для анализа физики явления разрывного процесса. Например, уравне-
ния (3.8) и (3.13) дают новое уравнение процесса для сплошной среды.
Причем адиабата Пуассона p/ργ=const, пригодная для сплошной среды (при
изоэнтропическом расширении, т.е. при постоянной энтропии), теряет
смысл при разрывных процессах (сверхзвуковых процессах при наличии
скачка уплотнения). Гюгонио первый обратил на это внимание и получил
адиабату при разрыве сплошности среды (при возрастании энтропии), на-
званную ударной адиабатой Гюгонио. Итак, получили исходные уравнения
для разрывного течения:
     неразрывности       ρ1 υ1 = ρ 2 υ 2 ;
     импульсов           p1+ρ1υ12 = p2+ρ2υ22 ;
                                  2           2
                               υ1          υ2
     энергии             h1 +       = h2 +      .
                                2           2
     Эти уравнения положены в основу теории скачка уплотнения.

       3.3. Ударная адиабата Гюгонио для разрывных течений

     Обратим внимание на две особенности разрывных течений:
     1) в условиях неразрывного течения существует изоэнтропическая
адиабата Пуассона p/ρk=const. Но она недействительна для разрывных те-
чений. Ударная адиабата Гюгонио лежит выше изоэнтропической адиаба-
ты Пуассона, что означает возрастание энтропии при появлении разрывно-
го течения. За счет роста энтропии появляется волновое сопротивление.
Парадокс Даламбера при этом теряет смысл, так как появляется волновое
сопротивление, и картина сверхзвукового обтекания тела имеет другой вид
по сравнению с дозвуковым;
     2) при неразрывном течении уравнение энергии и уравнение состоя-
ния приводят к уравнению процесса. Для разрывных течений этого не по-
лучается.
     Выведем уравнение ударной адиабаты из уравнения импульсов
                     p2-p1=ρ1υ12 -ρ2υ22 = ρ1υ1(υ1-υ2),             (3.14)
так как ρ1υ1 = ρ2υ2.
                                            υ + υ2
Умножим обе части уравнения (3.14) на 1             и получим:
                                             ρ1 υ1
                                     υ + υ2
                         ( p1 − p 2 ) 1     = υ1 − υ 2 .
                                                2
                                                     2
                                      ρ1 υ1


                                                                       76


              υ1 + υ 2  1  1
Поскольку              = +     (т.к. υ2/υ1=ρ1/ρ2), то
               ρ1 υ1    ρ1 ρ 2
                                          ⎛1        1 ⎞
                              (p 2 − p1 )⎜ + ⎟ = υ1 − υ 2 .
                                          ⎜ρ ρ ⎟
                                                              2
                                                                    2                 (3.15)
                                          ⎝ 1         2 ⎠

Уравнение энергии перепишем в виде:
                        k p1 υ1       2
                                               k p 2 υ2
                             ⋅ +         =          ⋅     + 2.                        (3.16)
                      k − 1 ρ1 2 k − 1 ρ 2                    2
Объединим два последних уравнения в одно. Преобразуем для этого урав-
нение (3.16) к виду
                                   2k ⎛ p 2 p1 ⎞
                                         ⋅ ⎜ − ⎟ = υ1 − υ 2 .
                                           ⎜ρ           ⎟
                                                               2
                                                                     2
                                  k − 1 ⎝ 2 ρ1 ⎠
Уравнение импульсов (3.15) оставим без изменений.
Приравняем левые части обоих уравнений, т.е.
                                          ⎛1        1 ⎞       2k ⎛ p 2 p1 ⎞
                              (p 2 − p1 )⎜ + ⎟ =
                                          ⎜ ρ ρ ⎟ k −1 ⋅ ⎜ ρ − ρ ⎟ ⎜          ⎟       (3.17)
                                          ⎝ 1         2 ⎠          ⎝ 2      1 ⎠

Сгруппировав члены с р1 и р2, получим:
                        ⎡1      1       2k 1 ⎤             ⎡1      1      2k 1 ⎤
                    p2 ⎢ +          −             ⎥  = p1 ⎢ +          −         ⎥
                        ⎣ ρ1 ρ 2 k − 1 ρ 2 ⎦               ⎣ ρ1 ρ 2 k − 1 ρ1 ⎦
или
   ⎡ (k − 1)ρ 2 + (k − 1)ρ1 − 2kρ1 ⎤            ⎡ (k − 1)ρ 2 + (k − 1)ρ1 − 2kρ 2 ⎤
p2 ⎢                                   ⎥  = p1 ⎢                                   ⎥;
   ⎣          (k − 1)ρ1ρ 2             ⎦        ⎣            (k − 1)ρ1ρ 2          ⎦
             p 2 [(k − 1)ρ 2 − (k + 1)ρ1 ] = p1 [(k − 1)ρ1 − (k + 1)ρ 2 ] .           (3.18)
Умножив обе части равенства (3.18) на (-1/ρ1), получим:
                        ⎡                    ρ ⎤          ⎡        ρ            ⎤
                    p 2 ⎢(k + 1) − (k − 1) 2 ⎥ = p1 ⎢(k + 1) 2 − (k − 1)⎥ .
                        ⎣                     ρ1 ⎦        ⎣        ρ1           ⎦
                                          ρ
                                (k + 1) 2 − (k − 1)
                          p2              ρ1
Тогда                         =                            .
                          p1                           ρ2
                                (k + 1) − (k − 1)
                                                       ρ1
И окончательно
                                               (k + 1)ρ 2
                                                             −1
                                      p 2 (k − 1)ρ1
                                            =                    .                    (3.19)
                                      p1       (k + 1) ρ 2
                                                          −
                                               (k − 1) ρ1
Это и есть уравнение ударной адиабаты Гюгонио.
      Итак, интегралы уравнений разрывного одномерного течения после


                                                                                         77


преобразований дают отличное от изоэнтропической адиабаты Пуассона
 p1 p 2
    =      выражение. Как только переходят к разрывному течению, то по-
ρ1 ρ k
  k
       2
лучают ударную адиабату Гюгонио.
     Построим графики сравнения двух адиабат: изоэнтропической и удар-
ной.
     Ударная адиабата за исключением небольшой области лежит выше
адиабаты Пуассона. График для газа с k=1,4 выглядит следующим образом
(рис. 23):




                                 Рис. 23

     В отличие от непрерывного движения сплошной среды с плавным из-
менением параметров вдоль направления распространения потока разрыв-
ное движение характеризуется конечным скачком параметров газа в неко-
тором сечении. Отсюда можно сделать заключение, что прохождение иде-
ального газа сквозь скачок уплотнения не является изоэнтропическим про-
цессом, а сопровождается необратимым переходом механической энергии
в тепловую.
     В физическом отношении это означает, что при прохождении через
скачок уплотнения энтропия возрастает:
                                    R ⎡ p2          p1 ⎤
                       S 2 − S1 =        ⎢ln k − ln k ⎥ ,            (3.20)
                                   k − 1 ⎣ ρ2       ρ1 ⎦
     где S1 – энтропия до скачка, S2- энтропия после скачка.
                           R ⎡ p 2 ρ1 ⎤  k
                                               R ⎡ p 2 из ρ1 p 2 ⎤
                                                             k
              S 2 − S1 =       ⎢ln         ⎥=      ⎢ln     ⋅ ⋅   ⎥.
                         k − 1 ⎣ p1 ρ k ⎦ k − 1 ⎣ ρ k p1 p 2 из ⎦
                                         2               2

     В силу уравнения Пуассона ( p/ρk =const ) первые два члена составля-
ют 1 и тогда



                                                                         78


                                       R ⎡ p2 ⎤
                           S 2 − S1 =       ⎢ln      ⎥.               (3.21)
                                      k − 1 ⎣ p 2 из ⎦
    Так как p2>p2из (см. рис. 23), следовательно S2>S1 при разрыве сплош-
ности. Отсюда следует, что в природе существует только прямой скачок
уплотнения, а прямого скачка разрежения не существует, поскольку в этом
случае энтропия будет убывать, а это невозможно в силу второго закона
термодинамики (энтропия может либо оставаться постоянной, либо воз-
растать - третьего не дано).
    Таким образом, волновое сопротивление, появляющееся при сверх-
звуковом обтекании, характеризуется возрастанием энтропии.

       3.4. Уравнение Прандтля для прямого скачка уплотнения

     Получим необходимое для вывода соотношение из интегралов основ-
ных уравнений для скачка уплотнения. Возьмем уравнение сохранения
полного импульса (3.I4): p2-p1=ρ1υ12 -ρ2υ22 или
      p2       p
            − 1 = υ1 − υ 2 (из закона сохранения массы: ρ1υ1 =ρ2υ2).
     ρ 2 υ 2 ρ1 υ1
     Из интеграла Бернулли уравнения энергии следует, что перед скачком
уплотнения имеет место следующее выражение:
                        a2       k p1         k +1           υ2
                  h1 = 1 =               =            a *2 − 1 .     (3.22)
                       k − 1 k − 1 ρ1 2(k − 1)               2
Оно получается следующим образом.
Уравнение энергии записывается в виде:
                                       υ2
                                  h+        = const ,
                                        2
                C p kRT C p 2 C v 2              a2
где h = C p T =         =     a =        a =         ,
                   kR      kR        R         k −1
              Cv      Cv         1
так как          =           =       .
              R Cp − Cv k −1
Тогда уравнение энергии будет иметь вид:
                                 a2      υ2
                                       +      = const .
                                k −1 2
Константу найдем из условия a=a* при υ=a* для критического течения,
                                    a *2 a *2           k +1
тогда                      const =         +      =           a *2 .
                                   k −1        2     2(k − 1)
Подставляя в уравнение энергии, получим
                            υ2     a2      υ2       k +1
                       h+      =         +      =          a *2 .
                             2 k − 1 2 2(k − 1)

                                                                         79


Отсюда энтальпия потока перед скачком уплотнения равна                      2
                                                                           a1    k +1           υ
                                                                     h1 =      =         a *2 −
                                                                          k − 1 2(k − 1)        2
           p1
, т.к. a 1 = k
         2
              .
           ρ1
За скачком уплотнения имеем:
                      a2      k p1         k +1         υ2
                h2 =   2
                          =            =           a* − 2 .
                                                      2
                                                                          (3.23)
                     k − 1 k − 1 ρ1 2(k − 1)            2
Выразив из уравнений (3.22) и (3.23) отношения p1/ρ1 и p2/ρ2 и подставив
                                           p2       p
их в уравнение количеств движения                − 1 = υ1 − υ 2 , получим после
                                         ρ 2 υ 2 ρ1 υ1
преобразований:
                      k +1            ⎛      a *2 ⎞
                           (υ1 − υ 2 )⎜1 −
                                      ⎜ υ υ ⎟ = 0.⎟                       (3.24)
                       2k             ⎝       1 2 ⎠

Продемонстрируем этот вывод:

             p1 k + 1 2 k − 1 2 p 2 k + 1 2 k − 1 2
                =     a* −      υ1 ;    =    a* −     υ2 .
             ρ1    2k       2k       ρ2   2k       2k
Подставив в уравнение количеств движения, получим:

            k + 1 a *2 k − 1 2 k + 1 a *2 k − 1 2
                       −       υ2 −               +     υ1 = υ1 − υ 2 .
             2k υ 2  2    2k           2k υ1   2
                                                     2k
Перенесем все члены в правую часть уравнения и сгруппируем:
                   k +1                k + 1 ⎛ a *2 a *2 ⎞
                         (υ1 − υ 2 ) +       ⎜      +    ⎟ = 0,
                    2k                  2k ⎜ υ1
                                             ⎝        υ2 ⎟
                                                         ⎠
                    k +1               k + 1 a *2 (υ1 − υ 2 )
тогда                    (υ1 − υ 2 ) +                        = 0,
                     2k                 2k        υ1 υ 2
                          k +1             ⎛    a *2 ⎞
и окончательно                  (υ1 − υ 2 )⎜1 −
                                           ⎜ υ υ ⎟ = 0.
                                                     ⎟
                           2k              ⎝     1 2 ⎠

     Так как υ1>υ2, т.е. скорость перед скачком намного больше скорости
                 k +1
после скачка, то       (υ1 − υ 2 ) >0 и приходим к следующему уравнению:
                  2k
                                  a *2
                            1−           = 0 или υ1υ2 = a*2.          (3.25)
                                  υ1 υ 2
     Это и есть уравнение Прандтля. Оно указывает на то, что если до
скачка υ1>a*, то после скачка υ2<a* (меньше критической скорости).
     При прямом скачке уплотнения обязателен переход от сверхзвукового
течения к дозвуковому, что сопровождается максимальным ростом энтро-

                                                                                  80



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика