Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачник по теории вероятностей

Голосов: 8

Представлены несколько разделов задачника по теории вероятностей: Комбинаторика; Пространство элементарных исходов. События и действия над ними; Классическое вероятностное пространство. Электронная версия издания размещена на сайте факультета "Информационные системы в управлении" СибАДИ (<a href="http://www.isu.kasib.ru" target="_blank">www.isu.kasib.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
       2.24 (5). Ниже указаны события, которые могут произойти в некоторых

экспериментах. Требуется назвать противоположные события.

   1. Передают два сообщения по каналу связи. Событие A = {оба

сообщения переданы правильно}.

   2. Вынимают один шар из урны, в которой два белых, три черных и

четыре красных шара. Событие B = {появление белого шара}.

   3. Передают пять сообщений. Событие C = {не менее трех сообщений

передано правильно}.

   4. Производят n выстрелов по мишени. Событие D = {хотя бы одно

попадание}.

   5. Производят осмотр технического устройства, состоящего из k узлов.

Событие E = {все узлы исправны}.

   6. Двое играют в шахматы. Событие F = {выигрыш белых}.

   ■ По крайней мере, одно сообщение искажено; появление черного или

красного шара; не менее трех сообщений искажено; все n промахов; хотя

бы один узел дефектный; выигрыш черных или ничья.

   2.25 (24). Пусть событие A влечет событие B, А ⊂ В . Следует ли тогда,

что А ⊂ В ? ■ Нет,     В ⊂ А.

   2.26 . Около кафедры прикладной математики и вычислительной

техники висит стенд с фотографиями сотрудников кафедры. Студент

Шалунов пририсовывает наудачу выбранному сотруднику бороду и усы.


События: A = {выбран кандидат наук}; B = {выбран мужчина в галстуке

и в очках}; C = {выбран блондин}; D = {выбрана женщина}.

     1. При каких условиях АВС = А ?

     2. Если известно, что среди сотрудников кафедры есть женщины, при
каких условиях A\D=A?
■ Все кандидаты наук – мужчины в галстуке и очках, не блондины. Среди
кандидатов наук нет женщин.
     2.27. Несколько студентов пришли повторно сдавать экзамен по теории
вероятностей; наудачу выбирают одного из них. Пусть событие A означает,
что выбрана девушка, B – выбранный студент не имеет других долгов.
     1. При каком условии АВ = А ?
     2. Когда будет выполняться равенство А = В ? Будет ли оно иметь
место, если среди девушек никто не имеет других долгов?
     ■ Все девушки не имеют других долгов. Когда все девушки не имеют
других долгов, а все юноши имеют другие долги.
     2.28 (5). Эксперимент состоит в бросании двух монет. События: A =
{герб на первой монете}; B = {цифра на первой монете}; C = {герб на
второй монете}; D = {цифра на второй монете}; E = {хотя бы один
герб}; F = {хотя бы одна цифра}; G = {один герб и одна цифра}; H = {ни
одного герба}; K = {два герба}. Определить, каким событиям этого списка
равносильны следующие события: А + С ; АС ; FE ; C + E ; CE ; BD ;
Е + K ; К ; СН ; F K .
     ■ E; K; G; E; C; H; E; F; H; K.

     2.29 (5). По каналу связи передают три сообщения. Каждое из них
может быть передано правильно или искажено. Рассматриваются события:
Aк   = {к-е сообщение передано         правильно};   А k = {к-е   сообщение


искажено}; к = 1, 2, 3. Выразить с помощью алгебраических операций над
событиями Аk ; Ak следующие события: A = {все три сообщения переданы
правильно}; B = {все три сообщения искажены}; C = {хотя бы одно
сообщение передано правильно}; D = {хотя бы одно                                    сообщение
искажено}; E = {не менее двух сообщений переданы правильно}; F = {не
более одного сообщения передано правильно}; G = = {только третье
сообщение передано правильно}. ■                   А1 А2 А3 ;   А1 А 2 А3 ;       А1 + А2 + А3 ;

А1 + А 2 + А3 ; А1 А2 + А1 А3 + А2 А3 ; А1 А 2 + А1 А3 + А 2 А3 ; A1 A2 A3
   2.30 (2). На рисунках 2.1 – 2.3 приведены схемы электрических цепей.
События: Aк = {элемент к работает}; C = {в цепи нет разрыва}.
Выразить события С и С через события Аk и А k .


                                                                              1
               1       2                   1         2




                                               3                        2           3




               3       4                   4         5
                                                                              4




          Рис. 2.1                      Рис. 2.2                     Рис. 2.3




        ■ С = ( А1 + А2 )( А3 + А4 ) ; С = ( А1 + А2 )А3 ( А4 + А5 ) ;
          С = А1 ( А2 + А3 )А4 .
   2.31 (25). К механизмам управления автомобилем относятся рулевое

управление и две тормозные системы. События: A = {исправно рулевое

управление}; Bi = {исправна i–я тормозная система}; i = 1, 2. Выразить


событие C = {автомобиль работоспособен}, если оно происходит в том

случае, когда исправно рулевое управление и хотя бы одна тормозная

система.    ■ С = А(В1 + В2 ) .

   2.32 (2). Точку бросают в квадрат Ω (рис. 2.4). События A, B и C

означают соответственно попадание точки в области A, B и C. Что

означают следующие события: 1. А + В + С ; 2. АВС ; 3. А + В + С ; 4.

А + В + С ; 5. А B С ; 6. А + В + С ; 7. АВ + С ; 8. А B С ; 9. А В + С ;

10. ( А + С )В 11. ABC ; 12. ABC ?

   В каждом случае требуется воспроизвести рис. 2.4 и заштриховать

соответствующую область.



                                         В

                               А




                                    С
                                              Ω

                                   Рис. 2.4
   2.33 (2). Эксперимент состоит в бросании трех монет. Пусть Ai = {герб

выпал на i–й монете}, i = 1, 2, 3. Выразить через Аi и A i следующие

события: A = {выпадение одного герба и двух цифр}; B = {выпадение не

более одного герба}; C = гербов выпало меньше, чем                  цифр}; D =

{выпадение хотя бы двух гербов}; E = {на первой монете выпал герб, на


остальных – цифра}; F = {на первой монете выпала цифра и хотя бы на

одной из остальных выпал герб}.

      ■    А = А1 А 2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А 2 А3 ; В = А + А1 А 2 А3 ; С = В ; D = B ;

E = А1 А 2 А3 ; F = A1 ( A2 + A3 ) .

      2.34 (2). Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков

второго типа. Событие Ai = {исправен i-й блок первого типа}; i = 1, 2. Bk =

{исправен k-й блок второго типа}; k = 1, 2, 3. Прибор работает, если

исправен хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго

типа. Выразить событие C = {прибор работает} через события Ai и Bk.

      ■ С = ( А1 + А2 )(В1 В2 + В1 В3 + В2 В3 ) .

      2.35 (2). Стрелок произвел три выстрела по мишени. Событие Ai =
{попадание в мишень при i-м выстреле}; i = 1, 2, 3. Выразить через A1, A2,
A3 следующие события: A = {хотя бы одно попадание}; B = {ровно одно
попадание}; C = {хотя бы один промах}; D = {не менее двух попаданий};
E = {три промаха}; F = {три попадания}; G = {не больше одного
попадания}; H = {ровно два промаха}; K = {попадание не раньше второго
выстрела}. Что означают следующие события: АВС ; А + В + С ; D \ E ;
  (
K G\F ?   )
      ■ A = A1 + A2 + A3 ; В = А1 А 2 А 3 + А1 А2 А 3 + А1 А 2 А3 ; С = A1 +

      + А 2 + А 3 ; D = А1 А2 + А1 А3 + А2 А3 ; E = A1 A2 A3 ; F = А1 А2 А3 ;

      G=B+E;            H = А1 А 2 А 3 + А1 А2 А 3 + А1 А 2 А3 ;         (           )
                                                                   K = A1 A2 + A 2 A3 ;

                                                    (     )
      ABC = B ; A + B + C = Ω ; D \ E = B ; K G \ F = A1 A2 A3 .


   2.36* (24). Производят стрельбу по плоской прямоугольной мишени:

X ≤ 2, Y ≤ 1 .   Элементарный исход – координаты точки попадания в

декартовой системе координат. Промах в            указанный прямоугольник

исключен. События: A = {абсцисса точки попадания не меньше

ординаты}; B = {произведение координат точки неотрицательно};

C = {сумма модулей координат точки превышает единицу}. Выявить

пары совместных событий. ■ События попарно совместны.

   2.37* (24). На отрезке        [а, b]   наудачу ставят точку. Пусть х –

координата точки. Затем на отрезке [а, х ] наудачу ставят еще одну точку с

координатой у. Наблюдаемый результат – пара чисел ( х, у ) . События: A =

{вторая точка ближе к правому концу отрезка [а, b], чем к левому}; B =

= {расстояние между двумя точками меньше половины длины отрезка};

C = {первая точка ближе к левому концу отрезка, чем к правому}; D =

= {первая точка ближе ко второй, чем к правому концу отрезка [а, b]}.

Выявить пары совместных событий.

   ■ A и C – несовместны.

   В задачах 2.38 – 2.49 доказать справедливость тождеств.

   2.38 (2). ( А + В )С = АС + ВС .

                    (      )
   2.39 (2). ( А + В ) А + В = А .

                    (      )(        )
   2.40 (2). ( А + В ) А + В А + В = АВ .


               (       )(        )(         )
   2.41 (24). А + ВС В + АС С + АВ = АВС + A B С .

   2.42 (24). АС \ В = АС \ (ВС ) .

   2.43 (24). А \ В + А \ С = А \ (ВС ) .

   2.44 (24). А + А = А ; АА = А ; А + ∅=A; A∅=∅; AΩ=A; A+Ω=Ω.

   2.45 (24). А + А = Ω ; Ω = ∅ ; ∅ =Ω; А А = ∅.

   2.46 (24). А + В = А В ; АВ = А + В (правила де Моргана). Обобщить

правила де Моргана на произвольное число событий.

   2.47 (24).      АВ + С = ( А + С )(В + С ) – дистрибутивность сложения

относительно умножения.

   2.48 (24). А \ В = АВ .

   2.49 (24). ( А + В ) \ В = А \ АВ = А \ В = АВ .

   Замечание: этот пример показывает, что «приведение подобных

членов» в алгебре событий недопустимо.

   2.50 (24). Пусть A, B и C – события, наблюдаемые в эксперименте,

причем A и B несовместны. Показать, что события AC и BC также

несовместны.

   2.51 (24). Показать, что если А ⊂ В , то выполняются следующие

соотношения: АВ = А ; А + В = В ; А \ В = ∅.

   Показать, что из справедливости любого из соотношений следует:

А ⊂ В.


   2.52 (24). Пусть A и B – события, наблюдаемые в эксперименте.

Показать, что событие (A+B) можно разложить на сумму несовместных

событий следующими способами:

   а) А + В = А + (В \ АВ ) ;

   б) А + В = АВ + А В + АВ ;

   в) А + В = А + В А .

   В задачах 2.53 – 2.59 упростить выражения.

   2.53 (2). A + B . ■ AB.

   2.54 (2). A B . ■ A+B.

   2.55 (2). АВ + ВС + АВС . ■ A + B + C.

   2.56 (2). А ⋅ АВ + В . ■ A + B.

   2.57 (2). ( А + В ) АВ . ■ АВ + АВ .

             (     )(      )         (    )
   2.58 (2). А + В А + В + ( А + В ) А + В . ■ Ω.

                    (      ) (       )(   )
   2.59 (2). ( А + В ) А + В + А + В А + В . ■ Ω.

   В задачах 2.60 – 2.65 доказать истинность утверждений.

   2.60 (2). АВ + АС + ВС ⊂ А + В + С .
   2.61 (2). В ⊂ А ⇒ АВ + В = А .
   2.62 (2). AB=∅ ⇒ ( А + В )В = А .
   2.63 (2). А ⊂ В ⇒ АС ⊂ ВС .
   2.64 (2). AB=∅ ⇒ A В + В = А .

   2.65*(2). АВ + АВ ⊂ С ⇒ А ⊂ ВС + ВС .


                                     УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

       2.19. Пространство Ω – множество точек квадрата. Координаты (х, у)

каждой точки удовлетворяют неравенству                                           0 ≤ х, у ≤ 60 . Событие A

составляют точки прямоугольника с координатами 45 ≤ х ≤ 60 , 0 ≤ у ≤ 60 .

       Событию B благоприятствуют такие точки, для которых х > y; граница

этого множества – диагональ х = у.

       В событие C входят точки, координаты которых удовлетворяют

неравенству y − x > 15 и т.д.

       Множества, соответствующие описанным в условии задачи событию,

изображены на рисунках 2.5а – 2.5и.
           У                              У                                           У
                                                                                                   45
  60                                                                             60
                                     60




                                                                                 15
                                 Х                                          Х
   0                                                                                                         Х
                       45   60        0                       60                      0

                      –
           Рис. 2.5а 45 А                 Рис. 2.5б – В                                   Рис. 2.5д – С


           У                              У                                          У
                                                      45                                          45
  60                                 60                                         60

                                                                   45
  45


                                                                                15
                                     15
                                 Х                                      Х                                    Х
                                      0                    60                   0                       60
       0                    60                 15


               Рис. 2.5в – D                  Рис. 2.5г – E                               Рис. 2.5е – F


      У                                                      У                                                     У
                          45    60                                                                                           30          60
                                                                              45       60
 60                                                    60                                                 60

                                     45                                                     45

                                                       30                                                 30
 15
                                                       15
 0                                            Х                                                     Х                                               Х
          15
                                                       0              15   30                                  0

          Рис. 2.5ж –G                                           Рис. 2.5з – H                                         Рис. 2.5и – I
2.36. Аналитически множества A, B, C описываются так:
А = {( х, у ) : х ≥ у; − 2 ≤ х ≤ 2, − 1 ≤ у ≤ 1};
В = {( х, у ) : ху ≥ 0; − 2 ≤ х ≤ 2, − 1 ≤ у ≤ 1};

С = {( х, у ) : х + у ≥ 1; − 2 ≤ х ≤ 2, − 1 ≤ у ≤ 1}.
Эти множества изображены на рисунках 2.6а – 2.6в.
                                          У                                                               У
      (−2; 1)                                 (1; 1)
                                                                           (−2; 1)                                                     (2; 1)



                                                                       Х
                                                                                                                                                Х




               (−1; −1)        0; −1)                       (2; −1)         (−2; −1)                                               (2; −1)



                      Рис. 2.6а – А                                                                     Рис. 2.6б – В

                                                                       У

                                        (−2; 1)        (−1; 1)                     (1; 1)        (2; 1)




                                                                                                              Х




                                     (−2; −-1) (−1; −1)                         (1; −1)      (2; −1)

                                                           Рис. 2.6в − С



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика