Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Характеристическая функция W(z) будет равна:
                                                            a2
     W(z) = ϕ(r,θ) + i ψ(r,θ) = υ∞ [r(cos θ + i sin θ) +        (cos θ - i sin θ)],
                                                             r
                                           ⎛      a2 ⎞
                                           ⎜z + ⎟.
                                W (z) = υ∞ ⎜                                      (1.20)
                                           ⎝      z ⎟⎠
                                      1                  1           1      1
Здесь r(cos θ + i sin θ)= r eiθ = z ; (cos θ − i sin θ) = e − iθ = iθ = .
                                       r                  r        re        z
Поставленная здесь задача решена до конца.
     Рассмотрим кинематические характеристики обтекания. Найдем ско-
рость потока на поверхности обтекаемого тела:
          1 ∂ϕ              ⎛ a2 ⎞               ∂ϕ                ⎛ a2 ⎞
     υθ =       = − υ∞ sin θ⎜1 + 2 ⎟ , т.к.
                            ⎜                        == − rυ∞ sin θ⎜1 + 2 ⎟ ,
          r ∂θ              ⎝    r ⎟ ⎠           ∂θ                ⎜
                                                                   ⎝     r ⎟ ⎠
при r=a:     υ θ = −2υ∞ sin θ ,
            ∂ϕ           ⎛ a2 ⎞
     υr =      = υ∞ cos θ⎜1 − 2 ⎟     при r=a: υr=0,
            ∂r           ⎝   r ⎠
                                                         υ
     υ = υ 2 + υθ ; при r=a
           r
                2
                                    υ = 2υ∞ sin θ или      = 2 sin θ .          (1.21)
                                                        υ∞
                                    p − p∞
Коэффициент давления C p =                2
                                              можно найти с помощью уравнения
                                  1 / 2(ρυ∞ )
                                 2                               2
                ρυ 2        ρυ ∞                              ρυ ∞ ρυ 2
Бернулли: p +        = p∞ +         , из которого p − p ∞ =        −    . Тогда
                 2             2                               2     2
                                                            2
                                      p − p∞          ⎛ υ ⎞
                           Cp =             2
                                               =1− ⎜  ⎜υ ⎟ ,
                                                          ⎟
                                   1 / 2(ρυ∞ )        ⎝ ∞⎠
или, учитывая полученный выше результат (1.21), на поверхности обте-
каемого цилиндра получим
                                C p = 1 − 4 sin 2 θ .                         (1.22)
Выясним физическое содержание полученных соотношений. В точках А и
В (рис. 5) значение скорости υ будет равно нулю, т.к. в этих точках θ=0,
sin θ = 0 и υ = 2υ∞ sin θ = 0 , тогда Ср=1. Эти точки в аэродинамике называ-
ют критическими: точка А – передняя критическая точка или лобовая точ-
ка, точка В – задняя критическая точка или кормовая точка.
                                                                            υ
                                               В точках С и D (θ=±900):       = 2,
                                                                           υ∞
                                         Ср=-3. Эти точки также являются харак-
                                         терными точками при обтекании конту-
                                         ра. Они называются миделевыми точка-
              Рис. 5                     ми, в них будет удвоенная скорость υ∞,

                                                                                     21


т.е. υ=2υ∞.
      На контуре САD в передней точке разветвления (точка А) коэффици-
ент давления имеет максимальное значение, затем при движении к точкам
С и D происходит разгон жидкости от нуля до 2υ∞. Это конфузорная часть
контура. На участке СВD происходит падение скорости и рост давления –
это диффузорная часть контура. Необходимо обратить внимание на сим-
метричную картину обтекания кругового цилиндра как относительно оси
ОХ, так и оси OY.
      Вычислим главную аэродинамическую реакцию (равнодействующую
сил давлений жидкости на цилиндр) и главный аэродинамический момент
при помощи интегральных соотношений, предложенных Чаплыгиным и
независимо от него Блазиусом.
      При введении характеристической функции W рассматривается зер-
кальное отображение, следовательно, и при вычислении реакции и момен-
та с использованием W рассматривают зеркальную задачу. Главный вектор
                                    r
сил гидродинамических давлений R жидкости на цилиндр равен в общем
         r                        r
                r
случае R = − ∫ Pndl . Кроме того, R = R x + iR y . Его зеркальное отображение
               C

R = R x − iR y = − ∫ (pn x − ipn y )dl = − ∫ p[cos(n , x ) − i cos(n , y)]dl =
                       C                     C
              = − ∫ p[sin θ + i cos θ)]dl = −i ∫ p[cos θ − i sin θ)]dl = −i ∫ pe − iθ dl;
                   C                             C                            C

                                  R = −i ∫ pdz .                                            (1.23)
                                         C
                                                   Здесь θ – угол между осью Х и
                                              касательной к поверхности цилиндра
                                              в точке М (см. рис. 6);
                                              nx=cos(n^x); ny=cos(n^y);
                                              (n^x)=θ-900; (n^y)=1800-θ;
                                              dz=dx+idy=dl(cos(θ)+i⋅sin(θ)) = eiθdl;
                   Рис. 6                      dz =dx-idy= dl(cos(θ)–i⋅sin(θ)) =e-iθdl;
                                               dz = e-2iθdz.
                                                                ρυ 2
     Обратимся             к   интегралу      Бернулли: p +          = const , откуда
                                                                 2
            ρυ 2
p = const −      . Здесь υ – величина скорости, которая в теории комплекс-
             2
ного переменного обозначается как модуль комплексного числа:
υ = υ = υ 2 + υ 2 . Подставим p и υ в формулу (1.23) и получим:
          x     y

                                       iρ    2
                                  R=      ∫ υ dz − i ∫ const ⋅ dz .
                                        2C           C




                                                                                               22


     Здесь − i ∫ const ⋅ dz ≡ 0 , поскольку dz является полным дифференциа-
               C
лом, а интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен
нулю. Тогда получим:
                      iρ        iρ             iρ
                  R = ∫ υ dz = ∫ υ e − 2iθdz = ∫ υ 2 dz ,
                           2         2

                       2C        2C             2C
                                  так как υ = υ ⋅ e − iθ .
                                                              2
                            dW                  iρ ⎛ dW ⎞
         Поскольку υ =            , то R = ∫ ⎜             ⎟ dz .                (1.24)
                             dz                  2 C ⎝ dz ⎠
Это первое интегральное выражение Чаплыгина-Блазиуса. Следовательно,
если известна характеристическая функция W, то можно найти главный
аэродинамический вектор R , возникающий при обтекании контура.
    Главный момент L сил гидродинамических давлений жидкости на ци-
линдр определяется относительно оси, расположенной перпендикулярно
плоскости течения и проходящей через начало координат.
             L = ∫ ( xn y − yn x )pdl = − ∫ ( x cos(n , y) − y cos(n , x ))pdl =
                    C                       C

                     = − ∫ p(− x cos(θ) − y sin(θ))dl = ∫ p( xdx + ydy) ,
                        C                               C
                            так как dx = lcos(θ); dy = lsin(θ).

    Поскольку zdz = (x+iy)(dx-idy) = (xdx+ydy)+ i(ydx-xdy), то отсюда
(xdx+ydy)=Re( zdz ) и тогда L = Re ∫ pzdz .
                                        C
                                                                      2
                                                              ρυ
     Из     уравнения        Бернулли:          p = const −               .   Следовательно,
                                                                  2
      ρ      2
L = − Re ∫ υ zdz , поскольку второй интеграл от полного дифференциала
      2 C
dz равен нулю.
                                                      ρ
     Так как dz = e − 2iθdz ; υ = υ e − iθ , то L = − Re ∫ υ 2 e − 2iθ zdz =
                                                      2 C
        ρ
     = − Re ∫ υ 2 zdz     и окончательно
        2 C
                                                    2
                                   ρ         ⎛ dW ⎞
                              L = − Re ∫ ⎜        ⎟ zdz .                    (1.25)
                                   2 C ⎝ dz ⎠
     Это второе интегральное выражение Чаплыгина-Блазиуса.
     Следовательно, зная W(z), можно найти и динамический момент L
сил давления потока на профиль С – в нашем случае на круговой цилиндр.



                                                                                          23


Итак, поскольку характеристическая функция для кругового профиля
имеет вид:
                    a 2 υ∞
     W (z) = υ∞ z +         , то, чтобы судить о динамике процесса, надо най-
                       z
    dW (z)         a 2 υ∞
ти:        = υ∞ − 2 ;
      dz             z
                                     2
                          ⎛ dW (z) ⎞     2   2a 2 υ 2 ∞ a 4 υ 2 ∞
                          ⎜         ⎟ =υ ∞ −           +
                          ⎝ dz ⎠                z2         z4
и подставить последнее выражение в (1.24) и (1.25).
     Вспомним интегральную теорему Коши, в соответствии с которой
комплексный контурный интеграл ∫ f (z)dz = 0 , если f(z) - аналитическая
                                     C
функция в некоторой области D, где С – замкнутый контур, принадлежа-
щий этой области. Эти условия для нашей задачи выполняются и тогда
R = 0 и L=0.
     Иными словами: при обтекании идеальным потоком кругового ци-
линдра главный аэродинамический вектор и главный момент сил давления
жидкости на цилиндр равны нулю. Это означает, что при обтекании иде-
альным потоком кругового цилиндра – сам цилиндр не оказывает никако-
го влияния на поток.
     Этот принцип называется парадоксом Даламбера: при обтекании иде-
альным потоком тела реакция между ним и потоком отсутствует. Парадокс
Даламбера опровергается при рассмотрении реального вязкого течения с
образованием вихрей в пограничном слое вокруг тела, да еще с отрывом
слоев вблизи миделевых точек.
     Н.Е. Жуковский показал, что если идеальный поток обтекает круговой
цилиндр, имеющий вращение, то возникает подъемная сила.




       1.4. Математическая модель циркуляционного обтекания
              кругового цилиндра идеальной жидкостью

     Посмотрим, как подошел к этой проблеме Жуковский. Мы видели,
что при анализе решения задачи бесциркуляционного обтекания кругового
цилиндра у нас появилось такое выражение: ϕ(r,θ)=R(r)⋅ϑ(θ) и
ϑ"    r 2 R"+ rR '
   =−              = − n 2 (при 1 ≤ n ≤ ∞). Теперь необходимо рассмотреть ре-
 ϑ         R
шение, когда 0≤n≤∞. В этом случае будут две системы уравнений:


                                                                          24


                ϑ"
     а) при n=0:    = 0 и r 2 R"+ rR ' = 0 .                        (1.26)
                ϑ
     Это означает наличие вихря в начале координат с циркуляцией Г;
     б) уравнения, охватывающие случаи 1 ≤ n ≤ ∞, которые были уже рас-
смотрены при бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра.
     Поскольку задача линейная, то комплексные потенциалы процессов а)
и б) складываются.
     Итак, решаем систему уравнений а):
                 ϑ’(θ)=C1; ϑ(θ) = ∫ C1dθ + C 2 ; ϑ(θ) = C1θ + C 2 .
                      R'                                        p    dp     p
     Далее R ' ' = −     . Обозначим R’=p, тогда p' = − , или            = − . Разде-
                       r                                        r    dr     r
                                             dp      dr
ляя     переменные,          запишем:             =− .       Интегрируя,    получим:
                                              p       r
                                              C          dR C 3
ln p = -ln r + lnC3 , потенциируем : p = 3 или               =     .
                                                r        dr      r
                                         dr
     Разделим переменные : dR = C 3 .
                                           r
     Интегрируя, получим : R = ln r ⋅ C 3 + C 4 .
     Таким образом, R (r ) = ln r ⋅ C 3 + C 4 .
     Так как ϕ(r,θ)=R(r)⋅ϑ(θ), то ϕ(r,θ)=( C1θ + C 2 )( ln r ⋅ C 3 + C 4 ).
     Для нахождения констант используем граничное условие на поверх-
                                                        ∂ϕ
ности обтекаемого профиля: при r=a                υr =     = 0.
                                                        ∂r
                 ∂ϕ                      1
     Найдем          = υ r = (C1θ + C 2 ) C 3 = 0 .
                 ∂r                      r
                                         1
     Поскольку C1θ + C 2 =ϑ(θ)≠0, ≠ 0 , то отсюда С3=0 и, следовательно,
                                          r
можно записать ϕ(r,θ)=( C1θ + C 2 )С4.
     Отбрасывая константу С2⋅С4, что не меняет физического смысла зада-
чи, получим ϕ=Aθ.
              ∂ϕ                1 ∂ϕ A
     Тогда        = A , а υθ =       = , откуда ∂ϕ = υθ r∂θ = A∂θ .
              ∂θ                r ∂θ r
     Для определения произвольной постоянной интегрирования А найдем
                                               2π
циркуляцию Г, равную Γ = ∫ dϕ = ∫ υ θ r∂θ = ∫ A∂θ = 2πA .
                               C     C         0

                Γ                       Γ     ∂ϕ Γ
     Отсюда A =    , следовательно, ϕ =    θ;   =   .         (1.27)
                2π                      2π    ∂θ 2π
     Определим теперь функцию ψ(r,θ), используя условия Коши-Римана
для полярных координат:

                                                                                  25


                           ∂ψ        ∂ϕ         1 Γ
                               =−           =−         ;                                (1.28)
                            ∂r       r∂θ        2 2π
     ∂ψ      ∂ϕ                            ∂ϕ
         =r     = 0 , так как υ r =            = 0 при обтекании контура профиля.
      ∂θ     ∂r                             ∂r
Интегрируя уравнение (1.28) и опуская константу, имеем
                                         Γ
                               ψ = − ln r .                                             (1.29)
                                        2π
     Тогда характеристическая функция с учетом выражений (1.27),
(1.29):
                        Γ
     W (z) = ϕ + iψ =      (θ − i ⋅ ln r ) .
                       2π
                                                                       Γ
     Умножим и разделим это выражение на i: W (z) =                       (ln r + iθ) . В по-
                                                                      2πi
лярных координатах z = eiθ , тогда ln z = ln r + iθ и
                                             Γ
                               W (z) =          ln z .                                  (1.30)
                                            2πi
     Таким образом, при учете нулевого решения для характеристической
функции W, то есть при циркуляционном обтекании кругового цилиндра
идеальной жидкостью, имеем (складывая потенциалы):
                                               ⎛      a2 ⎞ Γ
                               W (z) = υ ∞ ⎜ z +
                                               ⎜
                                                         ⎟+    ln z .                   (1.31)
                                               ⎝       z ⎟ 2πi
                                                         ⎠
Как показывает формула (1.31), для кругового цилиндра циркуляционное
обтекание получают наложением вихря с циркуляцией Г на бесциркуля-
ционое обтекание.
       Рассмотрим кинематическую картину обтекания. Составим произ-
          dW           υ∞ a 2     Γ 1
водную:       = υ∞ − 2 +                  = υ.                                 (1.32)
           dz           z       2πi z
Положим величину производной, равной нулю. Это означает, что имеют
место критические точки А’ и B’, в которых υ = 0 . Умножив все члены
(1.32) на z2/υ∞, получим квадратное уравнение:
                                           iΓ
                                z2 −            z − a2 = 0 .
                                        2πυ∞
Здесь также освободились от мнимости в знаменателе во втором слагае-
мом. Решение этого уравнения имеет вид.
                                                            2
                              iΓ         ⎛ Γ ⎞
                     z1, 2 =      ± a2 − ⎜
                                         ⎜ 4πυ ⎟ = 0 .
                                                ⎟
                             4πυ∞        ⎝    ∞ ⎠
Это решение указывает на три возможных типа обтекания кругового ци-
линдра радиуса а в зависимости от величины циркуляции. Направление
потока, как правило, совпадет с положительным направлением оси Ох.

                                                                                           26


                                                   Γ
1. Когда циркуляция мала: |Г| < 4πаυ∞, то есть         < a . В этом случае
                                                 4 πυ∞
  корни уравнения комплексные:
                                         2
                                   ⎛ Γ ⎞        iΓ
                    z1, 2 = ± a − ⎜
                              2
                                   ⎜ 4πυ ⎟ ⎟ +      ,
                                   ⎝     ∞ ⎠   4πυ∞
                               Γ
   имеют общую ординату             и отличаются лишь знаками абсцисс по
                             4πυ∞
                           модулю, меньших а. Модуль каждого из корней
                           равен а, то есть они расположены на окружно-
                           сти радиуса а. Картина обтекания и положение
                           критических точек показаны на рис. 7. Крити-
                           ческими точками будут не А и В (как при бес-
                           циркуляционном обтекании), а А’ и B’. При
                           уменьшении Г до нуля критические точки бу-
                           дут перемещаться: А’       A, B’ B, стремясь
                           занять положение на пересечении окружности с
          Рис. 7           осью ОХ, как это и должно быть при Г=0 (для
справки – циркуляция положительная при направлении вращения против
часовой стрелки).

                                                        Γ
2. Промежуточный случай, когда: |Г| = 4πаυ∞, то есть         = a . В этом
                                                      4 πυ∞
  случае корни z1 и z2 равны между собой. Модуль их равен а, критиче-
  ские точки совпадают (рис. 8) и находятся на мнимой оси в точке z1 = z2
  =аi.




                Рис. 8                             Рис. 9




                                                                        27


                                                  Γ
3. Когда циркуляция велика: Г| > 4πаυ∞, то есть       > a . В этом случае
                                                4 πυ∞
   в выражении для z под знаком радикала будет стоять отрицательная ве-
   личина и можно записать:
                        ⎛         ⎛ Γ ⎞
                                           2    ⎞
                        ⎜ Γ                   2 ⎟
                     z=⎜       ± ⎜⎜ 4πυ ⎟ − a ⎟i .
                                         ⎟
                        ⎜ 4πυ∞    ⎝    ∞ ⎠      ⎟
                        ⎝                       ⎠

     Оба корня квадратного уравнения мнимые, причем модуль одного
больше радиуса цилиндра, другого - меньше. В самом деле, корень z1 име-
ет модуль (при Г>0):
                                          2
                        Γ       ⎛ Γ ⎞             Γ
                     =
                  z1 4πυ    + ⎜ ⎜ 4πυ ⎟⎟ − a2 >      >a.
                          ∞     ⎝    ∞ ⎠        4πυ∞
    Второй корень имеет модуль:
                               2
                  Γ    ⎛ Γ ⎞                       a2
         z2   =      − ⎜
                       ⎜ 4πυ ⎟ − a = Γ
                              ⎟
                                  2
                                                                    .
                4πυ∞                       + (Γ 4πυ∞ ) − a
                                                            2
                       ⎝    ∞ ⎠
                                                                2
                                     4πυ∞
    Это выражение получают, умножив и разделив формулу для |Z2| на
член, стоящий в знаменателе выражения. Заменим в знаменателе послед-
него выражения Γ        на меньшую величину а, тем самым как бы уве-
                  4πυ∞
                                      a2
личивается |Z2| и тогда получим: z2 =    = a , то есть на самом деле z2 < a.
                                      a
     Таким образом, первый корень дает критическую точку А’, лежащую
вне круга на положительной стороне мнимой оси (рис. 9), второй корень –
критическую точку В, лежащую на той же оси, но внутри круга.
     Как видно, при циркуляционном обтекании кругового цилиндра со-
храняется симметрия только относительно оси ОУ и нарушается относи-
тельно оси ОХ. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на
поверхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси ОУ.
Заметим, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляцион-
ного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилинд-
ра складываются (направлены в одну сторону), а под цилиндром - вычита-
ются (т.к. направлены в разные стороны). При этом под цилиндром скоро-
сти получаются большие, а давления, согласно уравнению Бернулли,
меньшие. Над цилиндром, наоборот, скорости меньшие, а давления боль-
шие. Это приводит к тому, что в указанном на рис. 9 обтекании главный
вектор сил давления R жидкости на цилиндр будет направлен по оси ОУ в
отрицательную сторону (вниз).



                                                                         28


     При циркуляционном течении по часовой стрелке (Г<0) картина обте-
кания при том же расположении осей координат изменяется на переверну-
тую вокруг оси ОХ на 1800, и главный вектор сил давления окажется на-
правленным по оси ОУ в положительную сторону, то есть вверх (т.к. тогда
скорости сложатся над цилиндром и давления над ним станут меньшими
по сравнению с давлениями под цилиндром). Можно дать простое правило
определения направления главного вектора сил давления жидкости на по-
верхность цилиндра: поместив начало вектора скорости υ∞ в центр цилин-
дра 0, повернуть его на 900 в сторону, противоположную направлению
циркуляционного движения – это и даст направление главного вектора R.
     Теперь необходимо вычислить величину R:
                             2                            2
                       ⎛ dW ⎞ ⎛          υ∞ a 2    Γ 1⎞
                       ⎜    ⎟ = ⎜ υ∞ − 2 +              ⎟ .
                       ⎝ dz ⎠ ⎝           z       2πi z ⎠
     Подставим это выражение в первое интегральное выражение Чаплы-
гина-Блазиуса:
                                                2
                                  iρ ⎛ dW ⎞
                             R = ∫⎜          ⎟ dz .
                                   2 C ⎝ dz ⎠
  Опуская промежуточные выкладки, получаем формулу Жуковского:
                               R = iρυ∞ Г .                       (1.33)

          1.5. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла

     Поскольку R = R x − iR y , а R x = 0 (из условия симметрии картины
обтекания кругового цилиндра относительно оси ОУ), то R = −iR y . Анало-
гично, т.к. R = R x + iR y , то при R x = 0 → R = iR y .
Из этих формул очевидно, что
                                      R = −iρυ∞ Г .              (1.34)
Таким образом, векторы R и R по модулю одинаковы, но противополож-
ны по направлению. Для нашего случая обтекания цилиндра потоком с по-
ложительной циркуляцией вектор R равен по модулю R = ρυ∞ Г и направ-
лен вниз по оси ОУ, что совпадает с физическим объяснением направления
главного вектора сил давления R, приведенного на рис. 9. Необходимо от-
метить, что главный момент сил давления L=0.
      Полученное выражение (1.34) определяет общую теорему Жуковско-
го о подъемной силе крыла в безвихревом плоскопараллельном потоке
идеальной несжимаемой жидкости.
      В этой формуле говорится о том, что при циркуляционном обтека-
нии возникает поперечная сила, равная произведению плотности жидкости
на скорость набегающего потока и на циркуляцию.


                                                                      29


      Для нашего случая теорема Жуковского формулируется следующим
образом:
     При безотрывном обтекании кругового цилиндра поступательным
потоком при наличии циркуляции возникает подъемная сила, равная про-
изведению плотности жидкости на скорость и циркуляцию, направление
которой определяется поворотом вектора скорости потока υ∞ в т. 0 на
прямой угол в сторону, противоположную направлению циркуляции.
     Необходимо отметить, что подъемная сила возникает только при на-
личии вращения цилиндра (то есть при наличии циркуляции), когда крити-
ческие точки А и В стягиваются к одной половине окружности, образуя
несимметричный профиль, а обтекание любого несимметричного профиля
приводит к возникновению подъемной силы. При вращении цилиндра, на-
пример по часовой стрелке, точки А и В переходят в А’ и В’, верхняя дуж-
ка становится больше нижней, и в силу неразрывности (сплошности) сре-
ды скорость обтекания верхней дужки будет больше, чем нижней, а давле-
ние меньше, и образуется вектор R, идущий из центра 0 в сторону, проти-
воположную направлению циркуляции, то есть вверх.
     В своей теореме Н.Е. Жуковский впервые установил вихревую приро-
ду сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие
простой зависимости между этой силой и циркуляцией вектора скорости
по контуру, охватывающему обтекаемое крыло.
     Физическая природа возникновения циркуляции связана с наличием в
жидкости трения (вязкости). Частицы реальной жидкости, проходящие в
непосредственной близости к поверхности профиля, образуют тонкий по-
граничный слой. В этой области движение жидкости будет вихревым, при-
чем интенсивность вихрей может достигать больших значений, т.к. ско-
рость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на поверхности
обтекаемого тела до величины порядка скорости υ∞ на внешней границе
пограничного слоя. Так, например, на крыле самолета максимальная тол-
щина пограничного слоя не превосходит нескольких сантиметров, в то
время как разность скоростей на поверхности крыла и на внешней границе
пограничного слоя достигает сотен метров в секунду. При таких значи-
тельных неоднородностях скоростного поля суммарная интенсивность
вихрей в пограничном слое, а тем самым и циркуляция вектора скорости
по замкнутому контуру, охватывающему крыло, может достигать больших
значений.
     Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, есте-
ственно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на тело
безвихревом потоке. Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеально-
го бехвихревого потока, определить величину воздействия потока на по-
мещенное в него тело, Жуковский предполагает, что происходит движение
с особенностью – вихрем, имеющим интенсивность, равную сумме интен-
сивностей вихрей, которые образовались бы на самом деле в тонком слое

                                                                      30



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика