Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачи по математической статистике. Часть 2. Интервальное оценивание параметров распределения и критерии согласия

Голосов: 1

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех специальностей ЮФУ, изучающих математическую статистику. Цель пособия - помочь студентам в приобретении навыков по решению задач математической статистики на основе непосредственного использования основных определений и теорем этого раздела математики. Приобретенные навыки помогут будущему специалисту свободно вести необходимые статистические расчеты, а также сознательно и грамотно использовать и составлять вычислительные компьютерные программы.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå
       âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ
    ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿




  Ã. Ì. Áåçäóäíûé, Â. À. Çíàìåíñêèé, Í. Â. Êîâàëåíêî,
     Â. Å. Êîâàëü÷óê, À. È. Ëóöåíêî, Â. Â. Ðûíäèíà


  ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÅ


                       ×àñòü 2


  Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ
                 è êðèòåðèè ñîãëàñèÿ




                    Ðîñòîâ-íà-Äîíó
                       2007 ãîä


  Äàííîå ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïå-
öèàëüíîñòåé ÞÔÓ, èçó÷àþùèõ ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó.
  Öåëü ïîñîáèÿ  ïîìî÷ü ñòóäåíòàì â ïðèîáðåòåíèè íàâûêîâ ïî ðåøåíèþ çàäà÷
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè íà îñíîâå íåïîñðåäñòâåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ îñíîâ-
íûõ îïðåäåëåíèé è òåîðåì ýòîãî ðàçäåëà ìàòåìàòèêè. Ïðèîáðåòåííûå íàâû-
êè ïîìîãóò áóäóùåìó ñïåöèàëèñòó ñâîáîäíî âåñòè íåîáõîäèìûå ñòàòèñòè÷åñêèå
ðàñ÷åòû, à òàêæå ñîçíàòåëüíî è ãðàìîòíî èñïîëüçîâàòü è ñîñòàâëÿòü âû÷èñëè-
òåëüíûå êîìïüþòåðíûå ïðîãðàììû.




  Ïå÷àòàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèî-
íàëüíîãî àíàëèçà ôàêóëüòåòà ¾Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà è êîìïüþòåðíûå íàóêè¿
ÞÔÓ.
  Ïðîòîêîë 3 îò 9 íîÿáðÿ 2007 ã.




  Îòâåòñòâåííûé çà âûïóñê  çàâ. êàô. ÒÔ è ÔÀ, äîêòîð ô.-ì. íàóê, Êîíäàêîâ
Â.Ï.


                                Ââåäåíèå


  Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà çàíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèåì è ïðîâåðêîé ïîäõîäÿ-
ùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ëèáî ïîëíîñòüþ íåèçâåñòåí, ëèáî ÷àñòè÷íî
èçâåñòåí.
  Òèïè÷íûìè çàäà÷àìè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå:
îöåíêà íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî÷å÷íàÿ è èíòåðâàëüíàÿ îöåí-
êà íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà
ãèïîòåç. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ñîñòîèò èç ðÿäà ðàçäåëîâ, òàêèõ êàê òåî-
ðèÿ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, òåîðèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîâåðêè
ãèïîòåç, äèñïåðñèîííûé àíàëèç, êîððåëÿöèîííûé àíàëèç, ìíîãîìåðíûé ñòàòè-
ñòè÷åñêèé àíàëèç, ôàêòîðíûé àíàëèç, ïëàíèðîâàíèå ýêñïåðèìåíòà è äð.
  Âî âòîðîé ÷àñòè ìåòîäè÷åñêèõ óêàçàíèé ðàññìîòðåíû ïîñòðîåíèå äîâåðè-
òåëüíûõ èíòåðâàëîâ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, à òàêæå êðèòåðèè ñîãëàñèÿ
Êîëìîãîðîâà, Ïèðñîíà, ω 2 .


Ÿ10 Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí


  Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèå îöåíêè θ∗ = t(x1 , x2 , ..., xn ) ïàðàìåòðà θ, ìû ïîëó÷àåì
÷èñëî, âåëè÷èíà êîòîðîãî çàâèñèò îò ýëåìåíòîâ x1 , x2 , ..., xn , ïîïàâøèõ â âû-
áîðêó.
  Çíà÷åíèå îöåíêè θ∗ äàåò íàì ïðèáëèçèòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î âåëè÷èíå çíà-
÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ è, äàæå åñëè θ∗ áóäåò ðàâíî θ, ìû ýòîãî íå óçíàåì, òàê êàê
ìû íå çíàåì äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ.
  Âîçíèêàåò âîïðîñ:"Íåëüçÿ ëè ïîñòðîèòü èíòåðâàë Jγ = (α, β), ïðî êîòîðûé
ìîæíî áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî ñ çàäàííîé íàäåæíîñòüþ γ ýòîò èíòåðâàë (α, β)
íàêðûâàåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ?"
  Òðåáîâàíèå ê èíòåðâàëó Jγ = (α, β) ìîæíî êðàòêî çàïèñàòü òàê:

                              P (α < θ < β) ≥ γ.
  Èíòåðâàë Jγ íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì, à γ  äîâåðèòåëüíîé
âåðîÿòíîñòüþ.
  Äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü γ çàäàåòñÿ ýêïåðèìåíòàòîðîì. Åå çíà÷åíèÿ îáû÷-
íî âûáèðàþòñÿ áëèçêèìè ê åäèíèöå: 0,9; 0,95; 0,99....
  Ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà α è β ÿâëÿþòñÿ ñòàòèñòèêàìè è èõ çíà-
÷åíèÿ çàâèñÿò îò ýëåìåíòîâ, ïîïàâøèõ â âûáîðêó (x1 , x2 , ..., xn ).
  Çíà÷èò, äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ïàðàìåòðà θ ïðè çà-
äàííîì γ íàäî çíàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ ñòàòèñòèê.
   áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îïðåäåëåíèå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè îñ-
íîâûâàåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî âûáîðêà ïðîèçâîäèòñÿ èç ãåíåðàëü-
íîé ñîâîêóïíîñòè, íà êîòîðîé èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà
                                        √
íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè m = M ξ è σ = Dξ .
  Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèê çà÷àñòóþ ïîä÷èíÿþòñÿ òðåì çà-
êîíàì ðàñïðåäåëåíèÿ: çàêîíó Ïèðñîíà ("õè  êâàäðàò  ðàñïðåäåëåíèå"), çàêîíó
Ñòüþäåíòà ("t  ðàñïðåäåëåíèå") è çàêîíó Ôèøåðà  Ñíåäåêîðà ("F  ðàñïðå-
äåëåíèå").
  Îïðåäåëåíèå ýòèõ çàêîíîâ è âèä èõ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè äàþòñÿ â òåîðå-
òè÷åñêîé ÷àñòè êóðñà.
  Ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòåé èñ-
ïîëüçóåìûõ ñòàòèñòèê ïðèìåíÿþòñÿ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé ýòèõ
çàêîíîâ.
  Ïðèìåðû:
                                            n
                    x−m √
                    ¯                1
  1) Ñòàòèñòèêà u =     · n, ãäå x =
                                 ¯               xi - ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà-
                      σ              n     i=1

                                       4


÷åíèé ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó
çàêîíó N (0; 1). Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì ýòîé ñòàòèñòèêè
ïîëüçóþòñÿ òàáëèöàìè çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà
                                            uγ
                                    1                  2
                 P {0 ≤ u < uγ } = √             e−z       /2
                                                                dz = Φ(uγ ) = γ.
                                     2π
                                           0
                                                                    n
                             x − m√
                             ¯                        1                2
   2) Ñòàòèñòèêà tn−1 =                n, ãäå S 2 =           ( xi − x - íåñìåùåííàÿ
                                                                     ¯
                               S                    n − 1 i=1
îöåíêà äèñïåðñèè, ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ñòüþäåíòà ñ ïàðàìåòðîì n − 1,
                            n−2
à ñòàòèñòèêà tn−2 = r              , ãäå r - îöåíêà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè, ïîä÷è-
                            1 − r2
íÿåòñÿ ýòîìó æå ðàñïðåäåëåíèþ, íî ñ ïàðàìåòðîì n − 2. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî âûáîðêà âçÿòà èç íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
   Èìåþòñÿ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. Îäíîñòîðîííèå, òî åñòü âåðî-
ÿòíîñòè P (tn < tγ ) = γ è äâóñòîðîííèå, òî åñòü âåðîÿòíîñòè P (|tn | < tγ ) = γ .
 íåêîòîðûõ ïîñîáèÿõ ïðèâîäÿòñÿ òàáëèöû ïðîòèâîïîëîæíûõ âåðîÿòíîñòåé:
P (tn > tα ) = α è P (|tn | > tα ) = α. ßñíî, ÷òî åñëè α + γ = 1, òî
                         P (|tn | < tγ ) = 1 − P (|tn | > tα ).
                 S2
  3) Ñòàòèñòèêà 2 (n − 1) = χ2 ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïèðñîíà ("õè 
                              n−1
                 σ
êâàäðàò") ñ ïàðàìåòðîì (n − 1) â ñëó÷àå íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
  Èìåþòñÿ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P χ2 > χ2 ) = α.
                                                        α
  ×àùå âñåãî â ïîñîáèÿõ ïðèâîäÿòñÿ òàáëèöû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ n ≤ 30.
Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé n ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà
                                                   √
àïïðîêñèìèðóåòñÿ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì N (n, 2n). Òàê êàê ïðè áîëü-
                                        χ2 − n   χ2 − n
                                                  α
øèõ çíà÷åíèÿõ n ñîáûòèÿ {χn > χα } è
                            2     2      √     > √         ðàâíîâåðîÿòíû,
                                           2n       2n
òî çíà÷åíèå χ2 îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
             α
                                    χ2 − n
                                     α
                                     √     = uα ,
                                       2n
               1
ãäå uα = Φ−1     −α .
               2
  4 Èç äâóõ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ âåëè÷èí ñ îäèíàêîâû-
ìè äèñïåðñèÿìè âçÿòû âûáîðêè îáúåìà n1 + 1 è n2 + 1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïî
ýòèì âûáîðêàì îáðàçîâàíû íåñìåùåííûå îöåíêè äèñïåðñèé S1 è S2 . Ñòàòèñòè-
                                                         2     2

   S2
êà 1 = fn1 ,n2 ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ôèøåðà  Ñíåäåêîðà ñ ïàðàìåòðàìè
    2
   S2
                                           5


n1 è n2 . Èìåþòñÿ òàáëèöû âåðîÿòíîñòåé P (fn1 ,n2 > fα ) = α. Òàê êàê fα  çàâè-
ñèò îò òðåõ âõîäíûõ äàííûõ: îáúåìîâ âûáîðîê n1 + 1 è n2 + 1 è âåðîÿòíîñòè α,
òî òàáëèöû F  ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþòñÿ äëÿ êàæäîãî α îòäåëüíî (îáû÷íî
äëÿ α = 0, 005 è α = 0, 001).
                                2
                              S1
  Ïðè ñîñòàâëåíèè ñòàòèñòèêè 2 â êà÷åñòâå ïåðâîé áåðóò òó, ó êîòîðîé îöåíêà
                              S2
                                                   2
                                                 S1
äèñïåðñèè îêàçàëàñü áîëüøå. Òî åñòü ñòàòèñòèêà 2 âñåãäà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
                                                 S2
áîëüøå 1.

Ÿ11   Äîâåðèòåëüíûé       èíòåðâàë                     äëÿ   ìàòåìàòè÷åñêîãî   îæèäàíèÿ

íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû



Çàäà÷à 1  Ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäà-
íèÿ (θ = M ξ ) íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , åñëè äèñïåð-
ñèÿ Dξ = σ 2 - èçâåñòíà.
                   n
              1
  Îöåíêà x =
          ¯         xi  åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíî
              n i=1
ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí xi (ýëåìåíòîâ âûáîðêè). Ñëåäîâàòåëüíî,
                                                                  σ2
ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå x ðàñïðåäåëåíî íîðìàëüíî ñ M x = M ξ è D¯ = .
                        ¯                           ¯          x
                                                                   n
  Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà âîçüìåì ñòàòèñòèêó:
                                  x − Mξ√
                                  ¯
                              u=          n.                         (1)
                                     σ
  Îïðåäåëèì âåëè÷èíó uγ òàêóþ, ÷òî
                                   P (|u| < uγ ) = γ.
  Òàê êàê M u = 0, Du = 1, òî
                             P (|u| < uγ ) = 2Φ(uγ ),
                          γ
ñëåäîâàòåëüíî, uγ = Φ−1     , ãäå
                          2
                                   x
                         1                   2
                 Φ(x) = √              e−z       /2
                                                      dz − ôóíêöèÿ Ëàïëàñà.
                          2π
                               0
   Ïî òàáëèöàì çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà ïî âûáðàííîìó γ íàéäåì çíà÷åíèå
uγ . Òîãäà ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ñ íàäåæíîñòüþ γ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
                                   x − Mξ√
                                   ¯
                                           n < uγ .
                                      σ
                                                      6


Ðåøèì ýòî äâîéíîå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî M ξ :
                        uγ · σ        uγ · σ
                    x − √ < Mξ < x + √ .
                    ¯              ¯                                                        (2)
                           n             n
             uγ · σ         uγ · σ
Îáîçíà÷àÿ x − √ = α è x + √ = β , ïîëó÷àåì
          ¯            ¯
                n              n
                                         P (α < M ξ < β) = γ.
  Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîñòðî-
åí.
  Äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà Jγ ðàâíà
                                                      2uγ · σ
                                           β−α=        √ .
                                                         n
  Îòñþäà âèäíî:
 1) Ïðè óâåëè÷åíèè íàäåæíîñòè èíòåðâàëüíîé îöåíêè, òî åñòü ïðè óâåëè÷åíèè
    äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ , äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà âîçðàñòàåò,
    à çíà÷èò, óìåíüøàåòñÿ òî÷íîñòü èíòåðâàëüíîé îöåíêè.
 2) Ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè n äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà óìåíü-
    øàåòñÿ, òî åñòü óâåëè÷èâàåòñÿ òî÷íîñòü èíòåðâàëüíîé îöåíêè.
  Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ýêñïåðèìåíòàòîð, èñõîäÿ èç âîçìîæíîñòè
ïîëó÷åíèÿ âûáîðêè îáúåìà n, ïîäáèðàåò âåëè÷èíó γ òàêóþ, ÷òîáû ïîëó÷åííûé
èíòåðâàë Jγ = (α, β) èìåë ïðàêòè÷åñêóþ öåííîñòü.
Ïðèìåð 1.11   Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ïðè-
çíàêà ïîëó÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 200, ïðèâåäåííàÿ â òàáëèöå.
    Òàáëèöà 1. Âûáîðêà ê ïðèìåðó 1.11
    Ïðîìåæóòîê [1;5) [5;9) [9;13) [13;17) [17;21) [21;25) [25;29) [29;33) [33;37) [37;41]
    [ai , ai+1 )
    ×èñëî          íà-   2   6      14     29    50      44     33   17   4       1
    áëþäåíèé â
    ïðîìåæóò-
    êå

  Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ , åñëè
èçâåñòíà äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Dξ = σ 2 = 43, à äîâåðèòåëüíàÿ âåðî-
ÿòíîñòü γ = 0, 99.
Ðåøåíèå.
    √       Ñðåäíåå              êâàäðàòè÷åñêîå       îòêëîíåíèå èññëåäóåìîãî ïðèçíàêà
σ = 43 ≈ 6, 56, à                ñòàòèñòè÷åñêàÿ       îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
x = 20, 98.
¯

                                                  7


  Èç òàáëèöû çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà äëÿ γ = 0, 99 íàõîäèì
                                      γ
                           uγ = Φ−1     = 2, 575.
                                      2
  Òîãäà, ñîãëàñíî (2), ïîëó÷àåì
                                   2, 575 · 6, 56
                     α = 20, 98 −      √          ≈ 19, 78,
                                         200
                                  2, 575 · 6, 56
                     β = 20, 98 +     √           ≈ 22, 174.
                                        200
  Çíà÷èò, çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ = M ξ , ñîãëàñóþùèåñÿ ñ äàííûìè
âûáîðêè, óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
                           19, 78 < M ξ < 22, 17,
                            Jγ = (19, 78; 22, 17).
Çàäà÷à 2  Ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäà-
íèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , åñëè äèñïåðñèÿ íåèç-
âåñòíà.
  Òàê êàê äèñïåðñèÿ ξ íåèçâåñòíà, òî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (1) íåëüçÿ. Â (1)
çàìåíÿåì Dξ = σ 2 íåñìåùåííîé îöåíêîé
                                          n
                           2   1                     2
                          S =                 xi − x ,
                                                   ¯
                              n−1     i=1

íàéäåííîé ïî äàííîé âûáîðêå, òîãäà ñòàòèñòèêà
                            x − Mξ√
                            ¯
                                        n = tn−1
                                S
ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
  Äàëåå ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ àíàëîãè÷íà îïèñàííîé â çàäà÷å 1.
  Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ïî âûáðàííîìó γ îïðåäåëÿåì âåëè-
÷èíó tγ òàêóþ, ÷òî
                            P (|tn−1 | < tγ ) = γ.
  Òîãäà ñ íàäåæíîñòüþ γ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
                              x − Mξ√
                              ¯
                                      n < tγ .
                                  S
  Ðåøèì ýòî íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî M ξ
                           tγ · S            tγ · S
                      x − √ < Mξ < x + √ .
                       ¯                 ¯                              (3)
                               n                 n
                                      8


                 tγ · S          tγ · S
  Îáîçíà÷àÿ x − √
            ¯           = α è x + √ = β, ïîëó÷èì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
                              ¯
                     n               n
Jγ = (α, β) äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â äàííîì ñëó÷àå.
Ïðèìåð 2.11   Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ïðè-
çíàêà ïîëó÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 60
        Òàáëèöà 2. Âûáîðêà ê ïðèìåðó 2.11
        [ai , ai+1 )   [0;5) [5;10) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) [30;35) [35;40]
        mi             2     3      9       16      18      8       3       1
  Îöåíèòü ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0, 95 íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ ïðè ïîìîùè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà.
Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ïî äàííîé âûáîðêå âû÷èñëÿåì ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè è ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ:
                           x ≈ 19, 65; S 2 ≈ 51, 16; S ≈ 7, 15.
                           ¯
  Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ âûáðàííîãî γ                       = 0, 95 è
n − 1 = 60 − 1 = 59 íàõîäèì tγ = 2, 0.
  Äàëåå âû÷èñëÿåì ãðàíèöû èíòåðâàëà (3).
                  2, 0 · 7, 15                       2, 0 · 7, 15
         α = 19, 65 −√         ≈ 17, 80; β = 19, 65 + √           ≈ 21, 50.
                        60                                 60
  Ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0, 95 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íåèçâåñòíîå ìàòåìàòè÷å-
ñêîå îæèäàíèå íàêðûâàåòñÿ èíòåðâàëîì
                                   Jγ = (17, 80; 21, 50).
  Â ïðèìåðàõ 1.10 è 2.10 ïðè îïðåäåëåíèèè ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
ñóùåñòâåííûì áûëî ïðåäïîëîæåíèå î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè èññëåäóåìîãî
ïðèçíàêà.
  Åñëè èññëåäóåìûé ïðèçíàê íå ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ,
òî ïðè íåäîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè èñïîëüçîâàíèå ñòàòèñòèê
       x − Mξ√
       ¯                  x − Mξ√
                          ¯
u=             n è tn−1 =         n ìîæåò ïðèâåñòè ê íåïðàâèëüíûì âûâî-
          σ                  S
äàì.

Ÿ12       Îöåíèâàíèå           ìàòåìàòè÷åñêîãî              îæèäàíèÿ       íîðìàëüíî

ðàñïðåäåëåííîé âåëè÷èíû ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ


  Ñòàòèñòèêà x  ÿâëÿåòñÿ òî÷å÷íîé îöåíêîé äëÿ M ξ , à àáñîëþòíîé ïîãðåø-
             ¯
íîñòüþ ÿâëÿåòñÿ x − M ξ . Íàäî íàéòè ìèíèìàëüíîå n, ïðè êîòîðîì ñ âåðîÿò-
                ¯
íîñòüþ íå ìåíüøå, ÷åì γ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâîñõîäèò çàäàííîãî

                                             9


÷èñëà ε > 0, òî åñòü
                             P x − M ξ < ε ≥ γ.
                               ¯
  Íî
                                 x − Mξ √
                                 ¯           ε√        ε√
        P x − Mξ < ε = P
          ¯                               n<    n = 2Φ    n ≥ γ.
                                    σ        σ         σ
                   γ
  Áåðÿ uγ = Φ−1      , ïîëó÷èì
                   2
                                   ε√
                              2Φ      n ≥ 2Φ(uγ )
                                   σ
      ε√
  èëè    n ≥ uγ .
      σ √
               σuγ
  Îòêóäà n ≥        ,
                  ε
                                    σ 2 u2
                                         γ
                                n≥ 2 .                                 (1)
                                     ε
  Âñå ýòè ðàññóæäåíèÿ âåðíû, åñëè âûáîðêà áåðåòñÿ èç íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåííîé âåëè÷èíû ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé.
  Åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ξ íåèçâåñòåí èëè íå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì, òî ïî
                                                x − Mξ√
                                                ¯
òåîðìå Ëåâè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âåëè÷èíà            n íîðìàëüíî ðàñ-
                                                   σ
ïðåäåëåíà ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1. Ðàññóæäàÿ êàê è âûøå, ïîëó÷àåì, ÷òî (2) Ÿ11
ÿâëÿåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ M ξ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñ íà-
äåæíîñòüþ ïðèáëèæåííî ðàâíîé γ .
Ïðèìåð 1.12   Íàéòè ìèíèìàëüíûé îáúåì âûáîðêè n, ïðè êîòîðîì ñ íàäåæíî-
ñòüþ 0, 95 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî òî÷íîñòü îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
M ξ ïî âûáîðî÷íîìó ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó x ðàâíà ε = 0, 2, åñëè èçâåñòíî,
                                               ¯
÷òî ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ = 2, 0. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûáîðêà
âçÿòà èç íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé âåëè÷èíû.
Ðåøåíèå.   Ïîëàãàÿ γ = 0, 95, èç 2Φ(uγ ) = 0, 95, ïîëó÷èì

                          uγ = 1, 96; ε = 0, 2; σ = 2, 0.
  Ïî ôîðìóëå (1)
                            22 · 1, 962
                         n≥             = 384, 15.
                              0, 2)2
  Çíà÷èò, îáúåì âûáîðêè äîëæåí áûòü íå ìåíåå 385.




                                        10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика