Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачи по математической статистике. Часть 2. Интервальное оценивание параметров распределения и критерии согласия

Голосов: 1

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех специальностей ЮФУ, изучающих математическую статистику. Цель пособия - помочь студентам в приобретении навыков по решению задач математической статистики на основе непосредственного использования основных определений и теорем этого раздела математики. Приобретенные навыки помогут будущему специалисту свободно вести необходимые статистические расчеты, а также сознательно и грамотно использовать и составлять вычислительные компьютерные программы.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Ÿ13 Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðè

ýêñïîíåíöèàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû


  Åñëè èçâåñòíî, èëè åñòü îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü, ÷òî èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âå-
ëè÷èíà ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ
âåðîÿòíîñòè                     
                                1 e−x/ё , x ≥ 0
                         p(x) = ё
                               
                                0,         x < 0,
òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ M ξ = ё èñïîëüçóåòñÿ ñòàòè-
ñòèêà
                                    2n¯
                                      x
                                  χ2 =
                                   2n   ,
                                    Mξ
ïîä÷èíÿþùàÿñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïèðñîíà ñ 2n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
  Èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà, íàäî íàéòè âåëè÷èíû χ2 è χ2 , ÷òîáû ñ
                                                        1    2
íàäåæíîñòüþ γ âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî

                             P χ2 ≤ χ2 ≤ χ2 = γ.
                                1    2n   2                             (1)

  Òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâî
                             2n¯
                               x        2n¯
                                          x
                        P        ≤ M ξ ≤ 2 = γ.                         (2)
                              χ2
                               2         χ1
  Òî åñòü ãðàíèöàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäóò
                                  2n¯
                                    x    2n¯
                                           x
                             α=       èβ= 2 .
                                   χ2
                                    2     χ1
  Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà íåñèììåòðè÷íî, òî óðàâíåíèå (1) îòíîñèòåëü-
íî χ2 è χ2 îäíîçíà÷íî íå ðåøàåòñÿ. Ïîýòîìó äåëàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ïðåäïî-
    1    2
ëîæåíèå:
                                                   1−γ
               P 0 ≤ χ2 ≤ χ2 = P χ2 ≤ χ2 < ∞ =
                      2n   1      2    2n               .
                                                     2
  Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà âåëè÷èíó χ2 íàõîäèì èç óñëîâèÿ
                                              1

                                           1+γ
                             P χ2 ≥ χ2 =
                                2n   1         ,
                                            2
à âåëè÷èíó χ2  èç óñëîâèÿ
            2

                                           1−γ
                             P χ2 ≥ χ2 =
                                2n   2         .
                                            2


                                     11


Ïðèìåð 1.13   Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èìåþùåé ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñ-
ïðåäåëåíèå, èçâëå÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 15. Îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-
äàíèÿ
                                      15
                               1
                            x=
                            ¯               xi = 4, 25.
                               15     i=1
  Ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðàâàë Jγ = (α; β) äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 0, 99.
Ðåøåíèå.   Òàê êàê
                     1+γ              1−γ
                           = 0, 995 è       = 0, 005,
                       2                 2
òî ïðè 2n = 30 ñòåïåíÿõ ñâîáîäû èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà ("õè 
êâàäðàò") íàõîäèì
                        χ2 = 13, 79 è χ2 = 53, 67.
                         1             2
  Ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäóò ðàâíû:
                    30 · 4, 25               30 · 4, 25
                 α=            = 2, 376; β =            = 9, 246.
                     53, 67                   13, 79
   Çíà÷èò, ñ íàäåæíîñòüþ 0, 99 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íåèçâåñòíîå ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå
(2, 38; 9, 25).
  Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè (n > 15) ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî
èíòåðâàëà äëÿ M ξ ïðèáëèæåííî ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
                           4n¯
                             x                            4n¯
                                                            x
                 α= √                 2   èβ= √                   2,   (3)
                        4n − 1 + uγ                 4n − 1 − uγ
              γ
ãäå uγ = Φ−1    .
              2
Ïðèìåð 2.13 Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èìåþùåé ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñ-

ïðåäåëåíèå, èçâëå÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 30. Îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-
äàíèÿ
                                   30
                                1
                           x=
                           ¯          xi = 4, 25.
                               30 i=1
  Ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0, 99.
Ðåøåíèå.Òàê êàê n = 30, òî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (3), íàéäÿ ïî òàáëèöàì
ôóíêöèè Ëàïëàñà
                                      0, 99
                          uγ = Φ−1          = 2, 575,
                                        2
                                          12


ïîëó÷èì
              4 · 30 · 4, 25                               4 · 30 · 4, 25
  α= √                            2   ≈ 2, 805; β = √                          2   ≈ 7, 343.
            4 · 30 − 1 + 2, 575                          4 · 30 − 1 − 2, 575
  Çíà÷èò, ñ óâåðåííîñòüþ γ = 0, 99 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íåèçâåñòíîå ìàòå-
ìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (2, 805; 7, 343).

Ÿ14   Äîâåðèòåëüíûå              èíòåðâàëû         äëÿ     äèñïåðñèè        è       ñðåäíåãî

êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ


  Ïðè îïðåäåëåíèè ãðàíèö äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ äèñïåðñèè è ñðåäíå-
ãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
                              (n − 1)S 2
íû ξ èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà             , êîòîðàÿ ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó ðàñïðå-
                                  σ2
äåëåíèÿ χ2 ("õè  êâàäðàò") ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû.
  Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïî çàäàííîé ñòåïåíè óâå-
ðåííîñòè γ îïðåäåëÿåì âåëè÷èíû α è β òàêèå, ÷òî
                                      P (α < σ < β) = γ.
          (n − 1)S 2
  Òàê êàê      2
                     = χ2 , òî
                        n−1
             σ
                       (n − 1)S 2   2  (n − 1)S 2
                     P            ≤σ ≤            = γ,
                           χ2
                            2             χ21

ãäå χ2 è χ2 îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ
     1    2

                                 P χ2 ≤ χ2 ≤ χ2 = γ.
                                    1    n−1  2

  Ââèäó íåñèììåòðè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 âåëè÷èíû χ2 è χ2 îïðåäåëÿþò
                                        n−1         1    2
ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ χ èç óñëîâèÿ:
                           2

                                      1−γ                    1−γ
               P χ2 ≤ χ2
                  2    n−1 =              è P (0 ≤ χ2 ≤ χ2 =
                                                    n−1  1       ,
                                       2                      2
                               1+γ
òî åñòü P χ2 ≥ χ2 =
           n−1  1                  .
                                2
  Çíà÷èò,
                          (n − 1)S 2      (n − 1)S 2
                           α=        èβ=             .                 (1)
                             χ22             χ21
   íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðè îïðåäåëåíèè ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ
äèñïåðñèè îãðàíè÷èâàþòñÿ óñëîâèåì:
                                      P 0 < σ 2 < β = γ,

                                              13


òî åñòü ýêñïåðèìåíòàòîðà èíòåðåñóåò òîëüêî âåðõíÿÿ ãðàíèöà β . Òîãäà ýòà ãðà-
íèöà èíòåðâàëà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ

              P χ2 ≤ χ2 < ∞ = γ, òî åñòü P χ2 ≥ χ2 = γ.
                 1    n−1                   n−1  1

   ýòîì ñëó÷àå äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä:

                                  2 (n − 1)S 2
                              0<σ <            .
                                       χ21

Ïðèìåð 1.14   Ïî äàííûì âûáîðêè îáúåìà n = 26 èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
îïðåäåëåíà íåñìåùåííàÿ îöåíêà äèñïåðñèè
                                      n
                          2   1
                         S =                (xi − x)2 = 4.
                                                  ¯
                             n−1      i=1

  Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî èññëåäóåìûé êîëè÷åñòâåííûé ïðèçíàê ðàñïðåäåëåí
íîðìàëüíî, íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, íàêðûâàþùèé äèñïåðñèþ σ 2 ñ íà-
äåæíîñòüþ γ = 0, 95.
Ðåøåíèå.   Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ "õè  êâàäðàò"äëÿ
                       1+γ             1−γ
                            = 0, 975 è     = 0, 025
                         2              2
ïðè n − 1 = 25 íàéäåì âåëè÷èíû

                          χ2 = 13, 12 è χ2 = 40, 65.
                           1             2

  Âû÷èñëèì ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà (α, β) ïî ôîðìóëàì (1)
          (n − 1)S 2   25 · 4              (n − 1)S 2   25 · 4
       α=      2     =        ≈ 2, 46; β =      2     =        ≈ 7, 62.
             χ2        40, 65                 χ1        13, 12
  Çíà÷èò, ñ íàäåæíîñòüþ 0, 95 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå
äèñïåðñèè σ 2 íàõîäèòñÿ â ãðàíèöàõ 2, 46 < σ 2 < 7, 62.

  Ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà Jγ = (α, β) äëÿ ñðåäíåãî
êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ σ , èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåð-
âàëà: P (S − ε < σ < S + ε) = γ , äëÿ íàõîæäåíèÿ ãðàíèö èíòåðâàëà α = S − ε
è β = S + ε íåîáõîäèìî çíàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè
                                            n
                                  1
                          S=                      (xi − x)2 .
                                                        ¯
                                 n−1        i=1



                                       14


              S2
  Ñòàòèñòèêà 2 (n − 1) ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ χ2   n−1 ñ ïàðàìåòðîì
              σ
n − 1, èìåþùåìó ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè pχ2 (x). Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàòèñòèêà
                                          n−1
S√
   n − 1 ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ χn−1 .
σ
  Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà χn−1 åñòü ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χ2n−1

                         (χn−1 = f χ2
                                    n−1 =          χ2 ).
                                                    n−1

  Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè pχn−1 (y) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χn−1 îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè pχ2 (x):
                        n−1


                           pχn−1 (y) = pχ2 (y 2 ) · 2y.
                                         n−1

  Òàê êàê
                               S√
                                   n − 1 = χn−1 ,
                               σ
òî èç óñëîâèÿ P (S − ε < σ < S + ε) = γ âûòåêàåò, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ γ äîëæíî
âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
                           √                √
                             n−1              n−1
                               ε < χn−1 <         ε .
                           1+                1−
                               S                  s
  Ïî çàäàííûì n è γ ïî òàáëèöàì (ïðèëîæåíèå 4 â ëþáîì èçäàíèè Ãìóðìàíà
                             ε
Â.Å.) íàõîäèì âåëè÷èíó q = .
                             S
  Ãðàíèöàìè α è β äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäóò:
                        ε                            ε
            α=S 1−          = S(1 − q) è β = S 1 +       = S(1 + q)        (2)
                        S                           S
Ïðèìåð 2.14   Ïî äàííûì âûáîðêè îáúåìà n = 26 èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
îïðåäåëåíà îöåíêà ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ
                                        n
                                1
                        S=                   (xi − x)2 = 2.
                                                   ¯
                               n−1     i=1

  Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî èññëåäóåìûé êîëè÷åñòâåííûé ïðèçíàê ðàñïðåäåëåí
íîðìàëüíî, íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, íàêðûâàþùèé σ ñ íàäåæíîñòüþ
γ = 0, 95.
Ðåøåíèå.  Ïî òàáëèöàì (ïðèëîæåíèå 4, Ãìóðìàí Â.Å.) äëÿ γ = 0, 95 ïðè
n − 1 = 25 íàõîäèì âåëè÷èíó q = 0, 32. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ôîðìóëàì (2)
                     α = S(1 − q) = 2(1 − 0, 32) = 1, 36,

                                        15


                       β = S(1 + q) = 2(1 + 0, 32) = 2, 64.
  Òî åñòü, ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0, 95 áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

                                1, 36 < σ < 2, 64.

Ÿ15 Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè                     p   ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ

ïðè åäèíè÷íîì èñïûòàíèè


  Ïóñòü ÷èñëî ïîâòîðíûõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé n äîñòàòî÷íî âåëèêî. Áóäåì
îáîçíà÷àòü ÷åðåç p âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â îäíîì èñïûòàíèè, òîãäà
q = 1 − p. Îáîçíà÷èì ÷åðåç m ñëó÷àéíîå ÷èñëî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â n íåçà-
                                       m
âèñèìûõ ïîâòîðåíèÿõ èñïûòàíèé; p∗ =        îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ
                                               n
ñîáûòèÿ A â n íåçàâèñèìûõ ïîâòîðåíèÿõ èñïûòàíèé.
  Ïî èíòåãðàëüíîé òåîðåìå Ìóàâðà - Ëàïëàñà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âå-
ëè÷èíà                                 ∗
                                m − np p − p
                                √     =  pq
                                  npq     n
èìååò ïðèáëèæåííî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1.
  Çàäàäèì 0 < γ < 1 è ïî òàáëèöàì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ëàïëàñà íàõîäèì uγ
òàêîå, ÷òî
                                     2Φ(uγ ) = γ.
  Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n
                            |p∗ − p|
                        P       pq     < uγ ≈ 2Φ(uγ ) = γ
                                n
èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî

                                               p(1 − p)
                        P |p∗ − p| < uγ                 ≈ γ,
                                                  n
                                                           2
                    p(1 − p)                        2p − p
íî |p − p| < uγ
     ∗
                             ðàâíîñèëüíî (p − p) < uγ
                                           ∗    2
                                                             .
                        n                              n
  Ðåøàÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî p, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå íåðà-
âåíñòâî α < p < β , ãäå

                   n    ∗
                           u2
                            γ                      p∗ (1 − p∗ )   uγ   2
              α= 2     p +    − uγ                              +          ,
                uγ + n     2n                           n         2n
                                                                                 (1)
                   n    ∗
                           u2
                            γ
                                                    ∗      ∗
                                                   p (1 − p )   uγ     2
              β= 2     p +    + uγ                            +            .
                uγ + n     2n                          n        2n

                                          16


  Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n èíòåðâàë (α, β) íàêðûâàåò p ñ
âåðîÿòíîñòüþ ïðèáëèæåííî ðàâíîé γ . Ôîðìóëàìè (1) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ óæå
ïðè n > 30.
Ïðèìåð 1.15    Ïðè ïðîâåäåíèè 35 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñîáûòèå A ïîÿâè-
ëîñü m = 14 ðàç. Òî åñòü, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ðàâíà
     m
p∗ =   = 0, 4. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ âåðîÿòíîñòè p
     n
ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A, ñîîòâåòñòâóþùèé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0, 95.
Ðåøåíèå.   Ïî òàáëèöàì çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà îïðåäåëÿåì âåëè÷èíó
                                           γ
                             uγ = Φ−1        = 1, 96.
                                           2
  Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ n = 35; p∗ = 0, 4 è uγ = 1, 96 â ôîðìóëû (1) íàõîäèì

                  α = 0, 256; β = 0, 564, Jγ = (0, 256; 0, 564).

                                                       u2 u 2 2
                                                        γ   γ
  Åñëè n âåëèêî (ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîòåí), òî âåëè÷èíû ,       ïðåíåáðå-
                                                       n  n
æèìî ìàëû, ïîýòîìó èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîëîæèâ èõ ðàâíûìè íóëþ. Òîãäà
ôîðìóëû (1) ïðèìóò âèä:

                                  ∗             p∗ (1 − p∗ )
                           α = p − uγ                        ,
                                                     n                      (2)
                                                p∗ (1 − p∗ )
                            β = p ∗ + uγ                     .
                                                     n
Ïðèìåð 2.15  Ïðè ïðîâåäåíèè n = 350 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñîáûòèå A
ïîÿâèëîñü m = 140 ðàç. Òî åñòü, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ,
                                         m
êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ðàâíà p∗ =      = 0, 4. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé
                                                      n
èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ âåðîÿòíîñòè p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé
äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0, 95.
Ðåøåíèå.   Êàê è â ïðèìåðå 1.15
                                           γ
                             uγ = Φ−1        = 1, 96.
                                           2
  Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ n = 350; p∗ = 0, 4 è uγ = 1, 96 â ôîðìóëû (2) íàõîäèì

                  α = 0, 349; β = 0, 451, Jγ = (0, 349; 0, 451).

  Ñðàâíèì ðåçóëüòàòû ðåøåíèé ïðèìåðîâ ïî ôîðìóëàì (1) è (2).

                                           17


  Â ïðèìåðå 1.15 äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ðàâíà β − α = 0, 308, à â
ïðèìåðå 2  β −α = 0, 102. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî p∗ = 0, 4 â îáîèõ ïðèìåðàõ åñòü ñå-
ðåäèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, òî ñ óâåðåííîñòüþ 0, 95 ìîæåì óòâåðæäàòü,
÷òî â ïðèìåðå 1.15 íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ îò-
ëè÷àåòñÿ îò 0, 4 íå áîëåå ÷åì íà 0, 15, à â ïðèìåðå 2.15 íå áîëåå ÷åì íà 0, 05.
  Èç ðåøåíèé ýòèõ ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî åñëè ýêñïåðèìåíòàòîð èìååò âîçìîæ-
íîñòü íàçíà÷àòü ÷èñëî ïðîâîäèìûõ èñïûòàíèé n ïðè îïðåäåëåíèè îöåíêè p∗
íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè p, òî îí ìîæåò ïî âûáðàííîé ñòåïåíè óâåðåííîñòè γ
è äëèíå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà β − α = 2ε îïðåäåëèòü íåîáõîäèìîå ÷èñëî
èñïûòàíèé n äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà

                     p∗ − ε < p < p∗ + ε èëè |p∗ − p| < ε.
  Èç èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Ìóàâðà  Ëàïëàñà ïðè áîëüøèõ n
                                                n
                 P (|p∗ − p| < ε) ≈ 2Φ ε           ≥ γ = 2Φ(uγ ),
                                                pq
îòñþäà
                                  n
                                    ε≥ uγ .
                                  pq
  Ðåøàÿ íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî n ïîëó÷èì
                                        p(1 − p) 2
                               n≥               · uγ ,
                                           ε2
òàê êàê
                                         1
                               p(1 − p) ≤ ,
                                         4
òî íàøå íåðàâåíñòâî çàâåäîìî áóäåò âûïîëíåíî, åñëè
                                           u2γ
                                        n ≥ 2.                               (3)
                                           4ε
  Âû÷èñëèâ ãðàíèöû äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ n = 35 ïî ôîðìóëàì (2)
è äëÿ n = 350 ïî ôîðìóëàì (1), ïîëó÷èì, ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàòû ïðèìåðîâ 1.15
è 2.15, äëÿ îäíîé è òîé æå äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0, 95 ñëåäóþùèå
ðåçóëüòàòû.
               Ôîðìóëû                   n = 35          n = 350
                           (α, β)   (0, 256; 0, 564) (0, 350; 0, 452)
                  (10)
                           β−α           0, 308           0, 102
                           (α, β)   (0, 238; 0, 562) (0, 349; 0, 451)
                  (11)
                           β−α           0, 324           0, 102

                                           18


  Èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ âèäíî, ÷òî ïðè ìàëîì îáúåìå âûáîðêè n ïðåäïî-
÷òèòåëüíåé ïðèìåíåíèå ôîðìóë (1), à ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè ïðèìåíå-
íèå ôîðìóë (2) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ãðàíèöû èíòåðâàëà ïðè ìåíüøåì îáúåìå
âû÷èñëåíèé.

Ÿ16   Ïîñòðîåíèå       äîâåðèòåëüíîãî         èíòåðâàëà     äëÿ    êîýôôèöèåíòà

ëèíåéíîé êîððåëÿöèè


                                                     cov(ξ, η)
  Êîýôôèöèåíò ëèíåéíîé êîððåëÿöèè ρ = √                   √       ìåæäó êîìïîíåíòàìè
                                                    Dξ − Dη
äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ñèëå ñòàòèñòè÷åñêîé
ñâÿçè ìåæäó íèìè.
  Åñëè íà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ξ, η) ðàñ-
ïðåäåëåíà íîðìàëüíî, òî ðåãðåññèÿ âñåãäà ëèíåéíàÿ.
  Äëÿ êîýôôèöèåíòà ëèíåéíîé êîððåëÿöèè ρ èñïîëüçóåòñÿ îöåíêà:
                                         a11 − x · y
                                                ¯ ¯
                                    r=               ,                            (1)
                                           S1 · S2
ãäå
                  n                    n                        n
                                2   1              2    2    1
           a11 =     x i y i ; S1 =       (xi − x) ; S2 =
                                                 ¯                 (yi − y )2 .
                                                                         ¯
                 i=1
                                    n i=1                    n i=1
  Ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ρ èñïîëüçóþò ñëó÷àéíóþ âå-
ëè÷èíó
                                1 1+r
                                  ln
                                  z=    ,                           (2)
                                2 1−r
êîòîðàÿ äàæå ïðè íåáîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè n ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ
áëèçêîìó ê íîðìàëüíîìó,
                                 1 1+ρ         1
                         Mz ≈     ln   è Dz =     .
                                 2 1−ρ        n−3
  Òàê êàê
                        z − Mz
                        P√      < uγ ≈ 2Φ(uγ ) = γ,
                           Dz
òî äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû z ãðàíèöàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ M z
áóäóò                         √                √
                   zα = z − uγ Dz è zβ = z + uγ Dz.
  Òàê êàê èç (2) ñëåäóåò, ÷òî
                                          ez − e−z
                                r = th z = z       ,
                                          e + e−z
                                         19


òî ãðàíèöàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ρ áóäóò

                            α = th zα è β = th zβ .                          (3)
                                    1 1+r
  Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí z =        ln   è r = th z èìåþòñÿ òàáëèöû.
                                    2 1−r
   ñëó÷àå áîëüøèõ n (n > 50) è ìàëûõ çíà÷åíèé r (r < 0, 5) ãðàíèöû äîâåðè-
òåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ρ ïðèáëèæåííî îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

                        α = r − uγ σr è β = r + uγ σr ,
                                               1 − r2
ãäå uγ  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 2Φ(uγ ) = γ , à σr = √ .
                                                  n

Ÿ17   Êðèòåðèè   ïðîâåðêè      ãèïîòåçû       î   âèäå    çàêîíà   ðàñïðåäåëåíèÿ

èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû


  Ïðè ïåðâè÷íîé îáðàáîòêå ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ñòðîèòñÿ âàðèàöèîííûé
ðÿä ÷àñòîò è åãî ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ  ãèñòîãðàììà. Ïî âèäó ãèñòî-
ãðàììû âûäâèãàåòñÿ ãèïîòåçà î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû.
  Ãèïîòåçà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:
  H0 : ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).
  Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû ïðèìåíÿþòñÿ êðèòåðèè, ó÷èòûâàþùèå îòêëîíåíèå
ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ∗ (x) îò ïðåäïîëàãàåìîé òåîðåòè÷åñêîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).

Ÿ17à Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà


   êà÷åñòâå ìåðû îòêëîíåíèÿ F ∗ (x) îò F (x) áåðåòñÿ âåëè÷èíà

                    D[F ∗ ; F ] =     sup     |F ∗ (x) − F (x)|.
                                    −∞<x<+∞

  Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà ïðèìåíèì â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïàðàìåòðû òåîðåòè-
÷åñêîãî çàêîíà F (x) îïðåäåëÿþòñÿ íå ïî äàííûì èññëåäóåìîé âûáîðêè, à ñàìà
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x)  íåïðåðûâíà.
                                                      √
   ýòîì ñëó÷àå ïðè n → ∞ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà λ = nD[F ∗ ; F ] íåçàâèñèìî
îò âèäà çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ξ ñòðåìèòñÿ ê çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ Êîëìîãîðîâà
K(x):                         √
                      lim P       nD[F ∗ ; F ] < x = K(x),
                      n→∞


                                        20



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика