Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачник по теории вероятностей

Голосов: 8

Представлены несколько разделов задачника по теории вероятностей: Комбинаторика; Пространство элементарных исходов. События и действия над ними; Классическое вероятностное пространство. Электронная версия издания размещена на сайте факультета "Информационные системы в управлении" СибАДИ (<a href="http://www.isu.kasib.ru" target="_blank">www.isu.kasib.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        И.А. ПАЛИЙ



 Задачник по
    теории
вероятностей


                                                       СОДЕРЖАНИЕ

I. КОМБИНАТОРИКА .............................................................................................................4
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ......................................................................14
II. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ. ......................................................15
СОБЫТИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ. .............................................................................15
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ......................................................................30
3. КЛАССИЧЕСКОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ..........................................33
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ......................................................................55
4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ............................................................................59
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ......................................................................63
5. ВЕРОЯТНОСТЬ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. ................................................................................
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ВЕРОЯТНОСТИ СУММ .....................................................
И ПРОИЗВЕДЕНИЙ СОБЫТИЙ ..........................................................................................67
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ......................................................................98
6. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.................................106
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .................................................................... 123
7. ИСПЫТАНИЯ ПО СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ........................................................................130
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .................................................................... 147
8. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ......................................
ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ....................................................................151
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .................................................................... 160
9. СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ....................................................................................
ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.....................................................................162
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .................................................................... 170
10. ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ...........................................171
11. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН...175
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .................................................................... 187
12. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.................................................................
ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ....................................
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ...................................................................................190
13. РАВНОМЕРНОЕ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ, НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......205
14. СИСТЕМЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН........................................213
   Указание: ............................................................................................... 219
15. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ .......219
16. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ……….
ВЕЛИЧИН.............................................................................................................................223
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .................................................................... 229
17. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.....................................232
   УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .................................................................... 242
18. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ ....................................................................................................244
   18.1. КОМБИНАТОРИКА ..................................................................... 244
   18.2 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ............................
   СОБЫТИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ................................................ 247
   18.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ......... 253


                           I. КОМБИНАТОРИКА

    1.1 (18). Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4,

6, 7, 8, если каждую цифру в любом числе использовать не более 1 раза?

■ 720.

    Сколько среди этих чисел будет четных? ■ 480.

    1.2 (18). Сколько существует пятизначных чисел? ■ 90000.

    Сколько среди них таких, которые начинаются цифрой 2 и

заканчиваются цифрой 4? ■ 1000.

    Которые не содержат цифры 5? ■ 52488.

    Которые делятся на 5? ■ 18000.

    1.3 (12). У Тани есть 20 марок, у Наташи − 30. Сколькими способами

можно обменять одну Танину марку на одну Наташину? ■ 600.

Две Таниных на три Наташиных? ■ 771400.

    1.4 (18). Сколько чисел, заключающихся между 1000 и 9999, содержат

цифру 3? ■ 3168.

    1.5 (18). Сколько чисел, больших 5000000, можно составить из цифр 7,

5, 4, 4, 3, 3, 1? ■ 360.

    1.6 (18). Сейф запирается цифровым замком, циферблат которого

состоит из ста клавиш с цифрами, расположенными по окружности. Для

того чтобы открыть сейф, необходимо нажать какие–то три клавиши,

причем известно, что между любыми двумя искомыми клавишами


располагаются не менее десяти клавиш. Сколько комбинаций из трех

клавиш необходимо перепробовать, чтобы заведомо открыть сейф?

■ 469200 – если порядок нажатия клавиш существенен, 78200 – если нет.

    1.7 (12). Нужно послать 6 писем. Сколькими способами это можно

сделать, если для доставки писем имеются три курьера? ■ 729.

    1.8 (18). 10 кресел поставлены в ряд. Сколькими способами на них

могут сесть два человека? ■ 90.

    Сколькими способами эти два человека могут сесть рядом? ■ 18.

    Сколькими способами они могут сесть так, чтобы между ними было,

по крайней мере, одно пустое кресло? ■ 72.

    1.9 (18). 5 мальчиков и 5 девочек рассаживаются на 10 подряд
расположенных мест, причем мальчики садятся на нечетные места, а
девочки на четные. Сколькими способами они могут это сделать?
    ■ 14400.
    1.10 (18). В классе 12 девочек и 10 мальчиков. Сколькими способами
можно построить их в одну шеренгу, если в ней как все девочки, взятые
отдельно, так и все мальчики, взятые без девочек, должны стоять по росту?
■ C 12 .
    22

    1.11 (18). В автомашине 7 мест. Сколькими способами 7 человек могут

усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из

них? ■ 2160.

    1.12 (18). 20 пассажиров собираются совершить поездку в двухэтажном

автобусе, который вмещает 12 пассажиров внизу и 8 наверху. При этом 4


пассажира не желают ехать внизу, а 5 – наверху. Сколькими способами

можно рассадить их по местам в автобусе, если порядок размещения

пассажиров по местам как внизу, так и наверху не учитывается?

   1.13 (18). В девяти коробках нужно разместить 4 предмета. Сколькими

способами можно это сделать, если:

   а) в каждой коробке должно быть не более одного предмета? ■ 3024;

   б) в каждой коробке может быть любое число предметов? ■ 6561.

   1.14 (18). Компания из 20 мужчин разделяется на 3 группы. В первую

входят три человека, во вторую – 5, в третью – 12. Сколькими способами

они могут это сделать? ■ 7054320.

   1.15 (18). Сколькими способами из пяти супружеских пар можно

отобрать четырех человек, если:

   а) в число отобранных должны входить двое мужчин и две женщины?

   ■ 100;

   б) никакая супружеская пара не должна входить в это число? ■ 80.

   1.16 (18). Из двенадцати кандидатов тренер отбирает 5 и составляет из

них баскетбольную команду. Два кандидата могут играть центровыми,

четверо – только в защите, а остальные – только в нападении.

Предполагается, что баскетбольная команда состоит из одного центрового,

двух защитников и двух нападающих. Сколькими способами тренер может

составить команду? ■ 180.


   1.17 (18).   Из группы в 20 солдат каждую ночь выделяется наряд,

состоящий из трех человек. Сколько ночей подряд командир может

выделять наряд, не совпадающий ни с одним предыдущих? ■ 1140.

   Сколько раз, при этом, в наряд пойдет какой–то определенный солдат?

■ 171.

   1.18 (18). В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных

подгрупп, если в подгруппу входит не менее двух человек? ■ 502.

   1.19. Из двадцати человек, которые должны сдавать экзамены, 10

должны явиться к девяти часам утра, остальные к одиннадцати. Если 7

человек определенно хотят быть в первой группе, 5 – во второй, а две

подружки не возражают быть в любой из групп, но только обязательно

вместе, то сколькими способами староста может распределить студентов

по группам? ■ 26.

   1.20 (12). Сколько всего способов разложить 10 одинаковых монет по
двум карманам? ■ 11.
   Сколько среди них таких, когда оба кармана не пусты? ■ 9.
   Те же вопросы, если карманов 3. ■ 66; 36.
   Сколько есть способов разложить 10 разных монет по двум карманам?
■ 1024.
Сколько среди них таких, когда оба кармана не пусты? ■ 1022.
Те же вопросы, если карманов 3. ■ 59049; 55980.
   1.21 (18). Сколько различных перестановок можно образовать из всех

букв слова «перестановка»? ■ 119750400;


   Сколько из них начинается с буквы «к» и оканчивается на «а»? ■

1814400.

   1.22 (18). Найти число перестановок, образованных из всех цифр числа

2233344455. ■ 25200.

   1.23 (18). Предприятие может предоставить работу по одной

специальности четырем женщинам, по другой – пяти мужчинам, по

третьей – трем работникам, независимо от их пола. Сколькими способами

можно заполнить эти вакансии, если имеются 18 претендентов – 8 женщин

и 10 мужчин? ■ 1481760.

   В задачах 1.24 – 1.26 «словом» называется любое размещение букв.

   1.24 (18). Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно

образовать из букв, составляющих слово «гипотенуза», равно числу всех

возможных перестановок букв, составляющих слово «призма».

      3
   ■ А10 = 6!

   1.25 (18). Сколько слов, состоящих из двух гласных и двух согласных,

можно образовать из слова «функция»? ■ 432.

   1.26 (2). Сколько перестановок можно образовать из слова «зоология»?

■ 6720.

   Сколько таких слов, в которых буквы «О» стоят рядом? ■ 720.

   1.27 (7). Сколько всего есть матриц, в которых 3 строки и 5 столбцов,

если элементы матрицы выбираются из множества {0, 1}?■ 32768.


Сколько среди них матриц с попарно различными строками? ■ 29760.

   1.28 (23). Цветочница продает розы четырех разных сортов. Сколько

разных букетов можно составить из дюжины роз? ■ 1365.

   1.29 (18). Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг,

если: а) две определенные книги всегда должны стоять рядом? ■ 1440;

б) эти две книги не должны стоять рядом? ■ 3600.

   1.30 (18). Сколькими различными способами из восьми книг можно

отобрать несколько, но не менее трех? ■ 219.

   1.31 (18). На окружности выбрано 10 точек. Сколько можно провести

хорд с концами в этих точках? ■ 45. Сколько существует треугольников с

вершинами в этих точках? ■ 120. Сколько выпуклых десятиугольников?

■ 1.

   Сколько самопересекающихся десятиугольников? ■ 181439.

   1.32   (18).   Сколько    существует    диагоналей   у    выпуклого

двадцатиугольника? ■ 170.

   Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, в котором можно

провести 35 различных диагоналей? ■ 10.

   1.33 (18). Сколькими способами три различных подарка A, B и C можно

вручить трем из пятнадцати лиц, если никто не должен получить более

одного подарка? ■ 2730.

   Если подарок A должно получить вполне определенное лицо? ■ 182.


   1.34 (18). Между тремя лицами – A, B, C – нужно распределить 15

различных предметов, причем A должен получить 2 предмета, B – три, а C

– 10. Сколькими способами можно выполнить это распределение? ■

30030.

   1.35 (18). Сколько шестизначных чисел можно образовать из цифр 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если каждое число должно состоять из трех четных и трех

нечетных цифр, причем никакая цифра не входит в число более одного

раза? ■ 28800. Сколько среди них таких, в которых как четные цифры,

взятые отдельно, так и нечетные цифры, взятые отдельно, расположены в

порядке убывания? ■ 800.

   1.36 (18). Сколько различных маршрутов может избрать пешеход,

решив пройти 9 кварталов, 5 из них – на запад и 4 – на север? ■ 126.

   1.37 (12). В библиотеке есть 5 учебников геометрии, 7 учебников

тригонометрии, 4 учебника алгебры. Сколько полных комплектов

учебников можно составить? ■ 4. Сколько всего различных способов

комплектования, если все экземпляры учебников считать различными?

■ 2419200.

   1.38. В студенческой столовой на обед предлагаются: 3 салата, 2

первых блюда, 4 вторых, в том числе котлеты и рыба, 3 напитка, в том

числе томатный сок. Сколькими способами студент может составить обед


из четырех блюд: салат, первое, второе, напиток, если котлет он опасается,

а рыбу запивает только томатным соком? ■ 42.

   1.39 (18). В течение десяти недель студенты сдают 10 экзаменов, в том

числе два по математике. Сколькими способами можно распределить

экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали

один за другим? ■ 2903040.

   1.40 (18). Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти

дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?

■ 5040.

   1.41 (18). Сколько сигналов можно поднять на мачте, имея 4 флага

различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из

двух флагов? ■ 60.

   1.42 (18). Концерт состоит их трех песен и двух скрипичных пьес.

Сколькими способами можно составить программу концерта так, чтобы он

начинался и оканчивался исполнением песни, и чтобы скрипичные пьесы

не исполнялись одна за другой? ■ 12.

   1.43 (18). В соревнованиях по баскетболу команды A и B играют между

собой несколько игр до тех пор, пока одна из команд не выиграет четыре

игры.     Составляется   последовательность     наименований      команд,

выигравших игры; например, последовательность ABABBB означает, что



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика