Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Задача свелась к нахождению функции ψ. Запишем для этого дифференци-
альное уравнение линий тока, которое в случае плоского движения имеет
вид:
                      ∂x ∂y
                         =    или υ y dx − υ x dy = 0 .          (1.6)
                      υx υy
Подставляя в уравнение (1.6) выражение для υx и υy через ψ, получим
∂ψ       ∂ψ
    dx +    dy = 0 , т.е полный дифференциал dψ(x,y)=0. Тогда
 ∂x      ∂y
ψ(x,y)=const, следовательно, функция ψ сохраняет постоянное значение
вдоль линий тока. В силу этого функция ψ получила название функции то-
ка. Если взять известные соотношения для проекций вектора скорости че-
рез потенциал скорости ϕ:
                             ∂ϕ             ∂ϕ
                       υx =      ,    υy =     ,                     (1.7)
                             ∂x             ∂y
то, подставляя их в уравнение неразрывности (1.4), придем к уравнению
Лапласа
                                 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
                                     +       = 0.
                                 ∂x 2 ∂y 2
Если наложено условие потенциальности плоского течения, то имеет место
                        ∂υ y ∂υ x
уравнение                    −       = 0,                      (1.8)
                        ∂x       ∂y
                                r         ⎛ ∂υ    ∂υ ⎞ r
полученное из уравнения rotυ( x , y) = ⎜ y − x ⎟k = 0 , которое является
                                          ⎜ ∂x
                                          ⎝        ∂y ⎟
                                                      ⎠
выражением того, что рассматриваемое поле безвихревое.
Подставляя в уравнение (1.8) выражение для υx и υy через ψ, получим
                          ∂ 2ψ ∂ 2ψ
опять уравнение Лапласа         +      = 0.
                          ∂x 2 ∂y 2
     Таким образом, в случае потенциального поля скоростей как
функции тока, так и потенциалы скоростей определяются одинаковыми
уравнениями типа Лапласа.
     Если сопоставить соотношения (1.5) и (1.7), то получим
                      ∂ϕ ∂ψ           ∂ψ      ∂ϕ
                         =      ;         =− .                       (1.9)
                      ∂x ∂y           ∂x      ∂y
     Эти соотношения для идеальной несжимаемой жидкости выражают
условия Коши – Римана. С точки зрения теории функций комплексного
переменного эти условия говорят о следующем: существует характери-
стическая функция W(z)=ϕ(x,y)+iψ(x,y) (для которой действительная часть
ϕ, а мнимая ψ), являющаяся аналитической функцией комплексного аргу-



                                                                        11


мента z, где z=x+iy. Если продифференцировать по х характеристическую
                                  ∂W ∂ϕ         ∂ψ ∂ϕ ∂ϕ
функцию W(z), то получим:              =    +i       =      −i     = υ x − iυ y = υ .
                                   ∂x ∂x         ∂x ∂x         ∂y
     Полученное выражение носит название сопряженной скорости и обо-
значается υ , а скорость υ = υ x + iυ y является комплексной скоро-
стью. Необходимо отметить, что
                           ∂W ∂W dW
                      υ=        =        =     .                                   (1.10)
                            ∂x ∂ (iy) dz
     Это вытекает из свойств функции W(z) как функции не просто двух
переменных (координат х,у), а функции одной комплексной переменной
z=x+iy. Действительно, если величина W есть функция только положения
точки М с координатой z, то производная от нее в этой точке в свою оче-
редь должна быть функцией только положения точки, т.е. координаты z, и
не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Иными сло-
                    dW
вами, производная         и производные по направлениям действительной и
                     dz
мнимой осей должны быть равны между собой. Действительно,
                      ∂W         ∂W        ∂ϕ ∂ψ
                            = −i      = −i   +        = υ x − iυ y = υ
                     ∂ (iy)       ∂y       ∂y ∂y
                               ∂W ∂W               dW
и, следовательно, получим            =      =υ=         .
                              ∂ (iy) ∂x             dz
Таким образом, производная от характеристической функции W есть со-
пряженная скорость υ , а сама функция W(z)=ϕ+iψ называется комплекс-
ным потенциалом или характеристической функцией течения. Поэтому
возникает очень интересное предложение: рассматривать не действитель-
ное течение и действительные силы, а их зеркальные отображения.
     Математический аппарат теории функций комплексного переменного
приводит к новому качеству, при помощи которого решение задачи об оп-
ределении поля скоростей и подъемной силы (сопротивления) рассматри-
вается в зеркальном отображении. Из курса теории функций комплексного
переменного известно, что функция комплексного переменного W(z) одно-
значно отображает точки плоскости комплексного переменного z=x+iy на
плоскость комплексного переменного W=ϕ+iψ. При этом происходит ото-
бражение фигур: замкнутых кривых и ограниченных ими частей плоскости
z в соответствующие им фигуры или части плоскости W. Такое отображе-
ние называют конформным.

          1.2 Комплексные потенциалы и характеризуемые ими
                           виды движений




                                                                                      12


Рассмотрим комплексный потенциал W(z)=ϕ(x,y)+ιψ(x,y). Отделяя дейст-
вительную и мнимую части W(z), получим потенциал скоростей ϕ и функ-
цию тока ψ некоторого плоского безвихревого движения:
                      ϕ(x,y)=Re W(z); ψ(x,y)=Im W(z).
Приравнивая функцию ϕ(x,y) различным постоянным ϕ(x,y)=С, получим
семейство изопотенциальных линий, аналогично совокупность равенств
ψ(x,y)=С’ представляет собой семейство линий тока. Изопотенциальные
линии и линии тока в любой точке плоскости течения взаимно ортого-
нальны. Для доказательства этого утверждения надо показать, что взаимно
перпендикулярны векторы – градиенты этих функций. Действительно,
                         ⎛ ∂ϕ r ∂ϕ r ⎞⎛ ∂ψ r ∂ψ r ⎞ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ
         gradϕ ⋅ gradψ = ⎜ i +
                         ⎜ ∂x      j ⎟⎜    i+    j⎟ =    +
                         ⎝      ∂y ⎟⎜ ∂x
                                     ⎠⎝       ∂y ⎟ ∂x ∂x ∂y ∂y
                                                  ⎠
                           ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ
                              ⎜− ⎟ +
                              =              ≡ 0,
                           ∂x ⎜ ∂y ⎟ ∂y ∂x
                              ⎝       ⎠
что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и
линий тока (так как скалярное произведение двух векторов равно нулю,
если эти векторы перпендикулярны друг другу).
    Зная комплексный потенциал W(z), можно определить вектор скоро-
    r
сти υ или его проекции υx и υy.
Комплексная скорость υ = υ x + iυ y , величина этой скорости (или модуль
комплексного       числа)    равна     υ = υ2 + υ2 .
                                            x    y        Сопряженная   скорость
υ = υ x − iυ y , величина этой скорости υ = υ 2 + υ 2 = υ .
                                              x     y

Если θ - угол между вектором и осью 0х, то
                  υ = υ x + iυ y = υ (cos θ + i sin θ) = υ e iθ .
Здесь использована формула Эйлера e iθ = (cos θ + i sin θ) :
                υ = υ x − iυ y = υ (cos θ − i sin θ) = υ e − iθ ,
                                     υ = υe −2 iθ .
Отсюда видно, что сопряженная скорость υ является зеркальным отобра-
жением υ относительно оси 0υx. Плоскость Х0Y называется физической
плоскостью или плоскостью течения.
Совокупность значений комплексной скорости υ образует плоскость го-
дографа скорости или плоскость годографа. В этой плоскости располага-
ются годографы скорости, то есть геометрические места концов векторов
скоростей частиц жидкости, проведенных из начала координат.
    Производная от комплексного потенциала:
                 dw
                    = υ = υ e − i θ = υ x − iυ y .
                 dz



                                                                              13


                                         ⎛ dw ⎞              ⎛ dw ⎞
Тогда проекции скорости: υ x = Re⎜             ⎟ ; υ y = − Im⎜      ⎟.
                                         ⎝ dz ⎠              ⎝ dz ⎠
Контурный интеграл от сопряженной скорости υ по замкнутому конту-
                        ру С в плоскости течения равен:
                                      ⎛ dw ⎞
                           ∫Cυdz = ∫C ⎜ dz ⎟dz = ∫Cdw = ∫C (dϕ + idψ ) .
                                      ⎝    ⎠
Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, получим:
                             ⎛ ∂ϕ       ∂ϕ ⎞
      Re ∫C υdz = ∫C dϕ = ∫C ⎜ dx +
                             ⎜ ∂x          dy ⎟ = ∫ (υ x dx + υ y dy ) =Г;
                             ⎝          ∂y ⎟ C⎠
                             ⎛ ∂ψ         ∂ψ ⎞
                             ⎜ ∂x dx + ∂y dy ⎟ = ∫C (υ x dy + υ y dx ) =Q.
      Im ∫C υdz = ∫C dψ = ∫C ⎜                   ⎟
                             ⎝                   ⎠
Отсюда видно, что действительная часть контурного интеграла определяет
циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, а мнимая – секундный
объемный расход жидкости Q через замкнутый контур.
     Рассмотрим несколько простых примеров комплексных потенциалов,
которые широко используются на практике:
а) линейная функция W(z)=az, где а – в общем случае комплексная посто-
янная. Составляя сопряженную скорость
           dW
      υ=       = a = const = υ ∞ = υ x∞ − iυ y∞ = υ ∞ (cos α − i sin α ) = υ ∞ e −iα ;
            dz
видим, что комплексная константа представляет одинаковую по величине
и направлению во всем потоке сопряженную скорость. Одинаковой будет
и комплексная скорость
                υ = υ∞ = υx∞ + iυy∞ = υ∞ (cos α + i sin α ) = υ∞ eiα ;
Следовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал од-
нородного потока со скоростью υ∞ , наклоненного к действительной оси
физической плоскости под углом α (рис. 1).
             W = υ ∞ z = (υ x∞ − iυ y∞ )z = υ ∞ e − iα z = υ ∞ (cos α − i sin α )z .
                                   Отделяя действительную и мнимую части,
                                   найдем потенциал скоростей ϕ и функцию
                                   тока ψ:
                                    W = υ ∞ (cos α − i sin α )(x + iy ) =
                                  = υ∞ [(x cos α + y sin α ) + i(− x sin α + y cos α )]
                                  Так как w = ϕ + i ψ, то
                                  ϕ = υ ∞ (x cos α + y sin α ) = υ x∞ x + υ y∞ y
             Рис.1
                           ψ = υ∞ (− x sin α + y cos α ) = − υ y∞ x + υ x∞ y
Здесь использованы соотношения z=x+iy; υ x∞ = υ∞ cos α, υ y∞ = υ ∞ sin α .


                                                                                          14


В частных случаях равенства α=0 и α=π/2, получим:
     ϕ = υ ∞ x , ψ = υ ∞ y → при α=0;
     ϕ = υ ∞ y, ψ = − υ ∞ x → при α=π/2.
Это будут потенциалы скорости и функции тока однородных потоков, на-
правленных соответственно вдоль осей X и Y;
б) логарифмическая функция W=A⋅lnz, где А – действительная величина.
Воспользовавшись полярными координатами (r,θ), полагая z=reiθ и учиты-
вая, что ln eiθ=iθ, получим
                            W=ϕ+iψ=A ln(r)+iθ,
откуда ϕ=А ln(r), ψ=Aθ.
Линиями тока служат лучи θ=const, выходящие из начала координат, изо-
потенциальными линиями – ортогональные к ним окружности r=const
(рис.2).




                 а                                         б
                                     Рис. 2
Картина линий тока на рис. 2 соответствует плоскому течению жидкости
из точечного источника (а) или к стоку (б), находящимся в начале коорди-
нат.
     Чтобы найти гидродинамическое значение коэффициента А, введем в
рассмотрение мощность (интенсивность) источника или стока Q, опреде-
лив эту величину как секундный объемный расход жидкости сквозь замк-
нутый контур, охватывающий источник или сток (в данном случае – нача-
ло координат), положительный для источника и отрицательный для стока.
                                         2π
                                                                    Q
     Так как Q= ∫C dψ, a ψ = Aθ , то Q = ∫ Adθ = 2πA, откуда A =       .
                                          0                         2π
     Тогда характеристическая функция для расположенного в начале ко-
ординат источника или стоке с секундным объемным расходом Q будет:
               Q              Q             Q
       W (z) =    ln z, a ϕ =    ln r и ψ =    θ.
               2π             2π            2π
                dW Q d ln z        Q                             ∂ϕ      1 ∂ϕ
     Далее υ =       =         =      , υ = υ 2 + υ θ , где υ r = , υθ =
                                                    2
                                                                              .
                 dz 2π dz         2πz                            ∂r      r ∂θ
                                               r




                                                                            15


                              Q ∂ ln r Q                                Q
     В нашем случае υ r =             =     , υ θ = 0, тогда υ = υ r =     ;
                              2π ∂r     2πr                            2πr

в) логарифмическая функция W=A lnz, где А – чисто мнимая величина,
равная Вi, где В – действительная константа. Тогда потенциалу W=Вilnz
будет соответствовать та же сетка кривых линий, что и во втором случае,
но только линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами.
                                         Картина линии тока соответствует цир-
                                         куляционному движению жидкости во-
                                         круг изолированного точечного вихря,
                                         расположенного в начале координат
                                         (рис. 3).
                                         Покажем это: поскольку в полярных ко-
                                         ординатах z=r⋅eiθ, то
                                         W = ϕ + iψ = Вi⋅lnz = Вi⋅(ln r+ iQ) =
               Рис. 3                    = -Bθ+ iB⋅ln r.
Отсюда ϕ=-Bθ; ψ=Bln r,
                    2π
                                                      Γ
так как Γ = ∫ dϕ = ∫ − Bdθ = −2πB , тогда B = − .
             C       0                                2π
Следовательно, комплексный потенциал циркуляционного потока с данной
циркуляцией Г будет равен:
                                             Γ           Γ
                          W = Bi ⋅ ln z = − i ⋅ ln z =     ln z .
                                             2π        2πi
При этом знак циркуляции Г определяется как положительный в предпо-
ложении, что направление интегрирования по контуру выбирается в такую
сторону, чтобы при этом площадь, ограниченная контуром, оставалась
слева.
                   Γ                        Γ
Далее ϕ = −Bθ =        θ , ψ = B ln r = − ln r ,
                  2π                        2π
    dW      Γ d ln z       Γ                           ∂ϕ               1 ∂ϕ   Γ
υ=       =             =       ; υ = υ2 + υθ ; υr =
                                                2
                                                           = 0 ; υθ =        =   ,
     dz 2πi dz            2πiz                         ∂r               r ∂θ 2πr
                                          r


                   Γ
тогда υ = υ θ =         .
                  2πr
Заметим, что как в случае источника (стока), так и в случае вихря распре-
деление абсолютной величины скорости будет:
                                Q                             Γ
в случае источника υ =             , в случае стока υ =           , то есть величина
                               2πr                           2πr
скорости обратно пропорциональна расстоянию от источника (стока) или
вихря. В начале координат скорость бесконечно велика – начало координат
является особой точкой поля скоростей.
      1.3. Математическая модель бесциркуляционного обтекания

                                                                                 16


               кругового цилиндра идеальной жидкостью

Для определения комплексного потенциала при бесциркуляционном обте-
кании кругового цилиндра радиусом a нужно решить уравнение нераз-
рывности
                      ∂υ x ∂υ y
                          +     =0    или div υ =0
                       ∂x   ∂y
при следующих граничных условиях:
а) при r=a υr=0, т.к. проекция вектора скорости υr перпендикулярна по-
           верхности цилиндра (рис. 4);
б) при r ∞ υr=υ∞ cosθ.
                                Решать уравнение неразрывности будем в
                                полярных координатах (r, θ). Его можно
                                получить, вводя так называемые коэффи-
                                циенты Ламэ:
                                                     2         2         2
                                             ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞
                                      Hi = ⎜ ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ ,
                                                  ⎟ ⎜      ⎟ ⎜      ⎟
                                             ⎝ i⎠ ⎝ i⎠ ⎝ i⎠
                                 где gi – криволинейные координаты.
              Рис. 4                  Величины Hi (параметры Ламэ)
имеют смысл коэффициентов пропорциональности в равенстве, выражаю-
щем связь между элементарным приращением dSi длины отрезка и прира-
щением соответствующей криволинейной координаты: dSi=Hidgi. Здесь
dS1, dS2, dS2 – длины ребер элементарной ячейки; g1, g2, g3, – оси криволи-
нейных координат. Тогда dS1=H1dg1, dS2=H2dg2, dS3=H3dg3.
                                    2        2           2
                           ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞
                      H1 = ⎜
                           ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ ,
                                ⎟ ⎜      ⎟ ⎜      ⎟
                           ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
                                   2          2          2
                           ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞
                      H2 = ⎜
                           ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ ,
                                ⎟ ⎜      ⎟ ⎜      ⎟
                           ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
                                   2         2           2
                               ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞
                       H3 = ⎜  ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ + ⎜ ∂g ⎟ .
                                     ⎟ ⎜         ⎟ ⎜       ⎟
                               ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
Из векторного анализа известно:
                       ⎡ ∂
         v
      divυ =
                1
                       ⎢     (υg1H 2 H 3 ) + ∂ (υg 2 H1H 3 ) + ∂ (υg3 H1H 2 )⎤ .
                                                                             ⎥
             H1H 2 H 3 ⎣ ∂g1                ∂g 2              ∂g 3           ⎦
В полярной системе координат криволинейными координатами являются
g1=r, g2=θ, связанные с декартовыми координатами следующими соотно-
шениями:
                             x = r cos(θ), y = r sin(θ).


                                                                             17


Найдем коэффициенты для нашего случая плоского обтекания:
                                2         2
                        ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞
                  H r = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = cos(θ) 2 + sin(θ) 2 = 1 ,
                        ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠
                            2         2
                       ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞
            H θ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = (−r sin(θ)) 2 + (r cos(θ)) 2 = r .
                       ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠
В криволинейных полярных координатах для плоского случая
                                   1 ⎡∂
                            v
                         divυ =               (υ r H θ ) + ∂ (υ θ H r )⎤ .
                                H r H θ ⎢ ∂r
                                         ⎣                 ∂θ          ⎥
                                                                       ⎦
                                                                   v 1⎡ ∂        ∂      ⎤
Подставляя значения Hr=1 и Hθ=r, получим                       divυ = ⎢ (rυ r ) + (υ θ )⎥ .
                                                                        r ⎣ ∂r   ∂θ     ⎦
Тогда уравнение неразрывности будет иметь вид:
          1∂
                (rυ r ) + 1 ∂ (υθ ) = 0 или ∂υr + υ r + 1 ∂ (υθ ) = 0 .             (1.11)
           r ∂r           r ∂θ                       ∂r      r r ∂θ
Это и есть уравнение неразрывности в полярных координатах для плоского
течения.
В работах Жуковского вводится функция потенциала скорости, опреде-
                                    ∂ϕ               1 ∂ϕ
ляемая соотношениями: υ r =              ; υθ =            , т.к. в полярных координатах
                                    ∂r               r ∂θ
приращениями координатных линий являются ∂r и r∂θ . Тогда подставляя
в уравнение (1.11) выражения для υr и υθ, получим:
                   ∂ 2 ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2 ϕ
                          +      +            =0.                                   (1.12)
                   ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2
Это дифференциальное уравнение является уравнением Лапласа, записан-
ным для плоской задачи в полярной системе координат. Его можно решать
методом Пуассона, согласно которому ϕ(r, θ) = R (r )ϑ(θ) . Найдем произ-
водные из (1.12), учитывая, что R зависит только от r, а ϑ зависит только
от θ:
                     ∂ϕ             ∂ 2ϕ                      ∂ 2ϕ
                          = R'ϑ ;          = R" ϑ ;                 = Rϑ" .
                      ∂r             ∂r 2                     ∂θ 2
Подставляя эти значения в уравнение Лапласа (1.12), получим:
      1          1
R" ϑ + R ' ϑ + 2 Rϑ" = 0 или, умножив на r2: ϑ(rR '+ r 2 R" ) + ϑ" R = 0 .
       r        r
Очевидно, что оно может быть записано в виде
                            ϑ"     (rR '+ r 2 R" )
                               =−                  = −n 2 .                         (1.13)
                            ϑ             R
Такая запись справедлива, поскольку левая часть зависит только от ϑ, а
правая - только от R. Введем коэффициент – n2, который изменяется в
пределах (1 ≤ n ≤ ∞ ). Тогда уравнение (1.13) распадается на два:


                                                                                        18


                                ϑ' '+ n 2 ϑ = 0         ⎫
                                                        ⎬                        (1.14)
                                 r 2 R"+ rR '− n 2 R = 0⎭
Первое уравнение системы (1.14) – это однородное линейное уравнение
второго порядка, его решение имеет вид:
                                 ϑ = С1 cos(nθ) + С2 sin(nθ).                    (1.15)
Второе уравнение системы (1.14) является уравнением Эйлера. Решение
этого уравнения ищется в виде: R=rm, тогда R’=m rm-1, R”=m(m-1)rm-2. Вно-
ся полученные значения во второе уравнение системы (1.14), получим сле-
дующее:
m(m-1) rm +m rm – n2rm = 0 ⇒ (m2 – n2)rm = 0 ⇒ (m2 – n2) = 0 и тогда m = ±n.
Следовательно, решение второго уравнения системы (1.14) следует искать
в следующем виде:
                                 R = C3 rn + C4 r-n.                             (1.16)
Тогда частный интеграл уравнения Лапласа (1.12) можно записать в сле-
дующем обобщенном виде:
    ϕ(r, θ) = R (r )ϑ(θ) = [A cos(nθ) + B sin(nθ)]r n + [C cos(nθ) + D sin(nθ)]r − n .
Общий интеграл исходного уравнения Лапласа для плоской задачи будет
равен сумме частных решений:
              ∞
    ϕ(r, θ) = ∑ [A n cos(nθ) + B n sin(nθ)]r n + [C n cos(nθ) + D n sin( nθ)]r −n .(1.17)
              n =1
Отыщем коэффициенты An, Bn, Cn, Dn, воспользовавшись граничными ус-
ловиями. Найдем
    ∂ϕ ∞
       = ∑ n[A n cos(nθ) + B n sin(nθ)]r n −1 − ∑ n[C n cos(nθ) + D n sin(nθ)]r − n −1 .
                                                 ∞


    ∂r n =1                                     n =1

                                                        ∂ϕ
Возьмем второе граничное условие: при r →∞                  = υ r = υ∞ cos(θ) .
                                                        ∂r
В этом случае при n=1, υ∞cos(θ) = A1 cos(θ) и, следовательно, A1 = υ∞. Дру-
гие коэффициенты A2 = A3 =… An =0; B1 = B2 =… Bn = 0 при всех осталь-
ных n>1. Тогда производную можно записать в следующем виде:
                                   ∞
              ∂ϕ
                  = υ∞ cos(θ) − ∑ [C n cos(nθ) + D n sin(nθ)]r −n −1 .
              ∂r                  n =1
                                                         ∂ϕ
Возьмем другое граничное условие: при r=a                    = υ r = 0 . В этом случае
                                                         ∂r
при n=1: 0 = υ∞ cosθ - C1 a-2 cosθ, откуда С1= υ∞a2, C2 = C3 =…=Cn=0 и
D1 = D2 = …= Dn = 0 при всех n > 1.
Подставим все найденные значения коэффициентов An, Bn, Cn и Dn в об-
щий интеграл уравнения Лапласа (1.17) и получим искомый потенциал
скоростей:




                                                                                      19


                                          a2                  ⎛     a2 ⎞
                  ϕ(r, θ) = rυ∞ cos θ + υ∞    cos θ = υ∞ cos θ⎜ r + ⎟ .
                                                              ⎜             (1.18)
                                            r                 ⎝      r ⎟
                                                                       ⎠
Для нахождения характеристической функции W(z) надо найти ортого-
нальную к функции ϕ функцию тока ψ. Воспользуемся условиями Коши –
Римана, которые в полярной системе координат запишутся так:
                             ∂ϕ ∂ψ          ∂ϕ      ∂ψ
                                =      ;       =−       .
                             ∂r r∂θ        r∂θ       ∂r
                        ∂ψ ∂ψ
Найдем производные          и      .
                        ∂r     ∂θ
                          ∂ψ      ∂ϕ           ∂ψ       ∂ϕ
                              =−      ;             =r .
                          ∂r      r∂θ          ∂θ       ∂r
                          ∂ϕ              ⎛    a ⎞
                                                 2
                                                                  ⎛ a2 ⎞
Тогда с учетом (1.18)                     ⎜ r + ⎟ = − rυ∞ sin θ⎜1 + 2 ⎟ и, следо-
                              = − υ∞ sin θ⎜
                          ∂θ              ⎝     r ⎟⎠
                                                                  ⎜
                                                                  ⎝    r ⎟
                                                                         ⎠
вательно:
   ∂ψ     ∂ϕ            ⎛ a2 ⎞
а)    =−      = υ∞ sin θ⎜1 + 2 ⎟ ;
                        ⎜
   ∂r     r∂θ           ⎝    r ⎟⎠
     ∂ψ    ∂ϕ             ⎛ a2 ⎞             ⎛    a2 ⎞
б)      =r    = rυ ∞ cos θ⎜1 − 2 ⎟ = υ∞ cos θ⎜ r − ⎟ , т.к. с учетом (1.18):
     ∂θ    ∂r             ⎝   r ⎠            ⎝     r ⎠
∂ϕ            ⎛ a2 ⎞
   = υ ∞ cos θ⎜1 − 2 ⎟ .
∂r            ⎝   r ⎠
                         ∂ψ      ∂ψ
Интеграл от функции dψ =    dr +    dθ (как полного дифференциала) яв-
                         ∂r      ∂θ
ляется криволинейным интегралом 2 рода. Берется он следующим обра-
                         ∂ψ                     ⎛    a2 ⎞
зом: сначала интегрируем                        ⎜ r − ⎟ + C(θ) , затем по-
                             по r : ψ = υ∞ sin θ⎜
                         ∂r                     ⎝     r ⎟
                                                        ⎠
лученное выражение дифференцируем по θ:
                         ∂ψ             ⎛    a2 ⎞
                                        ⎜ r − ⎟ + C' (θ) .
                              = υ∞ cos θ⎜
                          ∂θ            ⎝      r ⎟
                                                 ⎠
                                             ∂ψ
Результат сравниваем с производной                , записанной ранее: получаем
                                              ∂θ
                                                             ⎛   a2 ⎞
C' (θ) = 0 ,тогда С(θ)=const, и, следовательно, ψ = υ∞ sin θ⎜ r − ⎟ + const .
                                                             ⎜
                                                             ⎝    r ⎟
                                                                    ⎠
Итак, опуская константу, что не меняет физической картины течения, по-
лучаем
                                    ⎛     a2 ⎞
                        ψ = υ∞ sin θ⎜ r − ⎟ .
                                    ⎜                                    (1.19)
                                    ⎝      r ⎟
                                             ⎠

                                                                               20



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика