Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    на поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь
Н.Е. Жуковский назвал присоединенным. Интенсивность присоединенного
вихра, или, что то же самое, циркуляцию вектора скорости по контуру, ох-
ватывающему крыловой профиль, можно вычислить при помощи теории
движения реальной жидкости в пограничном слое.
     Существенным является тот факт, что единственной силой, дейст-
вующей на профиль в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной
несжимаемой жидкости, является перпендикулярная к направлению набе-
гающего потока или в обращенном движении поперечная к направлению
движения профиля сила, которая может быть названа подъёмной или под-
держивающей силой, т.к. именно эта сила обеспечивает подъём самолета в
воздух и поддерживает его крыло при горизонтальном полете.
     Введем коэффициент подъёмной силы как отношение величины подъ-
                                                                    2
ёмной силы |R| к скоростному напору набегающего потока 1 ρ υ∞ и
                                                              2
длине хорды b . Обычно ось ОХ направляют по скорости v ∞ ; тогда подъ-
ёмная сила будет направлена по оси OY и может быть обозначена через Ry.
Вот почему коэффициент подъёмной силы принято обозначать через Cy, а
коэффициент сопротивления – через Cx. При этом обозначении будем
иметь:
                                       R    .
                               Cy  =
                                    1 ρυ 2b
                                     2 ∞




     1.6. Математическая модель обтекания крылового профиля
                по методу конформных отображений

     Полученное выше общее решение задачи об обтекании поступатель-
ным потоком кругового цилиндра позволяет решить задачу об обтекании
произвольного контура, если только известно конформное отображение
внешности этого контура на внешность круга.
      Рассмотрим приложение метода конформных отображений к реше-
нию прямой задачи обтекания крыловых профилей. Под крыловым профи-
лем (рис. 10) понимают плавный, вытянутый в направлении набегающего
на него потока, замкнутый и самопересекающийся геометрический контур
с закругленной передней кромкой и заостренной задней кромкой. Отрезок
прямой, соединяющей некоторую точку передней кромки с вершиной угла
на задней кромке, называют хордой крылового профиля, а длину хорды –
длиной профиля, максимальную толщину профиля в направлении, перпен-
дикулярном к хорде, называют толщиной профиля, а отношение толщины

                                                                      31


к длине – относительной толщиной крылового профиля. Угол, образован-
ный вектором скорости набегающего потока вдалеке от профиля (вектором
скорости «на бесконечности») и направлением хорды, носит наименование
угла атаки.
     Подъемную силу крыла с достаточной степенью точности можно рас-
сматривать как силу, происходящую от давлений, проложенных к поверх-
ности крыла (составляющая подъёмной силы от касательных напряжений
пренебрежительно мала). Как показывают опыты, типичная картина рас-
пределения давления имеет вид, представленный на рис. 10, а.




                                     а




                   б                                    в
                                    Рис. 10
     Видно, что на нижней дужке крылового профиля местное давление p2
больше атмосферного давления p ∞ (p 2 − p ∞ > 0 ) , на верхней дужке местное
давление p1 меньше атмосферного (p1 − p ∞ < 0 ), то есть наблюдается раз-
режение. Можно отметить также, что абсолютные величины подсасывания
на верхней дужке крылового профиля значительно больше величины дав-
лений на нижней дужке, следовательно, подъёмная сила профиля образу-
ется главным образом за счет разрежения на верхней его дужке. О кинема-
тической картине обтекания профиля можно судить по эпюре распределе-
                                                          ρυ 2
ния давления. Применим уравнение Бернулли p +                  = const к двум
                                                           2
струйкам; одной, идущей из бесконечности и обтекающей нижнюю дужку
крылового профиля (рис. 10,б), и другой, идущей тоже из бесконечности и
обтекающей верхнюю дужку. Тогда получим, что на нижней дужке, где
давление р2 будет больше давления на бесконечности p ∞ (атмосферного),
скорость υ 2 меньше скорости потока на бесконечности υ∞ ; а на верхней
дужке, где p1 < p ∞ , скорость υ 1 будет больше υ∞ . Аналогичные заключе-


                                                                          32


ния можно сделать и по поводу других струек, близких к рассмотренным.
Таким образом, наличие крыла в поступательном потоке изменяет его поле
скоростей, уменьшая скорости под крылом и увеличивая над ним. Чтобы
выяснить, какой именно поток создается в жидкости вследствие наличия
крыла, вычтем (геометрически) из поля скоростей потока, обтекающего
крыло, поле скоростей поступательного потока υ∞ . В результате вычита-
ния получим поток, скорости которого в области под крылом направлены в
сторону, противоположную υ∞ (т.к. υ 2 < υ ∞ ), а в области над крылом – в
ту же сторону, что υ∞ (т.к. υ1 > υ ∞ ). Так как влияние крыла – местное, то
есть убывает по мере удаления от крыла и равно нулю на бесконечности,
то линии тока этого потока не уходят в бесконечность. Такой поток с
замкнутыми линиями тока вокруг крылового профиля (рис.10,в) называет-
ся циркуляционным потоком. В действительности этот поток (в силу вяз-
кости) происходит от вращения частиц в непосредственной близости к
крылу (в пограничном слое), и его можно рассматривать как результи-
рующий поток множества плоских вихрей, расположенных по поверхности
крыла. Очевидно, что работа вектора скорости по замкнутому контуру С
определится как контурный интеграл:
                           v
                     Γ = ∫ υ ⋅ dr = ∫ υ r dr = ∫ υ x dx + ∫ υ y dy ,
                         C       C       C      C

где d r - элемент контура С, υ r - проекция скорости на направление эле-
мента d r . Определенная таким образом величина Г и есть циркуляция век-
тора скорости по замкнутому контуру.
      Таким образом, поток у крыла можно представить себе как результат
суммирования двух потоков: поступательного со скоростью υ∞ и цирку-
ляционного потока со скоростью υ − υ∞ .
      На практике при вычислении циркуляции нет надобности всякий раз
вычитать из потока υ, обтекающего крыло, поступательный поток υ∞ (как
это было сделано для разъяснения появления циркуляции вокруг крылово-
го профиля), потому что поступательный поток сам по себе не изменяет
величины циркуляции вектора скорости, для него Г=0 по любому контуру.
Поэтому берут в потоке, обтекающем крыло, произвольный замкнутый
контур С, охватывающей профиль и вычисляют циркуляцию вектора ско-
рости по этому контуру:
                        Γ = ∫ υ ⋅d r = ∫ υ r dr .
                             C       C
     Величина циркуляции будет такая же, как и при вычитании поступа-
тельного потока. При вычислении контурного интеграла за положительное
направление обхода контура обычно принимают такое направление, чтобы
при обходе по контуру ограничиваемая им область все время оставалась по
левую сторону. Обычные представления положительного направления


                                                                         33


вращения (например, против хода часовой стрелки) здесь непригодны, т.к.
для контуров сложной формы они давали бы противоречивые указания.
      Перейдем к математической постановке задачи обтекания крылового
профиля плоским, однородным на бесконечности, безвихревым потоком
идеальной несжимаемой жидкости.




                  а                                 б
                                Рис. 11

      Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости υ∞ ,
образующим в общем случае с осью Ох угол θ ∞ . Физическая плоскость z
имеет заштрихованный вырез (рис. 11,а), что делает ее двухсвязной, для
определенности задачи необходимо задать наперед циркуляцию вектора
скорости Г по произвольному, охватывающему профиль, контуру С1.
      Пусть функция комплексного переменного z = f (ζ ) представляет со-
бой преобразующую (или отображающую) функцию, осуществляющую
конформное отображение внешней по отношению к ограниченной конту-
ром С (заштрихованной) области плоскости комплексного переменного
z = x + iy на внешнюю по отношению к заштрихованному кругу С* с ра-
диусом а и центром в начале координат системы O*ξη часть вспомога-
тельной плоскости комплексного переменного ζ = ξ + iη . Наложим на ото-
браженную функцию z = f (ζ ) дополнительные условия:
      а) чтобы бесконечно удаленная точка z = ∞ переходила при отобра-
жении в бесконечно удаленную точку ζ = ∞ ;
      б) чтобы направление скорости на бесконечности υ∞ при переходе
из плоскости z в плоскость ζ сохранялось. Тогда, как доказывается в тео-
рии функций комплексного переменного (теорема Римана), при выполне-
нии этих условий преобразование z = f (ζ ) является единственным.
      Пусть W (z) – искомый комплексный потенциал течения в физиче-
ской плоскости, а W * (ζ ) – комплексный потенциал течения во вспомога-



                                                                      34


тельной плоскости, а именно комплексный потенциал циркуляционного
обтекания кругового цилиндра (он считается заданным). Тогда
                               a2      Γ
           W (z) = υ ∞ z + υ∞       +    ln z;
                                z 2πi
                                 a 2 Γ*
           W * (ζ ) = υ* ζ + υ*
                       ∞      ∞
                                     +    ln ζ;
                                 ζ 2πi
где υ* и Γ * – соответственно скорость на бесконечности и циркуляция
     ∞

вектора скорости по произвольному контуру C1 , охватывающему C* во
                                           *


вспомогательной плоскости ζ . Если известна функция, отображающая
внешнюю область кругового цилиндра в плоскости ζ на внешнюю область
профиля в плоскости z, то есть дана зависимость: z = f (ζ ) , то можно запи-
сать:
                 W (z) = w[f (ζ )] = w * (ζ ) .
Взяв производную по ζ от обеих частей этого равенства, получим:
                 dW * dW dz dW '
                      =      ⋅     =        ⋅ f (ζ ) .
                  dζ     dz dζ dz
           dW         dW *      *         *
Поскольку      = υ, а      = υ , то υ = υ ⋅ f ' (ζ ) , и в бесконечно удален-
            dz         dζ
              *
ных точках: υ∞ = m ∞ υ∞ , где m ∞ = f ' (∞) .
    По принятому ранее условию направление вектора скорости на беско-
нечности υ∞ при конформном отображении сохраняется, т.е. векторы υ*∞
и υ∞ параллельны друг другу. Отсюда следует параллельность и сопря-
                    *
женных векторов υ ∞ и υ ∞ , а поскольку m ∞ - действительная величина
(будем считать ее для определенности положительной), то υ* = m ∞ υ∞ .
                                                         ∞

      Рассмотрим теперь циркуляцию Г*. Учитывая, что Re ∫ υdz = Γ ,
представим Г* как действительную часть интеграла:
                       *           dz
           Γ * = Re ∫ υ dζ = Re ∫ υ dζ = Re ∫ υdz = Γ .
                   C*          C*
                                   dζ      C*
                     1          1             1

    Видно, что циркуляция вектора скорости по любому замкнутому кон-
туру, охватывающему обтекаемый профиль, при конформном отображе-
нии сохраняет свое значение.
      Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные вели-
чины υ* и Г* через заданные величины υ ∞ , Г и коэффициент
           ∞
               dz
m ∞ = f ' (∞) = . Следовательно, будем иметь окончательное выражение
               dζ



                                                                          35


комплексного потенциала W в плоскости течения в виде параметрической
зависимости от параметра ζ :
                                      ⎛         υ∞ a 2 ⎞ Γ
               W ( z ) = W (ζ ) = m ∞ ⎜ υ ∞ ζ +
                          *
                                                       ⎟+  ln ζ ,
                                      ⎝          ζ ⎠ 2πi
где z = f (ζ ) ; υ* = m ∞ υ∞ ; Г*=Г.
                        ∞

       Таким образом, если известно решение геометрической задачи
z = f (ζ ) о конформном отображении внешней по отношению к обтекаемо-
му контуру C области физической плоскости z на внешнюю по отношению
к кругу C* произвольного радиуса a область вспомогательной плоскости
ζ , то решение гидродинамической задачи об определении комплексного
потенциала W(z) уже не составит труда.




                                                                   36


       2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

     В этом разделе рассмотрим вначале основы математического модели-
рования одномерных движений идеального газа. С этой целью выведем
изоэнтропийные соотношения для идеального газа, которые применим при
создании математической модели течения газа по соплу Лаваля. Затем рас-
смотрим математическое моделирование плоских безвихревых движений
идеального сжимаемого газа, на основе которого разработаем математиче-
ские модели дозвукового и сверхзвукового обтеканий тонких профилей
потоком идеального сжимаемого газа.
      Если вдоль линии тока или траектории движения (при стационарных
процессах) энтропия S сохраняет свою величину, то такое движение назы-
вается изоэнтропийным. Адиабатический обратимый процесс, у которого
                    dq
dq = 0 или dS =        = 0 , является изоэнтропийным процессом. Введем по-
                    T
нятие скорости звука a при изоэнтропийном движении идеального сжи-
маемого газа. Из вывода волнового уравнения в курсе математической фи-
зики местная скорость звука a = dp . Используем уравнение адиабати-
                                          dρ
ческого процесса (адиабата Пуассона)
                                       p
                                          = const ,                        (2.1)
                                      ρk
где k – показатель адиабаты. Найдем p = ρ k const ; dp = kρ k −1dρ ⋅ const , от-
      dp                                                 p[
куда     = kρ k −1const . Взяв константу из (2.1) const = k и подставив в по-
      dρ                                                 ρ
                                  dp     p
следнее уравнение, получим           = k . Если использовать уравнение Кла-
                                  dρ     ρ
          p                                                       dp
пейрона = RT (R – универсальная газовая постоянная), то              = kRT . С
         ρ                                                        dρ
учетом этих соотношений
                                      kp
                                 a=       = kRT .                          (2.2)
                                       ρ
      Впервые эта формула была получена Лапласом и носит название ла-
                                      kp
пласовой скорости звука a Λ =            , в отличие от ньютоновой скорости
                                      ρ
            p
звука a Η =   , выведенной Ньютоном из условия изотермического рас-
           ρ
пространения звука. В самом деле, при изотермическом процессе при



                                                                             37


                                           p
Т=const из уравнения Клапейрона следует:     = const , тогда dp = dρ ⋅ const ,
                                           ρ
       dp           p                        dp      p
откуда    = const = и, следовательно, a Η =      =      .
       dρ           ρ                        dρ      ρ
      Спор при жизни этих великих ученых так и не был разрешён, и лишь
в дальнейшем проведенные точные эксперименты по измерению скорости
распространения звука в различных телах подтвердили правильность фор-
мулы Лапласа, а, следовательно, и его утверждения, что процесс распро-
                                                                      kp
странения звука в средах является адиабатическим, и для него a =         .
                                                                       ρ

        2.1.   Изоэнтропийные соотношения для идеального газа

      Интеграл Бернулли уравнения энергии для единицы массы газа:
                                          υ2
                                h+Π+           = const ,                    (2.3)
                                           2
где h – энтальпия (или полное теплосодержание), П – потенциал массовых
сил.
      При     пренебрежении          массовыми         силами  (П=0)    получим:
       2
     υ
h+       = const . Записав выражение для нулевых условий, получим
     2
                                                         2
                                         υ2          υ0
                                    h+       = h0 +        .
                                          2           2
        Здесь индекс «0» соответствует скорости потока υ0 =0, т.е. скорости
заторможенного потока.
                               υ2
        Тогда         h0 = h +    = const .                           (2.4)
                               2
В этом случае уравнение (2.4) определяет энтальпию адиабатически затор-
моженного потока. Далее все параметры без индекса будем называть ста-
тическими параметрами, а параметры с индексом «0» - параметрами тор-
можения или заторможенными параметрами.
        Поскольку h = C p T , h 0 = C p T0 , где C p - теплоёмкость при постоян-
ном давлении, которую будем считать постоянной при движении газа, то с
учётом (2.4):
                                                   υ2
                                  C p T0 = C p T +    .
                                                   2
      Из этого соотношения можно найти температуру адиабатически за-
торможенного потока или температуру торможения:



                                                                              38


                              ⎛     2 ⎞
                       T0 = T ⎜1 + υ ⎟ .                                   (2.5)
                              ⎜ 2C T ⎟
                              ⎝     p ⎠

                                                                      Cp
    Преобразуем выражение C p T следующим образом: h = C p T =  RT .
                                                              R
 Используя далее соотношение Майера C p − C v = R и выражение для от-
                         Cp
ношения теплоёмкостей         = k ( C v – теплоёмкость при постоянном объё-
                         Cv
                             ме), получим:
           Cp        Cp          Cp / Cv           k        a2
              RT =         RT =             RT =      RT =      .
           R       Cp − Cv      Cp / Cv − 1      k −1      k −1
     Таким образом:
                                            a2 ⎫
                              h = CpT =         ;
                                           k −1 ⎪ ⎪
                                                2 ⎬
                                                                           (2.6)
                                              a
                              h 0 = C p T0 = 0 ⎪
                                             k − 1⎪
                                                  ⎭

Подставляя выражение          для   СрТ     в    уравнение   (2.5),   получим:
      ⎛ k − 1 υ2 ⎞
T0 = T⎜1 +
      ⎜          ⎟
      ⎝    2 a2 ⎟⎠
                                            υ
Используя формулу для числа Маха M =          , получим
                                            a
                                      ⎛ k −1 2 ⎞
                               T0 = T⎜1 +       M ⎟.                 (2.7)
                                      ⎝     2      ⎠
Подставив выражения (2.6) в уравнение (2.4), приходим к уравнению энер-
гии для адиабатического процесса движения идеального сжимаемого газа
при отсутствии массовых сил:
                                   2
                                a0      a2    υ2
                                     =      +     = const .          (2.8)
                               k −1 k −1 2
       Из уравнения (2.7) получим первое изоэнтропийное соотноше-
ние:
                               T0       k −1 2
                                   =1+       M .                     (2.9)
                                T         2
       Российский ученый С.А. Чаплыгин использовал в своих вычислени-
ях скоростной коэффициент λ , названный коэффициентом Чаплыгина:
     υ
λ = * , где a * – критическая скорость потока, равная скорости звука, то
    a
есть a * = a = υ . В этом случае число Маха M=1, и местная скорость звука


                                                                             39


становится равной критической. Такой режим течения газа, когда его ско-
рость достигает скорости звука, называется критическим.
      Определим в уравнении энергии (2.8) константу из условия критиче-
ского режима движения газа, подставив в (2.8) вместо а и υ → a * . Тогда
получим:
                                 2     2
                  υ2     a2     a*      a*           k + 1 *2
                      +       =      +          =           a .
                   2 k −1 2            k − 1 2(k − 1)
      Разделим обе части равенства на υ 2 :
                  1     1 1          k +1 1
                    +            =                 .
                  2 k − 1 M 2 2(k − 1) λ2
                                              2(k − 1)
      Умножим обе части равенства на                     . Тогда
                                                (k + 1)
                  1 k −1          2 1
                      =       +            .
                  λ2 k + 1 k + 1 M 2
Получим связь между скоростным коэффициентом λ и числом Маха М,
легко разрешимую относительно λ и М.
      Решим, например, это уравнение относительно λ :
              1 (k − 1)M 2 + 2                       (k + 1)M 2
                 =                 ;       λ =2
                                                                   или
              λ2      (k + 1)M 2                   2 + (k − 1)M 2
                          k +1 2
                                M
                    2       2            k +1           M2
                  λ =                 =          ⋅               .
                            k −1 2         2 1 + k − 1M2
                        1+       M
                              2                          2
Тогда скоростной коэффициент Чаплыгина
                                    k +1              M
                              λ=          ⋅                    .        (2.10)
                                      2              k −1 2
                                                1+         M
                                                       2
Обратное соотношение, т.е. выражение для числа Маха
                                       2              λ
                              M=            ⋅                 .         (2.11)
                                     k +1             k −1 2
                                                 1−         λ
                                                      k +1
                                                                 k +1
Если М=0, то и λ =0; если же M → ∞ , то λ → λ max =                   .
                                                                 k −1
Из соотношений для М и λ можно получить и другую связь между ними.
Разделим обе части выражения (2.10) на λ , (2.11) – на М. Тогда получим:




                                                                           40



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика