Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Элементы геометрии треугольника: Лекция для школьников старших классов

Голосов: 0

Геометрия треугольника справедливо считается одним из интереснейших разделов элементарной геометрии. В данной брошюре рассматриваются различные замечательные точки и прямые треугольника, а также некоторые преобразования плоскости, связанные с треугольником. Брошюра содержит краткое введение в барицентрическое исчисление - один из основных методов исследования свойств треугольника. Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 13 апреля 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                   НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ                                                                              Библиотека
                                                                                                                                  «Математическое просвещение»

                                                              L
                                                              L                                     Fll(Fm (L))
                                                                                                       (Fm (L))
                                                         I
                                                         I                                        L
                                                                                                  L
                  M I
                  M I
                 N S
                 N S                                 IS
                                                     IS                            Lm
                                                                                    m
                                                   Lm m
                                                   Lm m
                                                                                         O
                                                                                         O

    1) N — S — M — I, где S —
    точка Шпикера — центр
                                      5) Lm =Fm (L) — Im — S.         10) O — L — Fl (Fm (L)).
                                                                                                                                      А. Г. Мякишев
    вписанной окружности се-
    рединного треугольника.

                                                           G
                                                           G                                           H


                                                                                                                           ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ
                                                                                                 Om
                                                                                                 Om
                                                        MM
                                                                                                            L
                                                                                                            L
                                                       Gll
                                                       G
                                                                                 Lm
                                                                                 Lm
                                                                  F                          O
                                                                                             O
                         G Nll
                         G N

                                                                                                                              ТРЕУГОЛЬНИКА
                                                                                 Hm
                                                                                 Hm
                          I
                          I           6) M—Gl —F, где F—точка
                 N
                 N
                         Gll
                         G            Фейербаха — точка каса-         11) Hm — Lm — Om =
                     O
                     O                ния вписанной окружно-               =Fm (O) — H.
                                      сти и окружности девяти
    2) O — Gl =Fl (G) — I —                    точек.
    Nl =Fl (N), где Fl — изого-
       нальное сопряжение.                                                                 Fll(Fm (H))
                                                                                              (F (H))
                                                                                                m
                                                        H
                                                        H                                          H
                                                                                                   H
                                                                                              Om
                                                                                              Om
                                                        Nll
                                                        N                                           LL
                                                                                      Fll(Fm (O))
                                                                                      F (Fm (O))
                               H
                               H                   N
                                                   N                                       O
                                                                                           O
                                                                                 Hm
                                                                                 Hm
                         L                                        F
                                                                  F
                     M
                     M                                                12)    Fl (Fm (O)) —                      L   —
                                           7) H — Nl — F.                        Fl (Fm (H)).
            Hm
            Hm

    3) Hm =Fm (H) — M —                             Fll(Fm (H))
                                                       (Fm (H))
    L=Fl (M), где Fm — изото-                                                                                       (I))
                                                                                                                    (I))
                                                               H
                                                               H
      мическое сопряжение.                                                                                  G Fll(Fm
                                                                                                            G Fm
                                                        EE                                              I
                                                                                                        I      L
                                                                                                               L
                                                          M
                                                          M                                           Gll
                                                                                                      G
                                                   O
                                                   O                                    Im
                                                                                        Im
                                              Hm
                                              Hm
                               H
                               H
                                      8) O—M—E—H—Fl (Fm (H))          13) Gl — L — Fl (Fm (I)).
                   Gc
                   Gc
                      G
                      G
                                       (п р я м а я Э й л е р а).
                 Im I
                 Im I
            Hm
            Hm       N
                     N
                                                                                                            Fll(Fm (H))
                                                                                                               (Fm (H))
                                                                                                  H
    4) Hm — N — Im =Fm (I) —                        I
                                                    I                                                   L
                                                                                                        L
                                                Im
                                                ImM
    Gc =Fc (G) — G, где Fc —                   Sc
                                               Sc S S                            Lm
                                                                                 Lm              M
                                                                                                 M
    изоциркулярное преобра-                   Nc N
                                              Nc N
              зование.                                                              Hm
                                                                                    Hm
                                                                            Fm (Fll(Fm (H)))
                                                                             m (F (Fm (H)))
                                      9) Nc =Fc (N) — Sc =Fc (S) —
                                                Im — M.               14) Fm(Fl (Fm(H)))—Lm—M.
      ISBN 5 90457 048 8


                                           Обозначения точек см. на стр. 3—5 брошюры; опре-                                       Издательство Московского центра
                                      деления изогонального и изотомического сопряжений —
                                      на стр. 11, 12; определение изоциркулярного преобразо-
                                                                                                                             непрерывного математического образования
     9 785904 570484                  вания — на стр. 14—16.                                                                               Москва • 2002



Pantone 282 C K


                                                                             Библиотека
                                                                    «Математическое просвещение»
                                                                              Выпуск 19




                                                                        А. Г. Мякишев

Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:
         В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский,
   В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.
                                                             ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ
            Серия основана в 1999 году.
                                                                ТРЕУГОЛЬНИКА




                                                                    Издательство Московского центра
                                                               непрерывного математического образования
                                                                             Москва • 2002


УДК 514.112.3                                                                                             ВВЕДЕНИЕ
ББК 22.151.0
    М99                                                                                  Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто
                                                                                    не обнимет необъятного» в полной мере можно
                                                                                    отнести и к геометрии треугольника. В самом де-
                                                                                    ле, треугольник, как кладезь прекрасных и по-
                                                                                    разительных геометрических конструкций, пои-               Рис. 1. M — центр
                                  Аннотация                                         стине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с тру-          масс — точка пере-
                  Геометрия треугольника справедливо считается од-                  дом поддающиеся какой-либо систематизации, не              сечения медиан тре-
            ним из интереснейших разделов элементарной геометрии.                   могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти бла-                  угольника.
                  В данной брошюре рассматриваются различные заме-                  городные чувства перерастают в изумлённое раз-
            чательные точки и прямые треугольника, а также неко-
            торые преобразования плоскости, свзянные с треугольни-                  дражение, едва ли не в протест: если уж с виду
            ком. Брошюра содержит краткое введение в барицентриче-                  такая «игрушечная» область геометрии настоль-
            ское исчисление — один из основных методов исследования                 ко сложна, то в чём же вообще тогда можно разо-
            свойств треугольника.                                                   браться?
                  Текст брошюры подготовлен по материалам лекции,
            прочитанной автором 13 апреля 2002 года на Малом мех-
                                                                                         Интересно попробовать понять, а почему тот
            мате МГУ для школьников 9—11 классов.                                   или иной результат геометрии треугольника ока-
                  Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, ин-                 зывает на нас большее или меньшее воздействие.
            тересующихся математикой: школьников старших клас-                      В грубом приближении ответ на этот вопрос следу-
            сов, студентов младших курсов, учителей…                                                                                           Рис. 2. O — центр
                                                                                    ющий: красивая теорема в геометрии треугольни-             описанной около тре-
                                                                                    ка связана, как правило, с замечательными точ-             угольника окружнос-
                     Издание осуществлено при поддержке                             ками, прямыми или окружностями. Но прямая                  ти — точка пересече-
                         Московской городской Думы                                  или окружность замечательна, если содержит                 ния серединных пер-
                     и Московского комитета образования.                            какие-нибудь замечательные точки треугольни-                  пендикуляров.
                                                                                    ка. В точки эти, стало быть, всё и упирается. Одна-
                                                                                    ко как сравнивать степень их «замечательности»
                                                                                    между собой? Очевидно, точка тем более замеча-
                                                                                    тельна, чем с более естественными и содержатель-
ISBN 5-94057-048-8                                  © Мякишев А. Г., 2002.          ными конфигурациями треугольника она взаи-
                                                    © МЦНМО, 2002.                  модействует. Поэтому в первый ряд следует по-
                                                                                    ставить, конечно, таких заслуженных ветеранов,
                                                                                    как M — точку пересечения медиан (центр тяже-              Рис. 3. I — центр впи-
                        Мякишев Алексей Геннадьевич.                                                                                           санной в треугольник
                                                                                    сти), рис. 1, O — центр описанной окружности,              окружности — точка
                       Элементы геометрии треугольника.
                                                                                    рис. 2, I — центр вписанной окружности, рис. 3,            пересечения биссек-
              (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»).
                         М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.: ил.
                                                                                    H — точку пересечения высот (ортоцентр), рис. 4.                    трис.
                                                                                    Не испортит общей картины и молодёжь: точка G
Редактор Ю. Л. Притыкин.                              Техн. редактор М. Ю. Панов.   Жергонна (рис. 5) и точка N Нагеля (рис. 6)*).
                                                                                         С точками первого порядка связаны и пер-
Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 16/VIII 2002 года.
Формат бумаги 60 88 1/ . Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,00.
                                                                                    воклассные результаты — теоремы о прямой Эй-
                        16
         Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 2,10. Тираж 2000 экз. Заказ 2802.           лера, окружности девяти точек. Далее, точками
                                                                                    второго порядка можно считать точки, являющи-
  Издательство Московского центра непрерывного математического образования.         еся «производными» от точек первого порядка,
         119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.                                                                       Рис. 4. H — орто-
                                                                                      *) Молодёжь, поскольку первые четыре точки встречаются   центр — точка пере-
     Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ».              ещё у Евклида, а последние две, насколько известно, были   сечения высот тре-
    140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.      открыты примерно 200 лет назад.                                 угольника.
                                                                                                                                                                   3


Рис. 5. G — точка Жергонна — точка пере-   Рис. 6. N — точка Нагеля — точка пере-    Рис. 10. Gl — точка, изогонально сопря-   Рис. 11. Nl — точка, изогонально сопря-
сечения прямых, проходящих через точ-      сечения прямых, проходящих через точ-             жённая точке Жергонна.                     жённая точке Нагеля.
ки касания вписанной окружности со сто-    ки касания вневписанных окружностей
ронами треугольника и противолежащие       со сторонами треугольника и противоле-    т. е. полученные из них под действием какого-нибудь преобразова-
                вершины.                              жащие вершины.
                                                                                     ния (к примеру, изотомического или изогонального сопряжения —
                                                                                     эти преобразования мы ещё рассмотрим в дальнейшем) или как пере-
                                                                                     сечение каких-нибудь замечательных линий первого порядка и т. д.
                                                                                     Сюда можно отнести, в первую очередь, точку L Лемуана (точку пе-
                                                                                     ресечения прямых, симметричных медианам относительно соответ-
                                                                                     ствующих биссектрис, такое преобразование и называется изогональ-
                                                                                     ным сопряжением), рис. 7, антиортоцентр треугольника Hm (точку
                                                                                     пересечения прямых, проходящих через точки, симметричные осно-
                                                                                     ваниям высот относительно соответствующих середин сторон, и про-
                                                                                     тиволежащие вершины, это преобразование называется изотомиче-
                                                                                     ским сопряжением), рис. 8, точку Im пересечения антибиссектрис
Рис. 7. L — точка Лемуана — точка, изогонально сопряжённая точке пересечения         (изотомически сопряжённую точке пересечения биссектрис), рис. 9,
медиан, т. е. точка, пересечения прямых, симметричных медианам относительно
                    соответствующих биссектрис треугольника.
                                                                                     точки Gl и Nl (точки, изогонально сопряжённые точкам Жергонна и
                                                                                     Нагеля), рис. 10 и 11. Точки третьего порядка определяются анало-
                                                                                     гично, как «производные» точек второго порядка и т. д. Понятно, что
                                                                                     с ростом порядка количество точек стремительно растёт, впрочем,
                                                                                     столь же стремительно проигрывая в качестве: чем больше порядок,
                                                                                     тем геометрические связи между ними бледнее и невыразительней.

                                                                                                                    ТЕОРЕМА ЧЕВЫ
                                                                                         Большинство замечательных точек треугольника могут быть по-
                                                                                     лучены при помощи следующей процедуры.
                                                                                         Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы
                                                                                     сможем выбрать определённую точку A1 на стороне BC (или её про-
Рис. 8. Hm — антиортоцентр — точка,        Рис. 9. Im — точка пересечения антибис-   должении) треугольника ABC (например, выберем середину этой
изотомически сопряжённая ортоцентру,       сектрис — точка, изотомически сопря-      стороны). Затем построим а н а л о г и ч н ы е точки B1 , C1 на двух
т. е. точка пересечения прямых, проходя-   жённая центру вписанной в треугольник
щих через точки, симметричные основа-                    окружности.
                                                                                     других сторонах треугольника (в нашем примере — ещё две середи-
ниям высот относительно середин сторон,                                              ны сторон). Если правило выбора у д а ч н о е, то прямые AA1 , BB1 ,
       и соответствующие вершины.                                                    CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом
4                                                                                                                                                                   5


смысле, конечно, удачный). Например, все замечательные точки                Сопоставив это соотношение с заданным равенством, приходим к вы-
рис. 1, 3—11 получаются именно так.                                                     AC2 AC1
                                                                            воду, что      =    , т. е. C1 = C2 .
    Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позво-                          BC2 BC1
ляющий по положению точек на сторонах треугольника определять,                  А как запомнить, произведение каких именно отношений входит
пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке                 в условие Чевы? Обойдём все три вершины треугольника, стартовав
или нет.                                                                    из точки B. По дороге в точку C мы наткнёмся на точку A1 и образуем
    Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл                  дробь, в числителе которой будет стоять BA1 , а в знаменателе — CA1 .
в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева (отрезки, соеди-                Далее идём из C в A, записываем второе отношение, и далее, идём
няющие вершины треугольника с точками на противолежащих                     из A в B.
сторонах, называют чевианами — понятно, почему). Можно сказать,                 1. Покажите, что эта процедура не зависит от выбора «отправной»
что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.               вершины и направления обхода, т. е. что всегда будет получаться,
                                                                              по сути, одно и то же равенство*).
                   A                         Теорема Чевы:
                                         случай внутренней точки
                                                                                               Теорема Чевы: случай внешней точки.
                                 Выберем в произвольном треугольнике                          Бесконечно удалённые точки плоскости
                               ABC точки A1 , B1 , C1 на сторонах BC, CA,
                       B1      AB соответственно (рис. 12). Следующие           Теорема Чевы остаётся справедливой и для внешней точки Z тре-
    C1                         два утверждения равносильны:                 угольника и точек A1 , B1 , C1 , одна из которых принадлежит стороне
                                                                            треугольника, а две другие — продолжениям
              Z                  а) прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекаются     сторон. (Разумеется, и «правило обхода»                         B1
                               в некоторой внутренней точке Z треуголь-     остаётся в силе. Следует только помнить, что
                               ника ABC;                                    при составлении отношений, выходя из вер-                   Z
B        A1            C                                                                                                                       A
                                      BA1 CB1 AC1                           шины, мы сначала идём в точку деления —
         Рис. 12                 б)               = 1 (условие Чевы).
                                      CA1 AB1 BC1                           она может теперь быть расположена вне                       C1
   Доказать прямую теорему Чевы (а б) проще всего, заменив от-              стороны, а потом — к очередной вершине.)
ношения отрезков в условии Чевы на отношение площадей:                          Однако, рассматривая внешние точки Z,
                                                                            мы наталкиваемся на некоторые сложности.
                               BA1 SABA1 SBZA1                                  Например, если AZ BC, чему равно
                                                                                                                              B             C
                                  =     =      ,
                               CA1 SACA1 SCZA1                                                                                          Рис. 13
                                                                                              BA1 CB1 AC1
следовательно,                                                                                CA1 AB1 BC1
                            BA1 SABA1     SBZA1 SBZA                                                                               B1
                               =               =     .                      (рис. 13)? Где вообще в таком случае распола-
                            CA1 SACA1     SCZA1 SCZA                                                                                               C1
                                                                            гается точка A1 ?
Точно так же получим, что                                                       Как несложно проверить, пользуясь тео-                   A
                            CB1 SCZB        AC1 SCZA                        ремой Фалеса, условию Чевы удовлетворяют
                               =     ,         =     .
                            AB1 SBZA        BC1 SCZB                        и точки A1 , B1 , C1 , для которых прямые AA1 , B                    C
                                                                            BB1 , CC1 параллельны (рис. 14).                               A1
Теперь осталось только перемножить эти три равенства:
                                                                                Чтобы не выделять эти ситуации в осо-                   Рис. 14
                   BA1 CB1 AC1 SBZA SCZB SCZA
                              =               = 1.                          бые, удобно считать, что плоскость пополне-
                   CA1 AB1 BC1 SCZA SBZA SCZB
                                                                            на бесконечно удалённой прямой, составленной из бесконечно удалён-
    Обратная же теорема Чевы следует из прямой: пусть AA1 и BB1             ных точек, в каждой из которых пересекается какое-нибудь семей-
пересекаются в точке Z. Пусть прямая CZ пересекает сторону AB тре-          ство параллельных прямых. Можно поэтому считать, что бесконеч-
угольника в точке C2 . Для точек A1, B1 , C2 выполняется условие Чевы:      но удалённая точка у к а з ы в а е т н а п р а в л е н и е прямой. Такую
                                BA1 CB1 AC2
                                            = 1.
                                CA1 AB1 BC2                                  *) Двумя чертами слева выделены упражнения для самостоятельного решения.
6                                                                                                                                                  7


модель в математике называют проективной плоскостью. На проек-                       BA1 c sin ∠BAA1   CB1 a sin ∠CBB1
                                                                      Аналогично        =            ,    =            . Окончательно
тивной плоскости любые параллельные прямые пересекаются в не-                        CA1 b sin ∠CAA1   AB1 c sin ∠ABB1
которой точке! — разумеется, бесконечно удалённой. При этом мы        имеем:
полагаем также, что бесконечно удалённая точка Z прямой AB делит           BA1 CB1 AC1 c sin ∠BAA1 a sin ∠CBB1 b sin ∠ACC1
                                                                      1=              =                                    =
                                          ZA                               CA1 AB1 BC1 b sin ∠CAA1 c sin ∠ABB1 a sin ∠BCC1
отрезок AB пополам в н е ш н и м образом:    = 1.
                                          ZB                                                                    sin ∠BAA1 sin ∠CBB1 sin ∠ACC1
      2. Постройте точку, которая делит отрезок AB внешним образом                                          =                                 .
                                                                                                                sin ∠CAA1 sin ∠ABB1 sin ∠BCC1
                   99
    в отношении       , считая от вершины A, и точку, которая делит   Для внешней точки Z рассуждение аналогично (проведите его само-
                  100
                          100
                                                                      стоятельно).
    отрезок в отношении       .
                           99
                                                                           Некоторые замечательные точки треугольника. Теорема Карно
    Решение этого упражнения показывает, что если отношение чуть
больше единицы, то искомая точка расположена п р а в е е точки A          Посмотрим, как «работает» теорема Чевы.
и удалена от неё на значительное расстояние, а если чуть меньше,          Будем называть прямые конкурентными, если они пересекаются
то значительно л е в е е точки A. Отсюда вытекает, что, двигаясь по   в одной точке.
прямой влево или вправо, на самом деле мы идём к одной и той же           Ц е н т р в п и с а н н о й о к р у ж н о с т и I (см. рис. 3). Применив
бесконечно удалённой точке, т. е. прямая как бы замыкается, подобно   теорему Чевы в форме синусов, мгновенно получаем, что биссектрисы
окружности.                                                           конкурентны.
    3. Покажите, что при переводе с «проективного» языка на при-          О р т о ц е н т р Н (см. рис. 4). Теперь докажем, что высоты тре-
  вычный «евклидов» теорема Чевы в случае бесконечно удалённой        угольника пересекаются в одной точке, ограничившись случаем ост-
  вершины A может быть сформулирована следующим образом.              роугольного треугольника (случай тупоугольного треугольника раз-
    На отрезке BC выбрана точка A1 , а на параллельных прямых,        берите самостоятельно). Условие Чевы в форме синусов с использова-
  проходящих через точки C и B, точки B1 и C1 соответственно. Тогда   нием известного соотношения sin(90◦ a) = cos a записывается в виде
  прямые BB1 , CC1 и прямая, проходящая через A1 параллельно двум                                cos a cos b cos c
                                                                                                                   = 1.
  данным, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда                                 cos b cos c cos a
                             BA1 CB1                                       Ц е н т р о п и с а н н о й о к р у ж н о с т и O (см. рис. 2). Очевид-
                                     = 1.
                             CA1 BC1                                  но, что два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пе-
                                                                      ресекаются в точке, равноудалённой от
                    Теорема Чевы в форме синусов                      всех трёх вершин треугольника, и зна-
                                                                      чит, эта точка лежит и на третьем сере-
    В каждом из рассмотренных случаев — и в случае внутренней         динном перпендикуляре.
точки Z, и в случае внешней точки Z — условие Чевы можно записать          Но как доказать этот несложный
также в виде                                                          факт, пользуясь теоремой Чевы? Из
                 sin ∠ACC1 sin ∠CBB1 sin ∠BAA1                        принципиальных соображений это хоте-
                                               = 1.
                 sin ∠BCC1 sin ∠ABB1 sin ∠CAA1                        лось бы сделать и в данном случае. Од-
Доказательство равносильности этих условий не сложно. Действи-        нако здесь возникают затруднения, по-
тельно, применив теорему синусов к треугольникам ACC1 и BCC1 ,        скольку по природе своей теорема Чевы
имеем:                                                                создана для выявления конкурентности                        Рис. 15
               AC1 sin ∠ACC1        BC1 sin ∠BCC1                     ч е в и а н, а не п е р п е н д и к у л я р о в
                   =            и      =          .                   к сторонам треугольника. Возникшее затруднение можно преодо-
               CC1 sin ∠CAC1        CC1 sin ∠CBC1
                                                                      леть, рассмотрев серединный треугольник (рис. 15). Поскольку
Разделив одно равенство на другое, получаем:                          средние линии параллельны сторонам исходного треугольника,
   AC1 sin ∠CBC1 sin ∠ACC1 sin ∠CBA sin ∠ACC1 b sin ∠ACC1             серединные перпендикуляры являются высотами серединного тре-
       =                    =                   =         .
   BC1 sin ∠CAC1 sin ∠BCC1 sin ∠CAB sin ∠BCC1 a sin ∠BCC1             угольника. И мы свели задачу к предыдущей!
8                                                                                                                                               9


     Есть и более содержательный подход к этой проблеме.                       точка касания вневписанной окружности с центром IB и стороны CA,
                                                                               C1 — третьей вневписанной окружности и третьей стороны треуголь-
   Теорема Карно [3]. Пусть точки A1 , B1 , C1 лежат на прямых BC,
                                                                               ника. Прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекаются в точке N.
 CA, AB соответственно. Пусть также BA1 = x1 , CA1 = x2 , CB1 = y1 ,
                                                                                   Дело в том, что, используя всё ту же теорему о равенстве отрезков
 AB1 = y2 , AC1 = z1 , BC1 = z2 . Следующие условия равносильны:
                                                                               касательных, легко получить, что в случае вневписанной окружнос-
   1) перпендикуляры к соответствующим сторонам треугольника,                  ти, например, с центром IA , BA1 = p c, CA1 = p b, т. е. точки касания
 восставленные в точках A1 , B1 , C1 , пересекаются в одной точке;             вписанной и вневписанной окружностей со стороной треугольника
                                                                               симметричны относительно середины этой стороны. Поэтому усло-
     2) x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 (условие Карно).
         1    1    1    2    2    2                                            вие Чевы записывается в виде
    (Сравните с условием Чевы: x1 y1 z1 = x2 y2 z2 .)                                                        p c p a p b
                                                                                                                         = 1.
    Д о к а з а т е л ь с т в о, пожалуй, ещё проще, чем доказательство                                      p b p c p a
теоремы Чевы, и опирается лишь на теорему Пифагора. Пусть перпен-                 5. Докажите с помощью теоремы Карно, что перпендикуляры,
                              дикуляры пересекаются в точке Z. Несложно         восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневпи-
                    A         получить следующие равенства (рис. 16):           санных окружностей, пересекаются в одной точке. Покажите затем,
                                       AB2 CB2 = AZ2 CZ2 ,
                                         1   1

         C1                            BC2 AC2 = BZ2 AZ2 ,
                                         1   1
                      B1               CA2 BA2 = CZ2 BZ2 ,
                                         1   1
              Z             сложив которые, и получаем условие Карно.
                                Доказательство обратной теоремы Кар-
                            но (как и обратной теоремы Чевы) использу-
B              A1      C    ет прямую теорему: пусть два перпендикуля-
                            ра пересекаются в некоторой точке, опустим
         Рис. 16
                            из неё перпендикуляр на третью сторону, за-
                            пишем условие Карно и т. д.
    Из теоремы Карно конкурентность серединных перпендикуля-
ров вытекает столь же естественно, как и конкурентность медиан из
теоремы Чевы.
    Т о ч к а Ж е р г о н н а G (см. рис. 5). Пусть A1 , B1 , C1 — точки ка-                                         Рис. 17
сания вписанной окружности со сторонами BC, CA, AB соответствен-
но. Прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекаются в одной точке (точке G), по-            что эта точка симметрична центру вписанной окружности относи-
скольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной                  тельно центра описанной окружности (рис. 17).
точки, равны:
                                                                                              Некоторые замечательные преобразования,
                  BA1 = BC1 ,   CB1 = CA1 ,   AB1 = AC1 ;                                            связанные с теоремой Чевы
                            BA1 CB1 AC1
                                        = 1.                                       И з о т о м и ч е с к о е с о п р я ж е н и е. Зафиксируем на плоскости
                            CA1 AB1 BC1                                        треугольник ABC. Выберем некоторую точку плоскости Z и проведём
   4. Покажите, что равные отрезки касательных выражаются через                через неё и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны
 полупериметр и стороны треугольника следующим образом:                        треугольника (или их продолжения) в точках A1 , B1 , C1 соответствен-
                                                                               но. Каждую такую точку отразим симметрично относительно сере-
        AB1 = AC1 = p a,     BC1 = BA1 = p b,     CA1 = CB1 = p c.       (*)   дины той стороны, на которой она лежит*). Полученные три точки
    Т о ч к а Н а г е л я N (см. рис. 6). Пусть теперь A1 — точка ка-            *) В соответствии со сказанным на стр. 8 считаем, что бесконечно удалённая точка
сания вневписанной окружности с центром IA и стороны BC, B1 —                  любой прямой PQ при симметрии относительно середины PQ переходит в себя.
10                                                                                                                                                            11


                           C                                          C




                                A2
                B1                                      B1
                                                                           A2

           B2                                     B2
                            Z        A1                                Z    A1
                 Zm                                           Zl
                                                                                                                              а)        б)

                                                                                       Рис. 20. Образы трёх полукругов под действием преобразований относи-
     A     C2              C1         B   A            C2             C1        B                       тельно заштрихованного треугольника:
                 Рис. 18                                    Рис. 19                         а) изогонального сопряжения; б) изотомического сопряжения.


обозначим через A2 , B2 , C2 (рис. 18). Тогда прямые AA2 , BB2 , CC2                обладают симметрии относительно точки, прямой или окружности
также пересекаются в некоторой точке Zm . Эта точка называется изо-                 (инверсия). Очевидно, что и только что рассмотренные нами пре-
томически сопряжённой точке Z относительно треугольника ABC.                        образования обладают этим же свойством. Однако они устроены бо-
     Корректность определения изотомического сопряжения следует                     лее сложным образом, например, не сохраняют прямые и окружно-
из теоремы Чевы: в условии Чевы числители меняются местами со                       сти (т. е. образ прямой или окружности может быть чем-то иным,
знаменателями, и если исходное произведение равнялось единице,                      рис. 20). Кроме того, непосредственно из определения следует, что
то «перевёрнутое» произведение тоже равно единице.                                  и изотомическое, и изогональное сопряжения «плохо» действуют на
     И з о г о н а л ь н о е с о п р я ж е н и е. Зафиксируем на плоскости          точки, расположенные на сторонах (или их продолжениях) порожда-
треугольник ABC. Вновь выберем некоторую точку плоскости Z и                        ющего эти преобразования треугольника. Любая такая точка под дей-
проведём через неё и вершины треугольника прямые, пересекающие                      ствием этих преобразований переходит в противолежащую вершину,
стороны треугольника (или их продолжения) в точках A1 , B1 , C1 соот-               а вершины — в любую точку на противоположной стороне. Нару-
ветственно. Тогда прямые AA2 , BB2 , CC2 , симметричные прямым AA1 ,                шается однозначность! Но если исключить из области определения
BB1 , CC1 относительно биссектрис соответствующих углов треуголь-                   прямые, содержащие стороны треугольника, однозначность восста-
ника, пересекаются в одной точке Zl (рис. 19). Эта точка называется                 навливается.
изогонально сопряжённой точке Z относительно треугольника ABC.                          Одной из важных характеристик преобразования является на-
     Для доказательства корректности здесь удобно воспользоваться                   личие (или отсутствие) неподвижных точек, т. е. точек, остающихся
теоремой Чевы в форме синусов: записанное таким образом условие                     под действием преобразования на месте. Легко понять, что неподвиж-
Чевы «переворачивается», и если произведение отношений равня-                       ными точками изотомического сопряжения являются точка пересе-
лось единице, после «переворота» оно тоже будет равно единице.                      чения медиан и точки, симметричные вершинам треугольника отно-
     Изотомическое и изогональное сопряжения                                        сительно середин соответствующих сторон; неподвижными точками
к а к п р е о б р а з о в а н и я п л о с к о с т и. В геометрии сопряжением        изогонального сопряжения являются центры вписанной и трёх вне-
называют преобразование F плоскости, возвращающее любую точку                       вписанных окружностей.
обратно после двукратного применения. Формально это можно запи-                         С помощью изотомического и изогонального сопряжений мож-
сать так:                                                                           но получать новые замечательные точки (см. введение), например,
                                                                                    антиортоцентр Hm (точку, изотомически сопряжённую ортоцентру)
                                   F(F(X)) = X
                                                                                    или точку Im пересечения антибиссектрис (точку, изотомически со-
для любой точки X, или                                                              пряжённую центру вписанной окружности).
                                                                                        Точкой Лемуана L (см. рис. 7) называют точку, изогонально
                                F ◦ F = F2 = Id
                                                                                    сопряжённую точке пересечения медиан треугольника. Она обла-
(преобразование F в квадрате даёт тождественное). Таким свойством                   дает многими любопытными свойствами. Так, например, если для
12                                                                                                                                                            13


точки пересечения медиан сумма квадратов расстояний до вершин
треугольника минимальна, то для точки Лемуана минимальна сумма
квадратов расстояний до его сторон [3, 4].
   6. Проверьте, что точки Жергонна и Нагеля образуют пару изо-                                                C
 томически сопряжённых точек.
                                                                                                                            Z
   7. Покажите, что центр описанной окружности и точка пересече-
 ния высот изогонально сопряжены.
    Выясним, какие линии переходят в бесконечно удалённую
прямую под действием рассмотренных сопряжений, т. е. найдём
                        множества точек, для которых чевианы,
                                                                                                 A
                        их содержащие, переходят в тройки                                                           B
                C       параллельных прямых.
        Z                   Оказывается, в случае изогонально-
                        го сопряжения ответом является опи-
                        санная около треугольника окружность.                                                                             Рис. 22
  F
                        В обозначениях рис. 21
                                       ∠EAB = ∠ZAC = ∠ZBC = ∠ABF,
                                  таким образом, чевианы AE и BF парал-                     B1
                          B                                                                                                 C
     A
                                  лельны. Аналогично доказывается, что
                                  им параллельна и третья чевиана.
              E
                                        Для изотомического сопряжения та-
           Рис. 21
                                  кой линией является описанный эллипс
                                  Штейнера — эллипс, содержащий вер-                                 B2
шины треугольника, а также точки, симметричные точке пересече-
ния медиан (которая является центром этого эллипса) относительно
                                                                                                                                A2   A1
середин соответствующих сторон (рис. 22) [3, 5].                                                          Zc
    И з о ц и р к у л я р н о е п р е о б р а з о в а н и е — ещё одно преобразо-                                       Z
вание, при помощи которого можно получать новые замечательные
точки. Рассмотрим точку Z, расположенную в н у т р и треуголь-
ника ABC. Пусть прямая AZ пересекает описанную окружность                               A                  C2                   B
в точке A1 . В сегмент, отсекаемый стороной BC, впишем окруж-
ность, касающуюся дуги BC в точке A1 , а стороны BC — в точке A2 .
Аналогично определим точки B2 и C2 (рис. 23). Прямые AA2 , BB2 ,                                                   C1                     Рис. 23
CC2 пересекаются в одной точке Zc , которую мы будем называть
изоциркулярным образом точки Z.
    Доказательство корректности определения изоциркулярного                                                A1
преобразования использует теорему Чевы сразу в двух формулиров-
ках — в форме отношений синусов и в форме отношений отрезков, —
а также следующую интересную лемму.
   Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент и касается
 дуги в точке A1 , а хорды BC — в точке A2 , то прямая A1 A2 является
                                                                                    C                                                 B
 биссектрисой угла BA1 C (рис. 24).                                                                       A2                              Рис. 24
14                                                                                                                                            15


                                                         C                      Отметим, что все проведённые рассуждения были сделаны для
                                                                           точек Z, расположенных в н у т р и треугольника ABC. Для внеш-
                                                                           них точек Z нужно немного изменить конструкцию: рассматривать
                                                                           о д н у окружность, касающуюся описанной в н у т р е н н и м обра-
                                                                           зом, и д в е — в н е ш н и м (рис. 25).
                                                                                9. Проверьте конкурентность прямых для внешней точки.
                                                                                Изоциркулярное преобразование, хотя и не является сопряже-
                                     C2
                     A                                       B             нием, всё же устроено проще, чем изотомическое и изогональное.
                                Zc
                                                                           Так, несложно показать (с использованием барицентрических коор-
                                                                           динат, о которых ниже), что оно любую прямую (на проективной
                                                                           плоскости) переводит в прямую — такие преобразования называются
                                          Z                                проективными.
        B2                                                                      Подробнее о свойствах изоциркулярного преобразования можно
                          B1
                                                    A1                     прочитать в статье [2].
                                  C1

                                                                 A2                          БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
                                Рис. 25                                        Барицентрические координаты — это система координат, «при-
                                                                           вязанная» к данному треугольнику. Именно поэтому многие свойства
    8. Докажите лемму Архимеда, пользуясь тем, что биссектриса             треугольника в такой системе координат записываются значитель-
  угла треугольника, вписанного в окружность, пересекает её в точке,       но проще, чем, скажем, в прямоугольной системе координат. С ис-
  лежащей на серединном перпендикуляре к стороне треугольника.             пользованием этой системы координат упрощаются и доказательства
    Пусть ∠BAA1 = a1 , ∠CAA1 = a2 . Поскольку A1 A2 — биссектриса          большого количества сложных теорем геометрии треугольника.
угла при вершине A1 треугольника BA1 C, то по свойству биссектрисы             Впервые барицентрические координаты упоминаются в книге
BA2 BA1                                                                    «Der barycentrische Calcul»*) Августа Мёбиуса, опубликованной
   =    , а так как треугольники BAA1 и CAA1 вписаны в одну и              в 1827 году.
CA2 CA1
ту же окружность, по теореме синусов BA1 = 2R sin a1 , CA1 = 2R sin a2 ,                Система материальных точек и её центр масс
и следовательно,
                          BA2 BA1 sin a1                                       Системой материальных точек на плоскости называется конеч-
                             =   =       .                                 ная совокупность пар вида [mi , Ai ], где Ai — некоторые точки плоско-
                          CA2 CA1 sin a2
                                                                           сти, а mi — массы, некоторые действительные числа, одновременно
Аналогично получаем, что
                                                                           не равные нулю (i = 1, 2, …, n).
                      CB2 sin b1          AC2 sin c1                           Центром масс этой системы называется точка Z, для которой
                         =       ,           =       ,
                      AB2 sin b2          BC2 sin c2                       выполняется равенство
где b1 = ∠CBB1 , b2 = ∠ABB1 , c1 = ∠ACC1 , c2 = ∠BCC1 . Условие                                 m1 ZA1 + m2 ZA2 + … + mn ZAn = 0 .
Чевы для прямых AA2 , BB2 , CC2 , таким образом, принимает вид             (Если все числа mi были бы равны нулю, центром масс могла бы слу-
                  BA2 CB2 AC2 sin a1 sin b1 sin c1                         жить любая точка, и потому такие системы запрещены.)
                             =                     .
                  CA2 AB2 BC2 sin a2 sin b2 sin c2                              Это понятие допускает простую физическую интерпретацию.
Осталось заметить, что правая часть этого равенства представляет           Представим себе невесомую пластину и отметим на ней точки A1 ,
собой выражение из условия Чевы в форме отношений синусов для              A2 , …, An . Затем к каждой точке с положительной массой прикрепим
прямых AA1 , BB1 , CC1 , пересекающихся в точке Z. Следовательно,          металлический шарик такой массы, а к каждой точке с отрицатель-
                                                                           ной массой привяжем воздушный шарик, подъёмная сила которого
                           BA2 CB2 AC2
                                       = 1.
                           CA2 AB2 BC2                                      *) «Барицентрическое исчисление» (нем.).
16                                                                                                                                             17



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика