Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачник по теории вероятностей

Голосов: 8

Представлены несколько разделов задачника по теории вероятностей: Комбинаторика; Пространство элементарных исходов. События и действия над ними; Классическое вероятностное пространство. Электронная версия издания размещена на сайте факультета "Информационные системы в управлении" СибАДИ (<a href="http://www.isu.kasib.ru" target="_blank">www.isu.kasib.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
       3.42. Независимо выбирается по одной букве из множеств {г, л, м} и

{о, у}, а затем подсчитывается число трехбуквенных существительных,

которые можно составить из оставшихся трех букв. Например, если

остались г, о, л, то можно составить два слова – ГОЛ и ЛОГ. Если

известно, что из оставшихся трех букв составляются два слова, то какова

вероятность, что из второго множества была выбрана буква о?    ■ 0,333.

   3.43. Числовое множество состоит из трех чисел 2, двух чисел 5,

нескольких чисел 10. Из этого множества выбирают одно число. Условная

вероятность выбрать 10 при условии, что выбранное число делится на 2,

равна 2/3. Сколько всего чисел 10? ■ 6.

   Какова вероятность выбрать 10? ■ 0,545.

   3.44 (18). В ящике находится 5 книг. Мальчик 5 раз берет из ящика по

одной книге, каждый раз возвращая книгу обратно.

   A = {все 5 выбранных книг были различны}. ■ 0,0384.

   B = {4 книги были различны}. ■ 0,384.

   C = {по крайней мере, две книги были различны}. ■ 0,9984.

   3.45 (2). В некоторый день недели во всех классах школы должно быть

по 6 уроков. В этот день случайным образом ставятся в расписание 3 урока

одного учителя и два урока другого.

   A = {эти учителя не будут заняты одновременно}. ■ 0,2.


   3.46. По условиям некоторой телевизионной игры участник получает

суперприз, если правильно угадает последовательность из нулей и единиц,

содержащую 5 элементов. Участнику предоставляется возможность

ответить на 5 вопросов, за каждый правильный ответ он получает

подсказку. Подсказки таковы:

   1. В последовательности можно выделить 3 подряд идущих нуля или

единицы;

   2. Сумма чисел, стоящих на нечетных местах, нечетна;

   3. Третья цифра последовательности совпадает с первой;

   4. Вторая и пятая цифры различны; 5. Единиц больше, чем нулей.

   Каковы шансы на суперприз, если игрок:

   а) не дал ни одного правильного ответа.   ■ 0,03125.

   б) ответил только на первый вопрос.       ■ 0,0625.

   в) ответил на первый и второй вопросы.    ■ 0,125.

   г) ответил на второй и пятый вопросы.     ■ 0,143.

   д) ответил на первые три вопроса.         ■ 0,2.

   е) ответил на первые четыре вопроса.      ■. 0,333.

   ж) ответил на последние четыре вопроса. ■ 0,5.

   з) ответил на все вопросы.                ■ 1.

   3.47. Из букв слова ЗАДАЧА выбирают три буквы (без возвращения).

   A = {среди выбранных букв две буквы «а»}. ■ 0,45;


   B = {среди выбранных букв, по крайней мере, одна буква «а»}.

   ■ 0,95;

   C = {среди выбранных букв нет буквы «а»}.■ 0,05.

   3.48 (18). Из партии, содержащей 20 радиоприемников, среди которых

6 неисправных, для проверки отбирают 3 приемника.

   A = {все отобранные приемники исправны} ■ 0,319.

   B = {все отобранные приемники неисправны}.             ■ 0,0175.

   C = {среди отобранных приемников два исправных}. ■ 0,479.

   3.49 (26). В клубе 100 членов, среди них 50 законоведов и 50 лгунов.

Число членов, не являющихся ни законоведами, ни лгунами, ровно 20.

Жеребьевкой выбирается комитет из пяти членов.

   A = {в комитет входят ровно 3 законоведа}.        ■ 0,319.

    B = {в комитет входят ровно 3 лгуна}.            ■ 0,319.

   C = {в комитет входят 3 законоведа, которые являются лгунами}.

     ■ 0,049.

   3.50 (25). В лотерее       из 200 билетов 50 выигрышных. Найти

вероятность получить хотя бы один выигрыш на 5 билетов. ■ 0,836.

   Сколько      билетов   необходимо   приобрести,    чтобы     вероятность

выигрыша была не меньше чем 0,5? ■ Не менее трех билетов.

   3.51 (24). В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрышных.

Куплено k билетов.


                                                       k       k
   A = {из k билетов хотя бы один выигрышный}. ■ 1 − C n−m / C n .

                                                    1 k −1       k
    B = { из k билетов ровно один выигрышный }. ■ C m C n −m / C n .

                                                                     l   k −l    k
   C = { из k билетов ровно l выигрышных}.                       ■ C m C n−m / C n .

   3.52 (25). В генуэзской лотерее разыгрывается 90 номеров, из которых

выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из

90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти

номеров, причем для получения выигрыша должны выиграть все

выбранные номера. Какова вероятность выигрыша в каждом из пяти

указанных случаев?

   ■ 0,0556; 0,0025; 8,5 × 10 −5 ; 1,9 × 10 −6 ; 2,3 × 10 −8 .

   3.53 (1). Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два

студента по очереди берут по одному билету.

   A = {первый студент взял «хороший» билет}.                    ■ 0,2.

   B = {второй студент взял «хороший» билет}.                    ■ 0,2.

   C = {оба студента взяли «хорошие» билеты}.                    ■ 0,0333.

   3.54 (4). Для обслуживания рейса самолета требуются три стюардессы,

которых выбирают по жребию из 20 девушек, претендующих на эти места;

7 из них – блондинки, остальные – брюнетки.

   A = {среди выбранных трех стюардесс, по крайней мере, одна

блондинка и одна брюнетка}.              ■ 0,718.


   3.55 (18). Из пяти супружеских пар отбирают четырех человек.

   A = {среди отобранных не будет семейной пары}.          ■ 0,381.

   3.56 (18). Комиссия из трех человек выбирается из группы,

содержащей 20 человек.

   A = {определенный человек войдет в комиссию}.           ■ 0,15.

   B = {он не войдет в комиссию}.                                 ■ 0,85.

   3.57 (26). В связке галстуков 10 зеленых, 6 красных и 4 желтых

галстука. Трое мужчин выбирают себе галстук.

   A = {они выберут галстуки одинакового цвета}.                  ■ 0,126.

   3.58 (2). Полная колода карт (52 листа) делится на две равные части.

                                                        2 24      26
   A = {в каждой части по два туза}.                ■ C 4 С 48 / C52 .

                                                                25    26
   B = {в одной из частей будет ровно один туз}.           ■ 8C 48 / C52 .

                                                                26    26
   C = {в одной из частей не будет ни одного туза}.        ■ 2C 48 / C52 .

   3.59 (25). Из колоды в 36 карт извлекают три карты.

   A = {сумма очков в этих картах равна 21} (валету соответствует 2

очка, даме – 3, королю – 4, тузу – 11, а остальным картам соответственно

от шести до десяти).                    ■ 0,079.

   3.60 (25). Из колоды в 52 карты извлекают три карты.

   A = {извлечены тройка, семерка, туз}.            ■ 0,0029.

   3.61 (26). Из колоды в 52 карты извлекают 4 карты.


   A = {все выбранные карты бубновой масти}.      ■ 2,64 × 10 −3 .

   B = {все выбранные карты одной масти}.         ■ 0,0106.

   C = {в выборке окажется хотя бы один туз}.     ■ 0,281.

   D = {выбраны валет, дама и 2 короля}.          ■ 3,55 × 10 −4 .

   E = {среди выбранных карт есть король пик}.    ■ 0,0769.

   F = {три карты имеют красную масть}.           ■ 0,25.

   G = {все карты – короли}.                      ■ 3,69 × 10 −6 .
   H = {в выборке представлены ровно две масти}. ■ 0,331.
   K = {в выборке представлены три масти}.                 ■ 0,584.
   L = { в выборке представлены все масти }.               ■ 0,105.
   М = {выбранные карты – десятка, валет, дама, король разных
мастей}.                                          ■ 8,86 × 10 −5 .
   N = {карты образуют две пары, например, два короля и две десятки,

два валета и две шестерки и т.д.}.          ■ 1,04·10–2.

   3.62 (2). В урне 2 белых, три синих и 5 черных шаров. Извлечены три

шара.

   A = {все шары разного цвета}.                           ■ 0,25.

   3.63 (2). В урне 5 белых и 5 черных шаров. Все шары последовательно

извлечены и расположены в ряд.

   A = {цвета шаров чередуются}.                  ■ 0,00794.

   В урне n белых и n черных шаров.

   B = {цвета шаров чередуются}.                  ■ 2n!n! / (2n )! .


   3.64 (18). Из букв слова БАРАБАН выбирают две буквы.

   A = {выбраны буквы «б» и «а»}.                               ■ 0,286.

   3.65 (2). Из урны, содержащей k шаров, извлекают с возвращением k

шаров.

   A = {все шары извлекаются по одному разу}.                   ■ (k − 1)! / k k −1 .

   3.66 (24). Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке.

   A = {числа будут записаны в порядке возрастания}. ■ 0,276 × 10 −5 .

   B = {в ряду чисел будет 12}.                                       ■ 0,111.

   C = {числа 3, 6 и 9 будут стоять рядом в произвольном порядке}.

   ■ 0,0833.

   D = {на четных местах будут стоять четные числа}. ■ 0,00794.

   E = {сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковых расстояниях

от концов, будет равна 10}.                                ■ 0,00106.

   3.67 (19). Найти вероятность p n того, что в группе из n человек (n ≤ ≤

365) хотя бы у двоих окажется один и тот же день рождения.

   ■ p n = 1 − 365 ⋅ 364 ⋅ ... ⋅ (365 − n + 1) / 365 n .

   Оценить значение p n для n = 23.                        ■ 0,507.

   Оценить значение p n для n = 60.                        ■ 0,994.

   Для простоты положить, что 29 февраля не является днем рождения

кого-нибудь из рассматриваемой группы людей.


   3.68 (19). Вероятность того, что, по меньшей мере, у двух человек из

некоторой группы совпадают дни рождения, меньше 0,5. Каково

наибольшее возможное число людей в этой группе?           ■ 22.

   3.69 (19). Вы задались целью найти человека, день рождения которого

совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам надо опросить, чтобы

вероятность встречи такого человека была не меньше чем 0,5?

   ■ 253.

   3.70 (24). Бросают 10 одинаковых игральных костей.

   A = {хотя бы на одной кости выпадает 6 очков.}         ■ 0,838.

   B = {ни на одной кости не выпадает 6 очков}.           ■ 0,162.

   C = {ровно на трех костях выпадает 6 очков}.           ■ 0,155.

   3.71 (18). Бросаются 4 кубика.

   A = {на двух кубиках выпало одинаковое число очков, на двух других

разное}. ■ 0,556.

   B = {на двух кубиках одно число очков, на двух других – другое}.

   ■ 0,0694.

   C = {на всех четырех кубиках выпадает разное число очков}.

   ■ 0,278.

   3.72 (27). Игроки A и B бросают 5 костей. Если 3 или более из них

упадут одинаковой стороной вверх, выигрывает B, в противном случае – A.

Каковы шансы игроков?                               ■ p A = 0,787 .


   3.73 (18). 8 водителей приезжают в город и оставляют свои машины на

трех автомобильных стоянках. Каждый водитель вбирает стоянку для

своей машины случайным образом.

   A = {5 водителей остановятся на одной стоянке, два на другой и один

на третьей}.                                      ■ 0,154.

   3.74 (24). 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных

карточках, перемешиваются и распределяются среди восьми студентов.

   A = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными}.

   ■ 0,0222.

   B = {варианты 1 и 2 получат студенты, сидящие рядом} ■ 0,156.

   C = {выданы варианты с последовательными номерами}.

   ■ 0,0667.

   3.75 (2). 2n команд разбиты на две подгруппы по n команд. Найти

вероятность того, что две наиболее сильные команды:

   а) попадут в разные подгруппы; ■ n / (2n − 1) ;

   б) попадут в одну подгруппу;     ■ (n − 1) / (2n − 1) .

   3.76 (24). 6 пассажиров поднимаются в лифте семиэтажного дома.

Движение лифта начинается с цокольного этажа.

   A = {на первых трех этажах не выйдет ни один из пассажиров}.

   ■ 0,0348.

   B = {все пассажиры выйдут на первых шести этажах}.■ 0,397.


    C = {на пятом, шестом и седьмом этажах выйдут по два

пассажира}.        ■ 0,00076.

    D = {все пассажиры выйдут на одном этаже}. ■ 0,55 × 10 −4 .

    E = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.              ■ 0,0428.

    Подразумевается, что каждый из пассажиров с равной вероятностью

может выйти на любом из семи этажей.

    3.77 (1). Из всех возможных отображений множества {1, 2, …, n}в себя

выбирается одно отображение.

    A = {выбранное отображение переводит каждый из n элементов в

единицу}.                                     ■ n −n .

    B = {элемент i имеет k прообразов}. ■ C n ⋅ (n − 1)n−k ⋅ n −n .
                                            k



    C = {элемент i переводится в j}.          ■ n −1 .

    D = {выбранное отображение переводит элементы i1 , i 2 , ..., i k в

элементы j1 , j 2 , ..., j k соответственно}. ■ n − k .

    3.78 (16). N человек рассаживаются за круглым столом ( N ≥ 2) .

    A = {два фиксированных лица окажутся рядом}.■ 2 / ( N − 1) .

    Как изменится ответ, если N человек рассаживаются в произвольном

порядке вдоль одной скамьи?                   ■ 2/ N .

    3.79 (24). В комнату, где стоят m стульев (m ≤ n − 2 ) , входят n человек

и рассаживаются так, что все стулья оказываются занятыми.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика