Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Асимптотические методы решения уравнений с пограничным слоем: Учебное пособие к спецкурсу

Голосов: 0

В учебном пособии рассмотрен метод сращивания асимптотических разложений, который может быть использован для решения уравнений пограничного слоя и приведены примеры аналитического решения ряда задач течений жидкости и газа в каналах и прямоугольных канавках.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                  С1 = -1,7; В = 1,7; А = 4,08 при k = 2,89.                                                                (5.32)

     Запишем выражения для поля скоростей для течения жидкости с отсосом массы в
прямоугольной изолированной канавке
                                              z ξ
                                                        −0 ,85   ⎫
                                                                 ξ2
                       W ( z ) = 4,08∫ ∫ e            dξ dξ , ⎪  ε

                                                                 ⎪
                                       0 0
                                                        ξ 2      ⎬                                                      (5.33)
                                             z
                                                 −0 ,85          ⎪
                       V ( z , y ) = −4,08 y ∫ e         ε
                                                            dξ . ⎪
                                             0                   ⎭

3. Рассмотрим случай, когда внешнее решение задачи соответствует функции
              π
x1 = C1 sin       z.
              2
                                                                                                              π
                                                                                                       C1 sin z
                                                                                                             2
Тогда интеграл уравнения (5.23) запишем в виде U 3 = Ae                                                   ε
                                                                                                                   , и выражения для
пограничных функций примут вид

                                       2 C1     π
                                                               ⎫
                                   −      cos z                ⎪
                       U 3 = Ae        πε
                                             ,
                                             2
                                                               ⎪
                              z     2 C1    π                  ⎪
                                  −      cos ξ                 ⎪
                       U 2 = A∫ e πε 2 dξ + B,                 ⎬                                                        (5.34)
                              0                                ⎪
                              z ξ       2C
                                      − 1 cos ξ
                                               π               ⎪
                       U 1 = A∫∫ e       πε    2
                                                 dξdξ + Bz + D.⎪
                              0 0
                                                               ⎪
                                                               ⎭

Запишем общее решение задачи с учетом пограничных функций
                                                          z ξ
                                         π                            −    ⎫
                                                                          2 C1     π
                                                                                 cos ξ
                       x1 = C1 sin             z + A∫ ∫ e    dξdξ + Bz + D,⎪
                                                                          πε        2
                                  2      0 0                               ⎪
                            Cπ       π       z   2 C1    π                 ⎪
                                               −      cos ξ                ⎪
                       x2 = 1 cos z + A∫ e πε 2 dξ + B,                    ⎬                                            (5.35)
                              2      2       0                             ⎪
                              C1π 2
                                       π
                                                   2C
                                                 − 1 cos z
                                                           π               ⎪
                       x3 = −       sin z + Ae      πε     2
                                                              .            ⎪
                                4      2                                   ⎪
                                                                           ⎭
     Удовлетворяя граничным условиям задачи, получим соотношения для констант
интегрирования
                                                    π                                    π2                       C12π 2
                       D = 0,          B = − C1 ,                           A =τ +            C1 ,   при k =             .
                                            2                                            4                          4
                                                1ξ                    π
                          ⎛ π⎞
                                                          2C
                                        − 1 cos ξ
                       C1 ⎜1 − ⎟ + A∫∫ e πε 2 dξdξ = 1
                          ⎝ 2⎠      0 0




                                                                                   31


                         π2
При ε = 0,01 и τ =             получены значения коэффициентов для течения жидкости в
                          4
прямоугольной канавке при взаимодействии со спутным потоком газа
                                                            1ξ            π
                  π                         π2                                             π
                                                                    2
                                                                        cos ξ
             B=       ; C1 = −1;    k=           ;         A∫∫ e πε        2
                                                                                d ξ dξ = 2 − .     (5.36)
                  2                          4              0 0
                                                                                            2

        Запишем выражения для поля скоростей для течения жидкости с отсосом
массы
                                                     z ξ
                                        π
                                                              2     π
                                                                      ⎫
                                                                  cos ξ             π
                      W ( z ) = − sin       z + A∫∫ e πε           z ,⎪
                                                                     2
                                                                          dξ dξ +
                                        2    0 0
                                                                  2 ⎪
                                                           π          ⎬                            (5.37)
                                      ⎛π   π     z    2
                                                        cos ξ     π⎞⎪
                      V ( z , y ) = y ⎜ cos z − A∫ e
                                      ⎜2
                                                     πε    2
                                                              dξ − ⎟,⎪
                                      ⎝    2     0
                                                                  2⎟⎭
                                                                   ⎠

где А вычисляется по (5.36).
    Рассмотренные в данном учебном пособии асимптотические методы решения
сингулярно-возмущенных              дифференциальных                                 уравнений   позволяют   получать
приближенные аналитические решения для широкого круга гидродинамических задач с
пограничным слоем.


Библиографический список

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1973.-847с.
2. Найф А.Х. Введение в методы возмущения.- М.: Мир, 1989.-535с.
3. Ивановский М.Н., Сорокин В.П., Ягодкин И.В. Физические основы тепловых труб.-
 М.: Атомиздат, 1978.- 256с.
4. Дан П.Д., Рей Д.А. Тепловые трубы. - М.: Энергия, 1979.- 272с.
5. Клюев Н.И. Математическое моделирование процессов взаимодействия жидких и
 газообразных сред.-Самара: СамГУ, 2000.-48с.
6. Клюев Н.И. Течение жидкости в открытой прямоугольной канавке испарителя
 тепловой трубы с учетом влияния встречного потока пара. ИВУЗ «Авиационная
 техника». - 1995. №3.- С. 100-102.
7. Клюев Н.И. Движение пара в прямоугольном канале испарительного теплообменника.
 ИВУЗ «Авиационная техника».- 1988. №2.-С. 96-98.

                                                                    32


8. Клюев Н.И. Течение жидкости в открытом прямоугольном канапе с отсосом массы и
 взаимодействии с внешним газовым потоком. Труды               VIII   межвузовской
 конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». - Самара:
 СамГТУ, 1998.- С. 48-51.
9. Клюев Н.И. Движение газа со вдувом массы в цилиндрическом канале при больших
 числах Рейнольдса вдуваемого потока. ИВУЗ «Авиационная техника». - 1995. №1.- С.
 43-46.
10. Клюев Н.И, Федечев А.Ф. Течение пара в зоне испарения плоской тепловой трубы
 при больших поперечных числах Рейнольдса. ИФЖ.- 1989. Т.57. №2. - С. 333-334.
11. Гольдштейн В.М., Соболев В.А. Качественный анализ сингулярно- возмущенных
 систем. Новосибирск: АН СССР. Сибирское отделение. Институт математики. 1988.-
 153с.




                                        33



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика