Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    косым скачком уплотнения происходит торможение потока (наличие ско-
рости υ2>υ2 свидетельствует о существовании скачка разрежения, что в
термодинамическом отношении не имеет места из-за уменьшения энтро-
пии, а это невозможно). Поэтому точка 3 и вообще обе бесконечные ветви
строфоиды, расположенные вправо от точки В и уходящие к асимптоте,
являются нерабочими. Следовательно, рабочими точками, имеющими фи-
зический смысл, могут быть только точки 1 и 2.
     При определенных углах обтекания клина или сверхзвукового течения
внутри тупого угла за косыми скачками уплотнения может наблюдаться и
сверхзвуковое течение, следовательно, интенсивность косого скачка уп-
лотнения всегда меньше прямого скачка уплотнения, поскольку после
прямого скачка уплотнения скорость потока всегда дозвуковая.
    Так как точка 3 противоречит второму закону термодинамики (не реа-
лизуется), то ударную поляру часто изображают так (рис. 26):




                                     Рис. 26
Такая диаграмма в координатах (υ2x/a*; υ2y/a*) позволяет весьма просто
найти все основные величины:υt, υ1n, υ2n и угол β, характеризующий косой
скачок уплотнения. Для этого из начала координат (см. рис. 27) под углом
θ (угол полураствора клина, или угол отклонения потока за скачком уп-
лотнения) проводят прямую линию до пересечения с полярой (например,
точка E). Затем из точки B через точку E проводят прямую линию и к ней
из начала координат восстанавливают перпендикуляр (линия OG). Тогда
угол GOB=β, а отрезок JG представляет собой касательную составляющую
               r    r
υt скоростей υ1 и υ 2 (т.к. υt = υ1cosβ или OG=OBcosβ), деленную на a*.
Отрезок GE представляет собой нормальную составляющую υ2n скорости
r
υ 2 (υ2n = υ2sin(β-θ) или GE=OEsin(β-θ), деленную на a*. Отрезок BG пред-
                                                          r
ставляет собой нормальную составляющую υ1n скорости υ1 (υ1n=υ1sinβ или
BG=OBsinβ), деленную на a*. Аналогично можно найти параметры потока
по этой диаграмме и для точки D, также характеризующей отношение
υ2/a*, но для другого возможного направления косого скачка уплотнения


                                                                       91


                                                 r                   r
β’ (причем β’>β). Поскольку в точке D скорость υ 2 меньше скорости υ 2 в
                                      r
точке E (при одной и той же скорости υ1 ), то, следовательно, точке D со-
ответствует косой скачок большей интенсивности, или по-другому, боль-
шим углам соответствуют косые скачки уплотнения большей интенсивнос-
ти.




                                 Рис. 27

    По условию набегающий поток является сверхзвуковым, следователь-
но, отрезок OB=υ1/a*>1. С другой стороны, из уравнения (3.62) легко за-
ключить, что точка A пересечения строфоиды с осью υ2x/a* (т.е. при
                                   a*
υ2y=0) будет иметь абсциссу OA =      < 1 (т.к. υ1>a*, поток сверхзвуко-
                                   υ1
вой). Отсюда следует, что на оси υ2x/a* между точками A и B будет нахо-
диться точка S, соответствующая критической скорости, т.е. отрезок OS=1
(причем в этой точке выполняется условие инверсии OA⋅OB=OS2). Окруж-
ность радиуса OS=1 разграничивает области до- и сверхзвуковых течений
(υ2/a*<1 и υ2/a*>1) . Другими словами, окружность радиуса OS=1 очерчи-
вает на строфоиде области, где скорости υ2 за косым скачком уплотнения
могут быть дозвуковыми (υ2/a*<1) и сверхзвуковыми (υ2/a*>1). Отметим
также, что существует такое значение угла θ=θmax, при котором точки D и
E сольются в одну, и ей будет отвечать лишь одно значение угла β и лишь
одно расположение косого скачка уплотнения. Это будет предельный слу-
чай так называемого присоединенного скачка уплотнения (рис. 28, а).




                                                                       92


                       а                                                б
                                         Рис. 28

Если же θ>θmax, то образуется отсоединенный криволинейный скачок уп-
лотнения (рис. 28, б), расчет которого является более сложной задачей, чем
было изложено выше. Элементарная теория косого скачка уплотнения дей-
ствительна лишь при обтекании клина или течения внутри тупого угла до
таких углов θmax, при которых скачок уплотнения является присоединен-
ным. Следовательно, нужно всегда сверять по ударной поляре заданный
угол θ с углом θmax, так как все приведенные соотношения справедливы
лишь для углов θ<θmax.
                                               В инженерной практике избе-
                                         гают делать обводы тел, движущих-
                                         ся в потоке, с углами θ>θmax (этот
                                         случай бывает только для неудобо-
                                         обтекаемых тел (рис.29), но такие
                                         контуры стараются не делать). Оп-
                                         ределим связь между углами β и θ
                                         при заданном числе M1 набегающе-
                   Рис.29                го потока. С этой целью воспользу-
                                         емся соотношением Прандтля для
косого скачка уплотнения: υ1n υ 2 n = a *2 . Учитывая, что υ1n=υ1sinβ,
υ 2 n = υ 2 sin(β − θ) , получим:
       υ1n υ 2 n = υ1 sin(β) ⋅ υ 2 sin(β − θ) = υ1 sin β cos β ⋅ tg (β − θ) = a *2 ,
                                                    2


                                                                      cos β
поскольку υ t = υ 2 cos(β − θ) = υ1 cos(β) , откуда υ 2 =                    .
                                                                  cos(β − θ)
                                              k −1 2
Тогда: υ1 sin β cos β ⋅ tg (β − θ) = a *2 −
        2
                                                    υ1 cos 2 β = a *2 .              (3.66)
                                              k +1
Из соотношения (3.66) получается зависимость между углами β, θ и скоро-
стным коэффициентом λ1.
Разделим обе части этого равенства на a*2:
                                                        k −1 2
                    λ2 sin β cos β ⋅ tg (β − θ) = 1 −
                      1                                      λ 1 cos 2 β ,
                                                        k +1
                                     ⎛                    k −1⎞
                        λ2 cos 2 β ⋅ ⎜ tgβ ⋅ tg (β − θ) +
                          1                                     ⎟ =1
                                     ⎝                    k + 1⎠


                                                                                         93


и тогда
                                  ⎛                    k −1⎞
                        cos 2 β ⋅ ⎜ tgβ ⋅ tg (β − θ) +       ⎟ = 1 / λ1 .
                                                                      2
                                                                                (3.67)
                                  ⎝                    k + 1⎠
Заменяя в уравнении (3.67) λ1 на число Маха М1 по формуле
                               1 k −1             2 1
                                    =         +            ,
                               λ1 k + 1 k + 1 M1
                                 2                       2


получим:
          tg (β − θ)     k − 1 cos 2 β        1       1        2          1
                     =−                  +        ⋅ 2 +             ⋅ 2     ,
              tgβ        k + 1 sin β k + 1 sin β k + 1 M 1 sin 2 β
                                     2


                       tg (β − θ) k − 1           2        1
                                    =         +                   ,
                           tgβ         k + 1 k + 1 M 1 sin 2 β
                                                         2


                tg (β − θ) (k − 1)M 1 sin 2 β + 2 1 + k2 1 M 1 sin β + 2
                                     2                    −     2    2
                          =                        =                      . (3.68)
                    tgβ      (k + 1)M 1 sin 2 β
                                       2                 k +1
                                                          2   M 1 sin 2 β
                                                                2


Разрешая равенство (3.68) относительно tgθ, получим:
                                                   1
                                       sin 2 β − 2
                                                 M1
                            tgθ =                         ctgβ .            (3.69)
                                   k +1                1
                                         − sin β + 2
                                               2

                                     2                M1
     Как было ранее отмечено, каждому заданному значению θ<θmax соот-
ветствуют два значения β. Эта двузначность в определении угла наклона
косого скачка уплотнения S по заданному значению θ соответствует сущ-
ности явления прохождения газа через косой скачок уплотнения, от давле-
ния за которым зависит режим течения. Как следует из формулы (3.55):
                            p2      2k                 k −1
                                =        M 1 sin 2 β −
                                           2
                                                              ,             (3.70)
                            p1 k + 1                   k +1
большему значению угла β отвечает и большее значение отношения p2/p1
давлений за и перед скачком. А поскольку, как уже говорилось, это отно-
шение давлений служит мерой интенсивности (мощности) скачка, то
большему значению угла β будет соответствовать более интенсивный ска-
чок уплотнения. Скачок уплотнения, соответствующий большему значе-
нию β, называют сильным скачком уплотнения, а соответствующий мень-
шему значению β – слабым скачком уплотнения. Фронт сильного скачка
уплотнения служит поверхностью (в плоском движении – линией) сильно-
го изменения кинематических, газо- и термодинамических характеристик
потока газа, фронт слабого скачка – поверхностью (линией) слабого изме-
нения этих величин.




                                                                                   94


                                Оба типа изменений наблюдаются, на-
                                пример, в отсоединенных волнах (см.
                                рис. 30) при θ>θmax (AC – отсоединенный
                                скачок уплотнения). Выясним условия,
                                при которых поток за косым скачком уп-
                                лотнения будет до- или сверхзвуковым.
                                Для этого воспользуемся формулой
                                (3.28) зависимости числа Маха M2 за
                                скачком от числа M1 до скачка для пря-
             Рис. 30            мого скачка уплотнения и произведем
замену в этой формуле M1 на M1sinβ и M2 на M2sin(β-θ), справедливых для
косого скачка уплотнения. Тогда получаем искомую формулу связи:
                                                   k −1 2
                                        1+                M 1 sin 2 β
                       M 2 sin 2 (β − θ) =            2               . (3.71)
                         2
                                                                k −1
                                             kM 2 sin (β) −
                                                  2     2

                                                                   2
Пользуясь этим выражением и соотношением
                                   sin 2 β − 1 / M 12
                       tgθ =                              ctgβ ,        (3.72)
                              k +1
                                     − sin β + 1 / M 1
                                           2            2

                                2
можно выразить число Маха за косым скачком уплотнения M2 через число
M1 до скачка и угол β. При этом при одном и том же M1 двум различным
значениям β, соответствующим сильному и слабому скачкам, будут отве-
чать два отличных друг от друга значения M2, причем сильный скачок уп-
лотнения, подобно прямому, переводит сверхзвуковой поток в дозвуковой,
а слабый скачок почти всегда сохраняет поток сверхзвуковым.
    Если θ>θmax, то, как указывалось, наличие прямолинейного присоеди-
ненного к вершине угла (клина) 0 косого скачка уплотнения невозможно.
Вверх по течению перед точкой 0 возникает криволинейная «головная»
ударная волна или отсоединенный скачок уплотнения АС (рис. 30). В не-
посредственной близости к точке А отсоединенный скачок АС ведет себя
как прямой, а при удалении от точки А сначала как сильный косой скачок,
а затем с уменьшением местного угла β постепенно ослабевает и перехо-
дит в прямолинейный косой скачок. При этом за отсоединенным скачком
уплотнения имеет место как до-, так и сверхзвуковое течение газа. За уча-
стком АВ образуется дозвуковая зона течения, за участком ВС – сверхзву-
ковая. Эти две зоны потока за скачком разделяются линией ВD, вдоль ко-
торой скорость газа равна местной скорости звука.



                       Библиографический список


                                                                           95


1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,1987. 840 с.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука,1984. 560 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехтео-
   ретиздат, 1954. 795 с.
4. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука,
   1981. 448с.
5. Прандтль Л. Гидромеханика. М.: Изд-во иностранной литературы,
   1951. 370 с.
6. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Ч. I, II. М.: Наука, 1991.
   600 с., 304 с.
7. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.
   370 с.
8. Загузов И.С. Аэрогидромеханика разрывных течений идеального газа:
   Учебное пособие. Самара: Изд-во СамГУ, 1992. 76 с.
9. Механика сплошных сред в задачах. Т.1,2 / Под ред. М.Э. Эглит. М.:
   Московский Лицей, 1996, 396 с., 394 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ




                                                                     96


ВВЕДЕНИЕ ……….………………………………………………………                                3

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОДИНАМИКЕ ……...                     6
    1.1. Математическая модель плоского движения
         идеальной несжимаемой жидкости ...…………………….              8
    1.2. Комплексные потенциалы и характеризуемые ими
         виды движений ……………………………………………...                       10
    1.3. Математическая модель бесциркуляционного
         обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью ..      15
    1.4. Математическая модель циркуляционного
         обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью ..      23
    1.5. Теорема Жуковского о подъёмной силе крыла …………           27
    1.6. Математическая модель обтекания крылового
         профиля по методу конформных отображений …………            30

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ..                     35
    2.1. Изоэнтропийные соотношения для идеального газа …..       36
    2.2. Математическая модель движения газа по соплу Лаваля      42
    2.3. Распространение малых возмущений
         в потоке сжимаемого газа ………………………………….                  48
    2.4. Математическая модель плоского безвихревого
         движения идеального сжимаемого газа ……………….…             51
    2.5. Линейные преобразования Прандтля
         для определения малых возмущений параметров газа …       53
    2.6. Математическая модель дозвукового обтекания
         тонкого профиля потоком идеального сжимаемого газа       58
    2.7. Математическая модель сверхзвукового обтекания тонкого
         профиля потоком идеального сжимаемого газа               62

 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ..                    68
     3.1. Сильные разрывы в газе. Прямые и косые
          скачки уплотнения ……………………………..……………                    69
     3.2. Математическая модель прямого скачка уплотнения ….      72
     3.3. Ударная адиабата Гюгонио для разрывных течений …..      74
     3.4. Уравнение Прандтля для прямого скачка уплотнения ...    77
     3.5. Изменение характерных параметров газа
          при прямом скачке уплотнения …………………………...              80
     3.6. Математическая модель косого скачка уплотнения ……       83
     3.7. Ударная поляра ……………………………………………...                     87

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………………..                           94




                                                                  97



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика