Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика: Модуль 5 для 9 класса: Законы сохранения энергии и импульса

Голосов: 7

Пособие к модулю 5 для 9 класса дополнительной образовательной программы по физике для учащихся Заочной естественно-научной школе (ЗЕНШ) при Красноярском государственном университете. Программа модуля включает рассмотрение следующих тем: 1. Понятие замкнутой физической системы. Законы сохранения в физике. 2. Импульс тела, второй закон Ньютона и сохранение импульса физической системы тел. Следствия закона сохранения импульса. 3. Работа внешней по отношению к системе тел силы. Связь кинетической энергии и работы. Графическое изображение работы. Единицы работы. 4. Мощность как скорость совершения работы над системой тел. Понятие мгновенной и средней мощностей. Единицы мощности. 5. Понятие консервативных сил. Связь наличия консервативных сил и введения потенциальной энергии. Связь работы в поле консервативных сил с разностью потенциальных энергий. Силы тяжести и упругие силы как пример потенциальных (консервативных) сил. 6. Понятие полной механической энергии как суммы потенциальной и кинетической энергий. Закон сохранения механической энергии. 7. Упругие и неупругие соударения между телами. Особенности выполнения законов сохранения при упругих и неупругих столкновениях тел.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Агентство образования администрации Красноярского края   Физика: Модуль № 5 для 9 класса. Учебно-методическая часть. /
       Красноярский государственный университет          Сост: В.К. Баранова, канд. физ. – мат. наук, доцент кафедры общей физики;
     Заочная естественно-научная школа при КрасГУ        КрасГУ. – Красноярск, 2006 — 21 c.

                                                         ISBN 5-7638-0698-0




                                                         Печатается по решению Дирекции
                                                         Краевого государственного учреждения дополнительного образования
                                                         Заочная естественно-научная школа
               ФИЗИКА                                    при Красноярском государственном университете
  Законы сохранения энергии и импульса




              Модуль № 5 для 9 класса
             Учебно-методическая часть




                 Красноярск     2006
                                                                                                                  © Красноярский
                                                                                                                 государственный
                                                         ISBN 5-7638-0698-0                                     университет, 2006

                                                                                             2


                           Программа модуля                                      Введение
               Законы сохранения энергии и импульса                             Вы получили заключительное задание по механике за девятый класс.
  1. Понятие замкнутой физической системы. Законы сохранения в физике.     Посвящено оно очень важной и, как показывает Опыт проведения экзаменов,
  2. Импульс тела, второй закон Ньютона и сохранение импульса              трудной теме. "Законы сохранения энергии и импульса". Во всех наших
физической системы тел. Следствия закона сохранения импульса.
  3. Работа внешней по отношению к системе тел силы. Связь кинетической    заданиях мы придерживаемся традиционной для школьных учебников
энергии и работы. Графическое изображение работы. Единицы работы.          хронологии изложения и надеемся, что вопросы, рассматриваемые ниже, вы
  4. Мощность как скорость совершения работы над системой тел. Понятие
мгновенной и средней мощностей. Единицы мощности.                          обязательно сначала повторите по учебнику, внимательно прочитаете теорию
  5. Понятие консервативных сил. Связь наличия консервативных сил и        в этом задании, и только после этого приступите к его выполнению.
введения потенциальной энергии. Связь работы в поле консервативных сил с
разностью потенциальных энергий. Силы тяжести и упругие силы как                Существуют несколько основных законов природы, имеющих строгую
пример потенциальных (консервативных) сил.                                 математическую форму законов сохранения. Закон сохранения гласит, что в
  6. Понятие полной механической энергии как суммы потенциальной и
кинетической энергий. Закон сохранения механической энергии.               замкнутой системе некая физическая величина (например, полный импульс,
  7. Упругие и неупругие соударения между телами. Особенности              механическая энергия или момент импульса) всегда остается постоянной.
выполнения законов сохранения при упругих и неупругих столкновениях
тел.                                                                       Под замкнутой системой понимают такую систему частиц, которая не
                                                                           подвергается никаким внешним воздействиям, то есть внешних сил нет (или
Примеры решения задач. Контрольные вопросы, задачи и тесты
                                                                           их результирующая равна нулю), а есть только внутренние силы. Внутренние
                                                                           силы могут иметь любую природу, при этом все они принадлежат данной
                                                                           системе.
                                                                                Система может состоять из различного числа материальных точек.
                                                                           Напомним, что практически всегда, когда тело движется поступательно, не
                                                                           вращаясь, его можно считать материальной точкой, независимо от размеров,
                                                                           формы тела и пройденного пути.
                                                                                1. Закон сохранения импульса
                                                                                Напомним, что импульсом материальной точки Р называют векторную
                                                                           величину, равную произведению ее массы т на скорость v:
                                                                                                   r     r
                                                                                                   P = m⋅v .                            (1)
                                                                                                                     r
                                                                                Импульсом системы материальных точек Pc называют векторную
                                                                           сумму всех импульсов материальных точек, входящих в систему, то есть для
                                                                           системы из i материальных точек полный импульс равен
                                                                                                    r r r               r
                                                                                                    Pc = P + P2 + ... + Pi
                                                                                                          1                                     (2)
                                                                                Дадим теперь несколько иную формулировку II закона Ньютона. Если в

                                   3                                                                            4


некоторой инерциальной системе отсчета на материальную точку                    — внешние силы, действующие соответственно на первую, вторую и третью
               r
действует сила F , которая является результирующей всех действующих на          материальные точки. Кроме того, на каждую материальную точку со стороны
нее сил, в течение промежутка времени Δt , то ее движение описывается           других точек, включенных в систему, действуют силы (внутренние силы).
                                                                                                   r
уравнением:                                                                     Обозначим их так: F12 — сила, действующая на первую точку со стороны
                                  r                                                      r
                                 ΔP r                                           второй, F13 — сила, действующая на первую точку со стороны третьей.
                                    =F,                                   (3)
                                 Δt                                                                   r                                 r     r     r
       r                                                                        Аналогично определим F21 (на вторую со стороны первой), F23 , F31 , F32 .
где   ΔP — изменение импульса материальной точки за время                Δt .
Соотношение (3) можно переписать и так
                                 r         r
                                 F ⋅ Δt = ΔP                    (4)
               r
      Величина F ⋅ Δt называется импульсом силы. Таким образом, мы
получили, что изменение импульса материальной точки определяется
импульсом силы. В таком виде II закон Ньютона удобно использовать тогда,
когда известна скорость тела до взаимодействия, и необходимо вычислить                Для описания движения системы этих материальных точек, прежде
его скорость после взаимодействия. Из равенства (3) следует и равенство         всего надо знать движение каждой точки системы. Запишем уравнения
                                                                                                                                             r
соответствующих проекций Fx Δt и Px на произвольное направление OX .            движения каждой точки в отдельности, учитывая, что под силой F в (4)
                                                            r                                                        r
Изменение импульса материальной точки будет равно нулю ΔP = 0 , если            подразумевается результирующая Fp всех действующих сил
результирующая сил, действующих на нее, равна нулю, то есть ее импульс в                               r          r r        r          r
                                                                                                      Fp1 Δt = ( F1 + F12 + F13 )Δt = ΔP ;
                                                                                                                                         1
атом случае сохраняется                                                                                r          r    r     r          r
                              r       r                                                               Fp 2 Δt = ( F2 + F21 + F23 )Δt = ΔP2       (7)
                              P = m ⋅ v = const .                         (5)                          r           r r        r          r
      Соотношение (5) показывает, что при постоянной массе скорость v                                 Fp3 Δt = ( F3 + F31 + F32 ) Δt = ΔP3

остается постоянной.                                                                    Складывая левые и правые части уравнений (7), получим:
                                                                                    r r       r r        r     r     r     r     r           r     r    r
      Если сила, действующая на материальную точку, меняется с течением           ( F1 + F2 + F3 + F12 + F13 + F21 + F23 + F31 + F32 ) Δt = ΔP + ΔP2 + ΔP3
                                                                                                                                              1              (8)
времени, то более правильно записать уравнение движения (3) в виде                                                                               r      r  r  r
                                                                                        В соответствии с 3-им законом Ньютона: F12 = − F21 , F13 = − F31 ,
                                         r                                      r        r
                                        ΔP r                                    F23 = − F32 следовательно, сумма внутренних сил равна нулю, и слева в
                                 lim Δt = F ,                             (6)
                                 Δt → 0
                                                      r                         уравнении остается только сумма внешних сил. Учитывая, что
для очень маленького промежутка времени Δt , где сила F может считаться            r r     r      r    r      r       r r         r          r
                                                                                ΔP = P K − P H , ΔP2 = P2 K − P2 H , ΔP3 = P3 K − P3 H , где PiK — конечный импульс
                                                                                    1 1     1
постоянной, так как просто не успевает измениться.                                                                r
                                                                                i-ой материальной точки, а PiH — ее начальный импульс. Уравнение (8)
      Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих
друг с другом и внешними телами. Для простоты ограничимся системой трех         перепишется как
                                                                 r r r                                         r r       r         r           r
материальных точек (их количество никакой роли не играет). Пусть F1 , F2 , F3                                ( F1 + F2 + F3 ) Δt = Fвнеш Δt = ΔP                (9)
                                      5                                                                                   6


     r
где Fвнеш - результирующая внешняя сила, действующая на систему, а                    движения человека. В этом направлении никаких внешних сил не действует,
                  r    r     r      r          r     r       r       r    r           поэтому импульс системы в этом направлении должен сохраняться. В
                ΔP = ( P K + P2 K + P3 K ) − ( P H + P2 H + P3 H ) = PK + PH ,
                        1                       1                              (11)
 r     r                                                                              начальный момент времени лодка покоилась, значит и в любой другой
PH , PK — импульсы всей системы материальных точек в начальный и
                                                            r                         момент времени полный импульс системы лодка-человек должен быть равен
конечный моменты времени соответственно; ΔP — изменение импульса
                                                                                      нулю. Запишем это
системы материальных точек за время Δt в целом.                                                                       r        r
                                                                                                                  m ⋅ v1 + M ⋅ u = 0 ,                       (11)
      Таким образом, мы получили, что изменение импульса системы                          r                                                     r r r
                                                                                      где v1 — скорость человека относительно неподвижной воды, v1 = v + u , v —
материальных точек равно импульсу результирующей силы, действующей на
                                                                                      скорость человека относительно лодки, u — скорость лодки относительно
эту системы извне. Внутренние силы, какой бы природы они не были (силы
 r    r                                                                               воды. Спроецируем (11) (запишем в виде проекций) на выбранное
F12 , F31 и так далее), импульс системы изменить не могут, что и отражено в
                                                                                      направление оси ОХ:
уравнении (9), в которое эти силы просто не входят.
                            r                                                                                      mv − mu − Mu = 0 .                        (12)
      Или иначе, импульс P системы материальных точек сохраняется, то
      r                                                                                    Отсюда
есть ΔP = 0 , при любых взаимодействиях внутри системы, если импульс
                                                                                                                             m
                                r                                                                                    u=         v.                           (13)
результирующей внешних сил F ⋅ Δt равен нулю. Можно сказать и короче:                                                       m+M
импульс замкнутой системы материальных точек постоянен.                                    Человек движется по лодке в течение времени
      В   незамкнутых      системах    в       некоторых   случаях   тоже   можно                                                 L
использовать закон сохранения импульса. Перечислим эти случаи.
                                                                                                                             t=     ,                        (14)
                                                                                                                                  v
      1. Внешние силы действуют, но их результирующая равна нулю.                     за которое лодка сместится на расстояние
      2. Проекция внешних сил на какое-то направление равна нулю,                                                            mL
                                                                                                               S = u ⋅t =       .                            (15)
       следовательно, проекция импульса на это направление сохраняется,                                                     m+M
       хотя сам вектор импульса не остается постоянным.                                    Следующий пример показывает, как используется при решении задач
      3. Внешние силы много меньше внутренних, а само взаимодействие                  векторный характер закона сохранения импульса.
       протекает достаточно быстро.                                                        Пример 2. После упругого столкновения два одинаковых шарика
      Подчеркнем, что закон сохранения импульса имеет векторный                       движутся с одинаковыми скоростями v1 = v2 = 10 м/с во взаимно
характер. Часто про это просто забывают.                                              перпендикулярных направлениях (угол α = 90°). До столкновения второй
      Пример 1. Лодка массы М и длины L плавает в озере. Человек массы т              шар покоился. Какой угол β составляет траектория движения второго
переходит с кормы лодки на нос со скоростью v относительно лодки. С какой             шарика с траекторией, по которой двигался первый до взаимодействия? Чему
скоростью будет двигаться лодка? На какое расстояние сместится лодка за               равна скорость первого шарика до удара?
время движения человека? В начальный момент времени лодка и человек в                      Решение.
ней покоились.                                                                             Рисунки 2 и 3 наглядно демонстрируют решение задачи. Закон
      Решение. За положительное направление оси ОХ выберем направление                сохранения импульса позволяет записать
                                           7                                                                                 8


                             r    r     r                                                                                        r
                            mv = mv1 + mv2                           (16)   времени на него начинает действовать постоянная сила F . Согласно второму
     Так как скорости шариков после взаимодействия равны, то длины          закону Ньютона, тело начнет двигаться с ускорением
                                r    r    r     r
векторов (массы тоже одинаковы) P = mv1 и P2 = mv2 на рис.3 одинаковы.                                       r 1 r
                                 1                                                                           a=   F.                             (20)
                                                                                                                M
Векторное равенство (16) позволяет сделать вывод, что полный импульс
                                                                                   Вам хорошо известно соотношение, устанавливающее связь скорости,
шариков после удара равен геометрической сумме импульсов каждого из
                                                                            пройденного пути S и ускорения (при а — const), которое позволяет
шариков в отдельности. Таким образом, полный импульс системы после
                                                                            переписать уравнение (20) так:
                                  →                                  →
удара, изображаемый вектором OC , должен быть равен вектору OD ,                                                            ⎛F   ⎞
                                                                                                               v 2 = 2aS = 2⎜    ⎟S .            (21)
который изображает импульс первого шарика до удара (импульс второго был                                                     ⎝M   ⎠
равен нулю). Из геометрии рис.3 видно, что отрезок ОС является диагональю          Или иначе
квадрата ОАСВ.                                                                                               1
                                                                                                               Mv 2 = FS                         (22)
                                                                                                             2
                                                                                   Если тело имело начальную скорость v0 , соотношение (21) запишется
                                                                            как
                                                                                                             2    2             F
                                                                                                           v K − v0 = 2aS = 2     S,             (23)
                                                                                                                                M
                                                                                   и, соответственно, преобразуя его, получим:
                                                                                                             1   2  1  2
Следовательно, до удара первый шарик двигался по направлению,                                                  MvK − Mv0 = F ⋅ S .               (24)
                                                                                                             2      2
совпадающему с диагональю этого квадрата. Известно, что диагональ делит            Полученный результат интерпретируется так: работа внешней силы,
угол α пополам. Поэтому искомый угол β будет                                произведенная над телом, проявляется в виде изменения его кинетической
                                           α                                энергии. Возвращаясь опять к векторной записи, и вспоминая определение
                              β =π −           = 135o .              (17)
                                           2                                работы А:
     Легко найти и длину этой диагонали из треугольников ΔOAC или                                                r r r r
                                                                                                             A = F ⋅ S = F ⋅ S ⋅ cos α ,         (25)
ΔOCB .
                                                                                                                     r               r
                                                                                   где α — угол между векторами силы F и перемещения S , перепишем
                       mv = (mv1 ) + (mv2 ) = 2mv1
                                   2               2
                                                                     (18)
                                                                            выражение (24) в виде
     Отсюда для v получим
                                                                                                              2     2
                                                                                                           MvK Mv0
                       v = 2v1 ≈ 14 м / с .                          (19)                             A=        −     = K K −K 0 .               (26)
                                                                                                            2     2
     2. Связь кинетической энергии и работы                                        Здесь vK и v0 — скорости в конце и начале пути соответственно,
     Для начала рассмотрим такой идеализированный пример: тело, массой            Mv 2
                                                                            K=         — кинетическая энергия тела (материальной точки) массы М,
М свободно "парит" в космическом пространстве. В некоторый момент                  2

                                       9                                                                             10


движущегося поступательно со скоростью v. Кинетическая энергия есть
мера движения тела. Изменение кинетической энергии определяется
работой А всех сил, действующих на тело за время действия сил. Это
утверждение называется теоремой о связи работы силы и кинетической
энергии.
     В случае если сила не постоянна, а меняется при перемещении (либо по
                                                                                  Пример 3. Один конец горизонтально расположенной пружины
величине, либо по направлению), работу можно рассчитывать так: разбить
              r                                                 r            прикреплен   к   стене,   а   другой        к    грузику,   лежащему   на   гладком
перемещение S материальной точки на такие маленькие участки ΔSi , где
                                                                             горизонтальном столе. Найти работу, которую совершает сила упругости по
силу можно считать приблизительно постоянной. Тогда на таком участке
                                                                             перемещению груза в процессе перехода пружины из сжатого состояния (на х
      r                            r          r                     r
сила F ( S ) совершит работу ΔAi = F ( S ) ⋅ ΔSi . Обозначение силы F (S )   см) в недеформированное, если жесткость пружины k, а смещение груза S.
означает, что сила меняется при перемещении. Для того чтобы найти всю             Решение. Первоначально пружина сжата на величину х, поэтому сила
                                                  r
работу переменной силы на всем перемещении S , надо просуммировать все       упругости, действующая на груз, численно равна F = kx .(при S = 0). Затем
                                                         r
эти ΔA , полученные для каждого малого перемещения ΔS :                      пружина распрямляется и совершает работу. Деформация (сжатие) пружины
                                           r          r                      уменьшается, поэтому и         сила      упругости      уменьшается. Как     только
                             A = ∑ ΔAi = ∑ F ( S ) ⋅ ΔSi          (27)
                                 i            i                              перемещение груза станет равным S (х = S), сила упругости будет равна
     Для обозначения суммирования используется греческая буква ∑             нулю. Во всех остальных случаях
                                   r
(сигма), i — количество разбиений ΔSi на участки.                                                  Fy ( S ) = k ( x − S ) .                                 (29)
                                   r
     Если разбивать перемещение S на бесконечно малые участки, то эта             График этой функции представлен на рис.6. Ясно, что это будет
операция будет называться интегрированием, и строгая математическая          линейная зависимость (в соответствии с (29)). Искомая работа силы
запись будет выглядеть так:                                                  упругости равна площади заштрихованного треугольника:
                                  2 r r                                                               1
                              A = ∫ F ⋅ dS ,                          (28)                         A = kx 2                                                 (30)
                                                                                                      2
                                     1
                                                                                  В системе СИ единицей работы служит джоуль (дж): 1дж = 1н • м. В
где интегрирование производится от начальной точки 1 до конечной точки 2.
                                                                             системе CGS единица энергии (работы) называется эргом. Сила в 1 дин,
     Графически работу силы можно представить как площадь под
                                                                             воздействуя на материальную точку и перемещая ее на расстояние в 1 см,
соответствующей кривой, изображающей зависимость силы от перемещения.
                                                                             сообщает ей энергию в 1 эрг. Легко найти связь между джоулем и эргом: 1дж
Для примера на рис.4 и рис.5 представлены такие зависимости для
                                                                             = 1ньютон 1м = 105дин • 102см = 107эрг.
постоянной (рис.4) и переменной (рис.5) сил. Работа и в том, и в другом
случае численно равна площади заштрихованной области.




                                         11                                                                             12


                                                                                                 r
                                                                                   Учитывая, что v0 = 0 по условию, согласно (32) запишем
                                                                                                                r r
                                                                                                           N = mg ⋅ gt = mg 2t .                           (34)

                                                                                   Подстановка численных значений ( g ≈ 10 м          ) позволяет записать, что
                                                                                                                                с2
                                                                             N ≈ 100 Вт.
       3. Мощность                                                                 4. Потенциальная энергия
     Для характеристики скорости, с которой совершается работа, введена            Силы, работа которых не зависит от формы пути, а определяется
                                                                     r       только   координатами     начального    и   конечного       состояний    системы,
величина, называемая мощностью. Если за промежуток времени Δt сила F ,
приложенная к телу, совершает элементарную работу ΔA , определяемую          называются консервативными. Сила тяжести — консервативная сила. Сила

выражением (27), то средняя мощность, развиваемая этой силой за время Δt ,   упругости, гравитационная сила также относятся к консервативным силам.

есть                                                                         Сила трения не относится к консервативным силам, ее работа существенно
                                                         r                   зависит от формы пути. Работа силы трения всегда отрицательна (А < 0).
                                          ΔA r          ΔS
                                 N ср =      = F (S ) ⋅    .          (31)
                                          Δt            Δt                         Для тела, находящегося под действием консервативных сил, или, как
     Вспоминая определение мгновенной скорости (при Δt → 0 ), получим        обычно говорят, в поле консервативных сил, можно ввести понятие
                                r                                            потенциальной энергии U. Потенциальная энергия — это энергия,
для мощности, развиваемой силой F в данный момент времени (мгновенная
мощность), следующее определение:                                            определяемая взаимным расположением тел или частей тела и характером
                              r r r r                                        сил взаимодействия между этими телами или частями тела. Или иначе,
                          N = F ⋅ v = F ⋅ v ⋅ cos β ,                 (32)
                                                                             потенциальная энергия — это работа, которую нужно совершить над телом
       где угол β — угол между направлением действия силы и скоростью        М, чтобы переместить его в направлении противоположном направлению
материальной точки.                                                          действия консервативной силы. Припишем некоторому положению тела
       Единицей измерения мощности в системе СИ служит ватт: 1ватт =         нулевую потенциальную энергию, потенциальную энергию в произвольной
1дж/с.                                                                       точке определим как работу, которую нужно затратить, чтобы переместить
       Пример 4. Тело массой m = 1кг, поднятое над поверхностью земли,       тело из начального положения в данную точку. Если за нулевой уровень
отпустили без начальной скорости, предоставив ему возможность свободно       принять поверхность Земли, то тело массы М, находящееся на высоте h,
падать. Через 5 с тело упало на землю. Найти мощность силы тяжести,          будет обладать энергией U=Mgh. Потенциальную энергию можно легко
действующей на тело, через 1 с после начала падения. Сопротивление           превратить в кинетическую, если позволить телу падать вниз, то есть
воздуха не учитывать.                                                        потенциальная энергия — это, буквально, потенциально возможная энергия.
       Решение. Для определения мгновенной мощности воспользуемся                  Исходя из определения запишем, что при перемещении тела из точки 1
определением (32). При свободном падении, в отсутствии сопротивления         в точку 2 оно может совершить работу, равную разности потенциальных
воздуха, для v(t) будем иметь                                                энергий в точках 1 и 2:
                                r r r
                                v = v0 + g t                          (33)                                 A1→ 2 = U1 − U 2 = −ΔU ,                        (35)
                                          13                                                                        14


где ΔU = U 2 − U1 . Конечно, значение потенциальной энергии в каждой точке                                   A = K 2 − K1 .                               (39)
зависит от того, какую точку мы примем за нулевую (то есть за начало                  С другой стороны, работа консервативной силы по переводу тела из
отсчета потенциальной энергии), но изменение потенциальной энергии ΔU           некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) может быть
при переходе из одной точки в другую не зависит от этого выбора.                выражена через изменение потенциальной энергии тела
      Аналогичное заключение справедливо и для силы упругости. В                                             A = U1 − U 2 .                               (40)
Примере 3 было показано, что работа силы упругости, совершаемая при                   Сравнение выражений (39) и (40) позволяет записать
                                                      2
                                                    kx                                                       U1 − U 2 = K 2 − K1                          (41)
переходе в недеформированное состояние, равна          , где х — величина
                                                     2
                                                                                или
начальной деформации. Если деформация меняется от некоторого значения
                                                                                                             U1 + K1 = U 2 + K 2                          (42)
х1 до другого x2. (не равного нулю), то указанная работа может быть записана
                                                                                      Механическая энергия в состоянии (1) равна механической энергии в
как
                                                                                состоянии (2). Оба состояния были выбраны произвольно, то есть они могут
                                 kx 2 kx 2
                               A= 1 − 2 ,                                (36)   быть любыми, единственное, о чем надо помнить, что выполняется это в поле
                                  2    2
                                                                                консервативных сил. Внутри замкнутой системы взаимодействующих тел
то есть зависит только от начального и конечного положений тела.
                                                                                также может осуществляться переход энергии из одного вида в другой,
      Соотношение (35) справедливо для любых консервативных сил. Силы
                                                                                кинетическая энергия может переходить в потенциальную и обратно. Если
трения и сопротивления, как и другие силы, зависящие от скорости движения
                                                                                при таком переходе никаких изменений в системе, кроме механических, не
тела, не являются консервативными, и для них это соотношение не
                                                                                происходит, то ее механическая энергия все время остается постоянной.
выполняется.
                                                                                      Если   же   в   изолированной        системе   совершаются   не   только
      Работа консервативной силы по любой замкнутой траектории равна
                                                                                механические, а и другие процессы, то механическая энергия этой системы
нулю. Это легко показать, исходя из определения консервативной силы.
                                                                                может изменяться, переходить в другие виды энергии — в тепловую,
      5. Закон сохранения механической энергии
                                                                                электрическую и т.п. Однако при этом полная энергия системы остается
      Механической энергией тела (материальной точки) называют сумму
                                                                                постоянной. В частности, при абсолютно неупругом взаимодействии (при
кинетической К и потенциальной U энергий
                                                                                столкновении) часть механической энергии может переходить в энергию
                             E = K +U .                                 (37)
                                                                                деформации и тепловую. Используя закон «охранения полной энергии, легко
      Механическая энергия системы тел, взаимодействующих друг с другом
                                                                                найти потерю механической энергии.
и окружающими телами посредством консервативных сил                остается
                                                                                      6. Столкновения
неизменной:
                                                                                      Соударения между телами могут быть как упругими, так и неупругими.
                             E = K + U = const .                        (38)
                                                                                При упругом соударении полная механическая энергия сохраняется. При
      Докажем это утверждение. Выше (см. соотношение (26)) мы уже
                                                                                неупругом столкновении происходит потеря механической энергии, часть ее
показали, что работа силы по переводу тела из начального (1) в конечное (2)
                                                                                переходит в другие виды энергии (тепловую, световую и так далее). Удар,
состояние равна
                                     15                                                                               16


при котором после столкновения оба тела приобретают одинаковую скорость                                    2m2 v2 + (m1 − m2 )v1
                                                                                                  v1k =                          ≈ 12см / с ;
и двигаются вместе, называется абсолютно неупругим ударом. При решении                                           m1 + m2
задач на столкновение двух тел, прежде всего, надо обращать внимание на                                    2m1v1 + (m1 − m2 )v2
                                                                                                  v2 k =                        ≈ 1.8см / с
характер удара, выяснить, какие законы сохранения можно применять, а                                             m1 + m2
затем приступать к их решению.
                                                                                   Пример 6. Шарик массой т, летящий со скоростью v, ударяет о призму
     При столкновении возникают силы реакции, огромные по величине, но
                                                                             массой М, находящуюся на гладком столе, и после абсолютно упругого удара
кратковременные,         что   приводит      к     изменению   импульсов
                                                                             движется вертикально вверх (рис.7). Найти скорости шарика и призмы после
взаимодействующих тел. В силу того, что силы взаимодействия равны по
                                                                             удара.
величине, изменения импульсов тел тоже одинаковы по величине, но разные
по знаку.
     Пример 5. По одной прямой и в одном направлении движутся два
шарика массами m1 = 1 кг и m2 = 100 г со скоростями v1 = 10 см/с и v2 = 20
см/с. Найти скорости шариков после столкновения. Удар считать абсолютно
упругим.
                                                                                   Решение. Выбирая оси координат так, как показано на рисунке,
     Решение. В этом примере в момент столкновения на короткий
                                                                             запишем закон сохранения импульса:
промежуток времени (время взаимодействия) оба шарика деформируются, и                                            r    r     r
                                                                                                                mv = mv1 + Mu
часть их суммарной кинетической энергии переходит в потенциальную
энергию упругого сжатия, скорости их выравниваются, затем потенциальная                                                                         m
                                                                                   В проекции на ось ОХ будем иметь: mv = Ми, откуда u =          v   —
                                                                                                                                                M
энергия упругого сжатия полностью (удар абсолютно упругий) переходит в
                                                                             скорость призмы после удара.
кинетическую энергию. Шарики восстанавливают свою прежнюю форму,
                                                                                   Удар абсолютно упругий, поэтому механическая энергия сохраняется:
отталкиваются друг от друга и продолжают движение с различными
                                                                                                               mv 2 Mu 2 mv12
скоростями. В это время их суммарная кинетическая энергия точно такая же,                                          =    +     ,
                                                                                                                2    2    2
как и до столкновения.
                                                                                              m
     Оформим эти наши рассуждения аналитически. Запишем законы               где v1 = v 1 −     — скорость шарика после удара.
                                                                                              M
сохранения импульса и энергии:
                                                                                   На все вопросы задачи мы ответили, но задачу можно расширить. В
                         r      r      r        r
                     ⎧m1v1 + m2 v2 = m1v1k + m2 v2 k ;                       частности, найдем высоту, на которую поднимется шарик после удара, и
                     ⎪ 2
                     ⎨ m1v1 m2 v2 m1v12k m2 v2 k
                                  2                2
                                                                             когда возможен полет вертикально вверх.
                     ⎪      +       =       +          .
                     ⎩ 2        2       2       2                                  На первый вопрос ответ практически очевиден. Максимальную высоту
     Эти два уравнения надо рассматривать как систему из двух уравнений      подъема h найдем, используя закон сохранения механической энергии:
с двумя неизвестными v1k и v2 k Решая ее, получим


                                     17                                                                                18


                                  mv12                                                                    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
                                       = mgh ,                                     1. Балашов М.М. Физика. 9 класс. – М.: Просвещение, 1993.
                                   2
                                                                                   2. Элементарный учебник физики ./Под. Ред. Г.С.Ландсберга. – М.:
откуда
                                                                                   ФИЗМАТЛИТ, 2001. – ТТ.1-3.
                                         v12                                       3. Кабардин О.Ф. Физика. Справочные материалы: Учебное пособие для
                                    h=       .                                     учащихся. – М.: Просвещение, 1991.
                                         2g
                                                                                   4. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Физика для школьников старших классов и
     Абсолютно      упругий      удар        предполагает   отсутствие   трения,   поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
следовательно, проекция импульса шарика на наклонную плоскость не                  5. Перельман Я.И. Занимательная физика. – М.: Наука, Кн. 1-2.
меняется в результате удара
                              v ⋅ cosα = v1 ⋅ sin α
                                              1
                                tgα =                 .
                                                  m
                                         1−
                                                  M
     Удар, после которого шарик летит вертикально вверх, возможен только
при найденном значении α . Для неподвижной призмы ( M → ∞ и tgα → 1)

получим угол α = 45o .




                                        19                                                                             20



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика