Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачник по теории вероятностей

Голосов: 8

Представлены несколько разделов задачника по теории вероятностей: Комбинаторика; Пространство элементарных исходов. События и действия над ними; Классическое вероятностное пространство. Электронная версия издания размещена на сайте факультета "Информационные системы в управлении" СибАДИ (<a href="http://www.isu.kasib.ru" target="_blank">www.isu.kasib.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
            18.2 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ.


                  СОБЫТИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

   18.2.1. Определить, какие из множеств являются пространствами

элементарных исходов данного эксперимента. Эксперимент – бросание

игрального кубика.

    А1 = { , 3, 5, четное число}; А2 = {простое число, 6};
          1
    А3 = {число четное, число простое}; А4 = { четное число, нечетное
число}; А5 = { простое число, квадрат, 6}.
   1. А1 и А2 ;          2. А2 и А3 ; 3. А3 и А3 ; 4. А4 и А5 ; 5. А1 и А4 .
   18.2.2. Определить, какие из множеств являются пространствами

элементарных исходов данного эксперимента. Эксперимент – бросание

двух игральных кубиков.

    A1 = {( x, y ), 1 ≤ x, y ≤ 6}; x, y, − натуральные числа.
    A2 = {( x, y ), где х – сумма выпавших очков, у – произведение
выпавших очков};
    A3 = {( x, y ), где 2 ≤ х ≤ 12; 1 ≤ у ≤ 36}; x, y, − натуральные числа.
    А4 = { сумма выпавших очков – простое число; сумма выпавших очков

делится на два; сумма выпавших очков делится на три};

    А5 = { сумма выпавших очков не делится ни на два, ни на три; сумма

выпавших очков делится на два; сумма выпавших очков делится на три}.

   1. А1 и А2 ; 2. А1 и А3 ; 3. А2 и А4 ; 4. А 3 и А5 ; 5. А1 и А5 .

   18.2.3. Эксперимент – бросание трех монет.


    А1 = {все монеты выпали одной и той же стороной; все монеты

выпали разными сторонами};

    А2 = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, где каждое число − возможная разность

между числом выпавших гербов и числом выпавших цифр};

    А3 = {3Г, 2Г, 2Ц, 3Ц, где запись 3Г, например, означает, что все три

монеты выпали гербом кверху};

    А4 = {3Г, 3Ц, 1Г, 1Ц};

    А5 = {произведение числа выпавших гербов и числа выпавших цифр –
четное число; произведение числа выпавших гербов и числа выпавших цифр
– нечетное число}.
   1. А1 и А2 ;   2. А3 и А4 ; 3. А4 и А5 ; 4. А1 и А3 . 5. А2 и А5 .

   18.2.4. На плоскость наудачу бросается точка. События А и В состоят в
том, что точка попадает соответственно в круг А и круг В, известно, что
круги пересекаются. Указать пары несовместных событий.
   1. АВ и АВ ; 2. А и В ; 3. А и В ; 4. А + В и АВ ; 5. А \ В и АВ ;
   18.2.5. На плоскость наудачу бросается точка. События А и В состоят в

том, что точка попадает соответственно в круг А и круг В. Известно, что

круги не пересекаются. Указать пары несовместных событий.

   1. А + В и A B ; 2. А + В и АВ ;        3. А + В и АВ ; 4. АВ и А + В ;

     5. А \ В и В \ А .

   18.2.6. Упростить выражение       АВ + В .

     1. А ; 2. А + В ;    3. АВ ;    4. А + В ;   5. А В .


   18.2.7. Упростить выражение ( А + В ) ( АВ) .

     1. А + В ;   2. А В + В ; 3. А + В ;            4. АВ + А В ;        5. ∅.

   18.2.8. Упростить выражение ( А + В) А + В .  (       )
     1. А ; 2. А В ;          3. АВ ;    4.    АВ ;          5. ∅.
   18.2.9. Упростить выражение ( А \ В ) \ С + ( А \ В ) \ С .

     1. АВ ;      2. А В ;        3. ( АВ) ;         4. А В ;        5. АВ С .
   18.2.10. Упростить выражение [( А \ В ) + (В \ А)]АВ .

     1. АВ ;        2. А + В ;      3. А + В ;       4. ( А + В) \ АВ ;        5. ∅.

   18.2.11. Пусть АВ = ∅; А, В ≠ ∅. Какие из следующих утверждений

истинны?

   а) А + В = А ; b) А \ В = А ; с) В \ А = А ; d) В \ А = В ; e) АС = ВС .

   1. a и c;      2. b и е;       3. с и d;      4. b и d;       5. а и е.

   18.2.12. Пусть АВ =            ∅;     А, В ≠ ∅.           Какие        из      следующих

утверждений истинны?

   a) А \ В = ∅; b) В \ А = ∅; c) А \ В = В \ А ; d) АВ + А В = А + В ;

   e) В ⊆ А .

   1. a и c;      2. b и е;       3. с и d;      4. b и d;       5. d и е.

   18.2.13. Пусть АВ = ∅; А, В ≠ ∅; А + В ≠ Ω . Какие из следующих

утверждений истинны?

   а) А ⊆ В ;     b) А ⊆ В ; с) В ⊆ А ; d) В ⊆ А ; e) А В = ∅.

   1. a и c;      2. b и е;       3. с и d;      4. b и d;       5. а и е.


   18.2.14. Пусть АВ = ∅; А, В ≠ ∅; А + В ≠ Ω . Какие из следующих

утверждений истинны?

   a) ( АВ) = ∅; b) АВ = Ω ;         с) А + В = А + В ;   d) ( А + В ) \ А = В ;

   e) А \ В = ∅.

   1. a и c;       2. b и е;    3. с и d;     4. b и d;   5. а и е.

   18.2.15. Пусть АВ =          ∅;      А, В ≠ ∅.     Какие     из     следующих

утверждений истинны?

   a) А В = В А ; b) В А = А ; c) А \ В = ∅; d) В \ А = ∅. e) АВ ⊆ A + B ;

   1. a и c;       2. b и е;    3. с и d;     4. a и b;   5. е и с.

   18.2.16. Пусть АВ ≠ ∅; А + В ≠ Ω . Какие из следующих утверждений

заведомо не верны?

   а) А \ В = ∅; b) ( АВ) = ∅; c) А + В ≠ ∅; d) А + В ≠ ∅; e) А + В = ∅.

   1. a и c;       2. b и е;    3. а и е;     4. b и d;   5. с и d.

   18.2.17. Пусть АВ ≠ ∅; А + В ≠ Ω . Какие из следующих утверждений

заведомо не верны?

   a) А + В = ∅; b) А В = ∅; c) АВ = ∅. d) В \ А = ∅; e) А \ ( АВ ) = ∅.

   1. a и c;       2. b и е;    3. с и d;     4. b и d;   5. а и е.

   18.2.18. Пусть АВ ≠ ∅; А + В ≠ Ω . Какие из следующих утверждений

заведомо верны?

   a) А \ В = ∅; b) А \ ( АВ ) = ∅; c) ( АВ ) \ А = ∅; d) ( АВ ) \ В = ∅;


   e) В \ ( АВ ) = ∅.

   1. a и c;       2. b и е;    3. с и d;    4. b и d;   5. а и е.

   18.2.19. Пусть АВ ≠ ∅. Какие из следующих утверждений заведомо не

верны?

   a) А ⊂ В ; b) А ⊂ АВ ; c) В ⊆ АВ ; d) АВ ⊆ А \ В ; e) АВ ⊆ А В .

   1. a и c;       2. b и е;    3. с и d;    4. b и d;   5. а и е.

   18.2.20. Какие из утверждений заведомо верны, если ω ∈ АВ ?

   a) ω ∉ А или ω ∉ В ; b) ω ∈ А или ω ∈ В ; с) ω ∈ А \ В ; d) ω ∈ А + В ;

   e) ω ∈ А \ В + В \ А .

   1. a и c;       2. b и е;    3. с и d;    4. b и d;   5. а и е.

   18.2.21. Какие из следующих утверждений заведомо не верны, если

ω ∈ А+ В?

   а) ω ∈ А ; b) ω ∈ АВ ; c) ω ∉ В ; d) ω ∈ А \ В ; e) ω ∉ А .

   1. a и c;       2. b и е;    3. с и d;    4. b и d;   5. а и е.

   18.2.22. Пусть А ⊂ В ; А, В ≠ ∅. Какое из утверждений истинно?

   1. АВ = А ;     2) А + В = В ; 3); А \ В = А ; 4) А = В ; 5) В \ А = А .

   18.2.23. Пусть А ⊂ В ; А, В ≠ ∅. Какое из утверждений истинно?

   1. АВ = В ; 2) А + В = В ; 3); В \ А = В ; 4) В = А ; 5) В \ А = А .

   18.2.24. Пусть       А⊂ В;    А, В ≠ ∅;     В ≠ Ω . Какие из следующих

утверждений истинны?


     a) А( В + С ) = А( А + С ) ; b) В( АС ) = ВС ;           c) В( А + С ) = А + С ;

     d) А( В + С ) = А ;      e) В + С = А + С .

     1. a и b;          2. a и d;      3. b и e;   4. c и d;       5. c и d.

     18.2.25. Пусть А \ В = ∅; А, В ≠ ∅. Какие из утверждений истинны?

     а) А ⊆ В ;         b) В ⊆ А ; с) А ⊆ В ; d) В ⊆ А ; e) АВ = ∅.

     1. a и c;          2. b и е;      3. с и d;   4. а и d;       5. а и е.

     18.2.26. Пусть А \ В = ∅;             А, В ≠ ∅; А ≠ В . Какие из утверждений

истинны?

     а) А + В = А ; b) А + В = В ; с) АВ = ∅; d) АВ = А ; e) АВ = В .

     1. a и c;          2. b и е;      3. с и d;   4. а и е;       5. b и d.

     18.2.27. Пусть А \ В = С ≠ ∅. Какие из утверждений заведомо верны?

     а) АВ + АС = А ; b) А + В + С = АВС ; с) А ⊆ С ; d) А + В = А + С ;

     e) С ⊆ А .

     1. a и c;          2. b и е;      3. с и d;   4. b и d;       5. а и е.


     18.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО

       18.3.1. На 15 карточках написаны целые числа от 1 до 15, по одному

на    каждой      карточке.         Наугад    выбирается       одна      карточка.   Какова

вероятность, что число, написанное на этой карточке, четное?

            1           7            8                  1               1
       1.     ;   2.      ;   3.       ;           4.     ;        5.     .
            2          15           15                  7               8


        18.3.2.       На        пяти        факультетах     университета               –      юридическом,

экономическом,             историческом,              филологическом,                естественнонаучном

учатся 2000 студентов. Наудачу выбирают одного из них. Какова

вероятность, что этот студент учится на экономическом факультете?

        1       1      1      400
   1.     ; 2. ≤ ; 3. ≥ ; 4.      ; 5. Точный ответ дать невозможно.
        5       5      5     2000

   18.3.3. Наудачу выбирают двузначное число. Какова вероятность, что

первая цифра числа делится на 2?

              4                       4             4                     1                  4
        1.       ;              2.      ;     3.      ;             4.      ;              5. .
             100                     90            10                     2                  9

   18.3.4. Игральный кубик брошен два раза. Какова вероятность, что

сумма выпавших очков равна 8?

              3                      1              6             5                   7
        1.      ;               2.     ;      3.      ;     4.      ;           5.      .
             36                      3             36            36                  36

        18.3.5. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков

одинакового размера. Наугад извлекают один кубик. Какова вероятность,

что этот кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную грань?

               1                  8                 384           488                 512
        1.        ;        2.        ;        3.        ;   4.        ;         5.        .
             1000               1000               1000          1000                1000

        18.3.6. Игральный кубик брошен два раза. Какова вероятность, что

хотя бы однажды число выпавших очков было больше 5?

             25                 12                 11            10                   1
        1.      ;          2.      ;          3.      ;     4.      ;           5.      .
             36                 36                 36            36                  36


      18.3.7. Верно ли, что в случае классического вероятностного

пространства:

      а) все элементарные исходы равновозможны;

      b) число элементарных исходов не может быть больше 1000000;

      с) любая вероятность – это всегда рациональное число;

      d) вероятность элементарного исхода – самая маленькая из

вероятностей случайных событий;

      е) если в множестве Ω содержатся не менее двух элементарных

исходов, то всегда можно указать событие А такое, что р ( А) = 0,5 .

      1. ДА, ДА, ДА, ДА, НЕТ;         2. ДА, НЕТ, ДА, ДА, ДА;

      3. ДА, НЕТ, ДА, ДА, НЕТ;        4. ДА, НЕТ, НЕТ, ДА, НЕТ;

      5. НЕТ, НЕТ, ДА, ДА, НЕТ.

      18.3.8. В урне 5 белых и m черных шаров. Вероятность того, что оба

извлеченных шара окажутся черными, равна (3,5)/11. Сколько в урне

черных шаров?

      1. 4; 2. 5; 3. 6; 4. 7; 5. 8.

      18.3.9. Из партии, содержащей 20 радиоприемников, случайным

образом для проверки отбирают три приемника. Партия содержит 6

неисправных приемников. Какова вероятность, что среди отобранных

будут как исправные, так и неисправные приемники.


              2       546       210                                756                   594
        1.      ; 2.      ; 3.      ;                        4.        ;           5.        .
             20      1140      1140                               1140                  1140

        18.3.10. Брошены два игральных кубика. Какова вероятность, что

сумма выпавших очков равна 8, если известно, что выпали разные грани?

              5                          4              6                       5                       4
        1.      ;                  2.      ;      3.      ;               4.      ;             5.        .
             36                         36             30                      30                      30


                        18.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

        18.4.1. Точка брошена в круг радиуса 1. Найти вероятность, что она

не попадет внутрь данного вписанного квадрата.

        π               2                π −2                 2 −π                      1
   1.        ;     2.        ;      3.        ;         4.            ;            5.       .
        2               π                 π                       π                     π

   18.4.2. В треугольник с вершинами в точках (−1, 0) ; (0, 1) ; (1, 0)

наудачу брошена точка ( х, у ) . Найти вероятность того, что координаты

точки удовлетворяют неравенству 2x + y ≤ 0.

             1               1                         1                     2                    3
        1.     ;        2.     ;                  3.     ;            4.       ;                5. .
             3               2                         4                     3                    4

        18.4.3. На отрезок АВ длиной 2 наудачу ставят две точки: M и N.

Найти вероятность того, что площадь круга, построенного на диаметре MN

не превзойдет π.

             3               1                         1               2                         3
        1.     ;        2.     ;                  3.     ;    4.         ;          5.             .
             4               2                         4              2                         2


     18.4.4.      Точка            ( p, q) наудачу             выбирается                  из    треугольника   с

вершинами (0, 0) ; (0, 3) ; (3, 0) . Найти вероятность того, что корни

уравнения x 2 + px + q = 0 окажутся действительными и одного знака.

          47                       20                 7                    7                    1
     1.      ;                2.      ;          3.      ;          4.       ;             5.     .
          54                       27                 27                  54                    4

     18.4.5. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых
чисел из отрезка [− 1, 1] больше 1/2, а их произведение отрицательно.
           1                       1                 7                    1                  7
     1.      ;                2.     ;         3.      ;            4.      ;          5.      .
          16                       8                32                    4                 16
     18.4.6. Стержень длины а наудачу разломан на три части. Найти
вероятность того, что длина большего куска будет меньше, чем а/2.
          3             1                5                   1                   3
     1.     ;    2.       ;         3.     ;           4.      ;           5.      .
          8             4                8                   2                   4

     18.4.7. На отрезок АВ длины 1 наудачу брошена точка С. Найти

вероятность того, что произведение длин отрезков АС и СВ не меньше 1/4.

                  1                 1              1
     1.0; 2.        ;         3.          ;      4. ;              5.1.
                  8                2 2             4

     18.4.8. На отрезок АВ длины 1 наудачу брошена точка С. Найти

вероятность того, что каждый из отрезков АС и СВ больше 2/5.

          1           2                    2                  2                   1
     1.     ;    2.     ;           3.       ;         4.       ;          5.          .
          5           5                   5                   5                   5

     18.4.9. На отрезок АВ длины 1 наудачу брошена точка С. Найти

вероятность того, что отношение длин большего и меньшего отрезков, на

которые С делит АВ, не меньше 2.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика