Единое окно доступа к образовательным ресурсам

О числе "пи": Лекция для школьников старших классов

Голосов: 4

Изучение числа "пи" - задача, интересующая математиков на протяжении нескольких тысячелетий. В этой брошюре излагается история вычислений числа "пи"; - начиная от Архимеда и заканчивая новейшими сверхэффективными алгоритмами. Рассказывается также о различных проблемах, связанных с этим числом, некоторые из которых пока остаются нерешенными. Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 22 декабря 2001 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        Магазин «Математическая книга» в МЦНМО                                             Библиотека
                                                                              «Математическое просвещение»
     В магазине представлен наиболее полный ассортимент книг издатель-
ства МЦНМО. Эти книги продаются по издательским ценам. Здесь также
можно найти книги по мате-
матике ведущих издательств,
таких как «Мир», Физматлит,
УРСС, «Факториал», «Регуляр-
ная и хаотическая динамика».


                                                                                    А. В. Жуков



                                                                                О ЧИСЛЕ π
                                             В отделе школьной лите-
                                        ратуры представлен широкий
                                        ассортимент книг для школь-
                                        ников, учителей, руководите-
                                        лей математических кружков.
В отделе вузовской и научной литературы можно найти учебники и
научные монографии ведущих российских и зарубежных математиков.
В магазине также имеются отделы «книга—почтой» и букинистический.
    Адрес магазина: 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Проезд
до ст. м. «Смоленская» или «Кропоткинская», далее пешком (см. схему).
    Телефон для справок: 241 72 85.
    Магазин работает ежедневно кроме воскресенья (летом — кроме                                      l
                                                                                                       =?
                                                                                                    2r
субботы и воскресенья) с 1130 до 2000.

                                                                                                       r

                                                                                                l




 ISBN 5 94057 030 5

                                                                              Издательство Московского центра
                                 E-mail: biblio@mccme.ru                 непрерывного математического образования
9 785940 570301                  http://biblio.mccme.ru/                               Москва • 2002



      YK


                                                                           Библиотека
                                                                  «Математическое просвещение»
                                                                            Выпуск 18




                                                                        А. В. Жуков
Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:
       В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский,

                                                                    О ЧИСЛЕ π
   В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.



            Серия основана в 1999 году.




                                                                  Издательство Московского центра
                                                             непрерывного математического образования
                                                                           Москва • 2002


УДК 51(09)                                                                                                         ВВЕДЕНИЕ
ББК 22.1
    Ж86                                                                                    Все знают, что длина окружности больше её диаметра в одно и
                                                                                      то же, не зависящее от самой окружности, число раз. К этому выво-
                                                                                      ду можно прийти, задавшись вопросом: почему все окружности по-
                                                                                      хожи друг на друга? Для похожих, или, как говорят математики,
                                   Аннотация                                          п о д о б н ы х фигур естественно предположить пропорциональность
                  Изучение числа π — задача, интересующая математи-                   их линейных размеров. Так, для двух произвольных окружностей с
             ков на протяжении нескольких тысячелетий. В этой бро-
             шюре излагается история вычислений числа π, начиная от
                                                                                      длинами C1 и C2 и диаметрами d1 и d2 соответственно мы вправе ожи-
             Архимеда и заканчивая новейшими сверхэффективными                                                    C1  d
             алгоритмами. Рассказывается также о различных пробле-                    дать выполнение равенства      = 1 . По свойству пропорции отсюда
                                                                                                                  C2  d2
             мах, связанных с этим числом, некоторые из которых пока
                                                                                                 C1  C
             остаются нерешёнными.                                                    получаем      = 2 . Осталось только обозначить последнее отношение
                  Брошюра написана по материалам лекции, прочитан-                               d1  d2
             ной автором 22 декабря 2001 года на Малом мехмате МГУ                    буквой π и заключить, что длина C п р о и з в о л ь н о й окружности
             для школьников 9—11 классов.
                  Для широкого круга читателей, интересующихся ма-                    диаметра d может быть вычислена по формуле C = πd. Конечно же,
             тематикой: школьников старших классов, студентов млад-                   эти рассуждения носят лишь правдоподобный характер, поскольку
             ших курсов, учителей...                                                  основываются на интуитивном представлении о длине окружности.
                                                                                          То, что отношение длины окружности к её диаметру постоянно,
                     Издание осуществлено при поддержке                               было известно ещё в глубокой древности. Первое о б о з н а ч е н и е
                         Московской городской Думы                                    этого числа греческой буквой π содержится в работе «Synopsis
                     и Московского комитета образования.                              Palmoriorum Matheseos» («Обозрение достижений математики») ан-
                                                                                      глийского преподавателя Уильяма Джонса (1675—1749), вышедшей
                                                                                      в 1706 году. Обозначение π для отношения длины окружности к
ISBN 5-94057-030-5                                      © Жуков А. В., 2002.          диаметру широко распространилось после того, как его стал исполь-
                                                        © МЦНМО, 2002.                зовать в своих трудах Леонард Эйлер (1707—1783).

                                                                                                            ПРЕДЫСТОРИЯ ЧИСЛА     π
                          Жуков Александр Владимирович.                                   Вычисления числа π претерпели удивительную эволюцию — от
                                    О числе π.                                        наивных оценок древних, тысячелетия потративших для того, чтобы
              (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»).                     определить первые два знака после запятой этого числа, до миллиар-
                         М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.: ил.                                дов знаков π, полученных в наши дни.
Редактор Е. Ю. Смирнов.                               Техн. редактор М. Ю. Панов.         Из математических текстов древних вавилонян (3—2 тысячеле-
                                                                                                                                      C2
Лицензия № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 11/VI 2002 года.             тия до н. э.) вытекает такое соотношение: S =      , где S — площадь
                                                                                                                                      12
Формат бумаги 60 88 1/16 . Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,00.
          Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 1,81. Тираж 3141 экз. Заказ 1988.            круга, а C — длина окружности. Способ, применявшийся для выво-
                                                                                      да этой формулы, неизвестен. Если в неё подставить выражение для
  Издательство Московского центра непрерывного математического образования.           площади круга S = πr2 и длины окружности C = 2πr, то из равенства
           119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.
                                                                                           (2πr)2
                                                                                      πr 2 =      получим оценку для числа π, которую использовали древ-
     Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ».                       12
    140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.        ние вавилоняне. Они полагали, что π равно трём.
                                                                                                                                                         3


     Более точное значение для числа π было получено в Древнем                   рецептам древних умельцев и мастеров пришли строгие рассуждения
Египте. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетско-                математиков.
го папируса, который известен как «папирус Ринда» (или Райнда), по
имени Генри Ринда — мецената, приобрётшего папирус в 1858 году                                         Идеи Антифона и Бризона
(в год его обнаружения). Эту древнюю рукопись относят к периоду                       Попытку осмыслить понятие длины окружности одним из пер-
между 2000 и 1700 годами до н. э.                                                вых предпринял философ Антифон, живший в Греции в V в. до н. э.
     В папирусе Ринда приводятся решения различных практических                  В «Истории геометрии» Евдема (IV в. до н. э.) так описывается его
задач. Там можно прочитать «наставление, как вычислить круглый                   способ определения длины окружности:
хлебный амбар», имеющий форму цилиндра с диаметром основания                          «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоуголь-
9 локтей (локоть — старинная мера длины, немногим менее 0,5 м).                  ник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он
Для вычисления площади основания предлагается такой рецепт:                      разделил каждую сторону квадрата пополам и через точки деления
               1                                                                 провёл прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с
«От 9 отними     , т. е. 1. Получится 8. Умножь 8 на 8. Смотри: это 64.
               9
                                                                                 окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные
Ты правильно нашёл».
                                                                                 части (рис. 1). Затем он соединил полученные точки с концами
    Здесь сформулировано такое правило для определения площади
                                                                                 сторон квадрата так, что получились четыре треугольника, и вся
круга. Эта площадь S равна площади квадрата, сторона которого рав-
                                                                         2
                                                                                 образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…».
                                        1                          8
на диаметру круга d, уменьшённому на      своей длины, т. е. S =     d       ,   Продолжая этот процесс дальше, Антифон по-
                                        9                          9
                                                                                 лучает 16-угольник, 32-угольник, 64-угольник
и значит, π = 3,1604… Из каких соображений получена эта формула?
                                                                                 и т. д. «Поступает он так, пока не исчерпает весь
Неизвестно.
                                                                                 круг, — пишет Евдем. — И Антифон заключает,
    Неизвестно также происхождение множества других содержа-
                                                                                 что таким образом будет вписан многоугольник,
щихся в древних источниках математических «рецептов».
                                                                                 периметр которого можно рассматривать как
    Среди примечательных результатов предыстории числа π от-
                                              1                                  длину окружности».
метим довольно грубое приближение π         3 , которым пользовался                   Подход Антифона к определению длины ок-
                                              8
известный римский архитектор Витрувий (живший в I в. до н. э.)                   ружности вызвал жаркие споры среди учёных
                                                                                                                                               Рис. 1
(ему приходилось проектировать сооружения внушительных раз-                      Древней Греции. Симпликий (VI в. н. э.) в ком-
меров, например, знаменитый Римский театр, и надо полагать, что                  ментариях к «Истории геометрии» Евдема пи-
используемое им грубое значение для π приводило к недочётам в                    сал по этому поводу, что «мы никогда не достигнем окружности кру-
строительстве), и выдающийся результат китайского математика                     га, даже если бы деление продолжалось до бесконечности». Что же
                                            355                                  смутило Симпликия и его единомышленников?
и астронома Цзу Чунчжи (V в. н. э.) π           , дающий семь точных                  Интуитивное понятие предела, на котором основана конструкция
                                            113
десятичных знаков числа π.                                                       Антифона, чревата хитроумными ловушками, о чём свидетельствует
                                                                                 следующий древний софизм (неверное утверждение, производящее
                                                                                 впечатление правильного):
       ЭРА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
                                                                                      «Теорема». В любом треугольнике одна из сторон равна сумме
                              Найти одно научное доказательство для меня         двух других.
                            важнее, чем овладеть всем персидским царством.
                                                                Демокрит              «Д о к а з а т е л ь с т в о». Пусть в рассматриваемом треугольнике
                                                                                 ABC точки D, E, F — середины сторон (рис. 2). По свойству средних
    Цивилизация древних эллинов подарила миру один из самых                                                  1            1
значительных подарков в истории человечества — доказательную ма-                 линий треугольника DF = BC и EF = AB, так что длина ломаной
                                                                                                             2            2
тематику. На смену неизвестно откуда взявшимся вычислительным                    ADFEC равна сумме длин сторон AB и AC. Если далее взять середины
4                                                                                                                                                      5


G, H, I, J сторон двух новых треугольников ADF и FEC, то точно так    ничего не остаётся делать, как совпасть с указанными пределами:
же можно показать, что длина ломаной AGKHFILJC равна длине            A = C = B. Современные методы анализа позволяют дать этим рассу-
ломаной ADFEC и, следовательно, равна сумме длин сторон AB и AC.      ждениям строгое обоснование (см. Приложение, с. 29).
Такой процесс измельчения ломаной можно продолжать сколь угодно           Ну а коль скоро идея верна, то можно принять следующее опре-
долго, но на каждом шаге этого процесса длина всех последовательно    деление длины окружности:
                         образованных ломаных равна AB + BC. Дли-         Длиной окружности называется предел периметров правильных
    A
                         на отрезков, составляющих ломаные линии,       вписанных в окружность многоугольников при неограниченном
                         постоянно уменьшается, их концы всё более      возрастании количества их сторон.
          K
  G                      и более прижимаются к основанию AC, и            Или такое:
                         в пределе периметр ломаных сливается с           Длиной окружности называется предел периметров правильных
                F
 D
        H                отрезком AC. Следовательно, AB + BC = AC.      описанных около окружности многоугольников при неограничен-
                    L        Итак, кажущиеся интуитивно ясными          ном возрастании количества их сторон.
            I            выводы о результатах бесконечного процесса
                         могут отстоять от истины довольно далеко.
                                                                                          «Измерение круга» Архимеда
B          E      J   C      Действительно ли стремится к пределу
         Рис. 2          последовательность периметров вписанных в                22
                         окружность правильных многоугольников?           Дробь      часто называют «архимедовым числом». Здесь имеется
                                                                                   7
А если стремится, то где гарантия того, что этот предел непременно    давняя традиция. Например, из знаменитой «Арифметики» (1703)
совпадёт с длиной окружности? Не случится ли так, что периметры       Леонтия Магницкого (1669—1739), сыгравшей исключительную
многоугольников стремятся к какому-то пределу, а длина окружнос-      роль в становлении точного знания в России, мы узнаём, что «в колё-
ти при этом останется чем-то недосягаемым?                            сах же пропорция архимедова диаметра ко окружности как 7 к 22».
    Корректные ответы на эти вопросы были даны сравнительно               Многие ошибочно полагают, будто заслуга Архимеда состоит
недавно, когда появились строгие методы математического анализа                                                               22
(XVII—XVIII вв.). Удивительно, что за несколько тысячелетий до        лишь в обнаружении приближённого равенства π               . На самом
                                                                                                                              7
этого, на самой заре становления точного знания,                      деле Архимеду удалось не только найти это довольно хорошее
учёные уже пытались «нащупывать» приёмы,                              приближение для числа π, но и, что гораздо важнее, определить
обуздывающие норов коварной бесконечности.                            точность этого приближения, т. е. указать узкий промежуток чи-
    Одну из плодотворных идей в этом направле-                        словой оси, которому принадлежит отношение длины окружности к
нии высказал пифагореец Бризон (V в. до н. э.).                       её диаметру. В работе «Измерение круга», чудом дошедшей до нас
Он предложил для нахождения длины окруж-                              благодаря стараниям многочисленных переписчиков, Архимед до-
ности не только вписывать в круг (по способу                          казывает цепочку неравенств, которая в современных обозначениях
Антифона), но и описывать около него соответ-                         выглядит так:
ствующие правильные многоугольники (рис. 3).            Рис. 3
                                                                                             10    6336        14688     1
Длина окружности всегда будет заключена меж-                                             3                 π            3 ,
                                                                                             71        1            1    7
ду периметрами вписанного и описанного многоугольников и может                                    2017         4673
                                                                                                       4            2
быть установлена тем точнее, чем больше сторон у этих многоуголь-
ников.                                                                или 3,1409096… π 3,1428265… Свои выводы Архимед формули-
    Если периметры вписанных многоугольников стремятся к вели-        рует в виде теоремы:
чине A, а периметры описанных многоугольников — к величине B, то          «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избыт-
длина окружности C должна находиться между этими двумя числа-          ком, который меньше одной седьмой части диаметра, но больше
ми: A C B. Если вдруг окажется, что A = B, то длине окружности C       десяти семьдесят первых» ([1], с. 185—191).
6                                                                                                                                         7


                                          22                                                                                                         265
    Как видим, «архимедово число»            приближает число π с избыт-               а затем преобразовать его к обыкновенной дроби, то получим        .
                                           7                                                                                                         153
ком, и точность такого приближения равна 0,002. Архимед нашёл                                                                                1351
                                                                                       Если же оборвать цепочку на 12-м звене, то получим         . Удиви-
три точных знака числа π: π = 3,14… Именно эти три знака чаще всего                                                                           780
используются нами в несложных повседневных расчётах.                                   тельное совпадение!
    Сделать точные выводы Архимеду помогли вписанные и опи-                                Архимед достоин восхищения ещё и потому, что свои высокоточ-
санные многоугольники. Отправляясь от вписанного в заданную                            ные расчёты с дробями, а также выкладки по извлечению квадратных
окружность и описанного около неё правильных шестиугольников,                          корней из больших чисел, он проводил в неудобной с точки зрения со-
Архимед затем исследует правильные 12-угольники, 24-угольники,                         временного человека системе нумерации. Каким способом пользовал-
48-угольники, 96-угольники. При этом Архимед проявляет чудеса                          ся Архимед для приближённого извлечения квадратных корней —
изобретательности. Так, для оценки отношения диаметра окруж-                           неизвестно. В сложных выкладках Ар-
                                                                                       химеда очень легко запутаться.                B
ности d к стороне a6 правильного описанного шестиугольника он
                         d     265
                                                                                           Упражнение 1. Попробуйте повто-
                                                                                                                                 D
привлекает неравенство             . С высоты сегодняшних знаний мы                      рить рассуждения Архимеда в ре-
                         a6    153
             d                                                                           шении следующей задачи. На рис. 4
знаем, что      = ctg 30◦ = 3, но во времена Архимеда ещё не было                        изображена дуга окружности с цен-
             a6
тригонометрических функций. Получается, что в своих расчётах                             тром в точке E и диаметром AC. BC — C               E           A

Архимед подобрал приближение для числа 3 в виде обыкновенной                             сторона вписанного в эту окружность               Рис. 4

        265                                                                              правильного шестиугольника, а DC —
дроби       . Это приближение имеет поразительно высокую точность:                       сторона вписанного правильного 12-угольника. Архимед подбирает
        153
                                                                                         величину диаметра окружности таким образом, чтобы для вели-
                               265                                                             AB                                         AB        1351
                         3            0,000025.                                         чины      была справедлива довольно точная оценка                .
                               153                                                             BC                                         BC        780
                                                                                        Для этого он полагает AC = 1560 (убедитесь, что при таком значе-
                                                              1351
В другом месте он воспользовался оценкой                           , ещё более точно                                                            1351      2
                                                              780                       нии диаметра величина AB2 отличается от величины             BC
                                                                                                                                                 780
приближающей число 3 с избытком:                                                        всего на единицу!). Исходя из этих числовых данных, докажите
                        1351                                                            неравенство
                                 3    0,000001.                                                                                3
                         780                                                                                              3013
                                                                                                                     AC        4
    Как Архимед мог получить такие точные приближения? Об этом                                                       CD     780
можно только догадываться. Академик С. Н. Бернштейн в коммента-                         (учтите, что Архимед тригонометрическими функциями не пользо-
риях к работе Архимеда ([2], с. 224) обращает внимание, например,                       вался).
на такой факт. Запишем число 3 в виде цепной дроби (см., напри-
мер, [3]):                                                                                             Начало удивительного соревнования
                                          1                                               Созданный древнегреческими математиками метод вычисления
                       3= 1+                                  .
                                              1                                        длины окружности посредством вписанных и описанных многоуголь-
                               1+
                                                  1
                                     2+
                                                      1
                                                                                       ников оставался основным на протяжении почти двух тысяч лет.
                                          1+                                              Клавдий Птолемей (ок. 100—178) для вписанного правильно-
                                               2 + ..                                                                 377
                                                          .                            го 720-угольника получает π           3,14167. Китайский математик
                                                                                                                      120
Если оборвать бесконечную цепочку в этом выражении на 9-м звене,                       Лю Хуэй (III—IV вв. н. э.) для вписанного 3072-угольника находит
8                                                                                                                                                         9


π   3,14159. Самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид ал-Ка-            Метод вписанных и описанных многоугольников достиг своего
ши (XIV—XV вв.) в «Трактате об окружности» (1424) ставит задачу с     наивысшего развития в работах голландских математиков Вилле-
интригующим условием: выразить окружность через диаметр с такой       брорда Снеллия (1580—1626) и Христиана Гюйгенса (1629—1695).
точностью, чтобы погрешность в длине окружности, диаметр которой      Тонкие геометрические рассуждения позволили им получить более
равен 600 000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса»        точные результаты при меньшем числе сторон используемых мно-
(примерно 0,5 мм). Для этой цели он определяет число π с точностью    гоугольников. Результат Архимеда — три точных знака π — Снел-
до 16 верных десятичных знаков: π 3,14159265358979325, попутно        лий получает уже для вписанного и описанного шестиугольников, а
указывая, что «всей истины этого*) не знает никто, кроме Аллаха».     96-угольники помогают ему рассчитать 7 точных знаков π. Христиан
Ал-Каши последовательно расчитывает вписанные многоугольники,         Гюйгенс в сочинении «О найденной величине круга» (1654) доказы-
начиная с треугольника и дойдя до 805 306 368-угольника**). Полу-     вает ряд теорем о соотношениях между длинами хорд и стягиваемых
ченная ал-Каши точность в измерении окружности была достигну-         ими дуг, которые позволили ему вычислить 10 точных знаков числа π
та и превзойдена европейскими математиками лишь в конце XVI в.        уже для 60-угольника.
В 1597 году голландский математик Адриан ван Роомен (1561—1615)            Упражнение 2. Один из «тонких» геометрических фактов, обна-
публикует свои результаты по вычислению 17 десятичных знаков чи-        руженных Гюйгенсом, состоит в следующем. Отложим на число-
сла π, для чего применяет 1 073 741 824-угольник***). На скрупулёз-     вой оси значение pn периметра правильного n-угольника, вписан-
ные вычисления Адриан ван Роомен потратил несколько лет.                ного в окружность единичного диаметра, и значение Pn периметра
     Однако рекорд фантастического прилежания и неимоверной точ-        правильного n-угольника, описанного около неё. Разделим отрезок
ности побил профессор математических и военных наук Лейденского         [pn , Pn ] на три равные части. Докажите, что для любого n число π
университета Лудольф ван Цейлен (1539—1610). На протяжении де-                                                           2    1
сяти лет, удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и         принадлежит первой из этих частей, т. е. pn   π     p + P .
                                                                                                                         3 n 3 n
описанных многоугольников и дойдя до 32512254720-угольника, он
вычислил 20 точных десятичных знаков числа π. Своё сочинение с
изложением результатов в 1596 году профессор завершил патетиче-                       ЭРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ской фразой: «У кого есть охота, пусть пойдёт дальше». И как бы
                                                                          С конца семнадцатого столетия бурная река человеческой пытли-
в доказательство того, что «охота пуще неволи» и лучшего охотни-
                                                                      вости вышла из берегов элементарной математики — началась эра
ка, чем он сам, во всём мире не сыскать, Лудольф ван Цейлен опять
                                                                      математического анализа. Бесконечные последовательности и ряды
ринулся вычислять очередные точные знаки числа π, впоследствии
                                                                      стали привычными объектами исследований математиков. Возник-
доведя их количество до 35. Эти знаки он завещал выбить на своём
                                                                      ло дифференциальное и интегральное исчисление, базирующееся на
надгробном камне. В память о неординарном вычислителе современ-
                                                                      строго определённом понятии предела. Новые инструменты исследо-
ники ещё долгое время называли π числом Лудольфа ([2], с. 54—55).
                                                                      ваний позволили взглянуть на число π с совершенно неожиданной
     Отдавая должное мастерству и поистине самоотверженному тру-
                                                                      стороны.
ду математиков этого периода, посвящавших годы своей жизни, или
                                                                          Одним из первых результатов в этом направлении стал ряд
даже всю жизнь, вычислению точных знаков числа π, всё же нуж-
но признать, что их результаты носили скорее спортивный, чем на-                         π        1 2   1 1     1
учный характер. Если, например, рассчитать длину экватора сферы,                             =1    +     +        + …,                 (1)
                                                                                         4        3 5   7 9    11
вмещающей известную нам часть Вселенной (радиус сферы 5 1026 м),
используя при этом найденное Лудольфом значение π, то погрешность     названный в честь открывшего его в 1673 году немецкого матема-
не превысит одной миллионной доли миллиметра!                         тика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716) рядом Лейбница.
                                                                      Многоточие, поставленное справа от знака «+» в формуле (1), следу-
  *) Точного значения π.
 **) 805 306 368 = 3 228 .                                            ет понимать так. Чем больше слагаемых взять в правой части этого
***) 1 073 741 824 = 230 .                                            равенства, тем меньше их алгебраическая сумма будет отличаться
10                                                                                                                                      11


            π                                                                       трических тождеств:
от числа        . Это даёт принципиальную возможность вычислять π со
            4
сколь угодно большой точностью.                                                                                                     x+y
                                                                                                     arctg x + arctg y = arctg               (xy   1),
    Ряд Лейбница является частным случаем более общего ряда, от-                                                                    1 xy
крытого английским математиком Джеймсом Грегори (1638—1675)                                                                         x y
                                                                                                     arctg x    arctg y = arctg              (xy       1),
в 1670 году:                                                                                                                        1 + xy
                                                                                                                             2x
                                     x3 x5       x7 x9   x11                                         2 arctg x = arctg                       (x    1).
                      arctg x = x      +           +         +…               (2)                                        1     x2
                                     3   5       7   9   11
                                                                                                                                                   1          1
(здесь x 1).                                                                           Раскладывая каждый из арктангенсов arctg , arctg                          в ряд
                                                                                                                                                   5         239
    Грегори не заметил, что этот ряд имеет отношение к числу π. Ряд
                                                                                    Грегори, получим весьма удобное для вычислений выражение
Лейбница (1) получается из ряда Грегори (2) при x = 1.
    Коль скоро появился удобный инструмент, вычислители не пре-                         π        1    1    1          1
                                                                                            =4           +                +…
минули им воспользоваться. Ряд (1) не очень удобен для расчётов:                        4        5   3 53 5 55       7 57
чтобы получить π с двумя верными знаками после запятой, надо сло-                                                      1          1
                                                                                                                                      +
                                                                                                                                         1               1
                                                                                                                                                              +… .
жить 50 членов ряда, а для трёх десятичных знаков понадобится более                                                   239       3 2393 5 2395          7 2397
                                                               3                    Это разложение позволило Джону Мэчину вычислить 100 десятич-
300 действий. Если же в формуле (2) положить x =                 , то получится
                                                              3                     ных знаков числа π. Его результат был опубликован в 1706 году
ряд                                                                                 У. Джонсом в уже упоминавшейся работе «Обозрение достижений
                  π        3      1   1         1   1      1                        математики», где впервые зарегистрировано использование буквы π
                      =      1      +             +           +…              (3)
                  6       3       9 45         189 729   2673                       для обозначения отношения длины окружности к диаметру.
с гораздо более быстрой сходимостью (обратите внимание, как бы-                         Упражнение 3. Приведённые формулы Л. Эйлера и Л. К. Шульца
стро здесь увеличиваются знаменатели). Именно этим разложени-                        позволяют сформулировать следующую гипотезу:
ем (3) воспользовался Авраам Шарп (1651—1742) для вычисления                                                  1        1        1          1          1
в 1699 году рекордного количества точных десятичных знаков чи-                              arctg 1 = arctg     + arctg + arctg    + arctg    + arctg    +…
                                                                                                              2        5        13         34         89
сла π — 71 знак.
                                                                                      (в знаменателях дробей в правой части стоят числа Фибоначчи с
    Следующая «хитрость», которой воспользовались вычислители,
                                                                                      нечётными номерами). Обоснуйте эту закономерность.
состояла в подборе комбинаций арктангенсов, каждый из которых
                                                                                         Успехи Шенкса и Мэчина окрылили других вычислителей, и они
выражается при помощи ряда, сходящегося быстрее, чем ряд Лейб-
                                                                                    с азартом присоединились к удивительному соревнованию, начатому
ница (1):
                                                                                    математиками эпохи вписанных и описанных многоугольников.
                           1              1                                              Де Ланьи (1660—1734), используя метод Шарпа, в 1719 году
      arctg 1 = 4 arctg          arctg                     (Джон Мэчин),
                           5             239                                        вычислил 127 точных десятичных знаков числа π. Вскоре Леонард
                          1         1                                               Эйлер другим способом проверил результат Ланьи и обнаружил
      arctg 1 = arctg       + arctg                        (Леонард Эйлер),
                          2         3                                               ошибку в 113-м знаке. В 1794 году Вега указал значение π с точно-
                           1              1          1                              стью до 140 десятичных знаков, из которых точными оказались 136.
      arctg 1 = 4 arctg          arctg      + arctg        (Джеймс Стирлинг,        В 1841 году Уильям Резерфорд сообщает 208 десятичных знаков. Его
                           5             70         99
                                                           Томас Симпсон,           результат перепроверил талантливый гамбургский вычислитель Ио-
                                                           Уильям Резерфорд),       ганн Мартин Захария Дазе (1824—1861). Он показал, что Резерфорд
                          1        1        1                                       ошибся в 153-м знаке. В 1844 году Дазе довёл точность до 205 зна-
      arctg 1 = arctg       + arctg + arctg                (Л. К. Шульц).
                          2        5        8                                       ков, из которых 200 были вычислены верно. В 1847 году Томас
Проверить эти формулы можно исходя из известных тригономе-                          Клаузен продвинулся до 250 знаков, из которых 248 были точны.
12                                                                                                                                                                   13


В 1853 году Резерфорд увеличил своё достижение до 440 десятичных      кордсменов стали делить между собой машины. У кого тактовая
знаков. Рекорд того времени установил Уильям Шенкс — 530 знаков       частота процессора больше, тот и победил.
(из них 527 верных). В последующем Шенкс упорно работал над               Но не тут-то было! Оказалось, что человека — виновника всей
вычислениями новых знаков, доведя их количество до 707.               этой кутерьмы с вычислениями числа π — рано списывать со счетов.
                                                                      Он стал придумывать не просто схемы умножения многозначных чи-
                                                                      сел, а схемы с в е р х б ы с т р о г о умножения, не просто алгоритмы
                           НОВАЯ ЭРА
                                                                      вычисления числа π, а с в е р х э ф ф е к т и в н ы е алгоритмы…
    Впечатляющие результаты Уильяма Шенкса возглавляли табли-
цу рекордов вплоть до середины XX века. Вычисленные Шенксом                               Схемы «сверхбыстрого» умножения
707 десятичных знаков числа π появились на страницах научно-по-
                                                                          Способ умножения «в столбик», которым мы обычно пользуемся,
пулярных изданий. Архитекторы стали украшать ими свои сооруже-
                                                                      с «точки зрения» современного компьютера довольно расточителен.
ния. Именно эти 707 цифр были размещены в виде гипсового фри-
                                                                      Чтобы перемножить таким способом два натуральных n-разрядных
за под потолком «цифирной палаты» в Доме занимательной науки
                                                                      числа, нужно произвести n2 попарных умножений цифр и ещё некото-
на Фонтанке (в Ленинграде), организованном по инициативе Якова
                                                                      рое количество сложений. Объём этой вычислительной работы можно
Исидоровича Перельмана в 1934 году. Этими же 707 цифрами Уильям
                                                                      существенно уменьшить, если рационально распорядиться промежу-
Голени в 1937 году украсил купол циклической галереи парижского
                                                                      точными вычислениями.
Дворца Открытий.
                                                                          На одно из «рационализаторских» усовершенствований подобно-
    Двадцатый век вошёл в историю человеческой цивилизации не
                                                                      го рода обратил внимание отечественный математик Анатолий Алек-
только своими разрушительными войнами. Он ознаменовался значи-
                                                                      сандрович Карацуба в 1962 году (см., например, [5]). Предположим,
тельными достижениями человеческого духа, в частности, компью-
                                                                      что каждый из сомножителей x и y имеет по 2n цифр. Разобьём их на
терной революцией. Уже первые проверки на появившихся в 1945 го-
                                                                      два блока по n цифр:
ду электронно-вычислительных машинах показали, что Уильям
Шенкс в своих расчётах ошибся, начиная с 528 знака, так что весь                           x = 10n x1 + x0 ,       y = 10n y1 + y0 .
последующий «хвост» из 180 знаков оказался неверным. Это дало по-     Здесь x1 , x0 , y1 , y0 — n-значные числа. Воспользовавшись тождеством
вод английскому математику Гарольду Коксетеру (р. 1907) с горечью
констатировать: «Нельзя без грусти думать о том, что вычисления, на                 (x1   x0 )(y0   y1 ) = x1 y1     x0 y0 + x1 y0 + x0 y1 ,
которые бедный Шенкс потратил значительную часть своей жизни,         произведение xy можно записать так:
современная ЭВМ может воспроизвести (без его роковой ошибки)              xy = (10n x1 + x0 )(10n y1 + y0 ) =
всего за несколько секунд просто для „разминки“» ([4], с. 379).
    С появлением компьютеров темпы погони за точными десятич-                    = (102n + 10n )x1 y1 + 10n (x1      x0 )(y0   y1 ) + (10n + 1)x0 y0 .
ными знаками числа π резко ускорились.                                Таким образом, задача умножения 2n-разрядных чисел свелась к
    В июне 1949 года Джон фон Нейман (1903—1957) и его сотруд-        трём операциям для n-разрядных чисел x1 y1 , (x1 x0 )(y0 y1 ), x0 y0 и
ники вычислили 2037 знаков на одной из первых вычислительных          ещё к операциям сложения и сдвига. Вместо 4n2 операций поразряд-
машин ENIAC. Рубеж в 10 000 знаков был достигнут в 1958 году          ного умножения обычным способом здесь требуется всего 3n2 опера-
Ф. Женюи с помощью компьютера IBM 704. Сто тысяч знаков π вычи-       ций. Выигрыш, казалось бы, небольшой, но ведь и возникшие здесь
слили в 1961 году Дэниэл Шенкс (однофамилец Уильяма Шенкса) и         n-значные числа также можно перемножать подобным образом, их
Джон Ренч с помощью компьютера IBM 7090. В 1973 году Жан Гийу         составные части — тоже, и т. д. По мере увеличения n экономия вы-
и М. Буйе преодолели отметку в 1 000 000 знаков, что заняло меньше    числений может оказаться существенной.
одного дня работы компьютера CDC-7600.                                    Современные алгоритмы «сверхбыстрого» умножения использу-
    Казалось бы, эра компьютеров окончательно и безвозвратно          ют ещё более изощрённую технику вычислений. Например, алгоритм
устранила человека с арены соревнований. Лавры победителей-ре-        Шёнхаге—Штрассена (1971) умножения целых чисел использует
14                                                                                                                                                       15


интерполяцию полиномов и так называемое «быстрое преобразование                  a2 , …, вычисляя их по формуле
Фурье». Объём вычислений по этому алгоритму двух целых n-разряд-
                                                                                    an+1 = (1 + yn+1 )4 an   22n+3 yn+1 (1 + yn+1 + y2 ),    n = 0, 1, 2, …
ных чисел по сравнению с методом умножения «в столбик» умень-                                                                        n+1

                          n                                                                                                                           1
шается в                             раз. Например, поиск произведения двух      Оказывается, по мере увеличения номера шага n величина                  очень
                  log2 n log2 log2 n                                                                                                                  an
216 -разрядных сомножителей ускоряется более чем в тысячу (210 ) раз             быстро приближается к π, а именно, имеет место оценка
по сравнению с обычным способом умножения. Довольно существен-
                                                                                                                   1             22n+1 π .
ная экономия для электронных вычислителей точных знаков числа π!                                         0   an        22n+5 e
                                                                                                                   π

                                                                                                                                  1
                           «Сверхэффективный» алгоритм                           Так, уже a4 даёт 694 верных знаков числа             .
                                                                                                                                  π
                           Джонатана и Питера Борвейнов                              У истоков открытия этого алгоритма лежали исследования в
                                                                                 области так называемых эллиптических интегралов и тета-функ-
   Канадские математики Джонатан и Питер Борвейны в 1987 году                    ций — высших разделов современной математики [7]. Авторы этого
нашли удивительный ряд:                                                          поразительного алгоритма также утверждают, что им помогли
                                                                                 некоторые идеи гениального индийского математика Сринивазы
1                                  ( 1)n (6n)!
     = 12                                                             3
                                                                                 Рамануджана (1887—1920).
π                                                               3n+
            n=0                                                       2
                   (n!)3 (3n)! (5280(236674 + 30303 61))
                                                                                                        Продолжение «марафона»
                       (212 175 710 912 61 + 1 657 145 277 365 +
                                                                                     Удивительный «марафон», начатый с вычисления Архимедом
                           + n(13 773 980 892 672 61 + 107 578 229 802 750)) ,
                                                                                 трёх точных знаков числа π, сегодня так же далёк от завершения,
                                                                                 как и две тысячи лет назад.
где n! = 1 2 3 … n, а 0! = 1.                                                        По алгоритму Джонатана и Питера Борвейнов в январе 1986 го-
     Последовательность стоящих под знаком суммы слагаемых при                   да Дэвид Х. Бейли получил 29 360 000 десятичных знаков π на су-
n = 0, 1, 2, … добавляет около 25 точных цифр числа π с каждым                   перкомпьютере Cray-2, а в 1987 году Я. Канада и его сотрудники —
новым членом. Первый член (соответствующий n = 0) даёт число, со-                134 217 000 знаков на суперкомпьютере NEC SX-2. Результат Дэвида
впадающее с π в 24 десятичных знаках [6].                                        и Грегори Чудновски из Колумбийского университета в Нью-Йорке,
     Джонатан и Питер Борвейны предложили также алгоритм рас-                    вычисливших в 1989 году 1 011 196 691 знак числа π, попал даже
чёта десятичных знаков числа π, имеющий фантастическую эффек-                    в книгу рекордов Гиннесса. Для своих расчётов они использовали
тивность: каждый новый шаг выполнения этого алгоритма уточняет                   суперкомпьютер Cray-2 и сеть компьютеров IBM-3090. К октябрю
количество верных цифр в разложении числа π более чем вчетверо!                  1995 года сотрудниками Токийского университета Ясумасой Кана-
[6, 7]. Вот этот удивительный алгоритм.                                          дой и Дайсуке Такахаши было вычислено свыше 6 миллиардов цифр.
     Вначале положим y0 = 2 1, a0 = 6 4 2, а затем каждое новое                  Они же в 1999 году на компьютере HITACHI SR 8000 вычислили
значение yn+1 будем находить, отправляясь от предыдущего значения                206 158 430 000 цифр числа π [8].
по формуле                                                                           В конце прошлого столетия посетители сайта [9] встречали объ-
                                                                                 явление, приглашающее их принять участие в глобальном проекте
                                        4
                                   1        1   y4
                                                 n                               «Pi-Hex». Любой житель Земли, подключив свой компьютер к сети
                          yn+1 =                     ,   n = 0, 1, 2, …
                                   1+
                                        4
                                            1 + y4
                                                 n
                                                                                 Интернет, мог стать участником коллективных вычислений отдель-
                                                                                 ных цифр двоичной записи числа π. Координатором этого глобально-
Похожим образом будем находить члены последовательности a0 , a1 ,                го проекта выступил студент университета Симона Фрезера (США)
16                                                                                                                                                            17



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика