Асимптотические методы. Часть III. Определение и свойства асимптотических разложений

Голосов: 0

Методические указания содержат изложение основных понятий асимптотических разложений, ставших в последнее время основными аналитическими методами решения прикладных задач. Большое значение асимптотические методы находят при исследовании задач, в которых малое изменение параметра возмущения приводит к конечным изменениям решений. Несмотря на то что асимптотические ряды могут расходиться, несколько первых членов этих рядов могут давать хорошие приближения к решению задачи.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
           Министерство образования Российской Федерации
  РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
           ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ




                       Батищев В.А.




            Методические указания для студентов
            механико-математического факультета




              АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
                         Часть III


ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ




                      Ростов-на-Дону
                           2001


      Печатается по решению кафедры теоретической гидроаэромеханики
РГУ, протокол № 6 от 3 апреля 2001 г.




                              АННОТАЦИЯ


      Методические указания содержат изложение основных понятий
асимптотических разложений, ставших в последнее время основными анали-
тическими методами решения прикладных задач. Большое значение асим-
птотические методы находят при исследовании задач, в которых малое из-
менение параметра возмущения приводит к конечным изменениям решений.
Несмотря на то, что асимптотические ряды могут расходиться, несколько
первых членов этих рядов могут давать хорошие приближения к решению
задачи.
      Методические указания рекомендуются студентам, обучающимся ме-
ханике, прикладной математике, физике, которых интересуют вопросы при-
менения методов теории возмущений к решению прикладных задач.


                                                   Автор: Батищев В.А.




                                                  © Батищев В.А. 2001


                                      3

                            СОДЕРЖАНИЕ


1.   ВВЕДЕНИЕ                                               4
2.   Определение асимптотических рядов                      5
3.   Свойства асимптотических разложений                    10
     3. 1   Интегрируемость асимптотических разложений      10
     3. 2   Дифференцируемость асимптотических разложений   11
     3. 3   Равномерные и неравномерные асимптотические     13
            разложения
     3. 4   Пример расходящегося асимптотического ряда      14
     3. 5   Свойства асимптотических разложений,            16
            зависящих от переменной
ЛИТЕРАТУРА                                                  22


                                       4

                               1. ВВЕДЕНИЕ
     Многие задачи с которыми сталкиваются специалисты, применяющие
методы прикладной математики, не поддаются точному решению. Среди
причин,    затрудняющих     точное    решение,     можно    указать,   например,
нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты и нелинейные
граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы.
Для решения подобных задач исследователи вынуждены пользоваться
различного рода приближениями, комбинируя аналитические и численные
методы. Среди аналитических методов весьма мощными являются методы
возмущений (асимптотических          разложений) по большим или малым
значениям параметра или координаты.
     В настоящем методическом пособии внимание в большей степени
уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем
вопросам    математической    строгости,    при    этом    использованы   самые
разнообразные   средства.    Например,     часто   приходится    обращаться    к
физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить
задачи и найти нужные приближения. Часто при решении задач основным
математическим инструментом служат асимптотические разложения по
параметру (аппроксимация решения разложением, состоящим из конечного
числа членов) с ошибкой, которая мала при достаточно малых значениях
параметра. Чтобы выявить все существенные черты задачи и дать хорошее
приближение к точному решению, математику-прикладнику нужно лишь
несколько членов асимптотического приближения. Часто дело обстоит
именно так. Всем используемым асимптотическим разложениям желательно
давать обоснование с помощью подходящих предельных процессов.


                                                5

                2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ


       Рассмотрим поведение функции                   f (x) при x → ∞ в терминах
известной функции         ϕ (x) ,   где считается    x действительной переменной. На
бесконечности     ϕ (x)    может стремиться к нулю, к бесконечности или иметь
какое-либо другое поведение.
       Определение 1. Функция             f (x) асимптотически приближается к ϕ (x)
(или   ϕ (x)   является асимптотическим приближением функции                    f (x) ), если
выполнено соотношение
                                            f ( x)
                                       lim          = 1.
                                       x →∞ ϕ ( x )

       В этом случае вводят обозначение             f (x) ~ ϕ (x) ,       x → ∞.
       Определение 2. Говорят, что порядок функции                    f (x) меньше, чем
порядок функции ϕ (x) при           x → ∞ , если
                                              f ( x)
                                       lim           = 0.
                                       x →∞   ϕ ( x)
       Соответственно обозначают           f = o (ϕ ),       ( x → ∞) .
       Определение 3. Функция                 f (x) имеет порядок, не превосходящий
порядка   ϕ (x)   при   x → ∞ , если отношение f ( x) / ϕ ( x) ограничено. В этом
случае вводят обозначение
                              f ( x) = Ο {ϕ ( x)}       ( x → ∞)        или
                              f = Ο (ϕ )
       В частности соотношение           f = o (ϕ ) ( x → ∞) означает, что функция
f (x) стремится к нулю при x → ∞ .
       Соотношение         f ( x) = Ο (1) ( x → ∞) означает, что функция f
ограничена при     x → ∞.


                                            6

        Рассмотрим случай, когда функция зависит от малого параметра             ε , т.е.
f = f (ε ) . Существует несколько возможных описаний поведения функции,
обладающих различной степенью точности. Во-первых, можно просто
установить существует ли предел. Например,                sin 2ε имеет предел при
ε → 0 , в то время как sin (2 / ε ) предела не имеет.
        Во-вторых,    можно     описать      предельное    поведение       качественно.
Имеются три возможности: функция в пределе может
        а) обращаться в нуль    f (ε ) → 0 (ε → 0) ;
        б) быть ограниченной        f (ε ) < ∞ (ε → 0) ;
        в) бесконечно возрастать      f (ε ) → ∞ (ε → 0) .
        Особенность этого способа состоит в том, что случай а) заключается в
случае б). Однако, естественно, где это возможно использовать описание а),
т.к. оно более точно.
        В третьих, можно описать предельное значение количественно. Опять
имеются три возможности, из которых только вторая является уточнением
качественного описания
   а)   lim f (ε ) = 0 ;       б)   lim f (ε ) = c = const ;   в)   lim f (ε ) = ∞ .
        ε →0                        ε →0                            ε →0

        В-четвертых, можно качественно описать скорость приближения к
пределу. Только случаи а) и б), указанные выше, могут быть уточнены таким
образом. Это делается путем сопоставления с некоторым набором функций
сравнения (или калибровочных функций). Последние являются функциями
столь простыми, что их предельное поведение можно считать интуитивно
известным. Сравнения осуществляются использованием символов порядка
Ο (" Ο " большое) и o (" o " малое).


                                         7

                                                                           f (ε )
      Полагаем, что       f (ε ) = Ο[g (ε )] при ε → 0 , если lim                 = A,
                                                                    ε →0   g (ε )
0 < A < ∞ . Если это отношение стремится к нулю, то применяем символ o
взамен   Ο . Итак,
                                                    f (ε )
         f (ε ) = o [g (ε )] при ε → 0 , если lim          =0.
                                             ε →0   g (ε )
      Примеры:

sin 2ε = Ο(ε ) , 1 − cos ε = Ο(ε 2 ) = o (ε ) .
exp(−1 / ε ) = o (ε m ) для любого m > 0 .
      Символы порядка не обязательно описывают действительную скорость
приближения к пределу, они дают лишь верхнюю границу.
      Математический        порядок     величины,      выраженный          символами,
теоретически не совпадает с физическим порядком величины, поскольку не
принимаются во внимание множители пропорциональности; следовательно,
величина    Κε считается величиной Ο (ε ) даже в том случае, когда Κ равно
десяти тысячам. В физических задачах имеется однако, по меньшей мере
некоторая надежда, почти неизменно оправдывающаяся, что эти две оценки
достаточно близки. Так, если ошибка в физической теории составляет            Ο (ε ) и
ε   выбрано разумно, то можно ожидать, что численная ошибка не будет
превосходить некоторого умеренного кратного   ε:            возможно, она будет   2ε
или 2πε , но почти определенно не достигает 10ε .
      Пятая схема описывает количественно скорость, с которой функция
приближается к своему пределу. Она представляет собой уточнение четвертой
схемы      (применение      символов     порядка).     Восстановим         множитель
пропорциональности и запишем
                                                            f (ε )
                  f (ε ) ~ cδ (ε ) при ε → 0 , если lim            =c
                                                     ε →0   δ (ε )


                                                      8

т.е., если   f (ε ) = cδ (ε ) + o [δ (ε )].
Это есть асимптотическая форма или асимптотическое представление
функции, которое составляет первый член в асимптотическом разложении.
      Примеры:

sin 2ε ~ 2ε ,             1 − ε 2 ~ 1,           ctg ε ~ 1 / ε .
      В шестой схеме предыдущее описание уточняется путем добавления
дальнейших членов. Будем считать разность между данной функцией и ее
асимптотической формой некоторой новой функцией и определим ее
асимптотический вид. Результат запишем следующим образом:
                          f (ε ) ~ c1 δ 1 (ε ) + c2 δ 2 (ε ) при ε → 0 ,
где вторая функция сравнения               δ 2 (ε )   должна быть величиной более высокого

порядка малости, чем первая,
                                                                    δ 2 (ε )
                     δ 2 (ε ) = o [δ 1 (ε )]          или   lim              =0,
                                                             ε →0   δ 1 (ε )
а ошибка − величиной еще более высокого порядка малости
                          f (ε ) = c1 δ 1 (ε ) + c2 δ 2 (ε ) + o [δ 2 (ε )].
      Следующие члены могут быть добавлены повторением этого процесса.
      Определение. Последовательность функций                         {δ n (ε )},
n = 0,1, 2, ...    называется         асимптотической               последовательностью   (или
шкалой), если для любого           n выполнено соотношение
                          δ n+1 (ε ) = o {δ n (ε )}         при     ε →0                  (2. 1)

      Примеры асимптотических последовательностей
                               n
                    ε , ε 3 , (ln ε ) −n , (sin ε ) n , (ctg ε ) −n .
                      n


      Определение. Сумма вида
                                     ∞
                           f (ε ) ~ ∑ an δ n (ε )                   (ε → 0)               (2. 2)
                                    n =0


                                                9

где   a n не зависит от ε , а δ n (ε ) − асимптотическая последовательность,
называется асимптотическим разложением функции                       f (ε ) при ε → 0 , если
для любого натурального          n выполнено соотношение
                                    N
                           f (ε ) = ∑ a n δ n (ε ) + o (δ N (ε ) )                     (2. 3)
                                   n =0

или, что тоже самое
                                   N −1
                           f (ε ) = ∑ a n δ n (ε ) + Ο (δ N (ε ) )                     (2. 4)
                                   n =0

       Приведем      определение           асимптотической           последовательности     и
асимптотического разложения для функции, зависящей от координаты
z = x + iy (случай комплексных переменных).
       Определение.                Последовательность                функций       {ϕ n (z )};
n = 0,1, 2, ..., определенных на множестве R , имеющих точку z = c в
качестве    конечной         или     бесконечной        предельной      точки,   называется
асимптотической последовательностью (или шкалой), если для любого
натурального    n выполнено соотношение
                  ϕ n+1 ( z ) = o {ϕ n ( z )}            ( z → c в R) .
       Определение. Выражение
                                                ∞
                                     f ( z) ~ ∑ as ϕ s ( z)
                                              s =0

называется асимптотическим разложением (или асимптотическим рядом) если
для каждого целого неотрицательного             n выполнено соотношение
                    n −1
           f ( z ) = ∑ a s ϕ s ( z ) + Ο {ϕ n ( z )},            ( z → c в R) .
                    s =0

       Здесь использовано следующее определение                 Ο {ϕ ( z )}. Функция ϕ (z )
называется асимптотическим приближением к                     f (z ) при z → ∞ , если для
некоторого   R существует такое число k , не зависящее от arg z , что


                                             10

                         f ( z) ≤ k ⋅ ϕ ( z)      при     z ∈ S (R )
и обозначают          f ( z ) = Ο {ϕ ( z )} в S (R ), где через S (R ) обозначен
бесконечный сектор       α ≤ arg z ≤ β . Аналогично вводится " o " − малое. Это
определение распространяется на любую область, имеющую бесконечно
удаленную точку, или точку        z = c в качестве предельной.

             3. СВОЙСТВА АСИМТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ


       3. 1 Интегрируемость асимптотических разложений


       Асимптотические разложения, как правило, можно интегрировать при
условии, что справедливы некоторые очевидные ограничения, касающиеся
сходимости интегралов. Рассмотрим случай действительных переменных.
       Теорема. Пусть          f ( x) ∈ L интегрируемая функция действительной
переменной       x и f ( x) ~ xν при x → ∞ , где ν − вещественная или
комплексная постоянная. Пусть " a " − любое конечное вещественное число.
Тогда при   x → ∞ имеем
             ∞
                              ν +1
             ∫ f (t ) dt ~ − x (ν + 1) ,                (Reν < −1)
             x

                           ⎧c                           (Reν < −1)
             x
                           ⎪
             ∫ f (t ) dt ~ ⎨ln x                        (ν = −1)          ,
             a             ⎪ xν +1 (ν + 1)              (Reν > −1)
                           ⎩
где   c = const.
       Докажем        третье      соотношение      последней       формулы.   Имеем

f ( x) = xν (1 + η ( x) ) , где     η (x) < ε ,    если     x > X > 0 , причем X
выбирается       по    произвольно      заданному       положительному    числу   ε.
Следовательно, если      x > X , то



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика