Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Асимптотические методы решения уравнений с пограничным слоем: Учебное пособие к спецкурсу

Голосов: 0

В учебном пособии рассмотрен метод сращивания асимптотических разложений, который может быть использован для решения уравнений пограничного слоя и приведены примеры аналитического решения ряда задач течений жидкости и газа в каналах и прямоугольных канавках.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                       z −1
                           (W )   i 0
                                        = C1 ⋅ e       ε
                                                           +
                                                               C1
                                                                   ε
                                                                       −
                                                                            C1 z
                                                                             ε
                                                                                   − C1 + 1.                   (2.17)

Поскольку в области пограничного слоя z − 1 < 0 и по нашему предложению
                           z −1
                                        C1                                              C1
z 0 −1 ≈ ε , то      C1e    ε
                                  <<         кроме того, С1 <<                               . В этом случае (2.17) перепишется в
                                        ε                                               ε
виде

                                         (W )i 0
                                                   =−
                                                           C1
                                                               ε
                                                                       z+
                                                                            C1
                                                                             ε
                                                                                   + 1.                        (2.18)

Приравняем правые части выражений (2.16) и (2.18)
                           e2 + 1      2    C     C
                                  z− 2   = − 1 z + 1 + 1.                                                      (2.19)
                           e −1
                            2
                                    e −1    ε      ε
        Для выполнения равенства (2.19) необходимо приравнять коэффициенты при
                      e2 + 1
z . Откуда C1 = ε            . Равенство свободных членов дает значение константы
                      1 − e2

       e2 + 1
C1 = ε        .     Одинаковое значение константы С1 говорит о том, что получено
       1 − e2
самосогласованное решение, и наше предположение о толщине пограничного слоя
1 − z0 = ε    является верным.
        Общее решение задачи записывается как составное
                                                                          e2 + 1 ⎛                        ⎞
                                                                                                z −1
                  W =W 0 +W i − W 0 =       ( )    i        2e
                                                           e2 − 1
                                                                  shz + ε        ⎜e
                                                                          1 − e2 ⎜
                                                                                                 ε
                                                                                                       − 1⎟.
                                                                                                          ⎟     (2.20)
                                                                                 ⎝                        ⎠

Таким образом, сращивание удалось выполнить, и мы получили решение для
поперечной скорости течения. Выражение для продольной скорости найдем в
соответствии с (2.1) и (2.20), тогда
                              ⎛ 2e        e 2 + 1 ε ⎞⎛ L
                                                  z −1
                                                            ⎞
                           V =⎜ 2
                              ⎜ e −1 chz − 2     e ⎟⎜ − y ⎟.
                                                       ⎟⎝ b                                                     (2.21)
                              ⎝           e −1         ⎠    ⎠


Можно убедиться, что граничные условия краевой задачи (2.2)-(2.4) выполняются с
точностью до первого порядка малости.




                                                                                   11


    ГЛАВА 3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КАНАВКЕ
       С ПЕРЕМЕННЫМ РАСХОДОМ МАССЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
                        С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ ГАЗА


    Краевая задача, в безразмерном виде, о течении жидкости в прямоугольной канавке со
вдувом или отсосом массы имеет следующий вид [6]:
                        εW ′′′ + W ′ 2 − W W ′′ = k ,                   (3.1)
                        z = 0,W = 0,W ′ = 0,                            (3.2)
                        z = 1,W = ±1,W ′′ = τ ,                         (3.3)

где W = W (z ) - поперечная составляющая скорости, знак «+» в граничном условии
(3.3) соответствует течению с отсосом массы (испаритель тепловой трубы), знак «-»
соответствует течению со вдувом массы (конденсатор тепловой трубы).
    Выражение для продольной составляющей скорости для течения с отсосом массы
(испаритель тепловой трубы) запишем в виде
                                 V = − y W ′,                           (3.4)
и выражение для продольной составляющей скорости для течения со вдувом массы
( конденсатор тепловой трубы)
                                     ⎛L    ⎞
                                 V = ⎜ − y ⎟W ′.                        (3.5)
                                     ⎝b    ⎠


    Величина τ в граничном условии                (3.3) характеризует напряжение трения на
поверхности раздела фаз между жидкостью и внешним потоком газа. Трение задается
из решения внешней задачи. Рассматриваются три варианта взаимодействия между
жидкостью и газом: τ < 0 - встречное движение жидкости и газа; τ > 0 - движение
жидкости и газа в одном направлении; τ = 0 - при отсутствии контакта между жидкостью
и газом.
    Для решения краевой задачи (З.1) - (З.З) воспользуемся методом прямого
сращивания асимптотических разложений. Будем искать внешнее решение вне
области пограничного слоя и внутреннее решение в области пограничного слоя.


                                                  12


    Внешнее решение найдем в виде нулевого приближения уравнения (3.1) по
степеням малого параметра
                       W0′ − W0W0′′= k ,
                            2
                                                                 (3.6)
                        z = 0,W0 = 0,W0′ = 0,                    (3.7)
                        z = 1,W0 = ±1,W0′′= τ ,                  (3.8)
    Уравнение движения (3.6) представляет собой нелинейное дифференциальное
уравнение второго порядка и его интегралами могут быть несколько функций.
Рассмотрим решения уравнения (3.6) в виде линейной функции W0 = Az ,
                                             π
тригонометрической функции W0 = A sin z и гиперболической функции W0 = Ash z
                                              2
[8]. Легко убедиться простой подстановкой, что указанные функции могут
удовлетворять граничным условиям (3.8) и ни при каких обстоятельствах не
удовлетворяют второму граничному условию (3.7) z = 0, W0′ =0. Следовательно,
можно сделать вывод, что в окрестности точки z = 0 у стенки канала располагается
пограничный слой. Для получения решения краевой задачи (3.1)...(3.3) разобьем
область интегрирования на внутреннюю и внешнюю. Рассмотрим различные варианты
внешних решений.


            3.1. Интеграл нулевого приближения в виде линейной функции
    Полагая решение уравнения (3.6) в виде W0 = Az , удовлетворим граничным
условиям при z = 1. Откуда получим А = ±1 при k = 1 и напряжении трения τ = 0.
Такое решение соответствует течению жидкости в прямоугольной канавке с переменным
расходом массы без взаимодействия между жидкостью и газом.
    Итак, внешнее решение примет вид

                            W 0 = ±z,   z 0 ≤ z ≤ 1,             (3.9)

где z 0 - толщина пограничного слоя.

     Найдем внутреннее решение в области пограничного слоя, для чего преобразуем
уравнение движения (3.1) с учетом граничного условия (3.2). По определению величина

                                                  13


пограничного слоя мала, следовательно координата z 0 << 1 . Считаем, что граничные
условия (3.2) выполняются во всем диапазоне внутренней области, тогда, подставляя
(3.2) в уравнение движения (3.1), получим краевую задачу

                                       εW ′′′ = k ,                            (3.10)

                                        z = 0, W = 0, W ′ = 0.                 (3.11)
Решением уравнения (3.10) является функция
                                                  kz 3 C1 z 2
                                       Wi=            +       + C 2 z + C3 .
                                                  6ε    2

Константы интегрирования С2 и С3 найдем, удовлетворяя граничным условиям (3.11).
Тогда С2 = С3 =: 0, и решение перепишется в виде


                                  kz 3 C1 z 2
                              W = i
                                      +       ,                 0 ≤ z ≤ z0 .   (3.12)
                                  6ε    2
      Оставшаяся константа C1 и толщина пограничного слоя z 0 определяются из
условий прямого сращивания внешнего и внутреннего решений. Для сращивания
потребуем в точке        z0    равенства функций, а также их первых производных для
внешнего и внутреннего решений
                                                 z 0 C1 z 02 ⎫
                                                   3
                                        ± z0 =       +         ,⎪
                                                 6ε       2 ⎪
                                                                ⎬
                                              z 02
                                        ±1 =        + C1 z 0 . ⎪
                                              2ε                ⎪
                                                                ⎭

                     1 z0
Откуда      С1 = ±      − ,       а толщина пограничного слоя определится формулой
                     z 0 2ε

                                  3ε
                              ±      = − z 02 ,             где ε > 0.         (3.13)
                                   2

      Для того чтобы удовлетворить уравнению (3.13), необходимо отбросить в
                                      3ε
(3.13) знак «+». Тогда z 0 =             соответствует течению жидкости в прямоугольной
                                       2




                                                           14


канавке       со   вдувом     массы         (конденсатор          тепловой          трубы).   И   константа
                                            1,43
интегрирования примет вид С1 =                     .
                                              ε
        Окончательно решение задачи для течения жидкости в прямоугольной канавке со вдувом
массы запишется в виде внешнего и внутреннего решения
                     W0 = − z ,                         z 0 ≤ z ≤ 1,                     (3.14)

                            z 3 0,7 ⋅ z 2
                     Wi =      −          ,             0 ≤ z ≤ z0 .                     (3.15)
                            6ε      ε
Формулы (3.14), (3.15) дают зависимость для поперечной скорости в пря-
моугольной канавке. Профиль продольной скорости определим в соответствии с
формулой (3.5):
                             ⎛L    ⎞
                     V 0 = −1⎜ − y ⎟,                   z 0 ≤ z ≤ 1,                     (3.16)
                             ⎝b    ⎠

                        ⎛ z 2 1,4 z ⎞⎛ L   ⎞
                     V =⎜ −
                       i
                        ⎜ 2ε        ⎟⎜ − y ⎟,
                                    ⎟ b                 0 ≤ z ≤ z0 .                     (3.17)
                        ⎝       ε ⎠⎝       ⎠


            3.2. Интеграл нулевого приближения в виде тригонометрической функции


       Решение задачи рассмотрим для течения жидкости в прямоугольной канавке с
                                                                                π
отсосом массы (испаритель тепловой трубы). Пусть W0 = A sin z , тогда, удовлетворяя
                                                                                2

                                                       π2
граничным условиям (3.7), найдем k =                        , A =1. Пограничный слой по-прежнему
                                                       4
располагается в окрестности точки z = 0. Из граничного условия (3.3) следует, что
       π2
τ =−        < 0 , следовательно, решение соответствует взаимодействию встречных потоков
       4
жидкости и газа. Такое решение можно назвать феноменологическим. Внешнее решение
задачи запишем в виде
                                        π
                             W0 = sin       z,                   z 0 ≤ z ≤ 1.            (3.18)
                                        2

        Внутреннее решение в области пограничного слоя совпадает с (3.12)


                                                       15


                                         kz 3 C1 z 2
                               W =           +       ,                    0 ≤ z ≤ z0 .            (3.19)
                                         6ε    2

Выполним сращивание решений                             (3.18) и (3.19), для чего приравняем функции и
их производные в точке z = z 0 . Тогда
                                     π            k ⋅ z03 C1 z02
                               sin       ⋅ z0 =          +       ,                                (3.20)
                                     2             6ε      2

                               π         π  k ⋅ z02
                                 cos ⋅ z0 =         + C1 z0 .                                     (3.21)
                               2    2        2ε
                                             π          π           kz 0
      Откуда найдем                С1 =           cos        z0 −        , подставляя С1 , в (3.20), получим
                                           2 z0         2           2ε

выражение для определения толщины пограничного слоя z 0
                         π          πz 0          π             3
                                                             kz 0
                   sin       z0 =          cos        z0 −        .                               (3.22)
                         2           4            2          12ε
Уравнение (3.22) может быть решено численными методами, либо величину z 0
можно определить из приближенной оценки слагаемых. Полагая z 0 = ε , видим, что
равенство (3.22) выполняется с точностью до ε . Тогда, с точностью до первого
порядка малости, выражение для константы интегрирования примет вид
                                         π π2
                               С1 =        − .                                                    (3.23)
                                         2ε 8

                                                              π2
Внутреннее решение запишем при k =
                                                               4

                                         π 2 3 ⎛π 2 π ⎞ 2
                               Wi =             ⎜ 16 + 4ε ⎟ z ,
                                             z −⎜         ⎟                        0 ≤ z ≤ z0 ,
                                         24ε    ⎝         ⎠

и окончательно выражение для поперечной скорости будет включать внешнее и
внутреннее решения
                        π
            W 0 = sin     z,                                              z 0 ≤ z ≤ 1,            (3.24)
                        ε
                  π 2 3 ⎛π 2 π ⎞ 2
            Wi=          ⎜ 16 − 4ε ⎟ z ,
                      z −⎜         ⎟                                      0 ≤ z ≤ z0 ,            (3.25)
                  24ε    ⎝         ⎠

где z 0 = ε . Профиль продольной скорости запишем в виде:




                                                                    16


                    π        π
             V 0 = − cos z y ,                                       z 0 ≤ z ≤ 1,   (3.26)
                    2   2

                   ⎡ π 2 2 ⎛π 2 π ⎞ ⎤
             V i = ⎢−   z +⎜
                           ⎜ 8 − 2ε ⎟ z ⎥ y ,
                                    ⎟                                0 ≤ z ≤ z0 ,   (3.27)
                   ⎣ 8ε    ⎝        ⎠ ⎦


      3.3. Интеграл нулевого приближения в виде гиперболической функции
    Положим W0 = Ashz , тогда, удовлетворяя граничным условиям в точке z = 1 ,
              2e            4e 2
найдем A =         при k = 2 2 и τ = 1 . Таким образом, имеем феноменологическое
             e2 −1        (e − 1)
решение задачи для течения жидкости в прямоугольной канавке с отсосом массы
(испаритель тепловой трубы)
                                         2e
                                 W0 =        shz ,   τ = 1 > 0.                     (3.28)
                                        e −1
                                         2



             Данная задача соответствует движению жидкости в канавке и потока
газа в одном направлении.
      Следовательно, внешнее решение задачи для нулевого приближения можно
записать в виде
                                         2e
                                 W0=         shz ,    z 0 ≤ z ≤ 1.                  (3.29)
                                        e −1
                                          2



      Внутреннее решение задачи в области пограничного слоя совпадает с (3.12)
                                     kz 3 C1 z 2
                                 W =     +       ,       0 ≤ z ≤ z0 .
                                     6ε    2
      Выполним сращивание решений (3.29) и (3.30), для чего приравняем функции
внутреннего и внешнего решений, а также их первые производные в точке z = z 0 . Тогда
                                  2e           kz03 C1 z0 2
                                        shz0 =     +                                (3.31)
                                 е2 − 1         6ε    2

                                  2e          kz 2
                                        chz0 = 0 + C1 z0                            (3.32)
                                 е2 − 1        2ε
                         2e    сhz 0 kz 0
Откуда найдем С1 =           −      −     . Подставляя С1 в (3.31), получим выражение для
                        e − 1 z0
                         2
                                      2ε

определения величины пограничного слоя




                                                        17


                               2e           ez         kz 3
                                    shz 0 = 2 0 chz 0 - 0 .                           (3.33)
                              e2 −1        e −1        12ε
             Легко видеть, что равенство (3.33) приближенно выполняется для z 0 = ε .
Тогда константу интегрирования запишем в виде
                                       2e chε   2e 2
                              C1 =            − 2    ,                                (3.34)
                                      e2 −1 ε    (
                                               e −1       )
и внутреннее решение перепишем
                             kz 3     e chε 2     e2
                      Wi =        + 2      z −         z 2.
                             6ε e − 1 ε        e −1
                                                2
                                                     (
                                                     2
                                                              )

    Общее решение задачи для течения жидкости в прямоугольной канавке с отсосом
массы (испаритель тепловой трубы) при движении жидкости и газа в одном направлении:

поперечная скорость

                            2e                                        ⎫
                      W0=        shz ,                     z0 ≤ z ≤ 1 ⎪
                          e −12
                                                                      ⎪
                                                                      ⎬,              (3.35)
                          kz 3     e chε 2      e2
                      W =
                       i
                               +        z −            z , 0 ≤ z ≤ z0 ⎪
                                                        2

                          6ε e 2 − 1 ε      (e 2 − 1)2                ⎪
                                                                      ⎭

продольную скорость запишем в виде
                           ⎛ 2e        ⎞                                         ⎫
                      V0 = ⎜       chz ⎟ y ,                     z0 ≤ z ≤ 1      ⎪
                           ⎝1− e
                                 2
                                       ⎠                                         ⎪
                                                                                 ⎬.   (3.36)
                            ⎡ kz 2     2e chε       2e 2     ⎤
                      V = ⎢−
                        i
                                   − 2        z+           z ⎥ y, 0 ≤ z ≤ z0     ⎪
                            ⎢ 2e e − 1 ε
                            ⎣                    (e 2 − 1)2 ⎥⎦
                                                                                 ⎪
                                                                                 ⎭



        ГЛАВА 4. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ
                  С ОТСОСОМ МАССЫ ПРИ БОЛЬШИХ ПОПЕРЕЧНЫХ
                                       ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

    Краевая задача о ламинарном течении газа в цилиндрическом канале с равномерным
отсосом массы (конденсатор тепловой трубы) имеет следующий безразмерный вид [9]:
       1 ⎡1
        3 ⎢
      r ⎣ Re
              (                   )                            ⎤
             W ′′′r 2 − W ′′r + W ′ + W ′ 2 r − W W ′′r + W W ′⎥ = −
                                                                     1 dP
                                                                     y dy
                                                                          = k,        (4.1)
                                                               ⎦



                                                         18


                                                W′
                       r = 0,W = 0,W ′′ −          = 0,                                   (4.2)
                                                r
                       r = 1,W = 1,W ′ = 0.                                               (4.3)


    При введении новой переменной z = ln r , уравнение движения для поперечной
скорости и граничные условия перепишутся
              ε (W ′′′ − 4W ′′ + 4W ′) + W ′ 2 − W W ′′ + 2W W ′ = ke 4 z ,               (4.4)
                       z = −∞,W = 0, lim(W ′′ − 2W ′) = 0,                                (4.5)
                                         z →∞


                       z = 0,W = 1,W ′ = 0.                                               (4.6)
Для решения задачи (4.4)-(4.6) воспользуемся методом сращиваемых асимптотических
разложений Ван-Дайка и будем искать внешнее и внутреннее решения. Внешнее
решение запишем в виде ряда W = W0 + εW1 + K по степеням малого параметра.
Ограничимся нулевым приближением, тогда
                      W0′ 2 − W0W0′′+ 2W0 W0′ = ke 4 z ,                                  (4.7)
                       z = −∞,W0 = 0, lim(W0′′− 2W0′) = 0,                                (4.8)
                                         z →∞


                       z = 0,W0 = 1,W0′ = 0.                                              (4.9)
       Интегралом         дифференциального                       уравнения      (4.7)   является   функция
W0 = Ae 2 z при      k=4A2. Можно проверить, что граничные условия (4.8)
выполняются. Из граничного условия                           z =0,    W0 = 1 следует определение констант

                                                                                     ′
А = 1,     k = 4. Оставшееся граничное условие                           z =0,     W0 = 1 удовлетворить не

удается, следовательно, можно сделать вывод о наличии пограничного слоя в
окрестности точки z = 0 . Физически это означает, что пограничный слой располагается
у стенки канала при r = 1 . Таким образом, внешнее решение имеет вид

                                         W 0 = e2z                                        (4.10)
       Для нахождения внутреннего решения введем в окрестности точки
                                                     z
z = 0 растягивающую координату ξ =                       .          Выполним преобразование уравнения
                                                     ε
движения (4.7) с учетом следующих соотношений:


                                                             19


                         1 dW                          1 d 2W                 1 d 3W
              W′=             ,            W ′′ =              ,    W ′′′ =          .
                         ε dξ                         ε 2 dξ 2                ε dξ 3

В дальнейшем для краткости вновь обозначим производные по ξ штрихом, имея в виду,
что W = W (ξ ) .
       Уравнение движения перепишем в виде
              W ′′′ − 4εW ′′ + 4ε 2W ′ + W ′ 2 − W W ′′ + 2εW W ′ = kε 2 e 4 z ,

и, переходя в уравнении к пределу при e → 0 , получим
                          W ′′′ + W ′2 − WW ′′ = 0, 0 ≥ ξ ≥ ξ 0                              (4.11)
                          ξ = 0,W = 1,W ′ = 0                                                (4.12)
где ξ 0 - толщина пограничного слоя.
       Для приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения (4.11)
воспользуемся малостью толщины пограничного слоя ξ 0 и будем считать, что граничные
условия     (4.12)        приближенно            выполняются         во       всем       диапазоне    изменения
аргумента 0 ≥ ξ ≥ ξ 0 . Подставив (4.12) в (4.11), получим краевую задачу
                                  W ′′′ − W ′′ = 0,                                          (4.13)
                                  ξ = 0, W = 1,W ′ = 0.                                      (4.14)
Интегралом дифференциального уравнения (4.13) является функция
                                  W = C1eξ − C 2ξ + C3 ,                                     (4.15)

и, удовлетворяя граничным условиям (4.14), получим внутреннее решение задачи
                                  W i = C1eξ − C1ξ − C1 + 1,                                 (4.16)
где константа С1 определяется из условия сращивания внешнего и внутреннего
разложений.
       Для асимптотического сращивания внешнего и внутреннего разложений по
методу Ван-Дайка перейдем во внешнем разложении (4.10) к растягивающей
                     z
координате ξ = , тогда получим
                     ε
                                           W0 = e 2εξ .                                      (4.17)

Разложим в окрестности ξ = 0 правую часть уравнения (4.17) в ряд Тейлора по степеням
малого параметра ε и при фиксированной координате ξ ,
                                                              20



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика