Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие

Голосов: 0

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели основных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динамике, а также математические модели разрывных течений. Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов (специальность "прикладная математика") и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     И.С. Загузов, К.А. Поляков


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
 В АЭРОГИДРОМЕХАНИКЕ
          ЧАСТЬ II




           Самара
            2002




                              1


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
   САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

    Кафедра математического моделирования в механике




            И.С. Загузов, К.А. Поляков

        МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
         В АЭРОГИДРОМЕХАНИКЕ
                      ЧАСТЬ II
                    Учебное пособие


       Рекомендовано научно-методическим советом
      по прикладной математике УМО университетов
                в качестве учебного пособия




          Издательство "Самарский университет"
                          2002

                                                       2


     БКК 22.253
     УДК 532.517
          3 148

    Загузов И.С., Поляков К.А. Математические модели в аэрогид-
ромеханике. Часть 2: Учебное пособие. Самара: Изд-во «Самарский
университет», 2002. 96 С.

      ISBN 5-86465-86-9

      В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование
в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны
принципы математического моделирования аэрогидромеханических
процессов и математические постановки основных задач о движении
идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели ос-
новных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динами-
ке, а также математические модели разрывных течений.
      Пособие предназначено для студентов механико - математических
факультетов университетов (специальность «прикладная математика»)
и может быть полезным для научных работников в области аэрогидро-
механики.
                                                      БКК 22.253
                                                      УДК 532.517



     Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Е. В. Шахматов,
                д-р физ.-мат. наук, проф. В. И. Астафьев




      ISBN 5-86465-86-9



                                   © Загузов И.С., Поляков К.А., 2002
                                   © Издательство "Самарский
                                     университет", 2002




                                                                        3


                     Загузов Игорь Степанович,
                  Поляков Константин Анатольевич



                МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
                 В АЭРОГИДРОМЕХАНИКЕ

                                 ЧАСТЬ II

                             Учебное пособие




                           Редактор Т.И. Кузнецова
                     Компьютерная верстка Т.В. Кондратьева


Лицензия ИД № 06178 от 01.11.2001. Подписано в печать 22.05.02. Формат 60 84/16.
   Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. ; уч.-изд. л. .Гарнитура Times.
                            Тираж 150 экз. Заказ №
  Издательство «Самарский университет», 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
                     УОП СамГУ, ПЛД № 67-43 от 19.02.98.




                                                                                    4


                               ВВЕДЕНИЕ

     Жидкости и газы с точки зрения механики различаются только степе-
нью сжимаемости. В условиях, когда это свойство не проявляется или не
является определяющим, решения уравнений движения сплошной среды
оказываются одинаковыми как для жидкостей, так и для газов, Этим объ-
ясняется существование дисциплины, называемой аэрогидромеханикой,
или механикой жидкостей и газов. Если при изложении этой дисциплины
преобладают вопросы движения жидкостей, то ее обычно называют просто
гидромеханикой.
     В аэрогидромеханике широко используются математические методы, бла-
годаря чему получаемые в ней результаты обладают строгостью и точностью.
Однако сложность механической структуры движений реальных жидкостей и га-
зов не позволяет получить такие результаты для большинства случаев, важных
для практики, поэтому широко используют приближенные уравнения и прибли-
женные методы их решений. Такие решения требуют обязательной проверки, а
иногда и корректировки согласно экспериментальным данным. Кроме того, экс-
перимент в аэрогидромеханике служит для получения определяющих соотноше-
ний и условий однозначности, без чего нельзя построить достоверные расчетные
модели.
     Аэрогидромеханика находит применение в большинстве отраслей
техники и для многих из них является теоретической базой. К числу по-
следних относятся авиация, ракетостроение, энерго-, машиностроение,
атомная энергетика, теплотехника, водный транспорт и др. Для каждой из
этих отраслей характерен свой круг задач и соответствующих методов их
решения. Однако все они основываются на общих законах сохранения, а
также на некоторых общих методах моделирования аэрогидромеханиче-
ских явлений.
     Одной из главных целей математического моделирования является
получение основных параметров, характеристик или свойств исследуемого
процесса. За последние годы существенно повысился практический инте-
рес к разработке математических моделей в новых отраслях науки и тех-
ники. Проникновение математических средств моделирования в важные
сферы человеческой деятельности означает возможность пользоваться но-
выми, весьма плодотворными средствами исследования. Вместе с тем на
практике оказывается, что одних лишь математических знаний недоста-
точно для решения той или иной прикладной задачи – необходимо еще по-
лучить навыки в переводе исходной формулировки физической задачи на
математический язык. Собственно, в этом и состоит проблема овладения
искусством математического моделирования.
     Математическая модель представляет собой упрощение реальной си-
туации. Это упрощение наступает тогда, когда несущественные параметры
и связи отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализиро-


                                                                           5


ванной, поддающейся математическому решению и анализу. Именно при
таком подходе в прикладной математике возникли блоки без трения, иде-
альные (невязкие) жидкости и др. Этих понятий нет в реальной действи-
тельности. Они являются абстракциями, идеализацией процесса, предпри-
нятой автором математической модели. И, однако, во многих случаях они
дают хорошее приближение к реальной ситуации, реальному процессу.
     Поэтому, несмотря на то, что все без исключения реальные жидкости
обладают вязкостью, является целесообразным начать изучение аэрогид-
ромеханики в предположении, что скольжение частиц жидкости друг по
другу не встречает со стороны последней никакого сопротивления. Такая
жидкость, лишенная вязкости, называется идеальной или совершенной.
Многие выводы, полученные для идеальной жидкости, оказываются при-
менимыми к решению всех чисто практических задач, в которых вязко-
стью жидкости можно пренебречь.
     Из определения идеальной жидкости следует, что развивающиеся в ней
внутренние силы не могут иметь касательных составляющих, препятствующих
скольжению частиц; следовательно, эти силы в идеальной жидкости всегда на-
правлены по нормалям к поверхностям, проведенным внутри жидкости, и долж-
ны рассматриваться как давления.
     Различие между идеальной и вязкой жидкостью проявляется только при
движении. Уравнения же равновесия и для идеальной, и для вязкой жидкости
имеют одну и ту же форму. Это следует из того, что при равновесии жидкости
нет скольжения частиц друг по другу, а раз нет скольжения, то не будет и сопро-
тивления скольжению. Другими словами, вязкость жидкости проявляется только
при ее движении. При равновесии же внутренние силы и в вязкой жидкости
представляют собой давления, нормальные к поверхности частиц и направлен-
ные внутрь последних.
     В идеальных жидкостях и газах отсутствует не только вязкость, но и
перенос тепла и вещества. В отличие от идеальных жидкостей, в реальных
жидкостях происходят процессы теплопереноса и диффузии покоящихся и
движущихся жидкостей. Законы переноса тепла и массы имеют вид, ана-
логичный закону трения Ньютона.
     Жидкости и газы отличаются друг от друга внутренней структурой. В жид-
костях межмолекулярные расстояния весьма малы, а, следовательно, силы сцеп-
ления между ними достигают больших значений. В газовых средах силы взаимо-
действия относительно малы, так как расстояния между молекулами велики. По
этой причине формы движения частиц в жидкостях и газах оказываются сущест-
венно различными. Вследствие различия в молекулярном строении жидкости и
газы обладают разными физическими свойствами. Жидкости, как правило, мож-
но считать слабо сжимаемыми средами или, в пределе, несжимаемыми. В про-
цессе движения частицы жидкости практически не меняют объема; плотность
жидкостей при умеренных перепадах давления можно принимать постоянной.
     Характерной особенностью жидкостей следует считать также их ка-


                                                                             6


пиллярные свойства. В результате проявления этих свойств на границах
раздела жидкостей и газов образуются поверхности свободного уровня,
мениски, капли.
     Газы, в отличие от жидкостей, характеризуются проявлением сжи-
маемости: их плотность является переменной величиной. Вместе с тем при
малых скоростях движения, т. е. при малых перепадах давления и в отсут-
ствие теплообмена, сжимаемость газов проявляется слабо. Подчеркнем,
что при больших перепадах давления сжимаемость обнаруживается и в
жидкостях, однако она по сравнению с газами несоизмеримо мала. Часто
газы называют сжимаемыми жидкостями.
     В связи с интенсивным развитием скоростной авиации и космической
техники возникли проблемы создания математических моделей движения
газов при высоких температурах (течения в камерах сгорания авиационных
и ракетных двигателей и обтекание корпусов ракет и т.д.) и больших
сверхзвуковых скоростях (в соплах двигателей).
     Заметим, что все задачи о движении тел в газовой (воздушной) среде
или о движении газа в различных каналах составляют раздел аэрогидроме-
ханики, который называют аэродинамикой.
     Когда скорость движения газа становится сравнимой со скоростью
звука или превышает ее, на передний план выдвигаются эффекты, связан-
ные со сжимаемостью газа. Такого рода движения на практике имеют ме-
сто у реальных газов. Поэтому об аэродинамике больших скоростей гово-
рят обычно как о газодинамике.
     Прежде всего, следует заметить, что в газодинамике почти всегда
приходится иметь дело с очень большими значениями чисел Рейнольдса
(Re = υL/ν, где υ – скорость газа, L – характерный размер, ν – кинематиче-
ская вязкость). Действительно, кинематическая вязкость реального газа,
как известно из кинетической теории газов, – порядка величины произве-
дения длины свободного пробега молекул l на их среднюю скорость теп-
лового движения, которая совпадает по порядку величины со скоростью
звука a, так что ν ~ al. Если же и характеристическая скорость газодина-
мической задачи – порядка величины скорости звука, то число Рейнольдса
       aL L
Re ~     ~ , т.е. оно определяется заведомо очень большим отношением
       al l
характеристических размеров L к длине свободного пробега l (здесь не
рассматривается движение тел в очень разреженных газах, когда длина
пробега молекул сравнима с размерами тела – это специальный вопрос ки-
нетической теории газов). Как всегда, при очень больших значениях Re
вязкость оказывается несущественной для движения газа практически во
всем пространстве, и в дальнейшем реальный (вязкий) газ будет рассмат-
риваться как идеальный.



                                                                         7


           I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОДИНАМИКЕ


Эти модели охватывают разнообразные задачи плоских безвих-
ревых движений идеальной несжимаемой жидкости. Рассмот-
рим теоремы Кельвина и Лагранжа об условиях существования
таких безвихревых течений.
     Согласно кинематической теореме Кельвина об изменении во времени
циркуляции вектора скорости, индивидуальная производная во времени от
циркуляции вектора скорости по замкнутому жидкому (т.е. состоящему во
все время движения из одних и тех же частиц жидкости) контуру равна
циркуляции вектора ускорения по тому же контуру, т.е.
                                                  r
                             d r r              dυ r
                            dt C
                                 ∫ υ ⋅ d r = ∫C dt ⋅ d r .                           (1.1)
                                                              v
                                                             dυ r 1
     Возьмем уравнение движения Эйлера:                         = F − grad p , которое, в
                                                             dt      ρ
случае потенциальности объемных сил и баротропности движения, можно
записать в виде:
                               v
                            dυ
                                  = −grad(P + П ) ,                                  (1.2)
            r                dt
поскольку F = −grad П (когда объемные силы имеют потенциал П), а гра-
диент функции давления Р при баротропном процессе
                                                    1
                                    grad P = − grad p .
                                                    ρ
Подставляя уравнение (1.2) в (1.1), получим:
                  d r r                                    r
                  dt
                     ∫C υ ⋅ d r = − ∫C grad(П + P) ⋅ d r = − ∫C d(П + Р),
              r d r
т.к. grad ⋅ d r = r ⋅ d r = d .
                 dr
     При однозначности функций Р и П контурный интеграл по замкнуто-
му контуру от полного дифференциала равен нулю, и тогда:
                                          d r r
                                         dt
                                            ∫ υ ⋅ dr = 0 .
                                     r r
Следовательно,                Γ = ∫ υ ⋅ d r = const                                 (1.3)
     Уравнение (1.3) и является выражением теоремы Кельвина.
При баротропном движении идеальной жидкости под действием поля объ-
емных сил с однозначным потенциалом циркуляция вектора скорости по
замкнутому жидкому контуру не меняется.
Если учесть, что согласно теореме Стокса циркуляция вектора
скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивно-

                                                                                        8


сти вихревых трубок, опоясанных этим контуром, то можно на
основании теоремы Кельвина заключить, что при принятых до-
пущениях о баротропности движения и наличии однозначного
потенциала объемных сил сохраняется также и интенсивность
вихревых трубок:
                       ∫ (rot υ) n ds = const .
                          S

     Предположим, что в начальный момент времени во всех точках об-
ласти, заполненной жидкостью, отсутствуют завихренности, т.е. элемен-
тарные жидкие объемы движутся без вращения, совершая лишь поступа-
тельное и деформационное движения. Тогда постоянная, стоящая в правой
части последнего уравнения, будет равна нулю, и в любой другой момент
времени сохранится равенство:
                                ∫ (rot υ) n ds = 0 .
                                S
                    r                  r
Следовательно, (rot υ) n = 0 или rot υ = 0
Отсюда следует теорема Лагранжа.
     Если во всех точках баротропно движущейся под действием объем-
ных сил с однозначным потенциалом идеальной жидкости вектор вихря
скорости в начальный момент времени был равен нулю, то движение ос-
танется безвихревым и в любой последующий момент времени.
     По аналогии из теоремы Лагранжа следует также, что если вначале
движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.
В действительности, при движении реальной жидкости приходится на-
блюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений.
Главной причиной такого нарушения справедливости теорем Кельвина
и Лагранжа служит наличие в реальной жидкости внутреннего трения
(вязкости), особенно существенного в тонком пограничном слое на по-
верхности обтекаемого тела и в аэродинамическом следе за телом.
Кроме того, возможно образование поверхностей разрыва сплошности
жидкости, неустойчивых и сворачивающихся в дискретные вихри. Та-
ковы, например, наблюдаемые в следе за обтекаемым телом вихревые
дорожки Кармана.
     Однако для идеальной жидкости теоремы Кельвина и Лагранжа
являются справедливыми, и тогда рассмотрим для нее понятие потен-
циала скоростей. Если движение жидкости безвихревое, то из условия
                                                     r
равенства нулю вектора вихря скорости rotυ следует существование
функции ϕ, зависящей от координат и времени, связанной со скоростью
 r              r
υ равенством: υ = gradϕ , или в проекциях на оси прямоугольных де-
картовых координат:
                           ∂ϕ                ∂ϕ        ∂ϕ
                     υx =     ;       υy =      ; υz =    .
                           ∂x                ∂y        ∂z


                                                                    9


Функция ϕ называется потенциалом поля скоростей или потенциалом
скоростей. Ранее мы шли от противного и говорили: если существует
потенциал скорости ϕ, связанный с вектором скорости соотношением
r                                                                           r
υ = gradϕ (т.е. течение потенциально), то вектор вихря скорости rotυ
равен нулю (т.е. течение безвихревое). Это вытекает из следующих со-
отношений, записанных с помощью оператора Гамильтона ∇.
                                 r
                                 υ = gradϕ = ∇ϕ ,
                 r      r              r
             rotυ = ∇ × υ , тогда rotυ = ∇ × (∇ϕ) = (∇ × ∇)ϕ = 0 ,
т.к. векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Уравне-
ние поверхности уровня потенциала скоростей: ϕ( x , y, z, t ) = const , в случае
стационарного поля ϕ( x , y, z) = const .

           1.1.   Математическая модель плоского движения
                   идеальной несжимаемой жидкости

     Под плоским движением понимается такое движение, когда во
всех плоскостях, перпендикулярных поверхности обтекания, движение
частиц остается одинаковым. В этом случае достаточно рассмотреть
задачу обтекания контура в одной плоскости, все прочие поверхности
обтекания представляют собой непрерывную систему параллельных
плоскостей, в которых течение является одинаковым. Поэтому можно,
например, вместо пространственного обтекания крыла бесконечного
размаха рассмотреть плоское обтекание крылового контура.
     Здесь возникает необходимость применения теории функций ком-
плексного переменного к задаче плоского безвихревого обтекания тел
несжимаемой идеальной жидкостью.
     Жуковский показал, что задача обтекания кругового цилиндра на-
бегающим идеальным потоком решается аналитически до конца. Тогда
это решения можно распространить на произвольный контур, если
плоскость круга отображается на плоскость этого контура, т.е. исполь-
зовать метод конформных отображений. Кинематическая задача охва-
тывается уравнением неразрывности для плоского движения несжи-
                     r
маемой жидкости divυ( x , y) = 0 или
                                    ∂υ x ∂υ y
                                        +     =0.                   (1.4)
                                     ∂x   ∂y
Это уравнение можно решить, если ввести новую функцию тока ψ, такую,
что
                                   ∂ψ           ∂ψ
                              υx =     , υy = −    .                (1.5)
                                   ∂y           ∂x




                                                                             10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика