Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачник по теории вероятностей

Голосов: 8

Представлены несколько разделов задачника по теории вероятностей: Комбинаторика; Пространство элементарных исходов. События и действия над ними; Классическое вероятностное пространство. Электронная версия издания размещена на сайте факультета "Информационные системы в управлении" СибАДИ (<a href="http://www.isu.kasib.ru" target="_blank">www.isu.kasib.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    первую и третью игры выиграла команда A, остальные         – команда B.

Сколько таких последовательностей можно составить? ■ 70.

   1.44 (4). В приемной у зубного врача ожидают своей очереди две

женщины и 10 мужчин. Для них имеется 8 экземпляров последнего номера

журнала и 4 экземпляра утренней газеты. Сколькими способами могут они

распределить газеты и журналы между собой, если обе женщины

непременно хотят читать одно и то же? ■ 255.

   1.45 (18). Сколькими способами можно расположить в один ряд 5

красных, 4 черных и 5 белых мячей так, чтобы мячи, лежащие на краях,

были одного цвета? ■ 72072.

   1.46 (23). В один из комитетов парламента нужно отобрать трех

членов, причем выбрать нужно из пяти консерваторов, трех лейбористов и

четырех либерал-демократов. Сколько различных комитетов можно

составить? ■ 220. Тот же вопрос, если в комитет должен входить по

крайней мере один либерал-демократ? ■          164.   Если лейбористы и

консерваторы не могут одновременно входить в комитет? ■ 115.

   Если в комитет должен войти по крайней мере один консерватор и хотя

бы один лейборист? ■ 105.

   1.47 (23). Сколько существует различных четырехзначных чисел, в

чьей десятичной записи могут присутствовать цифры 0, 1, 2, 3, 6, причем 0

на первом месте стоять не может? ■ 500. Сколько среди них четных чисел


(цифру 0 считать четной)? ■ 300. Сколько чисел состоят из двух четных и

двух нечетных цифр? ■ 180. Те же вопросы, если все цифры в числе

должны быть различны ■ 96; 60; 60..

     1.48 (23). Доказать равенство: C n + 2C n +1 + C n + 2 = C n + 2 .
                                      k      k        k         k +2



     1.49. Ведущий игры «Что? Где? Когда?» предлагает приз тому

телезрителю, который угадает ход игры по турам. Сколько разных

предсказаний можно составить, если в каждом туре победитель получает

одно очко, а игра ведется до шести побед одной из двух сторон? ■ 924.

     1.50     (2).    Имеется   n   шариков,      которые     случайным   образом

разбрасывают по m лункам. Сколько всего есть способов разбросать

шарики по лункам? ■ m n .

     Сколько среди них таких, что в первую лунку попадет k1 шариков, во

вторую – k 2 и т.д., в m -ю лунку – k m шариков, если k1 + k 2 + ... + k m = n ?

■ n! /(k1! k 2 !K k m ! ) .

     Сколько всего способов распределить шарики по лункам, если

                                                             n
учитывать только, сколько шариков попало в каждую лунку? ■ C n + m −1 .

     1.51 (24). В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколько всего
есть способов заказать 4 пирожных? ■              210.    Сколько среди них есть
способов заказать пирожные одного вида? ■ 7. Разных видов? ■ 35. По
два пирожных разных видов? ■ 21.


   1.52 (24). Из множества 1,2,..., n последовательно без возвращения

выбирают два числа. Сколько всего таких наборов, в которых второе число

большего первого? ■ n(n − 1) / 2 . Если выбирают три числа, сколько всего

                                                            3
наборов, в которых числа следуют в порядке возрастания? ■ C n .

   1.53* (11). Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая

следующая цифра больше предыдущей? ■ 126. Меньше предыдущей?

■ 210.

   1.54* (18). Сколькими способами можно выписать в один ряд 9 троек и

6 пятерок так, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом? ■ 210.

   1.55*. Одному страстному любителю Спортлото «5 из 36» приснился

вещий сон – последовательность цифр 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 9, из которых

складываются 5 очередных счастливых номеров. Сколько карточек должен

заполнить   любитель,    чтобы   гарантировать   получение    счастливой

комбинации? ■ 228.

                        УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

   1.53. Любые k различных цифр можно расположить в порядке

возрастания или в порядке убывания единственным образом.

   1.54. Если пятерки не стоят рядом, пару 53 можно считать единым

                        6    5    6
элементом. Тогда всего С9 + С9 = С10 = 210 способов (пятерка может

стоять и не стоять на последнем месте).


   1.55. Так как всего цифр 9, в карточке должны быть зачеркнуты четыре

двузначных числа и одно однозначное. Пусть однозначным числом будет

1. Цифры 4, 7, 9 могут быть только последними цифрами двузначных

чисел. Чтобы полностью определить искомые четыре двузначных числа,

нужно    выполнить      пять   действий:   указать   первую     цифру    числа,

оканчивающегося на 4; назвать первую цифру числа, оканчивающегося на

7; задать первую цифру числа, оканчивающегося на 9; определить первую

и вторую цифры четвертого двузначного числа. Эти действия задаются

перестановкой цифр 1, 1, 2, 3, 3. Например, перестановка 13231 определяет

следующие      четыре      числа:   14,    39,     27,    31.   Всего        таких

перестановок 5! /(2! 2!1! ) . Аналогично подсчитывается число вариантов,

когда однозначное число равно 2, 3, 4, 7, 9.

             II. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ.

                   СОБЫТИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

   2.1 (5). Относительно каждой из групп событий ответить на следующие

вопросы: образуют ли эти события пространство элементарных исходов

описанного    эксперимента;     если   образуют,     то   являются      ли    они

равновозможными; если не образуют, то являются ли они несовместными?

   1. Эксперимент – бросание правильной монеты; событие A1={герб}, A2

= {цифра}. ■ Да, да.


   2. Эксперимент – бросание неправильной (например, погнутой)

монеты. Те же события А1 , А2 . ■ Да, нет.

   3. Эксперимент – бросание двух правильных монет; B1 = {два герба},

B2 = {две цифры}. ■ Нет, да.

   4. Эксперимент – бросание двух правильных монет . События: B1=

= {два герба}, B2 = {две цифры}, B3 = {один герб и одна цифра}. ■ Да,

нет.

   5. Эксперимент – бросание двух правильных монет. События: B1 =

= { герб на первой монете}, B2 = {герб на второй монете}. ■ Нет, нет.

   6. Эксперимент – бросание правильного игрального кубика. События:

C1 = {1 или 2 очка}; C2 = {2 или 3 очка}; C3 = {3 или 4 очка}; C4 = {4 или 5

очков}; C5 = {5 или 6 очков}. ■ Нет, нет.

   7. Эксперимент – бросание двух правильных игральных кубиков.

События: D1 = {две шестерки }; D2 = {ни одной шестерки }; D3 = {на

одном кубике 6 очков, на другом не шесть очков }. ■ Да, нет.

   8. Эксперимент – передача трех сообщений по каналу связи. События:

E1 = {хотя бы одно сообщение искажено}; E2 = {хотя бы одно сообщение

не искажено}. ■ Нет, нет.

   9. Эксперимент – передача трех сообщений по каналу связи. События:

E1 = {все три сообщения переданы без ошибок}; E2 = {все три сообщения


переданы с ошибками}; E3 = {два сообщения переданы с ошибками, одно

без ошибок. ■ Нет, да.

   10. Эксперимент – передача трех сообщений по каналу связи. События:

E1 = {в первом сообщении есть ошибка}; E2 = {во втором сообщении есть

ошибка}; E3 = {в третьем сообщении есть ошибка}. ■ Нет, нет.

   11. Эксперимент – извлечение наугад одной карты из полной колоды.

События:    F1 = {червонная масть};      F2 = {трефовая масть}; F3 =

{бубновая масть}; F4 = {пиковая масть}. ■ Да, да.

   12. Эксперимент – извлечение наугад двух карт из полной колоды.

События: G1 = {обе карты черной масти}; G2 = {среди вынутых карт

есть дама треф}; G3={среди вынутых карт есть туз пик}. ■ Нет, нет.

   13. Эксперимент – два выстрела по цели. События: Н1 = {ни одного

попадания}; Н2 = {одно попадание}; Н3 = {два попадания}. ■ Да, нет.

   14. Эксперимент – эксплуатируются два прибора в течение некоторого

времени. События: К1 = {первый прибор вышел из строя, второй нет}; K2

= {второй прибор вышел из строя, первый нет}; K3={оба прибора вышли

из строя}; K4 = {один прибор не вышел из строя}. ■ Нет, нет.

   В задачах 2.2 – 2.15 дано описание эксперимента. Требуется построить

пространство элементарных исходов Ω. Желательно построить несколько

различных пространств.

   2.2 (18). Бросают три монеты.


   2.3 (18). Из букв слова «плюс» выбирают две буквы.

   2.4 (18). Из колоды в 52 игральные карты вынимают карты одну за

другой до появления первого туза.

   2.5 (18). Монету бросают до тех пор, пока либо выпадет герб, либо

четыре раза подряд выпадает цифра.

   2.6 (18). По жребию из 25 радиоприемников отбирают 3 и затем

проверяют. Проверка показывает, исправен приемник, или нет.

   2.7 (18). Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет два очка.

   2.8 (18). У каждого из 25 человек спрашивают день рождения.

   2.9 (18). Селекционер скрещивает две породы, каждая из которых

обладает парой генов (а, А), каждая из родительских особей передает

потомку один из генов; два гена – один отцовский и один материнский –

составляют пару генов потомства.

   2.10 (18). Бросают монету, а после этого кубик.

   2.11 (18). Отрезок делят на три равные части. На этот отрезок наудачу

брошены три точки.

   2.12. Студент обращается к своему другу с просьбой дать конспект

лекций по теории вероятностей: нужно переписать три лекции, которые он

нечаянно проспал.

   2.13 (18). Два шара – красный и синий – помещают в два ящика,

занумерованных числами 1 и 2:


   а) оба шара можно положить в один ящик;

   б) никакой ящик не должен быть пустым.

   2.14 (18). Из пяти различных книг A, B, C, Д и E отбирают три. Сколько

элементарных исходов соответствуют наборам книг:

   а) включающих A; б) не включающих A; в) включающих B и C;

   г) включающих либо Д, либо B?

   2.15 (18). В семье четверо детей. Отмечают пол каждого ребенка.

Сколько элементарных исходов соответствуют семьям, имеющим трех

мальчиков и одну девочку? Семьям, в которых первый ребенок девочка?

   В задачах 2.16 – 2.21 нужно построить пространство элементарных

исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующих

указанным событиям.

    2.16 (24). Игральную кость подбрасывают дважды. Наблюдаемый

результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в

первый и второй раз. События: A = {оба раза выпало число очков, кратное

трем}; B = {ни разу не выпало число 6}; C = {оба раза выпало число очков,

большее трех}; Д = {оба раза выпало одинаковое число очков}.

   2.17 (24). Монету подбрасывают три раза. Наблюдаемый результат –

появление герба (Г) или цифры (Ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал один раз}; B = {ни разу не выпала цифра}; C = {выпало

больше гербов, чем цифр}; Д = {герб выпал не менее чем два раза подряд}.


   2.18 (24). Монету подбрасывают до первого появления герба.
Наблюдаемый результат – общее число подбрасываний. События: A = =
{герб выпал при третьем подбрасывании}; B = {герб выпал не ранее, чем
при третьем подбрасывании}.
   2.19* (24). Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте

между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в

случайный момент указанного времени и ждет появления другого до

истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый

результат – пара чисел (X, Y), где X – время прихода Петра, Y – время

прихода Ивана (время исчисляется в минутах, начиная от 11 часов).

События: A = {Петр пришел после 11 часов 45 минут}; B = {Петр пришел

после Ивана}; C = {Петр пришел раньше Ивана и не дождался его}; D =

{Иван пришел до 11 часов 45 минут}; E = {встреча не состоялась}; F =

{Ивану не пришлось ждать Петра, встреча состоялась}; G = {встреча

состоялась}; Н = {встреча состоялась после 11 часов 30 минут}; I =

{тот, кто пришел первым, пришел до 11 часов 30 минут}.

   2.20 (24). Из ящика, содержащего 10 деталей, из которых 3

бракованных, наудачу последовательно и без возвращения извлекают по

одной детали до появления бракованной, после чего опыт прекращается.

Событие: A = {придется произвести третье по счету извлечение детали}.

   2.21 (24). Два баскетболиста A и B по очереди бросают мяч в корзину
до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забросит мяч в
корзину. События: Ai = {баскетболист A попадает при своем i–м броске};


Bk = {баскетболист B попадает при своем k–м броске}; A = {выигрывает
A}; B = = {выигрывает B}. Баскетболист A бросает первым.
   2.22 (5). На плоскость наудачу бросают точку. События A и B состоят в

том, что точка попадает соответственно в круг A и в круг B. какой смысл

имеют события: А, В, А + В, А + В , AB, АВ, А \ B, B \ A, ( A + B ) \ ( AB ) ?

   ■ A = {точка не попала в круг A}; В = {точка не попала в круг B}; AB

= {точка попала в оба круга}; A + B = точка попала хотя бы в один из

кругов. А + В = {точка не попала ни в один из кругов}; А \ B = {точка

попала в круг A, но не попала в круг B}; B \ A = {точка попала в круг B, но

не попала в круг A};   ( A + B ) \ ( AB ) =
= {точка попала в точности в один из кругов}.

   2.23 (5). Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех

однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть

обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

   A = {обнаружен ровно один объект}; B = {обнаружен хотя бы один

объект}; C = {обнаружено не менее двух объектов}; D = {обнаружено

ровно два объекта}; E = {обнаружено ровно три объекта}; F =

{обнаружены все четыре объекта}.

   Указать, в чем состоят события: 1) A+B; 2) AB; 3) B+C; 4) BC; 5)

D+E+F; 6) BF. Совпадают ли события BF и CF? BC и D?

   ■ B; A; B; C; C; F; BF = CF; BC ≠ D.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика