Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Асимптотические методы решения уравнений с пограничным слоем: Учебное пособие к спецкурсу

Голосов: 0

В учебном пособии рассмотрен метод сращивания асимптотических разложений, который может быть использован для решения уравнений пограничного слоя и приведены примеры аналитического решения ряда задач течений жидкости и газа в каналах и прямоугольных канавках.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                    e 2εξ = 1 + 2εξ + K

После чего перепишем (4.17), ограничиваясь величинами нулевого и первого
порядка малости
                                                (W ) = 1 + 2 z.
                                                      0 i
                                                                                                                  (4.18)
Найдем внутреннее-внешнее разложение. Для чего в уравнении (4.18) перейдем к
координате z
                                                  z               C1 z
                              W i = C1e               ε
                                                          −              − C1 + 1                                 (4.19)
                                                                   ε
и выполним в (4.19) предельный переход при фиксированной координате z и

стремлении ε к нулю. В этом случае имеем                                                         C1 z       >> C1 , и C1 z
                                                                                                                                        z
                                                                                                                                 >> C1e ε ,
                                                                                                        ε                    ε
тогда внутреннее-внешнее разложение примет вид

                              (W )i 0
                                            =−
                                                      C1
                                                      ε
                                                              z + 1.                                              (4.20)

Приравниваем правые части разложений (4.18) и (4.20), найдем С1 = −2ε ; равенство
свободных членов дает тождество 1=1. С учетом найденной константы внутреннее
решение запишем в виде
                                                      z
                              W i = −2εe                  ε
                                                              + 2 z + 2 + 2ε                                      (4.21)
Построим составное решение по методу Ван-Дайка

                                                 ( )
                      W = W 0 + W i − W 0 = e 2 z − 2εe
                                                              i                 z
                                                                                    ε
                                                                                        + 2ε .                    (4.22)
Можно убедиться, что граничные условия (4.5) и (4.6) выполняются с точностью до
малости первого порядка. Вне пограничного слоя второе слагаемое в правой части
               z
(4.22) lim e ε = 0 , ( z < 0 ).
        ε →0


Возвращаясь к координате r = e z , перепишем общее решение (4.22)
                                        1
                      W = r 2 − 2εe         ε
                                                + 2ε .                                                            (4.23)
       Выполним оценку приближения, которое мы допустили в окрестности по-
граничного слоя, переходя от уравнения (4.11) к уравнению (4.13). Для этого
необходимо вычислить функцию W и ее производную на границе слоя. Задавая
ε =0.01, найдем, что W(0,99)=0,973 и W'(0,99)=0. Таким образом, принимая что

                                                                           21


граничные условия (4.12) W(l)=l и W'(l)=0 приближенно выполняются во всем
диапазоне пограничного слоя, мы допустили ошибку не превышающую 3%.
     Выражение для продольной скорости получим в соответствии с
                  W ′⎛ L   ⎞
формулой V =         ⎜ − y ⎟ , тогда
                   r ⎝R    ⎠

                                    V = 2⎛1 − r
                                                  1 ε −2
                                                           ⎞⎛ L − y ⎞,
                                         ⎜                 ⎟⎜       ⎟                            (4.24)
                                         ⎝                 ⎠⎝ R     ⎠
                                                                                           1
где R - радиус цилиндра, L - длина цилиндрического канала,                                     = Re.
                                                                                           ε


              ГЛАВА 5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

     Метод интегральных многообразий заключается в выделении медленного
движения на интегральном многообразии. В нашем случае функцией медленного
движения является поперечная скорость течения с переменным расходом массы по длине
канала.

     5.1.ТЕЧЕНИЕ ГАЗА СО ВДУВОМ МАССЫ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ

     Математическая формулировка задачи о ламинарном течении газа в плоском
канале со вдувом массы в безразмерном виде будет иметь следующий вид:
                        εW ′′′ + W ′ 2 − W W ′′ = k ,             (a)⎫
                                                                     ⎪
                        V = − yW ′,                              (b) ⎪
                                                                     ⎬                           (5.1)
                         z = 0,W = 0,W ′′ = 0,                   (c) ⎪
                         z = 1,W = −1,W ′ = 0,                   (d) ⎪
                                                                     ⎭

где безразмерные величины соответствуют ранее принятым [10] .
     Для решения системы (5.1) воспользуемся методом интегральных многообразий с
выделением медленного движения на интегральном многообразии [11]. Введем
следующие обозначения:
                                                                      dW         d 2W
W = x1 ,         ′
           x2 = x1 ,          ′
                       x3 = x 2 ,                       ′
                                      где W = W ( z ), x1 =                  ′
                                                                          , x2 =       .         (5.2)
                                                                       dz         dz 2

Тогда уравнения движения перепишем в следующем виде:

                                                                 22


                            ′
                          x1 = x2 ,                            (a)        ⎫
                            ′
                          x 2 = x3 ,                           (b)        ⎪
                                                                          ⎪
                                                                          ⎪
                         εx3 + x − x1 x3 = k ,
                           ′      2
                                  2                            (c)        ⎬        (5.3)
                          z = 0, x1 = 0, x3 = 0,               (d)        ⎪
                                                                          ⎪
                          z = 1, x1 = −1, x2 = 0.              (e)        ⎪
                                                                          ⎭

Для преобразования уравнения (5.3с) воспользуемся методом возмущения, представив
x3 в виде бесконечного ряда по степеням малого параметра ε
                                                         ∞
                                                x3 = ∑ hnε n ,                     (5.4)
                                                        n =0


    где hn = hn (x1 , x2 , z ).

    Подставляя (5.4) в уравнение (5.3с) и пренебрегая слагаемыми второго и выше
порядка малости, найдем для нулевого приближения
                                                x1h0 − x2 + k = 0
                                                        2
                                                                                   (5.5)
и для первого приближения
                                                ∂h0 ∂h0 ∂x1 ∂h0 ∂x2
                                                   +       +        = x1h1 ,
                                                ∂z ∂x1 ∂z ∂x2 ∂z

или, с учетом выражения (5.4), последнее уравнение перепишем
                                                ∂h0 ∂h0     ∂h
                                                   +    x2 + 0 h0 = x1h1 .         (5.6)
                                                ∂z ∂x1      ∂x2

Объединим выражения (5.5) и (5.6). Тогда, используя (5.5), можно записать
                                             x2 − k
                                              2
                                                                      x2 − kx2
                                                                       3
                                      h0 =          ,          h1 =            ,
                                               x1                        x13

и приближенное выражение для x3 примет вид
                                             x2 − k
                                              2
                                                      x 3 − kx
                                      x3 =          +ε 2 3 2 .                     (5.7)
                                                x1        x1

Перепишем систему уравнений (5.3)
                                                                       ⎫
                                                 ′                     ⎪
                                                x1 = x2 ,              ⎪
                                                                       ⎪
                                                x′′ = x3 ,             ⎬
                                                                       ⎪
                                                      x −k
                                                        2
                                                               x − kx
                                                                3
                                                x3 = 2      + ε 2 3 2 ,⎪
                                                         x1       x1   ⎪
                                                                       ⎭

                                                                     23


или с оговоренной выше точностью получим
                                           ′
                                          x1 2 − k   x′3 − kx′
                                  x1′ =
                                   ′               +ε 1 3 1 .                                                (5.8)
                                             x1         x1

Решение уравнения (5.8) будем вновь искать в виде ряда по степеням малого
параметра
                            ∞
                     x1 = ∑ Pnε n ,                        где Pn = Pn (z ).                                 (5.9)
                           n =0


Подставляя ряд (5.9) в уравнение (5.8) и приравнивая слагаемые при одинаковых
степенях ε , получаем соответственно нулевое приближение
                                       ″
                                  P0 P0 − P0′ 2 + k = 0     (a) ⎫
                                                                ⎪
                                                                ⎪
                                  z = 0, P0 = 0, P0′′ = 0,  (b) ⎬                                            (5.10)
                                  z = 1, P0 = −1, P0′ = 0 , (c) ⎪
                                                                ⎪
                                                                ⎭

и первое приближение
                                          (            )       (
            P0 P1′′− 2 P02 P0′P1′ − P0 k − P0′ 2 P1 = P0′ 2 − k P0′, (a) ⎫
              3
                                                                             )
                                                                         ⎪
            z = 0, P1 = 0, P1′′= 0,                                 (b) ⎬                                    (5.11)
            z = 1, P1 = 0, P1′ = 0 ,                                (c) ⎪⎭

Решением краевой задачи (5.10) является функция
                                                             π                                      π2
                                              P0 = − sin           z,                при k =             .
                                                               2                                    4
Тогда уравнение (5.11 а) примет вид
                                  π                    π            π            π         π
                     − P1′′sin        z + P1′ cos
                                            π              z + P1           z=       cos       z.            (5.12)
                                  2                    2                2        8         2

    Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, для чего
                                              π
сделаем замену P1 = Ф(z )cos z , где Ф(z ) - неизвестная функция. Получим
                                               2
дифференциальное уравнение второго порядка
                                                   π           π
                                  2Ф′′( z )sin         z cos       z − 2πФ′( z ) = 0,                        (5.13)
                                                   2           2
откуда найдем
                                               ⎛ π     π ⎞
                                  Ф( z ) = C 2 ⎜ tg z − z ⎟ + C3 ,
                                               ⎝ 2     2 ⎠


                                                                        24


и общее решение однородного уравнения запишем в виде
                                 ⎛ π      π     π ⎞          π
                        P1 = C 2 ⎜ sin z − z cos z ⎟ + C3 cos z .                                                    (5.14)
                                 ⎝    2   2     2 ⎠          2

    Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (5.11 а) воспользуемся
методом   вариации             произвольных                     постоянных.                             Считая С2 и С3 функциями от z ,
получим для их определения систему

                          π   π     π ⎞               π
              ′ ⎛
            C 2 ( z )⎜ sin z − z cos z ⎟ + C3 ( z )cos z = 0,
                                            ′
                     ⎝    2   2     2 ⎠               2

                       π ⎡          π                π2    π
            − sin 2                       ′ ⎤
                        z ⎢C 2 ( z ) z − C3 ( z )⎥ =
                             ′                          cos z .                                                      (5.15)
                       2 ⎣            2                     ⎦       4            2

Из последней системы находим неизвестные величины
                                 ⎛          π   ⎞
                               π⎜               ⎟
                                      cos       z
                                ⎜   2 − ln tg z ⎟,              π
                        С2 =
                             4⎜ 2π           4 ⎟
                              ⎜ sin   z         ⎟
                              ⎝     2           ⎠
                                              π
                                      cos           z
                               π 2z             2               π                π3   z
                                                                                              ζdζ
                                                                                 16 ∫
                        C3 =                            −                   +                     ,
                                8 sin 2 π z                 4 sin
                                                                    π
                                                                        z             0   sin
                                                                                                π
                                                                                                    z
                                        2                           2                           2
и частное решение задачи для первого приближения примет вид
                   π           π ⎛        π             π        ζdζπ ⎞ π3                      π       z
            P1 =       ln tg    z ⎜ sin z − z cos z ⎟ + cos z ∫        .                                             (5.16)
                   4           4 ⎝     2   2     2 ⎠ 16    2 0 sin π ζ
                                                                   2
                                                                                 π
     В уравнении (5.13) слагаемое z ln tg z                                                   при z = 0 дает неопределенность
                                                                                 4

                                                                                          π
типа. 0 ⋅ ∞ . Можно показать, что                                   lim z ln tg               z = 0 , и, следовательно, граничное
                                                                    z →0                  4

условие      P1 (0 ) = 0 выполняется                        .   Граничное                           условие     P1′(1) = 0 удовлетворяется

приближенно с ошибкой, не превосходящей 7 %.
     Таким образом, поле скоростей плоского газового потока со вдувом массы
будет представлено в следующем виде:


                                                                            25


поперечная скорость

                      ⎡                                                         ⎤
            π         ⎢π     π ⎛ π       π     π ⎞ π3    π z ζ dζ               ⎥
W ( z ) = − sin z + ε ⎢ ln tg z ⎜ sin z − z cos z ⎟ + cos z ∫                   ⎥,   (5.17)
               2      ⎢4     4 ⎝     2   2     2 ⎠ 16    2 0     π              ⎥
                                                              sin ζ
                      ⎣                                          2              ⎦

функция продольной скорости запишется в виде

                ⎡           ⎛                                                 ⎞⎤
                ⎢π   π      ⎜π 2 π 3      π       π    π4    π z ζdζ          ⎟⎥
V ( z , y ) = y ⎢ cos z − ε ⎜   +    z sin z ln tg z −    sin z ∫             ⎟⎥.    (5.18)
                ⎢2   2      ⎜ 8 16        2       4    32    2 0 sin π ζ      ⎟⎥
                            ⎜                                                 ⎟
                ⎢
                ⎣           ⎝                                        2        ⎠⎥⎦

Данное решение можно назвать феноменологическим, так как специальных
мероприятий       по      уточнению            решения          в   области   пограничного    слоя   не
предпринималось.



           5.2. Течение жидкости в прямоугольной канавке с отсосом массы при
                              взаимодействии с внешним потоком газа
 Течение жидкости в прямоугольной канавке с отсосом массы соответствует течению
жидкости в канавке испарителя тепловой трубы при взаимодействии с потоком пара.
 Рассмотрим течение для ядра потока жидкости в прямоугольной канавке с отсосом
массы при взаимодействии с внешним потоком газа . Математическая формулировка
задачи будет иметь следующий вид [12]
                       εW ′′′ + W ′ 2 − W W ′′ = k ,    (a)⎫
                                                            ⎪
                       z = 0,W = 0,W ′ = 0,            (b) ⎬                         (5.19)
                       z = 1,W = 1, yW ′′ = τ ,         (c) ⎪
                                                            ⎭

 где τ задается из решения задачи о течении внешнего потока газа .

    Будем рассматривать три случая: 1) движение жидкости и газа совпадает по
направлению; 2) жидкость и газ двигаются в противоположном направлении; 3) контакт
между жидкостью и газом отсутствует.



                                                       26


    В первом случае газ способствует движению жидкости, и напряжение трения на
поверхности жидкости есть величина положительная, во втором случае встречное
движение газа препятствует движению жидкости, и напряжение трения - величина
отрицательная, в третьем случае трение равно нулю.
    Используя обозначения (5.2), исходную систему перепишем в следующем виде:


              ′
            x1 = x2 ,                      (a) ⎫
            x ′ = x3 ,
              2                            (b) ⎪ ⎪
                                                 ⎪                       π2
            εx3 = − x2 + x1 x3 + k ,
              ′      2
                                             (c) ⎬         где τ =            .        (5.20)
                                                                         4
            z = 0, x1 = 0, x2 = 0,          (d ) ⎪
                                                 ⎪
            z = 1, x1 = 1, x3 = τ ,         (e) ⎪⎭

Можно показать, что дальнейшие преобразования системы уравнений (5.20) по аналогии
с предыдущим разделом приводят к дифференциальным уравнениям для нулевого и
первого приближений (5.10а) и (5.11а). И удовлетворить граничным условиям данной
краевой задачи в общем виде не удается .
    Поэтому      для      решения           задачи         воспользуемся          методом   [9],   который
предусматривает введение в задачу пограничной функции. Для чего вернемся к
уравнению (5.8) и перепишем его
                                        ′
                                       x1 2 − k   x′3 − kx′
                               x1′ =
                                ′               +ε 1 3 1 .
                                          x1         x1

Как мы убедились ранее, нулевое приближение этого уравнения может быть записано
в виде трех функций:
                                                                π
                     x1 = C1 shz , x1 = C1 z , x1 = C1 sin          z.                 (5.21)
                                                                2
      Эти функции следует рассматривать как внешнее решение задачи, которое
следует подправить в окрестности граничной точки. Пограничный слой располагается в
окрестности точки z = 0 (у стенки канала). Для уточнения решения в области
пограничного слоя введем пограничную функцию U 3 следующим образом:
                                         x3 = x3 + U 3 .                               (5.22)
По определению пограничной функций она имеет существенное значение только в
окрестности граничной точки.

                                                           27


        Подставим (5.22) в (5.20с) и приравняем в левой и правой частях уравнения
слагаемые, содержащие пограничную функцию U 3 (z ) тогда
                                        εU 3 = x1U 3 .
                                           ′                                                          (5.23)
Будем искать U 3 , последовательно рассматривая внешние решения (5.21).


1. Рассмотрим случай, когда внешнее решение задачи соответствует функции
x1 = C1 shz .

        Тогда интеграл уравнения (5.23) запишем в виде
                                                            C1chz
                                        U 3 = Ae             ε
                                                                    .                                 (5.24)
Функции U 1 (z ) и U 2 (z ) ,уточняющие решение для x1 и x2 определим из следующих
соотношений U 1′ = U 2 ,U 2 = U 3 :
                          ′
                                             C1chξ
                                        z
                                                            ⎫
                             U 2 = A∫ e           ε
                                                          dξ + B,
                                                            ⎪
                                    0                       ⎪
                                    z ξ C1chξ
                                                            ⎬                                         (5.25)
                             U 1 = A∫∫ e  ε
                                              dξdz + Bz + D,⎪
                                                            ⎪
                                    0 0                     ⎭

где A,B,D,C, - константы интегрирования.

      И общее решение краевой задачи (5.20) примет вид

                                      z ξ     C1chξ
                                                            ⎫
                      x1 = C1 shz + A∫∫ e     dξdξ + Bz + D,⎪
                                                      ε

                                     0 0                    ⎪
                                      z C1chξ               ⎪
                                                            ⎪
                      x2 = C1chz + A∫ e ε dξ + B,           ⎬                                         (5.26)
                                     0                      ⎪
                                       C1chz                ⎪
                      x3 = C1 shz + Ae ε .                  ⎪
                                                            ⎪
                                                            ⎭

Удовлетворяя граничным условиям, найдем
                                                                               (
                                                                             C1 e 2 +1   )        ⎫
                                            e2 −1
                      D = 0, C1 + B = 0, C1       + Ae                         2 eε
                                                                                             = τ ,⎪
                                             2e                                                   ⎪
                                   1ξ       C1chξ                                                 ⎬   (5.27)
                         e2 −1                                                                    ⎪
                      C1       + A∫∫ e        ε
                                                      dξdξ − C1 = 1.
                          2e                                                                      ⎪
                                  0 0                                                             ⎭




                                                                        28


    Предполагая С1 ≤ −1 , можно указать приближенное аналитическое решение
                                                                                           (
                                                                                         C1 e 2 +1   )
    системы (5.27). В этом случае величиной                                          e     2 eε
                                                                                                               можно пренебречь ввиду ее
    малости, тогда
                                     2eτ
                                           +1−τ
                                    e2 −1               2eτ
                               A = 1 ξ C chξ     , C1 = 2 ,
                                         1
                                                       e −1
                                   ∫ ∫ e ε dξ dξ
                                    0 0


                                   2eτ         4(eτ )
                                                                2
                               B=        ,k =            .                                                                 (2.28)
                                  1− e 2
                                              (e 2 − 1)2
    Легко видеть, что условие С1 ≤ −1 выполняется для τ < 0 ( встречное движение
жидкости и газа ), и решение задачи примет вид
                                                                     z ξ       C1chξ


                          2eτ       ⎛ 2eτ       ⎞00
                                                                     ∫∫ e        ε
                                                                                         dξ dξ
                                                                                                             2eτ z
                     x1 = 2   shz + ⎜ 2    +1−τ ⎟ 1 ξ                          C1chξ
                                                                                                         +         ,
                         e −1       ⎝ e −1      ⎠                                                            1− e2
                                                                     ∫∫ e
                                                                     0 0
                                                                                 ε
                                                                                         dξ dξ

                                                                           z    C1chξ


                          2eτ     ⎛ 2eτ          ⎞ 0
                                                          ε
                                                             dξ
                                                                   2eτ     ∫e
                     x2 = 2 chz + ⎜ 2    + 1 − τ ⎟ 1 ξ C1chξ    +       ,
                         e −1     ⎝ e −1         ⎠                1− e2
                                                   ∫∫ e dξdξ
                                                         ε

                                                                     0 0


                             2eτ
                     x3 =         shz .
                            e2 −1

                                                                                                                π2
    Численное решение системы уравнений (5.27) для τ =                                                                 и ε =0,01 дает
                                                                                                                 4

                                                                                                                                    1 + 3е − e 2
следующие значения коэффициентов: С1 = -2,1; В = 2,1; k = 4,41, A =                                                            1ξ          2.11 chξ
                                                                                                                                                             .
                                                                                                                                       −
                                                                                                                              e ∫∫ e          ε
                                                                                                                                                      dξdξ
                                                                                                                               0 0


Возвращаясь к первоначальным обозначениям, запишем выражения для продольной и
поперечной скоростей при течении жидкости в прямоугольной канавке при отсосе
массы (испаритель тепловой трубы).
                                            z ξ
                                                  −
                                                      2 ,1chξ
                                                                     ⎫
                  W (z ) = −2,1shz + A∫∫ e              dξdξ + 2,1z ,⎪
                                                        ε

                                           0 0                       ⎪
                                                   2 ,1chξ           ⎬.                                                    (5.29)
                                  ⎛            z
                                                 −               ⎞ ⎪
                  V ( z , y ) = y ⎜ 2,1chz − A∫ e ε dξ − 2,1⎟ ⎪
                                  ⎜                              ⎟
                                  ⎝            0                 ⎠ ⎭

                                                                29


2. Рассмотрим случай, когда внешнее решение задачи соответствует функции
x1 = C1 z .
                                                                                                          C1 z
Тогда интеграл уравнения (5.23) запишем в виде U 3 = Ae                                                    ε
                                                                                                                 , и выражения для
пограничных функций примут следующий вид:
                                         C1 z 2
                            U 3 = Ae      2ε
                                                   ,
                                     z         C1ξ 2
                            U 2 = A∫ e          2ε
                                                        dξ + B,
                                     0

                                     z ξ           C1ξ 2
                            U 1 = A∫ ∫ e            2ε
                                                            dξdξ + Bz + D,
                                     0 0




и общее решение краевой задачи запишем как
                                                                             z ξ     C1ξ 2           ⎫
                            x1 = (C1 + B )z + D + A∫∫ e                               2ε
                                                                                             dξ dξ , ⎪
                                                                         0 0                         ⎪
                                                              z    C1ξ   2                           ⎪
                                                                                                     ⎪
                            x2 = (C1 + B ) + A∫ e                   2ε
                                                                             dξ ,                    ⎬                  (5.30)
                                                              0                                      ⎪
                                      C1 z 2                                                         ⎪
                            x3 = Ae    2ε
                                               .                                                     ⎪
                                                                                                     ⎪
                                                                                                     ⎭

Удовлетворяя граничным условиям, получим выражения для констант интегрирования


                                                   C1                              1ξ        C1ξ 2
              D = 0,   C1 + B = 0,         Ae      2ε
                                                            =τ ,              A∫ ∫ e          2ε
                                                                                                     dξdξ = 1.          (5.31)
                                                                                   0 0


Решение системы (5.27) для τ ≠ 0 отсутствует. Поэтому будем искать решение для
канавки, изолированной от внешнего потока, при τ = 0 . Тогда (5.31) перепишем в виде


                                                       C1                          1ξ         C1ξ 2
              D = 0,   C1 + B = 0,          Ae         2ε
                                                            =τ ,               A∫ ∫ e          2ε
                                                                                                      dξdξ = 1.
                                                                                   0 0


        Выполнение граничного условия x3 (1) = 0 достигается с точностью до
экспоненциально малых величин для всех C1 ≤ −1 .Численное решение при ε = 0,01
дает значения констант интегрирования



                                                                         30



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика