Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    значения tg углов между касательными к верхней и нижней дужкам и осью
Ох, то увидим, что для такого профиля эти величины будут малыми, сле-
довательно, нашу задачу можно свести к обтеканию тонкого прямолиней-
ного отрезка. Тогда получим следующие граничные условия:
                   а ) ψ ' = − υ∞ h1 ( x ) при y = +0 ⎫
                                                      ⎪
                   б) ψ ' = −υ∞ h 2 ( x ) при y = −0⎬ a ≤ x ≤ b
                   в) ψ ' → 0 при x , y → ∞           ⎪
                                                      ⎭
  Чтобы подчеркнуть, что разбирается задача об обтекании тонкого про-
филя сжимаемым потоком, запишем уравнение (2.55) в следующем виде:
                               ∂ 2ψ ' 1 ∂ 2ψ '
                                      +            =0,          (2.58)
                               ∂x 2 ω2 ∂y 2
где ω2 = 1 − M ∞ . Тогда для этого уравнения граничные условия запишутся
               2

следующим образом:

                      а ) ψ 'сж = −υ∞ h1 ( x ) при y = +0 ⎫
                                                          ⎪
                      б) ψ 'сж = − υ∞ h 2 ( x ) при y = −0⎬ a ≤ x ≤ b   (2.59)
                      в) ψ 'сж → 0 при x , y → ∞          ⎪
                                                          ⎭
Перейдем к новым координатам ξ и η, введя аффинные преобразования
                                                      2
(деформацию координат): ξ=x; η = yω = y 1 − M ∞ . Тогда уравнение (2.58)
и граничные условия (2.59 )запишутся в виде:
                            ∂ 2 ψ 'сж ∂ 2 ψ 'сж                ⎫
                                     +            =0           ⎪
                              ∂ξ 2       ∂η2
                                                               ⎪
                                                               ⎪
                           а ) ψ 'сж = − υ∞ h 1 (ξ) при η = +0 ⎬   (2.60)
                           б) ψ 'сж = − υ ∞ h 2 (ξ) при η = −0⎪
                                                               ⎪
                           в) ψ 'сж → 0 при ξ, η → ∞           ⎪
                                                               ⎭
      ∂ψ ' ∂ψ ' ∂η    ∂ψ '
Здесь     =        =ω      и с учетом правила Лейбница
       ∂y   ∂η ∂y      ∂η
                                            2
                       ∂ 2 ψ ' ∂ 2 ψ ' ⎛ ∂η ⎞ ∂ 2ψ ' 2
                              =        ⎜ ⎟ =        ω .
                        ∂y 2    ∂η2 ⎜ ∂y ⎟
                                       ⎝ ⎠    ∂η2
Рассмотрим теперь задачу обтекания тонкого профиля несжимаемым по-
током, для которого ω=1, так как для несжимаемой жидкости а=∞
      dp
(a2 =    , при ρ=const   dρ=0      a=∞) и, следовательно, М∞=0. В этом слу-
      dρ
чае исходное уравнение (2.58) и граничные условия (2.59) принимают вид:




                                                                           61


                             ∂ 2 ψ 'несж ∂ 2 ψ 'несж                  ⎫
                                         +                =0          ⎪
                                 ∂x 2
                                              ∂y  2
                                                                      ⎪
                                                                      ⎪
                             а ) ψ 'несж = − υ ∞ h 1 ( x ) при y = +0 ⎬                  (2.61)
                             б) ψ 'несж = − υ∞ h 2 ( x ) при y = −0⎪
                                                                      ⎪
                             в) ψ 'несж → 0 при x , y → ∞             ⎪
                                                                      ⎭
Тогда, сопоставляя системы (2.60) и (2.61), приходим к очевидным соот-
ношениям:
                                         ∂ψ 'сж ∂ψ 'несж ∂ψ 'сж ∂ψ 'несж
ψ 'сж (ξ, η) ≡ ψ 'несж ( x, y) ;                  ≡             ;        ≡          .
                                           ∂ξ              ∂x       ∂η        ∂y
Следовательно, с учетом (2.53) можем записать:
             1 ∂ψ 'сж              1 ∂ψ 'сж ∂η                 1      ∂ψ 'сж       1    ∂ψ 'несж
υ' x сж =                   =                             =         ω        =
          1 − M ∞ ∂y
                2
                              1 − M ∞ ∂η ∂y 1 − M ∞
                                       2                          2
                                                                        ∂η      1 − M ∞ ∂y
                                                                                      2



                         1 ∂ψ 'несж ∂ψ 'несж
Так как υ x 'несж =                 =           (М∞ несж=0), то
                      1 − M ∞ ∂y
                            2
                                          ∂y
                                             υ '
                                  υ x 'сж = x несж 2 .                                  (2.62)
                                             1 − M∞
                                                                                 υ' x сж
Если обратиться к уравнению (2.57), тогда получим: C p сж = −2                           . Сле-
                                                                                  υ∞
довательно, коэффициент давления:
                        2   υ x 'несж    C p несж
          C p сж = −                   =           .                (2.63)
                          2
                     1 − M∞    υ∞        1 − M∞  2

Это выражение называется уравнением Прандтля – Глауэрта.
Как видно из уравнения (2.63), сжимаемость среды увеличивает коэффи-
циент давления для дозвуковых течений.
     Эти уравнения были экспериментально проверены, и установлено, что
если угол атаки не превышает 4о, то теория и опыт дают близкие результа-
ты, и только в области трансзвуковых течений (близких к скорости звука)
имеется расхождение результатов.
     Следовательно, полученное решение дозвукового обтекания тонкого
профиля при скоростях до М∞=0,7 удовлетворительно совпадает с опыт-
ными данными.
                            C p несж
     Соотношение C p сж =              выражает следующее правило Прандт-
                            1 − M∞   2


ля – Глауэрта:
     Распределение коэффициента давления в плоском безвихревом линеа-
ризованном дозвуковом потоке сжимаемого газа при данном значении


                                                                                             62


М∞<1 может быть получено из соответствующего распределения в потоке
несжимаемой жидкости, если все ординаты этого распределения увеличат-
                 2
ся в 1 / 1 − M ∞ .
     Вычислим коэффициент давления подъемной силы Cyсж при дозвуко-
вом обтекании сжимаемым газом тонкого профиля по формуле:
                                                       R y сж
                                          C y сж = 1            ,
                                                     2 ρ ∞ υ∞ b
где b – хорда профиля, Ry – подъемная сила профиля, определяемая сле-
дующим образом:
 v
R = R x − iR y = − ∫ pndl , тогда R y = ∫ pn y dl [p=p∞+p’; но p∞ (давление в од-
нородном потоке) тяги не создает, поэтому остается p’]. Тогда
                                                               1
                       R y сж = ∫ p'сж n y dl = ∫ p'сж dx = ρ ∞ υ ∞ ∫ C p сж dx ,
                                                                  2

                                                               2
                                           p − p∞
так как из формулы для C p = 1                      имеем p'сж = p сж − p ∞ = 1 ρ ∞ υ ∞ C p сж .
                                                                                  2
                                                                                      2

                                           2 ρ ∞ υ∞
                                                  2


                   R                                     x
Тогда C y сж = 1 y сж2 = ∫ C p сж dx , где x = .
                 2 ρ ∞ υ∞ b                              b
                                     R
     Аналогично C y несж = 1 y несж = ∫ C p несж dx . Тогда для профиля с одним и
                                   2 ρ ∞ υ∞ b
                                            2


тем же контуром (то есть в частности с одной и той же хордой b) коэффи-
циент подъемной силы в потоке сжимаемого газа определяется через ко-
эффициент подъемной силы в несжимаемой жидкости по формуле:
                                                  C y несж
                                     C y сж =                ,                                   (2.64)
                                                           2
                                                  1 − M∞
           C y сж       C p сж           1
так как             =            =                 (по правилу Прандтля - Глауэрта)
          C y несж C p несж           1 − M∞   2




          2.7. Математическая модель сверхзвукового обтекания
           тонкого профиля потоком идеального сжимаемого газа

    В отличие от дозвукового течения, описываемого уравнением эллип-
тического типа, при сверхзвуковом течении газа (М∞>1) основным уравне-
нием является уравнение гиперболического типа:


                                                                                                    63


                               ∂ 2ψ ' 1 ∂ 2ψ '
                                     −         = 0,                             (2.65)
                               ∂x 2 ω2 ∂y 2
где ω2 = M ∞ − 1
            2


    Решение гиперболического уравнения является частным случаем ре-
шения уравнений математической физики (отметим, что при М>5 решение
гиперболического уравнения дает большую ошибку). Гиперболическое
уравнение было получено Даламбером при рассмотрении бегущей волны в
струне – так называемое уравнение бегущей волны. Далабмер решал это
уравнение введением новых переменных:
     ξ = x − ω y , η = x − ωy .
Если применить этот прием для гиперболического уравнения (2.65), то оно
примет более простой вид. Найдем все производные, входящие в это урав-
нение:
             ∂ψ ' ∂ψ ' ∂ξ ∂ψ ' ∂η                   ∂ψ ' ∂ψ ' ∂ξ ∂ψ ' ∂η
                   =          +        ;                 =        +            .
              ∂x      ∂ξ ∂x ∂η ∂x                    ∂y    ∂ξ ∂y ∂η ∂y
Для вычисления вторых производных используем знаменитое правило
Лейбница в следующем виде:
                                     2                                       2
              ∂ 2 ψ ' ∂ 2 ψ ' ⎛ ∂ξ ⎞     ∂ 2 ψ ' ⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ⎞ ∂ 2 ψ ' ⎛ ∂η ⎞
                     =        ⎜ ⎟ +2             ⎜ ⎟⎜ ⎟ +             ⎜ ⎟ ,
               ∂x 2     ∂ξ 2 ⎝ ∂x ⎠      ∂ξ∂η ⎝ ∂x ⎠⎝ ∂x ⎠ ∂η2 ⎝ ∂x ⎠
                                  2                                    2
            ∂ 2 ψ ' ∂ 2 ψ ' ⎛ ∂ξ ⎞       ∂ 2 ψ ' ⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ⎞ ∂ 2 ψ ' ⎛ ∂η ⎞
                    =        ⎜ ⎟ +2              ⎜ ⎟⎜ ⎟ +                ⎜ ⎟ .
             ∂y 2       ∂ξ 2 ⎜ ∂y ⎟
                             ⎝ ⎠         ∂ξ∂η ⎜ ∂y ⎟⎜ ∂y ⎟ ∂η2 ⎜ ∂y ⎟
                                                 ⎝ ⎠⎝ ⎠                  ⎝ ⎠
Если сделать подстановку всех производных в исходное гиперболическое
уравнение с учетом того, что
∂ξ          ∂ξ               ∂η             ∂η
    = 1;         = −ω ;          = 1;            = ω,
∂x          ∂y               ∂x             ∂y
то после преобразований получим:
                       ∂ 2ψ ' ∂ 2ψ '         ∂ 2ψ '           ∂ 2ψ '
                             =        ⋅1 + 2          ⋅1 ⋅1 +        ⋅1,
                       ∂x 2      ∂ξ 2        ∂ξ∂η             ∂η2
                ∂ 2ψ ' ∂ 2ψ '         2     ∂ 2ψ '               ∂ 2ψ '
                       =        (−ω) + 2            (−ω)(ω) +            (ω) 2 .
                 ∂y 2
                           ∂ξ 2
                                            ∂ξ∂η                  ∂η  2

Подставим эти выражения в исходное гиперболическое уравнение (2.65) и
приведем подобные члены
                  ⎛ ∂ 2ψ ' ∂ 2ψ ' ⎞      ∂ 2ψ ' ⎛ ∂ 2ψ ' ∂ 2ψ ' ⎞
                  ⎜ 2 −
                  ⎜ ∂ξ              ⎟+4          +⎜          −         ⎟=0
                  ⎝            ∂ξ 2 ⎟
                                    ⎠    ∂ξ∂η ⎜ ∂η2 ⎝           ∂η2 ⎟  ⎠
или
                                         ∂ 2ψ '
                                                 ≡ 0.                            (2.66)
                                         ∂ξ∂η


                                                                                    64


Поскольку ξ и η являются независимыми переменными, то интеграл от
этого выражения равен:
                              ψ ' (ξ, η) = f1 (ξ) + f 2 (η) ,
где f1 и f2 – произвольные функции своих аргументов.
Другими словами, общее решение этого волнового уравнения может быть
выражено формулой.
                        ψ ' (x, y) = f1 (x - ωy) + f 2 ( x + ωy) .    (2.67)
Рассмотрим частное решение ψ ' (x, y) = f1 (x - ωy) . Оно имеет следующий
смысл: в плоскости течения (х,у) существует семейство прямых линий
x - ωy = const , вдоль которых функция тока возмущений, а следовательно,
и вообще возмущения параметров движения и состояния газа будут сохра-
нять постоянные значения. Эти прямые представляют собой первое семей-
ство (С1) характеристик волнового уравнения (характеристики I рода) и
играют роль линий возмущения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке.
Их называют линиями или волнами Маха.
Точно так же частному решению ψ ' (x, y) = f1 (x + ωy) соответствует второе
семейство (С2) характеристик или линий возмущения x + ωy = const , вдоль
которых возмущения параметров движения и состояния газа тоже сохра-
няют постоянные значения.
     Рассмотрим угловые коэффициенты этих семейств кривых. В общем
случае y=kx, где k - угловой коэффициент: k=tgα. Для нашей задачи
      1                  1               1          1
y = ± x , то есть k = ± ; tgα = ± = ±                         .
      ω                  ω               ω           2
                                                  M∞ − 1
                                                                           tgα
    Воспользуемся формулой для sinα через tgα: sin α =                              . Пусть
                                                                       1 + tg 2 α
         1
tgα =              , тогда
         2
        M∞    −1
                                                              2
                   tgα            1           1              M∞ − 1         1
    sin α =                  =                         =               =      .
               1 + tg 2 α         2
                                 M∞ − 1 1 +       1            2
                                                           M∞ M∞ − 1       M∞
                                               2
                                              M∞ − 1
                                      1                    1
Аналогично, если tgα = −                  , то sin α = −      .
                          M −1        2
                                      ∞
                                                           M∞
Очевидно, что углы α, образованные линиями возмущения с направлени-
ем невозмущенного движения (осью Ох), равны:
                                 1                   1
                   α = ± arcsin    , т.к. sin α = ±
                                M∞                  M∞




                                                                                         65


                                                 Линия возмущений (С1)
                                                 I рода




                                                 Линия возмущений (С2)
                                                 II рода
                                    Рис. 16

     На рис. 16 показаны две линии возмущений от точечного источника
возмущений S, находящегося на оси Ох на расстоянии l от начала коорди-
нат. От точечного источника в пространстве линии возмущения распола-
гаются на конической поверхности с вершиной в точке S и углом полурас-
твора α. Этот конус называют конусом возмущений или конусом Маха,
угол α - углом Маха. По наклону линий возмущения можно судить о вели-
чине числа Маха однородного потока (чем больше М∞, тем меньше угол
α). Введение характеристик I и II рода используется для графического по-
строения линий тока при безотрывном обтекании тонкого профиля сверх-
звуковым потоком.




                                    Рис. 17

    Построим обтекание тонкого профиля сверхзвуковым потоком.
Обобщенное решение волнового уравнения гиперболического типа имеет
вид ψ ' (x, y) = f(x ± ωy) , где характеристики x - ωy = C1 и x + ωy = C 2 , на-
зываемые волнами Маха, являются волнами небольшой интенсивности.
Контур тонкого профиля, как и для дозвукового потока, будем задавать
ординатами верхней h1(x) и нижней h2(x) поверхностей, т.е. y= h1,2(x).




                                                                             66


      Заполним область течения сверху и снизу от контура профиля (рис.
17) соответственно характеристиками первого (С1) и второго (С2) се-
мейств. Граничное условие представим, как и прежде, в форме
                                ψ ' = -υ ∞ h 1, 2 ( x ) при a ≤ x ≤ b.
      Свойства характеристик для первого семейства (частное решение
волнового уравнения ψ ' (x, y) = f1 (x - ωy) ) и для второго семейства (частное
решение волнового уравнения ψ ' (x, y) = f 2 (x + ωy) ) позволяют заключить,
что общее решение волнового уравнения при вышеуказанном граничном
условии может быть представлено в форме:
                                   ψ ' = -υ ∞ h 1, 2 ( x m ωy) .                      (2.68)
Здесь индексу «1» при h соответствует верхний знак в круглой скобке, ин-
дексу «2» - нижний.
      В отличие от дозвукового обтекания функция тока возмущений
ψ ' (x, y) при удалении на сколь угодно большое расстояние от контура
профиля не обращается в нуль, а сохраняет внутри верхней и нижней по-
лос, ограниченных крайними характеристиками АА1, ВВ1 и АА2, ВВ2 при у
  ±∞, такое же распределение по х, как и на верхней и нижней поверхно-
стях профиля. Вне указанных полос поток остается невозмущенным. Как
видно из общего решения волнового уравнения и из рис. 16, линии тока
возмущенного движения ( ψ = υ ∞ y + ψ ' = const ) представляют собой кри-
вые, которые могут быть получены параллельным переносом верхнего и
нижнего контуров профиля соответственно вдоль характеристик первого и
второго рода. Здесь необходимо отметить, что асимптотические методы
теории малых возмущений показывают, что на больших расстояниях от
профиля влияние малых второго порядка становится существенным уже в
первом приближении и искажает картину течения, изображенную на рис.
16. Характеристики искривляются и перестают быть параллельными меж-
ду собой.
      С учетом уравнений (2.53) и (2.54) для нашего случая имеем
                                       1 ∂ψ '                       ∂ψ'
                       υ' x = − 2                  ;       υ' y = −       .
                                  M ∞ − 1 ∂y                        ∂x
Из общего решения волнового уравнения гиперболического типа (2.68)
найдем частные производные
              ∂ψ '                                   ∂ψ '
                   = ± ωυ ∞ h '1, 2 ( x m ωy) и           = −ωυ ∞ h '1, 2 ( x m ωy) ,
               ∂y                                     ∂x
где штрих над h означает производную по всему аргументу, стоящему в
круглой скобке.
      Тогда получим следующее распределение возмущений, составляющих
скорости:



                                                                                         67


                                    ωυ ∞                        ⎫
                        υ' x = m    2
                                              h '1, 2 ( x m ωy);⎪
                                   M∞     −1                    ⎬
                        υ' y = υ ∞ h '1, 2 ( x m ωy),           ⎪
                                                                ⎭
                     2
или, поскольку ω = M ∞ − 1 для сверхзвукового потока, то:
                                   υ∞                          ⎫
                     υ' x = m                h '1, 2 ( x m ωy);⎪
                                      2
                                 M∞ −1                         ⎬    (2.69)
                     υ' y = υ ∞ h '1, 2 ( x m ωy),             ⎪
                                                               ⎭
Это распределение справедливо во всей области возмущенного движения.
Из второго соотношения (2.69) можно найти угол отклонения θ1,2 каса-
тельной к линии тока в возмущенной области от линии тока невозмущен-
ного потока. По определению линии тока и в силу малости угла θ:
                 υ      υ' y       υ'
tgθ1, 2 ≈ θ1, 2 = y =            ≈ y = h '1, 2 ( x m ωy) .
                 υ x υ ∞ + υ' x υ ∞
       Учитывая это равенство, можно записать предыдущие соотношения в
виде:
                                        υ∞              ⎫
                           υ' x = m              θ1, 2 ;⎪
                                           2
                                       M∞ −1            ⎬        (2.70)
                           υ' y = υ ∞ θ1, 2             ⎪
                                                        ⎭
     Эти равенства выражают основное свойство линеаризованного сверх-
звукового потока: продольная и поперечная составляющие скорости воз-
мущения пропорциональны местному углу наклона линии тока возмущен-
ного движения по отношению к направлению невозмущенного потока и
имеют местный (локальный) характер.
     Тем же свойством обладает давление, плотность и другие характерные
для потока величины, что принципиально отличает сверхзвуковой поток от
дозвукового, в котором значения параметров в данной точке зависят от их
распределения во всем потоке в целом.
     Используя одинаковую как для дозвукового, так и для сверхзвукового
                                                                   2υ' x
линеаризованных потоков форму коэффициента давления C p = −              ,
                                                                    υ∞
найдем с учетом последних соотношений выражение для коэффициента
давления в любой точке возмущенного сверхзвукового потока:
                         2h '1, 2 ( x m ωy)    2θ1, 2 ( x m ωy)
                  Cp = ±                    =±                  .
                                    2                   2
                                M∞ −1               M∞ −1
Поскольку нас интересует Ср на поверхности (контура) профиля, где при-
ближенно можно положить у=±0, то :



                                                                        68


                                  2h '1, 2 ( x )        2θ1, 2 ( x )
                   C p (x) = ±                     =±                  .       (2.71)
                                     2                    2
                                    M∞−1                 −1
                                                         M∞
     Имея коэффициент давления, можно найти коэффициент подъемной
силы Су. Для сверхзвукового обтекания тонкого профиля формула Жуков-
ского неприменима; Су в этом случае находится как интеграл по контуру
профиля разности коэффициентов давлений верхней и нижней кромок:
                                     ⎛x⎞ 1x
                     C y = ∫ C p d⎜ ⎟ = ∫ (C p 2 − C p1 )dx .
                                                        B



                                     ⎝b⎠ bx             A


(Здесь b=АВ – хорда профиля, приближенно равная разности xB-xA абсцисс
точек В и А).
     Подставляя сюда значения Ср1 и Ср2, получим:
                  2     x
                                                               2      2( y B − y A )
                         ∫ (h '2 ( x ) + h '1 ( x ) )dx = −
                              B

        Cy = −                                                                       .
               b M∞ −1 x
                   2
                              F                             b M ∞ − 1 (x B − x A )
                                                                2


                                    dy1, 2
Здесь учтено, что h '1, 2 ( x ) =
                                , а индексы 1,2 соответствуют верхней (1)
                            dx
и нижней (2) поверхностям контура).
Введем угол атаки профиля ε как острый угол между направлением хорды
АВ и общим потоком:
                               (y − y B )           (yB − y A )
для малых углов атаки tgε ≈ ε = A           , тогда              = −ε ,
                               (x A − x B )         (x B − x A )
и формула для коэффициента подъемной силы примет окончательный
вид:
                                      4ε
                           Cy = −             .                         (2.72)
                                       2
                                     M∞ −1
     Этот результат впервые был получен Аккеретом и получил название
формулы Аккерета. Для таких профилей угол атаки ε ≈ α , где α- угол
Маха. Как видно из этой формулы, в линеаризованной теории сверхзвуко-
вого обтекания тонкого профиля коэффициент подъемной силы не зависит
от формы профиля, а только от угла атаки и числа Маха набегающего по-
тока.




     3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

    Задачи аэрогазодинамики разрывных течений в современной по-
становке близко связаны с новыми проблемами (аэродинамикой полета,
космической техникой). Это более общая задача, чем интегрирование
дифференциальных уравнений (т.к. при разрывах имеем дело с особы-

                                                                                   69


ми точками). Дифференциальные уравнения неплохо решаются для
дозвуковых течений сплошных сред, при околозвуковых и сверхзвуко-
вых течениях среда претерпевает разрывы, и надо решать в этих случа-
ях не дифференциальные, а интегральные уравнения при наличии раз-
рыва. Такие ученые, как Стодола, Ренкин и Риман, решали эти задачи в
конце XIX века, причем Риман по праву считается крупнейшим спе-
циалистом по разрывным течениям.
     Одна из особенностей сверхзвуковых течений заключается в том, что
в ряде случаев основные параметры, характеризующие движение и состоя-
ние газа (давление, плотность, температура и скорость), не являются не-
прерывными функциями точек пространства, заполненного текущим га-
зом. Опыты показывают, что при более или менее значительном торможе-
нии сверхзвукового потока в последнем возникают поверхности, при про-
хождении через которые величины параметров газа скачкообразно изме-
няются. Места резкого скачкообразного увеличения давления, плотности и
температуры и уменьшения скорости носят название скачков уплотнения.
     Возникновение скачков уплотнения объясняется характером распро-
странения возмущений в сверхзвуковом потоке.
     Как было сказано ранее, в дозвуковом потоке возмущения распро-
страняются во всех направлениях, в том числе и против направления ско-
рости потока. Поэтому волна повышенного давления, возникающая, на-
пример, перед телом, распространяясь вперед, деформирует набегающий
поток, при этом линии тока искривляются уже перед телом. Поток как бы
заранее приспосабливается к обтеканию тела. Вдоль нулевой линии тока
происходит непрерывное уменьшение скорости от υ∞ до υ=0 в критиче-
ской точке, а давление возрастает от р∞ до давления торможения р0. Отсю-
да следует, что в дозвуковом потоке скачки уплотнения не могут возник-
нуть.
     В сверхзвуковом потоке возмущения против направления скорости не
распространяются. Поэтому даже непосредственно перед обтекаемым те-
лом поток не возмущен. При встрече с таким телом направление скорости
потока внезапно изменяется. Это приводит к скачкообразному изменению
величин скорости потока, давления, плотности и температуры.
     При обтекании тупоносого тела появляется сильная волна повышен-
ного давления, которая распространяется со скоростью, значительно пре-
вышающей скорость звука. По мере распространения волны повышенного
давления интенсивность ее падает. Уменьшается при этом и скорость рас-
пространения волны. Поэтому скачок уплотнения возникает перед телом
на таком расстоянии, когда скорость распространения волны повышенного
давления становится равной составляющей скорости набегающего потока,
направленной против движения волны. Расстояние отсоединенного криво-
линейного скачка уплотнения от тела зависит от формы тела и скорости
невозмущенного потока υ∞.

                                                                      70



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика