Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    слабому возмущению, то влияние этого возмущения распространяется по
газу со скоростью (относительно самого газа), равной скорости звука. Ско-
рость же распространения возмущения относительно неподвижной сис-
темы координат складывается из двух частей: во-первых, возмущение сно-
сится потоком газа со скоростью υ ; во-вторых, распространяется от-
носительно газа со скоростью звука a в некотором направлении n .
      Рассмотрим для простоты однородный плоскопараллельный поток га-
за с постоянной скоростью υ . Пусть в некоторой (неподвижной в про-
странстве) точке О газ подвергается малому возмущению. Скорость
( υ +а n ) распространения исходящего из точки О возмущения (относитель-
но неподвижной системы координат) имеет различное значение в зависи-
мости от направления единичного вектора n . Все возможные ее значения
мы получим, отложив из точки О вектор υ , а из его конца, как из центра,
построим сферу радиуса а.
      Векторы, проведенные из точки О в точки этой сферы, и определяют
возможные величины и направления скорости распространения возму-
щения.




                      υ<a                    υ>a

                       а                        б
                                     Рис. 14
Рассмотрим случай, когда υ<a . Тогда векторы υ +а n могут иметь любое
направление в пространстве (см. рис. 14,а). Другими словами, в дозвуко-
вом потоке возмущение, исходящее из некоторой точки, распространяется
в конце концов по всему газу. Напротив, в сверхзвуковом потоке, когда
υ>a, направления векторов υ +а n , как видно из рис. 14,б, могут лежать
только внутри конуса с вершиной в точке О, касающегося построенной из
конца вектора υ (как из центра) сферы. Для угла раствора 2α этого конуса
имеем (см. рис. 14,б):
                                   sin(α)=a/υ.
     Таким образом, в сверхзвуковом потоке исходящее из некоторой точ-
ки возмущение распространяется только вниз по течению внутри конуса с
углом раствора тем меньшим, чем меньше отношение a/υ. На всей области
потока вне этого конуса возмущение в точке О не отразится вовсе.
     Угол α=arcsin(a/υ) называется углом возмущений, а поверхность, ог-
раничивающая область, куда достигает исходящее из данной точки воз-


                                                                       51


мущение, называется поверхностью возмущений или характеристической
поверхностью.
     В общем случае произвольного стационарного течения поверхность
возмущений может и не быть конической во всем объеме потока. Однако
по-прежнему можно утверждать, что эта поверхность пересекает в каждой
своей точке линию тока под углом, равным углу возмущений. Значение же
угла возмущений меняется от точки к точке соответственно изменению
скоростей υ и a . Отметим, что при движении газа с большими скоростями
скорость звука различна в разных местах, меняясь вместе с параметрами
потока (давлением, плотностью и т.д.), функцией которых она является.
Поэтому о скорости звука как функции координат точки говорят как о ме-
стной скорости звука.
    Описанные свойства сверхзвукового течения придают ему характер,
совершенно отличный от характера дозвукового движения. Если дозвуко-
вой поток газа встречает на своем пути какое-либо препятствие, например,
обтекает какое-либо тело, то наличие этого препятствия изменяет движе-
ние во всем пространстве как вверх, так и вниз по течению; влияние обте-
каемого тела исчезает лишь асимптотически при удалении от тела. Сверх-
звуковой же поток натекает на препятствие как бы слепо, неожиданно;
влияние обтекаемого тела сказывается лишь на определенную область
вниз по течению, а по всей остальной области пространства газ движется
так, как если бы никакого тела вообще не было.
     В случае плоского стационарного течения газа вместо характеристи-
ческих поверхностей говорят о характеристических линиях или просто о
характеристиках в плоскости движения. Через всякую точку 0 этой плос-
кости проходят две характеристики АА’ и ВВ’ (рис. 15), пересекающие
проходящую через эту точку линию тока под углами, равными углу воз-
мущения.




                                   Рис. 15




    2.4.   Математическая модель плоского безвихревого течения
                    идеального сжимаемого газа


                                                                      52


     Будем рассматривать плоское течение идеального сжимаемого газа
как с дозвуковой, так и сверхзвуковой скоростями.
     Рассматриваемая стационарная задача близка к теории обтекания
крыла (где массовыми силами можно пренебречь). Запишем основные
уравнения движения идеального газа:
          ⎛ ∂υ         ∂υ ⎞       ∂p
     1) ρ⎜ υ x x + υ y x ⎟ = − ;
          ⎜
          ⎝    ∂x       ∂y ⎟  ⎠   ∂x
          ⎛ ∂υ         ∂υ ⎞       ∂p
        ρ⎜ υ x y + υ y y ⎟ = − .
          ⎜
          ⎝    ∂x       ∂y ⎟  ⎠   ∂y
     Это проекции векторного уравнения движения на оси координат в
случае отсутствия массовых сил для плоского стационарного течения;
     2) необходимо к уравнениям движения добавить уравнение неразрыв-
ности для плоского стационарного движения идеальной сжимаемой жид-
        ∂ (ρυx ) ∂ (ρυ y )
кости:          +          = 0;
           ∂x       ∂y
     3) введем также уравнение энергии, нелинейное за счет левой части, и
уравнение состояния, или вместо них можно записать уравнение процесса:
ρ = ρ(p) для баротропного равновесия газа.
     Теперь плоская задача будет полностью сформулирована, если еще
добавить:
                                                   ∂υ y ∂υ x
     4) условие отсутствия вихря (rot υ )z=0 или       −       = 0;
                                                    ∂x    ∂y
     5) условие набегающего потока на границе (интеграл Бернулли урав-
нения энергии)
                    2        2
     υ2      a2    υ∞      a∞
         +       =    +         .
      2 k −1 2 k −1
     Итак, система, включающая в себя: уравнения движения, уравнение
неразрывности, уравнение процесса и дополнительно условие отсутствия
вихря и условие на границе – и есть система уравнений, необходимая для
решения газодинамической задачи плоского безвихревого течения, которая
действительна в случае тонких профилей. Будем упрощать исходную сис-
тему дифференциальных уравнений.
                                               ∂p ∂p ∂ρ       ∂ρ ∂p        ∂ρ
При условии баротропного движения газа           =       = a2     и    = a2 .
                                               ∂x ∂ρ ∂x       ∂x    ∂y      ∂y
Тогда первые два уравнения движения (уравнения Эйлера) принимают
следующий вид:
                          ρ ⎛ ∂υ x       ∂υ ⎞    ∂ρ
                             ⎜υ
                           2 ⎜ x
                                     + υy x ⎟ = − ;
                                             ⎟                           (2.38)
                         a ⎝      ∂x      ∂y ⎠   ∂x


                                                                            53


                          ρ ⎛ ∂υ y            ∂υ y ⎞    ∂ρ
                            ⎜ υx        + υy       ⎟=− .            (2.39)
                         a2 ⎜
                            ⎝      ∂x          ∂y ⎟⎠    ∂y
Уравнение неразрывности после дифференцирования запишем в виде
                          ⎛ ∂υ       ∂υ y ⎞       ∂ρ       ∂ρ
                         ρ⎜ x +
                          ⎜ ∂x            ⎟ + υx     + υy      =0.  (2.40)
                          ⎝           ∂y ⎟⎠       ∂x       ∂y
Если объединить уравнение неразрывности с уравнениями движения, под-
ставив ∂ρ ∂x и ∂ρ ∂y из (2.38) и (2.39) в (2.40), то после преобразований
получим следующее уравнение:
                      ∂υ           ⎛ ∂υ     ∂υ ⎞               ∂υ
          (a 2 − υ 2 ) x − υ x υ y ⎜ x + y ⎟ + (a 2 − υ 2 ) y = 0 .
                                   ⎜ ∂y                             (2.41)
                      ∂x                     ∂x ⎟               ∂y
                   x                                         y
                                   ⎝             ⎠
Это основное уравнение газовой динамики, справедливое как для безвих-
ревого, так и для вихревого движений. Отметим, что уравнение является
типично нелинейным (даже при наличии ряда допущений).
     В математическую модель входят также следующие уравнения:
а) условия отсутствия вихря
                                ∂υ y ∂υ x
                                       −       = 0;                 (2.42)
                                  ∂x      ∂y
б) уравнение энергии
                                                   2     2
                                 υ2      a2     υ∞     a∞
                                      +       =      +      ,       (2.43)
                                  2 k −1 2 k −1
справедливое при безвихревом стационарном адиабатическом течении
идеального газа во всей области (плоскости) движения.
     Итак, задачу плоской газовой динамики можно свести к нелинейному
уравнению относительно всех входящих в него величин: υx, υy, a. Интег-
рирование основного уравнения газовой динамики при обычных условиях
непроницаемости твердых стенок обтекаемых тел и заданных значениях
скорости на бесконечности представляет значительные трудности, связан-
ные с нелинейностью уравнения (2.41).
     Рассмотрим простейший случай плоского обтекания тонких, слабо
искривленных тел, расположенных в однородном газовом потоке под ма-
лым углом атаки. В этом случае возмущения, создаваемые телом в одно-
родном потоке, будут малыми, и уравнение может быть подвергнуто ли-
неаризации.




      2.5.   Линейные преобразования Прандля для определения
                 малых возмущений параметров газа

                                                                        54


    Для дальнейшего упрощения задачи используем прием линеаризации,
который состоит в следующем. Выберем направление однородного потока,
совпадающее с направлением оси Ох, и обозначим через υ∞ , p∞, ρ∞, a∞ -
скорость, давление, плотность, скорость распространения звука в однород-
ном потоке. Возмущения, вносимые в этот поток тонким телом, обозначим
через υ’, p’, ρ’, a’, так что будем иметь:
    υx=υ∞+υ’x; υy=υ’y; p= p∞+ p’; ρ=ρ∞+ρ’; a= a∞+ a’.
    Величины, отмеченные штрихом, являются малыми по сравнению с
величинами без штрихов. Подчеркнем, что это допущение действительно
лишь для обтекания тонкого профиля. Подставим эти соотношения в урав-
нение газовой динамики (2.41) и опустим такие произведения, как υ' x ⋅υ' y ,
    ∂υ' x
υ' x ⋅    , положив их равными нулю как величины второго порядка мало-
     ∂x
сти. Тогда после преобразований получим:
                                  ∂υ'        ∂υ' y
                      (a 2 − υ 2 ) x + a 2
                               x                   = 0,                         (2.44)
                                   ∂x          ∂y
или
                                2 ∂υ'
                                          ∂υ' y
                        (1 − M ∞ ) x +           = 0.                           (2.45)
                                    ∂x      ∂y
Последнее выражение является линеаризованным уравнением газовой ди-
намики.
     Использование этого приема несколько ухудшает точность (по срав-
нению с численными методами решения), но задача решается намного
проще и физичнее.
     Если имеет место потенциальное (безвихревое) течение, то
                                   ∂υ y ∂υ x
                                        −       = 0.
                                    ∂x     ∂y
Это условие позволит ввести в рассмотрение потенциал скоростей ϕ(x,y) и
записать:
                                     ∂ϕ             ∂ϕ
                               υx =     ; υy =          .
                                     ∂x             ∂y
Применим к ϕ(x,y) этот же прием линеаризации: ϕ = ϕ ∞ + ϕ' ,
где ϕ - потенциал скоростей возмущенного потока, ϕ∞ - потенциал скоро-
стей невозмущенного потока, ϕ’ – потенциал скоростей малых возмуще-
ний.
             ∂ϕ    ∂ϕ'           ∂ϕ      ∂ϕ'       ∂ϕ ∞
Тогда υ x = ∞ +        ; υy = ∞ +            , но         = 0 , так как рассматриваем
              ∂x   ∂x             ∂y     ∂y         ∂y
тонкий профиль. Поскольку υx=υ∞+υ’x, а υy=υ’y , то можно записать, что


                                                                                   55


                              ∂ϕ ∞            ∂ϕ'           ∂ϕ'
                       υ∞ =         , υx ' =      , υy =        .
                               ∂x             ∂x            ∂y
Тогда после интегрирования первого соотношения потенциал скоростей
невозмущенного движения ϕ ∞ = υ∞ x + const , и тогда потенциал возму-
щенного движения ϕ = ϕ∞ + ϕ' = υ∞ x + ϕ'+const .
                 ∂ϕ'          ∂ϕ'
Выражения υ' x =     ; υ' y =       внесем в (2.45) и получим линеаризованное
                 ∂x            ∂y
уравнение для определения потенциала скоростей малых возмущений ϕ’:
а) для дозвуковых потоков сжимаемого газа
                                             2
                                       2 ∂ ϕ'      ∂ 2 ϕ'
                                (1 − M ∞ ) 2 + 2 = 0 ;                        (2.46)
                                           ∂x      ∂y
б) для сверхзвуковых потоков сжимаемого газа
                                     2      ∂ 2 ϕ' ∂ 2 ϕ'
                                 (M ∞ − 1) 2 − 2 = 0 .                        (2.47)
                                            ∂x      ∂y
Уравнение (2.46) – эллиптического, уравнение (2.47) – гиперболического
типа.
                                                                       υ
Интересно отметить, что для несжимаемого газа а=∞, M = = 0 , и выше-
                                                                       a
приведенные уравнения приобретают вид классического уравнения Лапла-
са. Таким образом, наличие числа Маха в уравнениях (2.46) и (2.47) свиде-
тельствует о сжимаемости газа.
     Полученные выше преобразования называются линейными преобра-
зованиями Прандтля.
     При рассмотрении дозвукового обтекания профиля возмущения, вы-
зываемые этим обтеканием, распространяются на всю область течения
(уравнение эллиптического типа), так как они распространяются со звуко-
вой скоростью. При сверхзвуковом обтекании профиля или для уравнений
гиперболического типа возмущения, вносимые телом в поток, распростра-
няются только за телом по конусу возмущений (то есть только в следе за
тонким профилем). Рассмотрение уравнений гиперболического типа при-
водит к интересному результату, а именно наличию вектора аэродинами-
ческих сил, следовательно, несмотря на то, что рассматривается обтекание
идеальным газом без циркуляции, парадокс Даламбера теряет свой смысл.
     Введем в рассмотрение функцию тока ψ(x,y). Ее существование выте-
кает из уравнения неразрывности:
                               ∂ (ρυx ) ∂ (ρυ y )
                                        +           = 0,
                                  ∂x           ∂y
                                                        ∂ψ               ∂ψ
согласно которому можно положить ρυ x = ρ ∞                ; ρυ y = −ρ ∞    .
                                                        ∂y               ∂x


                                                                                 56


Для проверки этой гипотезы подставим эти соотношения в предыдущее
уравнение и получим:
             ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ ⎛                ∂ψ ⎞ ⎛           ∂ 2ψ ⎞ ⎛       ∂ 2ψ ⎞
               ⎜ ρ∞      ⎟ + ⎜ − ρ∞          ⎟=   ⎜ ρ∞          ⎟ − ⎜ ρ∞      ⎟ = 0,
            ∂x ⎜
               ⎝      ∂y ⎟ ∂y ⎝
                         ⎠                ∂x ⎠ ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎜ ∂y∂x ⎟
                                                  ⎝             ⎠ ⎝           ⎠
то есть уравнение удовлетворяется.
Таким образом, связь между потенциалом скоростей ϕ и функцией тока ψ
возмущенного движения сжимаемого газа имеет вид:
      ∂ϕ ρ ∞ ∂ψ             ∂ϕ       ρ ∂ψ
υx =      =         ; υy =       =− ∞         ,
      ∂x ρ ∂y               ∂y        ρ ∂x
где ρ∞ - плотность невозмущенного однородного потока.
Если записать для функции тока возмущенного движения соотношение
ψ=ψ∞ + ψ’, то из условия существования функции тока:
           ∂ψ                  ∂ψ
ρυ x = ρ ∞    ; ρυ y = −ρ ∞        ,
           ∂y                   ∂x
с учетом линеаризации имеем:
                                                   ⎛ ∂ψ        ∂ψ ' ⎞⎫
                   (ρ ∞ + ρ' )(υ∞ + υ x ' ) = ρ ∞ ⎜ ∞ +
                                                   ⎜ ∂y             ⎟⎪
                                                   ⎝            ∂y ⎟⎪
                                                                    ⎠
                                                                      ⎬              (2.48)
                                                   ⎛ ∂ψ        ∂ψ ' ⎞⎪
                           (ρ ∞ + ρ' )υ' y = −ρ ∞ ⎜ ∞ +             ⎟
                                                   ⎝ ∂x         ∂x ⎠⎪ ⎭
Перемножив почленно и убрав в левой части уравнений (2.48) члены вто-
рого прядка малости, получим:
                                                ∂ψ ∞          ∂ψ' ⎫
               ρ ∞ υ ∞ + ρ' υ ∞ + ρ∞υ x ' = ρ ∞        + ρ∞
                                                 ∂y            ∂y ⎪⎪
                                                                   ⎬                 (2.49)
                                                ∂ψ ∞          ∂ψ' ⎪
                                 ρ∞υ' y = −ρ ∞         − ρ∞
                                                 ∂x            ∂x ⎪⎭
Здесь обычным шрифтом обозначены конечные величины, а выделенным
шрифтом обозначены величины первого порядка малости. Тогда, сравни-
вая конечные величины, приходим к следующему дифференциальному
                              ∂ψ ∞                         ∂ψ ∞
уравнению: ρ ∞ υ∞ = ρ ∞             , откуда υ∞ =                 . Интегрируя, получаем:
                               ∂y                            ∂y
ψ = υ∞ y + const , и тогда функция тока возмущенного движения:
ψ = ψ ∞ + ψ' = υ∞ y + ψ'+C .
При сравнении величин первого порядка малости уравнений (2.49) полу-
чаем следующую систему равенств:
                                                           ∂ψ' ⎫
                                   ρ'υ∞ + ρ ∞ υ x ' = ρ ∞
                                                           ∂y ⎪⎪
                                                               ⎬                     (2.50)
                                                           ∂ψ' ⎪
                                                υ' y = −
                                                           ∂x ⎪⎭

                                                                                        57


                                                                 2    p
                                       υ2     υ∞ υ2
                                               2
                                                          dp υ∞
Обратимся к интегралу Бернулли в виде:    +P=    ;  +∫         =   .
                                       2      2    2 p 0 ρ( p ) 2
Здесь       υ 2 = υ 2 + υ 2 = (υ x + υ x ' ) 2 + υ 2 . Для адиабатического течения:
                    x     y                        y

        p
            dp         k p∞ ⎡ ⎛ ρ ⎞ k −1 ⎤
P ( p) = ∫        =−        ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ и тогда с учетом линеаризации можно
                                 ⎜ ⎟
         p ρ( p )    k − 1 ρ∞
                            ⎢ ⎝ ρ∞ ⎠ ⎥
        0
                            ⎣            ⎦
                                             k −1
          (υ∞ + υ x ' ) 2     k p ∞ ⎡⎛ ρ ⎞        ⎤ υ' 2 υ 2
                                                       y
записать:                 +           ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ +
                                       ⎜ρ ⎟              = ∞ . Раскроем скобки в
               2            k − 1 ρ ∞ ⎢⎝ ∞ ⎠      ⎥ 2      2
                                      ⎣           ⎦
левой части и отбросим малые второго порядка - υ' 2 и υ' 2 . Кроме того,
                                                            x     y
                                                k −1          k −1
                                            ⎛ ρ ⎞      ⎛   ρ' ⎞
учитывая, что, так как ρ = ρ ∞ + ρ' , то ⎜ ⎟ = ⎜1 +
                                            ⎜ρ ⎟       ⎜ ρ ⎟ , и окончательно
                                                               ⎟
                                            ⎝ ∞⎠       ⎝     ∞ ⎠

получаем
                                 a ∞ ⎡⎛                ⎤
                                                  k −1
                                   2
                                             ρ' ⎞
                      υ∞ υ x '+       ⎢⎜1 +     ⎟ − 1⎥ = 0 .
                                k − 1 ⎢⎜ ρ ∞ ⎟
                                      ⎣⎝        ⎠      ⎥
                                                       ⎦

         kp ∞
Здесь          = a∞ .
                  2

          ρ∞
Так как при разложении в биномиальный ряд
                                      k −1
                            ⎛    ρ' ⎞               ρ'
                            ⎜1 +
                            ⎜ ρ ⎟   ⎟ = 1 + (k − 1)    + ... ,
                            ⎝     ∞ ⎠
                                                    ρ∞
то последнее выражение будет иметь вид:
            2 ρ'
υ∞ υ x '+ a ∞    = 0 , откуда выражение для малых возмущений плотности
              ρ∞
                                           ρ υ υ'
                                 ρ' = − ∞ ∞ x 2
                                                                      (2.51)
                                             a∞
                                  ⎛ dp ⎞            2
С другой стороны, p' = p - p ∞ = ⎜ ⎟ (ρ − ρ ∞ ) = a ∞ ρ' (разложили в ряд Тей-
                                  ⎝ dρ ⎠ ∞
лора и ограничились первым членом). Тогда, с учетом выражения (2.51),
имеем для малых возмущений давления:
                              p' = −ρ ∞ υ∞ υ' x .                        (2.52)
Если выражение (2.51) подставить в первое уравнение системы (2.50), то
            ρ υ υ'                    ∂ψ'
получим − ∞ ∞ x + ρ ∞ υ' x = ρ ∞           , или, разделив на ρ∞ имеем
                2
               a∞                     ∂y




                                                                                58


          2       ∂ψ '         υ∞
                                2

υ' x (1 −M∞ )   =       , где 2 = M ∞ . Тогда получим окончательное выражение
                                        2

                    ∂y         a∞
для малых возмущений компоненты скорости
                                                    1 ∂ψ '
                                        υ' x =                                            (2.53)
                                                1 − M ∞ ∂y
                                                       2


Для вычисления компоненты скорости υ' y используем второе уравнение
системы (2.50)
                                                  ∂ψ'
                                        υ' y = −       .                                  (2.54)
                                                   ∂x
                                                                   ∂υy ∂υx
Условие отсутствия вихря для плоского случая:                            −     = 0 преобразу-
                                                                    ∂x     ∂y
                                                                   ∂υ y ' ∂υ x '
ется для возмущенного движения в уравнение                               −       = 0 . Покажем
                                                                    ∂x      ∂y
это. Для возмущенного движения были получены компоненты скорости
υx=υ∞+υ’x; υy=υ’y. Подставим эти выражения в условие отсутствия вихря и
              ∂υ y ' ∂υ x ' ∂υ∞                    ∂υ ∞
получим:             −       −       = 0 , но            = 0 , так как однородный поток
               ∂x       ∂y      ∂y                  ∂y
направлен вдоль оси Ох и его изменения вдоль оси Oу нет. Следовательно,
                                                                               ∂υ' y ∂υ' x
условие отсутствия вихря для возмущенного движения:                                   −     = 0.
                                                                                 ∂x     ∂y
Подставляя в него выражения для υ’x (2.53) и υ’y (2.54), приходим к сле-
дующим соотношениям:
                                              2
                                       2 ∂ ψ'         ∂ 2ψ '
а) при М∞ < 1:                 (1 − M ∞ ) 2 +                 = 0,                       (2.55)
                                             ∂x        ∂y 2
                                   2        ∂ 2ψ ' ∂ 2ψ '
б) при М∞ > 1:                 (M ∞ − 1) 2 −                 = 0.                        (2.56)
                                             ∂x        ∂y 2
Следовательно, для определения функции тока малых возмущений ψ’ име-
ем два линеаризованных соотношения (при М∞ < 1 и М∞ > 1). Аналогично
для потенциала скоростей малых возмущений ϕ’ имеем уравнения (2.46),
(2.47). Связь между потенциалом скорости ϕ’ и функцией тока малых воз-
мущений ψ’ имеет вид:
        ∂ϕ'       1 ∂ψ '              ∂ϕ'        ∂ψ'
υ' x =      =               ; υ' y =        =−       .
        ∂x 1 − M ∞ ∂y 2
                                      ∂y          ∂x
       Итак, видим, что уравнения, определяющие возмущения как для по-
тенциала скоростей, так и для функции тока, имеют одинаковые выраже-
ния. Следовательно, для решения задачи обтекания тонкого профиля сжи-
маемым газом достаточно рассмотреть проблему интегрирования уравне-


                                                                                             59


ний либо для потенциала скоростей возмущений, либо для функции тока
возмущений.
     При дозвуковом обтекании тонкого профиля целесообразно рассмот-
реть задачу отыскания функции тока ψ, так как нулевая линия тока являет-
ся при безотрывном обтекании самим контуром профиля, то есть имеется
готовое граничное условие равенства нулю функции тока на поверхности
профиля.
     Ограничим задачу для дозвукового обтекания тонкого профиля рас-
смотрением дифференциального уравнения для функции тока малых воз-
мущений (2.55).
     Для вычисления давления потока на поверхности тела найдем выра-
жение для коэффициента давления Ср из соотношения:
                         p' = p − p ∞ = −ρ ∞ υ ∞ υ' x .
                                          1      2
Обе части этого уравнения разделим на ρ ∞ υ∞ , тогда получим:
                                          2
                                  p − p∞         υ'
                           Cp =            = −2 x .               (2.57)
                                 1      2        υ∞
                                   ρ ∞ υ∞
                                 2
Существование коэффициента Ср свидетельствует о наличии вектора сил
гидродинамических давлений жидкости на обтекаемое тело.

2.6. Математическая модель дозвукового обтекания тонкого профиля
               потоком идеального сжимаемого газа

      В основу решения положим полученное уравнение для функции тока
возмущений ψ’ (2.55). Для решения задачи нужно добавить граничные ус-
ловия. Запишем уравнение верхней дужки контура рассматриваемого
профиля через y=h1(x). Уравнение нижней дужки контура запишем в виде
y=h2(x). Используем условие, что функция тока при обтекании равна
ψ=ψ∞+ψ’. Это соотношение обладает следующим свойством: если рас-
сматривать точки на самом контуре, то для них ψ есть нулевая функция
тока, следовательно, на контуре ψ=0 и тогда на поверхности профиля:
ψ ' = -ψ ∞ . С другой стороны, ψ∞=υ∞y+C. Тогда из этих двух соотношений
следуют граничные условия:
а) ψ ' = − υ ∞ h 1 ( x ) при y = h1 ( x ) – для верхней дужки профиля;
б) ψ ' = −υ ∞ h 2 ( x ) при y = h 2 ( x ) – для нижней дужки профиля.
Эти условия справедливы для a ≤ x ≤ b, где а – координата передней точки
профиля А на оси Ох, b – координата задней точки В на оси Ох;
в) граничное условие на бесконечности: ψ’ 0, если x,y ∞, которое сво-
дится к убыванию возмущений до нуля при удалении их от профиля
(справедливо только для М∞ <1). Если мы найдем для тонкого профиля


                                                                      60



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика