Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математика: Модуль 3 для 11 класса: Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

Голосов: 29

Пособие к модулю 3 для 11 класса дополнительной образовательной программы по математике для учащихся Заочной естественно-научной школе (ЗЕНШ) при Красноярском государственном университете. Программа модуля включает рассмотрение следующих тем: 1. Координаты точки на плоскости и в пространстве. 2. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве. 3. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. 4. Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности и колинеарности векторов. 5. Нахождение угла между векторами. Координаты вектора. 6. Уравнения прямой и плоскости. 7. Построение геометрических образов уравнений и неравенств.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Агентство образования администрации Красноярского края   Математика: Модуль №3 для 11 класса. Учебно-методическая часть./ Сост.:
      Красноярский государственный университет           Е.К.Лейнартас, д-р физ.-мат. наук, доцент кафедры теории функций, КрасГУ.
    Заочная естественно-научная школа при КрасГУ         – Красноярск, 2006 — 25 c.


                                                         ISBN 5-7638-0705-7




                  МАТЕМАТИКА
      Векторы на плоскости и в пространстве.             Печатается по решению Дирекции
                                                         Краевого государственного учреждения дополнительного образования
               Уравнение плоскости
                                                         Заочная естественно-научная школа
                                                         при Красноярском государственном университете
               Модуль № 3 для 11 класса
              Учебно-методическая часть




                                                                                                                  © Красноярский
                                                                                                                 государственный
                   Красноярск 2006
                                                         ISBN 5-7638-0705-7                                     университет, 2006

                                                                                             2


                              Программа модуля                                   означать направленный отрезок с началом B и концом A. Направленные
 1.      Координаты точки на плоскости и в пространстве.                         отрезки AB и BA имеют взаимно противоположные направления.
 2.      Расстояние между точками на плоскости и в пространстве.                      Возьмем произвольную прямую. На ней можно установить два взаимно
 3.      Понятие вектора. Линейные операции над векторами.                       противоположных направления. Выберем любое из них и назовем его
 4.      Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности и           положительным (а противоположное направление —             отрицательным).
         колинеарности векторов.                                                 Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.
 5.      Нахождение угла между векторами. Координаты вектора.                         Метод координат начинается с того, что на оси выбирается точка O
 6.      Уравнения прямой и плоскости.                                           (начало координат) и единица масштаба (единичный отрезок). При этом
 7.      Построение геометрических образов уравнений и неравенств.               сама прямая называется координатной осью (или говорят, что на прямой
                                                                                 введена система координат).
      Введение                                                                        Введение на прямой системы координат позволяет определить
                                                                                 положение точек этой прямой с помощью действительных чисел.
      Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных                  Координатой любой точки M прямой называется число x, равное по
науках, могут быть разделены на две категории. К одной из них относятся          абсолютной величине расстоянию от начала координат до точки M,
такие физические или механические величины, которые определяются
                                                                                 положительное, если направление отрезка OM совпадает с направлением
только    числовым    значением    (числом),   например:   масса,   плотность,
                                                                                 координатной оси, и отрицательное, если направление отрезка OM
температура, объем. К другой категории можно отнести те величины, для
                                                                                 противоположно направлению этой оси.
определения которых требуется знание не только числового значения, но и
направления, например: сила, скорость, ускорение. Величины первой
                                                                                      1. Векторы на плоскости и в пространстве.
категории называются скалярными, второй — векторными. Скалярная
                                                                                      Основные определения и свойства
величина может быть задана числом, которое выражает отношение этой
величины к соответствующей единице измерения. Для изображения
                                                                                      Определение 1.1 Вектором называется направленный отрезок.
векторных величин (физических, механических и т. д.) употребляются
                                                                                      Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве
векторы. Векторами называются направленные отрезки.
                                                                                 (трехмерные).   И   в   том   и   в   другом   случае   вектор   определяется
      Это одно из основных понятий раздела математики, который
                                                                                 упорядоченной парой точек, первая из которых начало вектора (или его
называется аналитической геометрией. Отрезок прямой, ограниченный
                                                                                 точка приложения), другая — конец вектора; вектор направлен от начала к
точками A и B, называется направленным, если указано, какая из этих двух
                                                                                 концу. На рисунке вектор изображается стрелкой (рис. 1). Для обозначения
точек является его началом и какая — концом. Если обозначим             AB —
                                                                                 векторов используются символы a, b, x и т. п.; если A и B, соответственно,
направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B, то BA будет
                                                                                 точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается AB или BA .


                                       3                                                                                4


      Определение 1.2 Длина отрезка AB называется длиной вектора AB .
Длина вектора a обозначается |a|.
     Определение 1.3 Если начало вектора совпадает с его концом, вектор
                                       r
называется нулевым (обозначается 0 или 0 ). Длина нулевого вектора равна
нулю. Направленными отрезками изображаются только ненулевые векторы.
                                                                                                              Рис. 4
                                                                                 Сложение векторов и умножение вектора на число называются
                                                                            линейными операциями над векторами.
                                    Рис.1
                                                                                 Напомним определения и основные свойства этих операций.
      Определение 1.4 Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Нулевой
                                                                                 Определение 1.7 Пусть даны два ненулевых вектора a и b (рис. 5). От
вектор считается коллинеарным любому вектору.
                                                                            конца вектора a отложим вектор, равный вектору b. Суммой векторов a и
      Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными или
                                                                            b называется вектор AC , идущий из начала вектора AB = a в конец
противоположно направленными.
                                                                            вектора BC =b.

      Определение 1.5 Два вектора называются равными, если они                   Обозначение: AC =a+b. Это правило сложения векторов называется
коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.                 правилом треугольника.
      На рис. 2 изображены равные векторы a и b, а на рис. 3 —–неравные
векторы a и b, c и d.


                                                                                                              Рис. 5
                              Рис. 2             Рис. 3
                                                                                 Из свойств     параллелограмма следует правило       параллелограмма
      Определение 1.6 Ненулевые векторы называются компланарными,
                                                                            сложения векторов: сумма двух неколлинеарных
если они параллельны одной и той же плоскости.
      Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть
компланарными. На рис. 4 изображена треугольная призма ABCA1B1C1.

      Векторы AC , AB и C1 B1 компланарны, а векторы AC , AB и AA1                                            Рис. 6

компланарными не являются.                                                  векторов   есть   вектор,   изображаемый   диагональю    параллелограмма,
                                                                            построенного на этих векторах, идущей от их общего начала (рис.6).



                                       5                                                                         6


      Если три вектора a, b и c некомпланарны, их сумма может быть                Пример 1.1. Известно, что векторы a, b, c попарно не коллинеарны, но
найдена по правилу параллелепипеда: вектор a+b+c изображается диагональю     вектор a+b коллинеарен c, а вектор b+c коллинеарен вектору a+b. Найдите
параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, имеющих общее начало     сумму a+b+c.
(рис.7).                                                                          Решение. По условию найдутся λ ≠ 0 и μ ≠ 0 , такие что a+b= λ c и
                                                                             b+c= μ a. Вычтем из первого равенства второе, получим a − c = λ c – μ a,
                                                                             отсюда a + μ a = c + λ c. По свойству 5 найдем (1+ μ )a=(1+ λ )c. Если
                                                                             1 + μ ≠ 0 или 1 + λ ≠ 0 , то векторы a и c коллинеарны, это противоречит
                                                                             условию задачи, поэтому μ =1 и λ = –1, что означает a+b = –c или
                                   Рис. 7                                    a+b+c = 0.
      Определение 1.8 Разностью a−b двух векторов a и b называется                Произведение нулевого вектора на любое число и произведение любого
сумма вектора a и вектора, противоположного вектору b.                       вектора на нуль по определению считается равным нулевому вектору.
      Заметим, что если на векторах a и b, отложенных от общего начала O,
можно построить параллелограмм (рис.8), то длина диагонали, имеющей то            Линейные операции над векторами
же начало O, равна длине вектора a+b, а длина другой диагонали равна длине
вектора a−b.                                                                      Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
                                                                                  1. a+b=b+a.
                                                                                  2. (a+b)+c=a+(b+c).
                                                                                  3. a+0=a.
                                                                                  4. x(y a)=(xy)a.
                                                                                  5. xa+ya=(x+y)a.
                                   Рис. 8
                                                                                  6. xa+xb=x (a+b).
      Определение 1.9 Произведением ненулевого вектора a на число x ≠ 0
                                                                                  7. 0 . a=x . 0=0.
                                                .
называется вектор, длина которого равна |x| |a| и который сонаправлен
                                                                                  Здесь a, b, c — произвольные векторы; 0 — нулевой вектор; x, y —
вектору a при x > 0, и который направлен в противоположную сторону при
                                                                             произвольные числа.
x<0. Произведение вектора a на число x обозначается x . a = xa.

                                                                                  Теорема 1.1. Вектор b коллинеарен ненулевому вектору a тогда и
                                                                             только тогда, когда существует такое число x, что b=xa.


                                   Рис. 9                                         Следствие 1.1. Для неколлинеарных векторов        a и b равенство
                                                                             xa+yb=0 выполняется тогда и только тогда, когда x=y=0.
                                      7                                                                         8


                                                                                         Теорема 1.2. Если векторы a и b неколлинеарны, то вектор c
        Пример 1.2. Векторы      a и b        неколлинеарны. Найти, при каком x     компланарен с векторами a и b тогда и только тогда, когда имеет место
векторы c=(x–2)a+b и d=(2x+1)a–b будут коллинеарны.                                 разложение c=xa+yb.
        Решение. Вектор c ненулевой, так как коэффициент при b отличен от                Нулевой вектор по определению считается компланарным с любыми
нуля, следовательно, существует такое число y, что d=yc, т. е.                      двумя векторами.
        (2x+1)a–b=y(x–2)a+yb.                                                            Пример 1.3. На стороне BC треугольника OBC расположена точка N
        Так как слагаемые в векторном равенстве можно переносить из одной           так, что BN : BC = n (рис. 11). Разложить вектор ON по векторам OB и OC .
части     в   другую,    изменяя     знаки       перед    этими   слагаемыми   на
                                                                                         Решение.      Векторы   BN и    BC       коллинеарны   и   сонаправлены,
противоположные, то будем иметь
                                                                                    следовательно, BN =x BC и x>0. Поскольку BN=nBC, то x=n и BN =n BC .
                            (yx–2y–2x–1)a+(y+1)b=0.
                                                                                    Так как BC = OC – OB и ON = OB + BN , то
        Векторы a и b неколлинеарны, поэтому
                                yx − 2 y − 2 x − 1 = 0,                                                ON = OB + n( OC – OB ) =n OC +(1–n) OB .
                                             y + 1 = 0.                                  Заметим, что при n=1/2 точка N является серединой стороны BC, а ON
        Решая эту систему, находим y = –1 и x = 1/3. При x = 1/3 векторы c и d      — медианой треугольника. В этом случае
таковы:                                                                                                               1
                                                                                                                  ON = (OC + OB) .
                                                                                                                      2
                                5                 5
                           c = − a + b,        d = a − b. .
                                3                 3
        Как легко видеть, они противоположные: d = – c.
        Пусть векторы a и b неколлинеарны, отложим их от одной точки:

OA = a и OB = b (рис. 10). Любой ненулевой вектор c, компланарный с
векторами a и b, по определению параллелен плоскости OAB.
                                                                                                                        Рис. 11
        Если построить вектор OC =c, то точка C лежит в плоскости OAB,                   Теорема 1.3. Если векторы a, b и c некомпланарны, то любой вектор d
поэтому говорят, что любые три компланарных вектора можно перенести в               можно единственным образом представить в виде d=xa+yb+zc.
одну плоскость.                                                                          Это представление называется разложением вектора d по трем
                                                                                    некомпланарным векторам a, b и c, и вектор d называется линейной
                                                                                    комбинацией векторов a, b и c.
                                                                                         Пример 1.4. Дана треугольная призма ABCA1B1C1 (рис. 12). Разложить

                                                                                    вектор AA1 по векторам BA1 и CB1 .
                                      Рис. 10                                            Решение. По правилу треугольника имеем


                                          9                                                                               10


           AA1 = AB + BA1 ,   BB1 = BC + CB1 ,            CC1 = CA + AC1 .               Свойства скалярного произведения

        Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем                 1. a a=|a|2.
                                                                                         2. a b=b a.
           AA1 + BB1 + CC1 = ( AB + BC + CA ) + BA1 + CB1 + AC1 .
                                                                                         3. (xa) b=x(a b).
                                                                                         4. (a+c) b=a b+ c b.


                                                                                         Пример 1.5. Найти длину диагонали AC ромба ABCD (рис. 14), у
                                                                                    которого длины сторон равны 1 и угол BAD равен 30о.


                                     Рис. 12

        Так как   AB + BC + CA = AA =0             и       AA1 = BB1 = CC1 ,   то
                                                                                                                         Рис. 14
3 AA1 = BA1 + CB1 + AC1 и, следовательно,
                                                                                         Решение. По правилу параллелограмма AC = AB + AD . Из свойств
                                  1
                          AA1 =     ( BA1 + CB1 + AC1 ).                            скалярного произведения следует
                                  3
                                                                                                           2                       2           2
                                                                                                        AC = ( AB + AD) 2 = AB + 2 AB ⋅ AD + AD .
        Определение 1.10. Углом между ненулевыми векторами называется
                                                                                         Так как AB=AD=1 и ( AB, AD )=30о, то AB ⋅ AD = 3 2 . Учитывая это,
угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. Угол
                                                                                                   2
между векторами, как и угол между лучами, может принимать значения от               получаем AC = 2 + 3 , откуда находим AC = 2 + 3 .
0о до 180о.                                                                              Из определения скалярного произведения сразу следует, что в случае
                                                                                    ненулевых векторов a и b косинус угла между векторами a и b находится
                                                                                    по формуле
                                     Рис. 13
                                                                                                                                   a⋅b
        Определение 1.11. Векторы a и b называются перпендикулярными,                                                cos(a, b) =
                                                                                                                                   a⋅b
если угол между ними равен 90о.
                                                                                         В частности, векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда,
        Определение 1.12. Скалярным произведением ненулевых векторов a и
                                                                                    когда их скалярное произведение равно нулю.
b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус
угла между ними. Скалярное произведение векторов a и b обозначается a
                                                                                         Пример 1.6. Длины ненулевых векторов a и b равны. Найти угол
b=ab.
                                                                                    между этими векторами, если известно, что векторы p=a+2b и q=5a–4b
        Таким образом,
                                                                                    перпендикулярны.
                              a ⋅ b = a ⋅ b cos(a, b) .

                                         11                                                                                 12


     Решение. Так как векторы p и q перпендикулярны, то их скалярное                         7. Как умножить вектор на число?
произведение равно нулю:                                                                     8. Какие векторы называются коллинеарными?
     p q = (a+2b) (5a–4b)=0.                                                                 9. Какие векторы называются компланарными?
     Используя свойства скалярного произведения, получаем                                    10. Как определяется угол между векторами?
                             2             2
     (a–2b) (5a–4b)=5|a| +6 b –8|b| .                                                        11. Дайте определение скалярного произведения векторов.
        2               2
     6|a| cos(a,b)–3|a| =0.                                                                  12. Чему равен угол между противоположными векторами?
                                                    2
     Поскольку |a| ≠ 0, то, сокращая на 3|a| , находим cos(a,b)=1/2.                         13. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого
                                                                    о
     Следовательно, угол между векторами a и b равен 60 .                              из слагаемых?
                                                                                             14. Может ли длина разности двух векторов быть равной сумме длин
     Пример 1.7.       Зная, что |a|=2, |b|=5, (a,b)= 2π/3, найти, при каком           этих векторов?
значении x векторы p =xa + 17b и q = 3a–b перпендикулярны.
     Решение. Найдем скалярное произведение векторов a и b:                                  2. Координаты вектора
                                                         2π                                  2.1 Векторы на плоскости
                       (a,b)=|a| |b|cos(a,b)=10 cos         = –5.
                                                          3
     Перпендикулярность векторов                p и     q означает, что их скалярное         Пусть     на   плоскости       задана    прямоугольная   декартова   система
произведение равно нулю, найдем его:                                                   координат и вектор a имеет начало в точке A(x1;y1), а конец — в точке
            (p,q) = (xa+17b, 3a–b) = (xa,3a) + (xa,–b) + (17b,3a) + (17b,–b)=          B(x2;y2).
                            =3x(a,a) – x(a,b) + 51(b,a) – 17(b,b) =                          Определение 2.1 Координатами вектора a называются два числа
                                       2                     2
                                 = 3x|a| + 5x – 255 – 17|b| =                                a1 = x2 – x1 и a2 = y2 – y1,
                             = 12x + 5x – 255 – 425 = 17x – 680.                             т.е. упорядоченная пара чисел, равных разностям соответствующих
     Из уравнения 17x – 680 = 0 получим x = 40.                                        координат конца и начала вектора.


     Контрольные вопросы.


     1. Что такое вектор? Как обозначаются векторы?
     2. Что такое длина вектора?                                                                                               Рис. 15
     3. Что такое нулевой вектор?                                                            Координаты вектора пишутся рядом с его значением в круглых скобках
     4. Какие векторы называются равными?                                              a(a1; a2) или a = (a1; a2).
     5. Как можно найти сумму векторов?                                                      Координаты нулевого вектора равны нулю.
     6. Как найти разность векторов?

                                               13                                                                                14


       Векторное равенство a = b равносильно системе равенств: a1 = b1 и                    5. Векторы a(a1; a2) и b(b1; b2) перпендикулярны, если их скалярное
a2 = b2.                                                                             произведение равно нулю:
       Пример 2.1. Дана точка A(–1;1) и вектор a = (3;2). Найти координаты                                              a1 b1+ a2 b2=0.

точки B такой, что AB = a.                                                                  6. Векторы a(a1; a2)    и b(b1; b2)     коллинеарны, если их координаты
                                                                                     пропорциональны:
       Решение. Пусть (x;y) — координаты точки B, тогда AB = (x+1;y–1).
                                                                                                                            a1 a2
Если a = AB , то x+1=3 и y–1=2. Отсюда x=2 и y=3.                                                                             =   = 0.
                                                                                                                            b1 b2

       Определение     2.2.   Единичные        векторы,     имеющие    направление
                                                                                            Пример 2.2. Дан треугольник с вершинами в точках A(1;1), B(–4;3) и
положительных координатных полуосей, называются координатными
                                                                                     C(2;2).
векторами или ортами.
                                                                                            Найти длину медианы AN.
       Координатные векторы осей OX и OY принято обозначать i и j (или e1
                                                                                            Решение. Пусть O — начало координат, тогда OB =(–4; 3) и OC =(2;2).
и e2). Итак, i(1;0), j(0;1). Если вектор задан своими координатами a(a1; a2),
то, очевидно,                                                                        Если N — середина стороны BC, то ON =( OB + OC )/2, т.е. координаты

                                   a = a1 i+ a2 j.                                   середины отрезка BC равны полусумме соответствующих координат точек B
                                                                                     и C. Находим

  Правила действий над векторами, заданными своими координатами                                                    ON =((–4+2)/2;(3+2)/2),
                                                                                     тогда N(–1;5/2) и
       1. При сложении векторов a(a1; a2)             и b(b1; b2)   их координаты                              AN = (−1 − 1) 2 + ( 5 − 1) 2 = 5 .
                                                                                                                                   2          2
складываются:
                                                                                                                                                      1   7
                              a+b = ( a1+ b1; a2+ b2).                                      Пример 2.3. Определить угол между векторами c=4a+b и d = − a + b ,
                                                                                                                                                      4   4
       2. При умножении вектора a(a1; a2)            на число все его координаты     если
умножаются на это число:                                                                                            a = – i + j и b = I + 3 j.
                                 ma = (ma1; ma2).                                           Решение. Находим координаты векторов c и d: c = – 3i + 7j и d = 2i + 5j.
       3. Скалярное произведение векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) равно сумме          Вычисляем длины векторов c и d и их скалярное произведение:
произведений соответствующих координат:                                                                       c = 58 ,      d = 29 , c ⋅ d = 29 .
                                 a b=a1 b1+ a2 b2.
                                                                                            Далее находим
       4. Длина вектора a(a1; a2) равна
                                                                                                                            c⋅d    29     1
                                                                                                             cos(c, d ) =       =       =    .
                                  a = a12 + a2 .
                                             2
                                                                                                                            c⋅d   58 29    2
                                                                                            Следовательно, угол равен 45o.

                                          15                                                                                   16


      2.2. Векторы в пространстве                                                     Определение       2.4.     Единичные        векторы,       имеющие   направление
                                                                                положительных координатных полуосей, называются координатными
      Если    через   некоторую     точку     O    проведены   три   взаимно    векторами или ортами.
перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета, то
говорят, что задана прямоугольная декартова система координат (рис. 16).              Координатные векторы оси абсцисс, ординат и аппликат обозначим,
Прямые называются осями координат, обозначаются OX, OY, OZ и                    соответственно, i, j, k (рис. 17).
называются: OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат. Их
общее начало называется началом координат. Плоскости, проходящие через
каждые две координатные оси, называются координатными плоскостями,
таких плоскостей три: OXY, OXZ, OYZ. Вся система координат обозначается
OXYZ.
      Пусть M1, M2, M3 — ортогональные проекции точки M, соответственно,
                                                                                                                          Рис. 17
на координатные оси OX, OY, OZ. Точка M1 как точка координатной прямой
                                                                                      Очевидно,
OX имеет координату x, аналогично, точки M2 и M3 на координатных прямых
                                                                                                               i(1; 0; 0), j(0;1;0), k(0;0;1).
OY и OZ имеют координаты y и z. Упорядоченная тройка чисел x, y, z
называется координатами точки M, координаты пишутся в круглых скобках
                                                                                      Определение 2.5. Если вектор задан своими координатами a(a1;a2;a3),
M(x; y; z).
                                                                                то имеет место равенство
                                                                                                                  a = (a1 i + a2 j + a3 k)
      Определение 2.3. Пусть вектор a имеет начало в точке A(x1;y1;z1) и
                                                                                которое называется разложением вектора a по координатным векторам.
конец в точке B(x2;y2;z2). Три числа a1=x2–x1, a2=y2–y1 и a3=z2–z1 называются
                                                                                      Пусть a=(a1;a2;a3) и b=(b1;b2;b3). Как и в плоском случае, действия над
координатами вектора a.
                                                                                векторами, заданными своими координатами, выполняются по следующим
      Обозначение: a(a1;a2;a3) или a=(a1;a2;a3).
                                                                                правилам:
                                                                                      1. a+b=(a1+b1; a2+b2; a3+b3).
                                                                                      2. ma=(ma1;ma2;ma3).
                                                                                      3. a b= a1b1 + a2b2 + a3b3.

                                                                                      4. a = a12 + a2 + a3 .
                                                                                                    2    2



                                    Рис. 16                                           5. Векторы a и b перпендикулярны, если a1b1 + a2b2 + a3b3=0.

      Равные векторы имеют равные соответствующие координаты; если у                                                                a1 a2 a3
                                                                                      6. Векторы a и b коллинеарны, если              =  = .
                                                                                                                                    b1 b2 b3
векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

                                      17                                                                                     18


      Пример 2.4. Найти координаты и длину вектора 2a–3b, если                                        ( AC , DB )           − 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 + 4 ⋅ (−1)                 1
                                                                                            cos ϕ =                 =                                             =−      .
a=(0;3;2) и b=(–2;3;2).                                                                               AC ⋅ DB               2     2
                                                                                                                        (−2) + 4 + 4     2      2   2
                                                                                                                                              1 + 0 + ( −1)   2         2
      Решение. Находим 2a=(0;6;4), 3b=(–6;9;6) и 2a–3b=(6;–3;–2). Теперь               Искомый угол φ =120о.
                            2a − 3b = 6 2 + 32 + 2 2 .                                 Пример 2.9. Найти косинусы углов, которые образует с координатными
      Пример 2.5. Найти m и n, при которых векторы a=(1;m;–2) и b=(–             векторами вектор a = (3; 0; –4).
2;3;n) коллинеарны.                                                                    Решение. Вычислим скалярные произведения вектора a с каждым из
      Решение. Вектор b коллинеарен вектору a ≠ 0 тогда и только, когда          координатных векторов. Так как i =(1; 0; 0), j =(0; 1; 0) и k =(0; 0; 1), то a i =3,
существует число p такое, что b=pa. Для данных векторов a и b, это               и a j = 0; a k = –4. Длины координатных векторов равны 1, вычисляем длину
векторное равенство равносильно системе –2=p, 3=pm/2, n= –2p, из которой         вектора a: |a|=5. Теперь находим
находим p = –2, m = –3/2, n = 4. Итак, a=(1; –3/2; –2); b=(–2; 3; 4).                                                                  a ⋅i
                                                                                                                         cos(a, i) =        ,
                                                                                                                                       a⋅i
      Пример 2.6. Найти, при каком значении m векторы a=(1; 3; –2) и b=(–1;
m; 4) перпендикулярны.                                                                                                                 a⋅j
                                                                                                                         cos(a, j) =
                                                                                                                                       a⋅ j
      Решение. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю. Так как a b = –9+3m, то a b=0 при m=3.                                                              a⋅k
                                                                                                                        cos(a, k ) =       .
                                                                                                                                       a⋅k
      Пример 2.7. Найти координаты единичного вектора, сонаправленного с
вектором a = (2; –3; 6).                                                                Контрольные вопросы.
      Решение. Векторы b и a сонаправлены, если b=ma и m > 0. По условию
                                                 1                    1                1.   Что       называется        координатами            вектора   на      плоскости?   В
|b|=1, тогда из равенства |b|=m|a| находим m =     . Далее |a|=7 и m = . Таким
                                                 a                    7          пространстве?

              2 3 6                                                                    2. Что называется координатными векторами (ортами)?
образом, b = ( ,− , ) .
              7 7 7                                                                    Даны координаты векторов a и b.
      Пример 2.8. Дан треугольник с вершинами в точках A (3; –2; 1), B (3; 0;          3. Как найти координаты их суммы?
2), C (1; 2; 5). Найти угол, образованный медианой BD и основанием AC.                 4. Как найти координаты произведения вектора на число?
      Решение. Координаты середины отрезка AC равны полусумме                          5. Как найти скалярное произведения векторов?
соответствующих координат точек A и C (см. пример 2.2). Находим                        6. Как найти длину вектора?
D (2; 0; 3).

      Далее ищем координаты векторов AC и DB . AC =(–2; 4; 4) и DB =(1;
0; –1).
      Если φ – угол между этими векторами, то


                                       19                                                                                       20



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика