Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математика: Модуль 2 для 10 класса: Уравнения с модулем. Иррациональные уравнения

Голосов: 12

Пособие к модулю 2 для 10 класса дополнительной образовательной программы по математике для учащихся Заочной естественно-научной школе (ЗЕНШ) при Красноярском государственном университете. Программа модуля включает рассмотрение следующих тем: Уравнения с модулем. Метод интервалов. Метод замены переменной. Уравнения с модулем и с параметром. Графический метод решения уравнений с модулем. Системы уравнений с модулем. Иррациональные уравнения. Стандартные методы решения: устранение радикалов, подстановка, использование сопряженных радикалов, введение новых переменных, переход к системе уравнений. Нестандартные методы решения: анализ области определения функций, использование монотонности и ограниченности функций. Иррациональные уравнения с параметром. Системы иррациональных уравнений.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Агентство образования администрации Красноярского края
       Красноярский государственный университет
     Заочная естественно-научная школа при КрасГУ




                МАТЕМАТИКА

      УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ
   ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

               Модуль № 2 для 10 класса

              Учебно-методическая часть




                   Красноярск 2006


Математика: Модуль №2 для 10 класса. Учебно-методическая часть./ Сост.:
Т.А Осетрова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры вычислительных и
информационных технологий, КрасГУ. – Красноярск, 2006 — 41 c.


ISBN 5-7638-0702-2




Печатается по решению Дирекции
Краевого государственного учреждения дополнительного образования
Заочная естественно-научная школа
при Красноярском государственном университете




                                                       © Красноярский
                                                       государственный
ISBN 5-7638-0702-2                                   университет, 2006


                    Метод решения хорош, если с самого начала мы можем
                          предвидеть — и далее подтвердить это, — что,
                               следуя этому методу, мы достигнем цели.
                                                               Лейбниц.

   ВВЕДЕНИЕ
   Прежде, чем мы приступим к обсуждению темы этого задания, мне
хотелось бы привести здесь слова известного венгерского математика и
педагога Джорджа Пойа:

        "1. Процесс решения задачи представляет собой поиск выхо-
     да из затруднения или пути обхода препятствия, — это процесс
     достижения цели, которая первоначально не кажется сразу до-
     ступной.
        2. Решение задач — практическое искусство, подобное плава-
     нию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему
     можно, только подражая хорошим образцам и постоянно прак-
     тикуясь. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в
     воду, а если хотите научиться решать задачи — то решайте их!
        3. В глубине души человек стремится к большему: ему хо-
     телось бы обладать универсальным методом, позволяющим ре-
     шить любую задачу. Этой великой мечте суждено остаться меч-
     той. Тем не менее, такие недостижимые идеалы не остаются бес-
     полезными — пока никто не достиг полярной звезды, но многие,
     глядя на неҷ находили правильный путь."

Отправимся и мы в наш путь. Ещҷ в младших классах начальной шко-
лы вы познакомились с понятием "уравнение". Сначала вы научились ре-
шать самые простые уравнения — линейные. Со временем задача "решить
уравнение"становилась все более сложной — вы знакомились с методами
решения квадратных уравнений, биквадратных и других, более сложных,
уравнений. Однако рациональные уравнения — это лишь малая часть всех
тех уравнений, которые научились составлять, а главное — решать, за свою
тысячелетнюю историю люди. В этом задании мы рассмотрим ещҷ два ви-
да уравнений — уравнения с модулем и иррациональные уравнения, также
относящиеся к классу алгебраических уравнений.
   Прежде всего, вспомним несколько определений.



                                   3


Определение 1 Равенство

                              f (x) = g(x),                         (1)

где f (x) и g(x) — некоторые выражения, содержащие неизвестную вели-
чину x, называется уравнением.

Определение 2 Множество всех x, при которых одновременно имеют
смысл выражения f (x) и g(x), называется областью допустимых значе-
ний уравнения (1).

Определение 3 Корнем или решением уравнения (1) называется значе-
ние неизвестной x, принадлежащее области допустимых значений урав-
нения и удовлетворяющее уравнению, т.е. обращающее его в верное чис-
ловое равенство. Решить уравнение — это значит найти все его корни.

Определение 4 Два уравнения

                     f1 (x) = g1 (x) и f2 (x) = g2 (x)

называются равносильными или эквивалентными, если совпадают мно-
жества их решений или оба они не имеют решений.

Из определения равносильности уравнений следует, что вместо того, чтобы
решать данное уравнение, можно решать уравнение, ему равносильное.
Определение 5 Замена уравнения равносильным уравнением или заме-
на уравнения равносильной системой уравнений (неравенств) называется
равносильным переходом.

Как правило, в процессе решения уравнения путем различных преобра-
зований стараются заменить его более простым уравнением или системой
уравнений, но далеко не всегда подобный переход от сложного к простому
является равносильным. Возможны следующие два случая.
   I. При переходе к новому уравнению может произойти потеря корней.
Ясно, что такой переход не допустим, так как решить уравнение — это
значит найти все его корни. Поэтому при переходе к новому уравнению
надо тщательно следить за тем, чтобы такая потеря не могла произойти.
   II. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корня-
ми исходного уравнения, так называемые посторонние корни. Такие корни


                                    4


можно выделить проверкой, т.е. подстановкой всех корней нового уравне-
ния в исходное. Более того, если при решении уравнения не удалось избе-
жать действий, которые могут привести к появлению посторонних корней,
то нужно обязательно делать проверку, иначе решение считают неполным,
даже если на самом деле посторонние корни и не появились.
   В подтверждение сказанного рассмотрим несколько примеров.
   Пример 1. Решить уравнение

                          x(4 − x) = x(x − 2).

Решение. Если обе части уравнения разделить на x, то получим уравне-
ние
                           4 − x = x − 2,
имеющее единственное решение x = 3, в то время как исходное уравне-
ние имело два корня x1 = 0 и x2 = 3. Следовательно, сокращение обеих
частей уравнения на общий множитель, содержащий неизвестную, может
привести к потере корней уравнения.
   Пример 2. Решить уравнение

                              4 − x = x − 2.

Решение. Если обе части уравнения умножить на x, то получим уравне-
ние
                        x(4 − x) = x(x − 2),
имеющее два корня x1 = 0 и x2 = 3, в то время как исходное уравнение
имело единственное решение x = 3. Следовательно, при домножении обеих
частей уравнения на выражение, содержащее неизвестную, могут появить-
ся посторонние корни.
   Заметим, что одни и те же преобразования уравнения могут приводить
к уравнению, как равносильному, так и не равносильному данному.
   Пример 3. Решить уравнение
                                1     2
                       3x +        −       = 3.
                              x − 1 2x − 2
Решение. Если в левой части уравнения привести подобные члены, то
получим уравнение
                             3x = 3,


                                    5


имеющее решение x = 1, в то время как исходное уравнение решений не
имеет, так как выражения x − 1 и 2x 2 2 не имеют смысла при x = 1, т.е.
                            1
                                    −
1 не входит в область допустимых значений исходного уравнения.
   Пример 4. Решить уравнение
                                1     2
                       2x +        −       = 4.
                              x − 1 2x − 2
Решение. Если в левой части уравнения привести подобные члены, то
получим уравнение
                             2x = 4.
Это уравнение имеет решение x = 2. Полученное значение является реше-
нием и исходного уравнения.
   Контрольный вопрос 1. Какие уравнения называются равносильны-
ми?
   Контрольный вопрос 2. Какие преобразования уравнений могут
привести к потере корней?
   Контрольный вопрос 3. Какие преобразования уравнений могут
привести к появлению посторонних корней?


1     Уравнения с модулем
1.1   Основные определения
Начиная разговор о каком-либо математическом понятии, необходимо дать
точное определение данного понятия. Поэтому, прежде чем мы приступим
к обсуждению методов решения уравнений с модулем, дадим необходимые
определения.
Определение 6 Модулем или абсолютной величиной действительного
числа x называется неотрицательное число |x|, равное числу x, если x ≥
0, и числу (−x), если x < 0.
Таким образом,
                                x,       если x ≥ 0,
                      |x| =
                               −x,       если x < 0.
Определение 7 Уравнение, содержащее неизвестную под знаком моду-
ля, называется уравнением с модулем.


                                     6


Согласно этому определению из двух уравнений |x| = 5 и x = | − 5| урав-
нением с модулем является только первое.
   Давно известно, что "повторение — мать учения", поэтому нелишним
будет вспомнить сейчас свойства абсолютной величины. Если же, против
ожидания, вам не удалось это сделать, прочитайте их:
        1.|a| = | − a|;
        2.|a| ≥ a и |a| ≥ −a; или − |a| ≤ a ≤ |a|
                                 |a|
        3.|ab| = |a| · |b|; a =      ;
                            b    |b|
        4.|a + b| ≤ |a| + |b|, причем |a + b| = |a| + |b|, если ab ≥ 0;
        5.|a − b| ≥ |a| − |b| ;
        6.|a|2 = a2 .

1.2   Метод интервалов
Существует несколько способов решения уравнений, содержащих неизвест-
ную под знаком модуля. Один из них — это, так называемый, метод ин-
тервалов. Он состоит в следующем. Для того, чтобы решить уравнение,
содержащее неизвестную под знаком модуля, необходимо освободиться от
знака модуля, используя его определение. Для этого следует:
   1) найти критические точки, т.е. значения неизвестной, при которых
выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
   2) разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на
каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют
знак;
   3) на каждом из этих промежутков уравнение записать без знака мо-
дуля, а затем решить его.
   Объединение решений, найденных на всех промежутках, и составляет
все решения исходного уравнения.
   Воспользуемся этим методом при решении конкретных уравнений.
   Пример 1.1. Решить уравнение

                                  |x + 4| = 2x − 10.

Решение. 1. Решим уравнение x + 4 = 0 и найдем критическую точку
x = −4.
2. Разобьем область допустимых значений данного уравнения, т.е. всю чис-
ловую ось, на два промежутка: (−∞, −4) и [−4, +∞).


                                          7


3. При x < −4 выражение под знаком модуля отрицательно и, следователь-
но, |x+4| = −(x+4). Поэтому на промежутке (−∞, −4) исходное уравнение
можно заменить равносильным −(x + 4) = 2x − 10. Решение этого урав-
нения x = 2, однако оно не принадлежит рассматриваемому промежутку,
поэтому исходное уравнение на данном промежутке решений не имеет.
    При x ≥ −4 выражение под знаком модуля неотрицательно и, следова-
тельно, |x + 4| = x + 4. Поэтому на промежутке [−4, +∞) исходное уравне-
ние можно записать x + 4 = 2x − 10. Решение этого уравнения x = 14, оно
принадлежит рассматриваемому промежутку и, следовательно, является
решением исходного уравнения.
    Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение x =
14.
    Это уравнение можно решать и другим способом. Возведҷм обе части
исходного уравнения в квадрат:

                     x2 + 8x + 16 = 4x2 − 40x + 100.

Преобразуем это уравнение и получим:

                           x2 − 16x + 28 = 0.

Это квадратное уравнение имеет два корня x1 = 14 и x2 = 2. Однако вто-
рой корень решением исходного уравнения не является, так как выражение
2x − 10, стоящее в правой части уравнения, при x = 2 отрицательно, в то
время как левая часть уравнения при любых значениях x неотрицательна.
Нетрудно проверить, что x = 14 является корнем исходного уравнения.
   Пример 1.2. Решить уравнение

                            x2 − 5|x| + 6 = 0.

Решение. Критическая точка этого уравнения x = 0. Она разбивает чис-
ловую прямую на два промежутка: (−∞, 0) и [0, +∞).
   На промежутке (−∞, 0) уравнение равносильно

                            x2 + 5x + 6 = 0.

Его корни: x1 = −2, x2 = −3 принадлежат данному промежутку.
   На промежутке [0, +∞) уравнение равносильно

                            x2 − 5x + 6 = 0.


                                    8


Его корни: x3 = 2, x4 = 3 принадлежат этому промежутку.
   Следовательно, множество всех решений исходного уравнения состоит
из четырҷх чисел: −3, −2, 2, 3.
   Пример 1.3. Решить уравнение

                         |5 − 2x| + |x + 3| = 2 − 3x.

Решение. 1. Решим уравнения 5 − 2x = 0 и x + 3 = 0 и найдем критиче-
                  5
ские точки x1 = 2 и x2 = −3.
2. Разобьем область допустимых значений данного уравнения на три про-
межутка: (−∞, −3), [−3, 2 ) и [ 5 , +∞).
                            5
                                  2
3. При x < −3 выражение 5 − 2x положительно и, следовательно, |5 −
2x| = 5 − 2x, а выражение x + 3 отрицательно, поэтому |x + 3| = −(x +
3). Таким образом, на промежутке (−∞, −3) исходное уравнение можно
записать 5 − 2x − (x + 3) = 2 − 3x. После приведения подобных членов
это уравнение примет вид 0 × x = 0. Решение данного уравнения — все
значения неизвестной x, принадлежащие промежутку (−∞, −3).
                    5
    При −3 ≤ x < 2 выражение 5 − 2x положительно, а выражение x + 3
неотрицательно, т.е. |5−2x| = 5−2x и |x+3| = x+3. Поэтому на промежутке
     5
[−3, 2 ) исходное уравнение принимает вид 5 − 2x + x + 3 = 2 − 3x. Решение
этого уравнения x = −3, оно принадлежит рассматриваемому промежутку,
поэтому является решением исходного уравнения.
              5
    При x ≥ 2 выражение 5 − 2x неположительно, а выражение x + 3 поло-
                                                                        5
жительно, т.е. |5 − 2x| = −(5 − 2x), а |x + 3| = x + 3. На промежутке [ 2 , +∞)
исходное уравнение можно записать −(5 − 2x) + x + 3 = 2 − 3x. Решение
                        2
этого уравнения x = 3 не принадлежит рассматриваемому промежутку,
поэтому оно не будет решением исходного уравнения .
    Таким образом, решением исходного уравнения является промежуток
(−∞, −3].
    Данный метод решения уравнений с модулем универсальный, но не
единственный.

1.3    Метод замены неизвестного
Иногда уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком моду-
ля, можно решить довольно просто, используя метод замены неизвестного.
Продемонстрируем данный метод на конкретном примере.


                                      9


   Пример 1.4. Решить рассмотренное в примере 1.2 уравнение

                            x2 − 5|x| + 6 = 0

методом замены неизвестного. Решение.
   Обозначим: y = |x|. По свойству модуля |x|2 = x2 . Поэтому исходное
уравнение может быть записано в виде:

                             y 2 − 5y + 6 = 0.

Это квадратное уравнение и его корни: y1 = 2, y2 = 3. Следовательно,
исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: |x| = 2 и
|x| = 3, решениями которых являются числа x = ±2, x = ±3.

1.4   Метод замены уравнения совокупностью систем
Рассмотрим ещҷ один метод решения подобных уравнений — метод замены
уравнения совокупностью систем.
   Методом замены уравнения совокупностью систем можно решать урав-
нения вида
                            |f (x)| = g(x),                      (2)
причем данное уравнение можно заменять совокупностью систем двумя
способами.
   Первый способ. Уравнение (2) равносильно совокупности систем

                     f (x) = g(x),        −f (x) = g(x),
                     f (x) ≥ 0,            f (x) < 0.

   Второй способ. Уравнение (2) равносильно совокупности систем

                     f (x) = g(x),        −f (x) = g(x),
                     g(x) ≥ 0,            g(x) ≥ 0.

Если в уравнении (2) функция f (x) имеет более простой вид, нежели функ-
ция g(x), то имеет смысл исходное уравнение заменять первой совокупно-
стью систем, а если более простой вид имеет функция g(x), тогда исходное
уравнение следует заменять второй совокупностью систем.
   В частности, уравнение
                                |f (x)| = c,                         (3)


                                     10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика