Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Асимптотические методы решения уравнений с пограничным слоем: Учебное пособие к спецкурсу

Голосов: 0

В учебном пособии рассмотрен метод сращивания асимптотических разложений, который может быть использован для решения уравнений пограничного слоя и приведены примеры аналитического решения ряда задач течений жидкости и газа в каналах и прямоугольных канавках.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
   САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


   Кафедра «математического моделирования в механике»




                      Н.И.Клюев




АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
             С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ




              Учебное пособие к спецкурсу




                      Самара 2003



                           1


                              СОДЕРЖАНИЕ

Введение                                                                    3
Глава 1.Метод сращиваемых асимптотических разложений.                       4

Глава 2. Течение газа в плоском канале с отсосом массы                      8

Глава 3. Течение жидкости в прямоугольной канавке с переменным
           расходом массы при взаимодействии с внешним потоком газа         12
       3.1. Интеграл нулевого приближения в виде линейной функции           13
       3.2. Интеграл нулевого приближения в виде тригонометрической функции 15
       3.3. Интеграл нулевого приближения в виде гиперболи ческой функции   17
Глава 4. Течение газа в цилиндрическом канале с отсосом массы при больших
         поперечных числах Рейнольдса                                       19
Глава 5. Метод интегральных многообразий                                    22
       5.1. Течение газа со вдувом массы в плоском канале                   22
       5.2. Течение жидкости в прямоугольной канавке с отсосом массы
           при взаимодействии с внешним потоком газа
  Библиографический список                                                  32




                                          2


                                  ВВЕДЕНИЕ

    Известно, что характер движения жидкости и газа зависит от величины
безразмерного параметра — числа Рейнольдса. Существует критическое значение
числа Рейнольдса Re =2300, которое разделяет ламинарный и турбулентный
режимы течения. Для Re <2300 течение является ламинарным, а для Re >2300
течение имеет турбулентный характер, Re =2300 характеризует переходный режим
течения жидкости [1].
                                                Vd
    Число Рейнольдса выражается формулой Re =        и характеризует отношение
                                                 ν
сил инерции к силам вязкости в потоке жидкости или газа ( V -характерная скорость
течения, d - характерный размер тела, ν -коэффициент кинематической вязкости). В
области ламинарных течений можно выделить течения, где       преобладают    силы
вязкости, в этом случае можно считать, что Re << 1 , и течения, где преобладают
силы инерции, тогда Re >> 1 .
    Такая классификация не только отражает физические особенности течения, но и
накладывает отпечаток на внешний вид дифференциальных уравнений, описывающих
движение жидкости и газа. Будем рассматривать так называемые автомодельные
течения в каналах различной формы, когда уравнения движения Навье-Стокса и
уравнение неразрывности сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям в
полных производных.
    Решения таких уравнений называют еще подобными, имея в виду, что профили
продольных скоростей в различных поперечных сечениях канала отличаются лишь
коэффициентом пропорциональности, т.е. являются подобными.
     Для автомодельных течений с большим числом Рейнольдса ( Re >> l) введем
малый положительный параметр ε =1/ Re . Тогда уравнение движения будет иметь
малый параметр при старшей производной [1]. Такое уравнение называется
сингулярно-возмущенным. Решение сингулярно-возмущенных дифференциальных
уравнений принципиально отличается от решения обыкновенных дифференциальных
уравнений с малым параметром.


                                        3


    Сингулярно-возмущенные уравнения имеют медленные и быстрые переменные,
роль которых обычно выполняют искомая функция и её первая производная. Методы
возмущений с представлением решения в виде бесконечного степенного ряда по
малому параметру не приводят к цели. Так как дифференциальное уравнение для
нулевого приближения имеет порядок на единицу меньший, чем исходное
дифференциальное уравнение, что не позволяет удовлетворить всем граничным
условиям краевой задачи.

    Решение        сингулярно-возмущенного                   уравнения   имеет     область    быстрого
 изменения функции, которая располагается, как правило, в окрестности одной (либо
 двух) граничных точек задачи. Такая область быстрого изменения функции
 называется       областью               математического       пограничного      слоя.     Расположение
 математического пограничного слоя совпадает с гидродинамическим пограничным
 слоем.
     Толщина пограничного слоя зависит от величины малого параметра, и при
 уменьшении малого параметра уменьшается и толщина пограничного слоя. Область
 интегрирования разбивается на внешнюю (вне пограничного слоя) и внутреннюю
 (внутри пограничного слоя).
     Решение сингулярно-возмущенного уравнения ищется в виде решения пригодного
для внешней области, которое затем уточняется в окрестности граничной точки, где
располагается пограничный слой. Существуют различные методы решения таких
уравнений. Рассмотрим на учебном примере один из методов - метод сращиваемых
асимптотических разложений [2].


ГЛАВА 1. МЕТОД СРАЩИВАЕМЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

    Имеем краевую задачу, записанную в безразмерном виде
              εy ′′ + (1 + ε 2 )y ′ + (1 − ε 2 )y = 0,                             (1.1)
              y (0 ) = α , y (1) = β ,                                             (1.2)
где ε - малый, положительный параметр, y = y (x, ε )



                                                         4


    Дифференциальное уравнение (1.1) является сингулярно-возмущенным, так как
малый параметр стоит при старшей производной, и его решение предполагает наличие
математического пограничного слоя в окрестности одной (или двух) граничных точек.
    Если заранее неизвестно, где располагается пограничный слой, то поступают
следующим образом: назначают место расположения слоя произвольно и, если
сращивание асимптотических разложений удается осуществлять, то место выбрано
правильно. В противном случае процедуру решения повторяют для другой точки.
      Предположим, что пограничный слой располагается в окрестности граничной
точки x = 0. Общее решение дифференциального уравнения (1.1) ищется как
составное: внешнее решение y 0 , которое удовлетворяет дифференциальному
уравнению вне пограничного слоя, и внутреннее решение y i , пригодное                  внутри
пограничного слоя.
      Внешнее решение представим в виде бесконечного степенного ряда по малому
параметру
                                ∞
                         y 0 = ∑ yn ⋅ ε n                                    (1.3)
                               n =0


Подставим (1.3) в (1.1) и, ограничиваясь нулевым и первым приближением, запишем :
нулевое                   ′
                         y0 + y0 = 0,        y0 (1) = β                      (1.4)
и первое приближения     y1′ + y1 = − y0′,
                          ′            ′       y1 (1) = 0.                   (1. 5)
      Решение для нулевого приближения имеет вид y0 = βe1− x . Решение для
дифференциального      уравнения             (1.5)    ищется   как   сумма   общего   решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения. С учетом граничных условий внешнее разложение примет вид


                         y 0 = βe1− x + εβ (1 − x )e1− x .                   (1.6)

    Найдем внутреннее разложение в области пограничного слоя. Для этого введем
в рассмотрение растягивающую координату в окрестности точки x = 0 , т.е. ξ = x ε .
Запишем уравнение (1.1) для новой координаты, при этом учтем следующие соотношения:



                                                     5


                              d 1 d                             d2    1 d2
                                =     ,                             = 2     ,       (1.7)
                              dx ε dξ                           dx 2 ε dξ 2

            ε d 2 y 1 + ε 2 dy
получим             +          + (1 − ε 2 )y = 0 .
            ε dξ
             2    2
                       ε dξ

                                            dy        d2y
Переобозначим для краткости                    = y′ ,      = y′′ , тогда дифференциальное
                                            dξ        dξ 2

уравнение примет вид
                    y ′′ + (1 + ε 2 )y ′ + ε (1 − ε 2 )y = 0,      y (0 ) = α       (1.8)
      Общее решение уравнения (1.8) вновь ищем в виде ряда y = y0 + εy1 + L . После
подстановки ряда в уравнение (1.8) и группировки слагаемых при одинаковых
степенях малого параметра получим:

      нулевое                            y0′ + y0 = 0,
                                          ′     ′               y0 (0) = α

      и первое приближения               y1′ + y1 = − y0 ,
                                          ′     ′                 y1 (0) = 0.

      Запишем решение для уравнения (1.9) y0 = α − B0 + B0 e −ξ ,
                                           ′                                        где B0 – константа
интегрирования. С учетом нулевого приближения уравнение (1.10) перепишется

                    y1′ + y1 = −α + B0 − B0 e −ξ ,
                     ′     ′                                 y1 (0) = 0,            (1.9)
тогда его решение примет вид
                    y1 = − B1 + B1e −ξ − (α − B0 )ξ + B0ξe −ξ ,                     (1.10)
где B1 =const. И окончательно получим внутреннее решение для области
пограничного слоя
                                        [
            y i = α − B0 + B0 e −ξ + ε − B1 + B1e −ξ − (α − B0 )ξ + B0ξe −ξ ,   ]   (1.11)
где константы интегрирования B0 и B1 определяются из условия сращивания
внутреннего и внешнего решений.
      Выполним сращивание внутреннего и внешнего решений по методу Ван-Дайка
[2]. Для чего перейдем в уравнении (1.6) к растягивающей координате ξ = x ε

                    y 0 = βe1−εξ + εβ (1 − εξ )e1−εξ .                              (1.12)
Используем разложение слагаемых уравнения (1.12) в ряд по малому
параметру ε при фиксированной координате ξ


                                                             6


                                                           ε 2ξ 2
                                  e −εξ = 1 − εξ +                  −L
                                                             2!
      И, сохраняя в (1.12) величины до первого порядка малости, запишем так
называемое внешнее-внутреннее разложение на границе слоя
                                  (y ) = βe + εβe(1 − ξ ).
                                        0 i




Возвращаясь к старой переменной x , получим внешнее-внутреннее разложение
                                (y ) = βe − βex + εβe.
                                  0 i
                                                                                                 (1.13)

    Найдем внутреннее-внешнее разложение, для чего перейдем в уравнении
(1 .11) к переменной x
                                    ⎡                            x x           ⎤
      y i = α − B0 + B0 e − x ε + ε ⎢− B1 + B1e − x ε − (α − B0 ) + B0 e − x ε ⎥.                (1.14)
                                    ⎣                            ε ε           ⎦

    Выполним разложение слагаемых в (1.14) при малых ε и фиксированных значениях
x . Для чего вычислим следующие пределы:

                                               e −1 ε                          x         1
              lim e −1 ε = 0,           lim             = lim x ⋅ e − x = lim     = lim x = 0,
              ε →0                      ε →0     ε        x →∞           x →∞ e x   x →∞ e



и уравнение (1.14) перепишется в виде внутреннего-внешнего разложения
                          (y )
                            i 0
                                  = α − B0 − (α − B0 )x − εB1 .                                  (1.15)

    Для сращивания внешнего-внутреннего и внутреннего-внешнего разложений
приравняем выражения (1.13) и (1.15)

                     βe − βex + εβe = α − B0 − (α − B0 )x − εB1 .                                (1.16)
      Затем, приравнивая в (1.16) коэффициенты при одинаковых степенях малого
параметра, найдем B0 = α − βe , B1 = − βe . Выражение для внешнего разложения (1.12) и
внутреннего разложения (1.14) представляют собой два отдельных решения, а именно:
разложение y 0 пригодно везде, за исключением окрестности точки x = 0 ; и раз-
ложение y i пригодно только в окрестности этой точки. Области пригодности
разложений y 0 и y i перекрываются.
      Для получения общего решения задачи, которое могло бы быть использовано на
всем промежутке интегрирования, необходимо переключаться с одного разложения
                                                                     7


на другое в точке x0 . Однако значение x0 точно не известно. Для того чтобы
преодолеть указанное затруднение, из полученных разложений строят, так
называемое, составное решение
                           ( )
            y = y 0 + y i − y 0 = βe1− x + (α − βe )e −ξ +
                                i

                                                                          (1.17)
               [                                       ]
            + ε β (1 − x )e1− x − βe1−ξ + (α − βe )ξe −ξ + L,


которое и является приближенным решением для данной краевой задачи.
    В дальнейшем будем рассматривать сингулярно-возмущенные уравнения движения
на примере уравнений движения для пара и жидкости в тепловой трубе [3-5].


        ГЛАВА. 2. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ОТСОСОМ
                                                           МАССЫ
      Рассмотрим течение газа в плоском канале с равномерным отсосом массы
(конденсатор тепловой трубы). Пусть ширина канала значительно превосходит его
высоту. В этом случае краевыми эффектами можно пренебречь и принять течение за
плоское . Воспользуемся моделью ламинарного течения вязкой, несжимаемой
жидкости при больших поперечных числах Рейнольдса. Для выполнения этих условий
считаем, что числа Рейнольдса            Re 0 < 2300 , Re >>l ,а число Маха М < 0,3 .

     При равномерном по длине канала отсосе массы задача сводится к
автомодельной, и в безразмерном виде краевая задача для продольной и поперечной
скоростей запишется в виде [7 ]
                 ⎛L        ⎞                       ⎫
            V = ⎜ − y ⎟W ′                   (2.1) ⎪
                 ⎝b        ⎠                       ⎪
                                                   ⎪
            ε W ′′′ + W ′ − W ⋅ W ′′ = k ,
                         2
                                              (2.2)⎬       W = W ( z ),
            z = 0,W = 0,W ′′ = 0,            (2.3) ⎪
                                                   ⎪
            z = 1,W = 1, W ′ = 0,            (2.4) ⎪
                                                   ⎭

где обозначения соответствуют ранее принятым [5] , L -длина канала, 2b - высота
канала, z = z b, y = y b - безразмерные поперечная и продольная координаты,
W = W Wи ,V = V Wи - безразмерные поперечная и продольная скорости в канале, k =

const, ε = 1/ Re , Wи - скорость вдува массы, Re 0 и Re - соответственно продольное и
поперечное числа Рейнольдса [5].
                                                       8


      Будем искать внешнее решение для поперечной скорости в виде нулевого
приближения
                             W0′2 − W0′ ⋅ W0′′ = k ,                  (2.5)
                             z = 0,W0 = 0,W0′′ = 0,                   (2.6)
                             z = 1,W0 = 1,W0′ = 0.                    (2.7)

Одним из решений нелинейного дифференциального уравнения (2.5) является
функция W0 = A ⋅ shz , в чем можно убедиться непосредственной подстановкой, при
k = A 2 . При этом граничные условия (2.6) тождественно выполняются . Из граничных

условий (2.7) может быть выполнено лишь первое условие, откуда
                                             2e
                                       A=
                                            e −12



      Граничное условие z = 1,W0′ = 0 не выполняется. Следовательно, можно сделать
вывод о наличии пограничного слоя в окрестности точки z = 1 . Разобьем область
интегрирования на две части: внешнюю 0 ≤ z ≤ z0 и внутреннюю z0 ≤ z ≤ 1 , где z0
характеризует границу слоя. Таким образом, внешнее решение для нулевого
приближения будет иметь вид

                             W0 =
                                       e
                                     e −1
                                      2
                                            (              )
                                          e z − e − z ,0 ≤ z ≤ z0 .               (2.8)

      Для нахождения внутреннего решения введем растягивающую координату в
                                                    1− z
окрестности точки z = 1 , а именно ξ =                     . Для новой переменной уравнение
                                                     ε
движения (2.2) перепишется
            − W ′′′ + W ′ 2 − W ⋅ W ′′ = ε 2 k , где W = W (ξ ).                  (2.9)
Пренебрегая величиной второго порядка малости в уравнении (2.9), получим
краевую задачу в области пограничного слоя
                             W ′′′ − W ′2 + W ⋅ W ′′ = 0,                         (2.10)
                             ξ = 0,W = 1,W ′ = 0,                                 (2.11)
Найти аналитическое решение уравнения (2.10) не удается. Поэтому воспользуемся
тем обстоятельством, что толщина пограничного слоя является величиной порядка
малого параметра ε . Будем считать, что граничные условия (2.10) приближенно


                                                               9


выполняются во всем диапазоне 0 ≥ ξ ≥ ξ 0 . При этом вносимая погрешность будет
тем меньше, чем тоньше пограничный слой. Подставим (2.11) в (2.10), тогда краевая
задача перепишется в виде
                                     W ′′′ + W ′′ = 0,                                 (2.12)
                                     ξ = 0,W = 1,W ′ = 0                               (2.13)
Интегралом уравнения (2.12) является функция
                                     W = C1e −ξ + C 2ξ + C3 ,

где С2 , С3 - константы интегрирования, определяемые из граничных условий (2.13)
через константу С1 .
      С учетом найденных констант интегрирования запишем решение для
внутренней области пограничного слоя
                          W i = C1e −ξ + C1ξ -C 1 +1,         ξ ≤0 ξ ≤ 0.              (2.14)
      Оставшуюся константу С1 определим из условия сращивания внешнего и
внутреннего решений по методу Ван-Дайка. Выполним процесс сращивания. Для
этой цели необходимо построить пределы (W 0 ) и (W i ) на границе слоя. Для этой цели
                                                              i        0



перейдем во внешнем решении (2.8) к растягивающей координате
                                      e
                          W0 =
                                    e −1
                                     2   ( e1−εξ − eεξ −1 )                            (2.15)

      Воспользуемся разложением по малому параметру в ряд Маклорена при
фиксированной координате ξ следующих функций:
                                     ε 2ξ 2                           ε 2ξ 2
                  e −εξ = 1 − εξ +            − K,   eεξ = 1 + εξ +            +K
                                         2!                             2!
и, ограничиваясь величинами нулевого и первого порядка малости, подставим
полученные разложения в (2.15). Возвращаясь к первоначальной координате,
найдем внешнее-внутреннее разложение в окрестности точки                             z = z0

                                              +1
                          (W ) = e
                                          2
                              0 i                    2
                                                 z− 2 .                                (2.16)
                                 e        2
                                              −1   e −1

    Для   нахождения       внутреннего-внешнего разложения                          перейдем    в (2.14) к
координате z и оценим слагаемые решения

                                                         10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика