Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Некоммутативные алгебры в математике и ее приложениях

Голосов: 0

Дан краткий обзор классов некоммутативных алгебр, возникающих в различных областях математики и ее приложениях.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                                              МАТЕМАТИКА

                                                НЕКОММУТАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
                                             В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ

                                                                             В. А. АРТАМОНОВ
                                                Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова



                                                                                                        ВВЕДЕНИЕ
                              NONCOMMUTATIVE ALGEBRAS                                             В предлагаемой статье читатели знакомятся с некоторы-
                              IN MATHEMATICS                                                      ми классами некоммутативных алгебр, возникающих в
                                                                                                  различных разделах математики и ее приложений.
                              AND ITS APPLICATIONS
                                                                                                      Понятие алгебры является одним из важнейших в
                              V. A. ARTAMONOV                                                     современной математике. Под алгеброй понимается
                                                                                                  векторное пространство A, в котором задано умноже-
                              Some classes of noncommutative algebras aris-                       ние, то есть каждой паре элементов x, y ∈ A сопоставлен
                              ing in different branches of mathematics and                        элемент xy ∈ A, называемый их произведением, причем
                                                                                                  выполнены обычные законы дистрибутивности, с ко-
                              its applications are surveyed.                                      торыми ученики знакомятся при изучении чисел. Если
                                                                                                  в качестве скаляров для векторного пространства бе-
                              Дан краткий обзор классов некоммутатив-                             рутся вещественные (комплексные) числа, то мы гово-
                              ных алгебр, возникающих в различных обла-                           рим о вещественной (комплексной) алгебре. Алгебра A
                              стях математики и ее приложениях.                                   называется коммутативной, если xy = yx для всех x, y ∈
                                                                                                  ∈ A. Алгебра A называется ассоциативной, если (xy)z =
                                                                                                  = x(yz) для всех x, y, z ∈ A. Другие классы алгебр и есте-
                                                                                                  ственные примеры мы приведем ниже.
                                                                                                      В произвольной алгебре A выполнены свойства, к
                                                                                                  которым мы привыкли, производя преобразования с
                                                                                                  числами. Например, если 0 – нулевой элемент алгеб-
                                                                                                  ры, то 0x = x0 = 0 для любого элемента x произвольной
                                                                                                  алгебры.
                                                                                                      Отметим некоторые замечательные элементы алге-
                                                                                                  бры A. Элемент 1 ∈ A называется единицей, если 1x =
                                                                                                  = x1 = x для любого элемента x ∈ A. Нетрудно проверя-
                                                                                                  ется, что единица, если она существует, единственна.
                                                                                                  Элемент x−1 алгебры A с единицей называется обрат-
                                                                                                  ным к элементу x ∈ A, если xx−1 = x−1x = 1. Множество A*
                                                                                                  всех обратимых элементов ассоциативной алгебры A
                                                                                                  замкнуто относительно произведений, перехода к об-
     © Артамонов В.А., 2001




                                                                                                  ратному элементу и содержит единицу, то есть A* явля-
                                                                                                  ется группой.
                                                                                                        Напомним следующее важное, часто используемое
                                                                                                       Обозначение. В произвольной алгебре A для любых
                                                                                                  элементов x, y полагаем [x, y] = xy − yx. Таким образом,
                                                       www.issep.rssi.ru                          алгебра A коммутативна в том и только том случае, если
                                                                                                  [x, y] = 0.



88                                                  С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1


                                                      МАТЕМАТИКА
    АЛГЕБРЫ МАТРИЦ                                                                                     b1j + b2j + … + bnj = 1
Приведем один из основных примеров алгебр. Через                              для любого j = 1, 2, …, n. Несложные рассуждения по-
Мат(n) обозначим множество всех квадратных матриц                             казывают, что столбец, характеризующий распределе-
(таблиц) размера n. Если мы подчеркиваем, что рас-                            ние населения по городам через M лет, будет равен B MX.
сматриваем вещественные (комплексные) матрицы, то                                 Теорема 2 (Перрон). Существуют столбец U с ко-
пишем Мат(n, R) (соответственно Мат(n, C)). Сложе-                            ординатами u1, u2 , …, un и строка V = (υ1 , υ2 , …, υn), об-
ние матриц из Мат(n) сводится к сложению коэффи-                              ладающие следующими свойствами:
циентов, стоящих на одинаковых местах; умножение                                  1) u1υ1 + u2υ2 + … + unυn = 1;
на число сводится к умножению всех коэффициентов                                  2) (A − E)U = V(A − E) = 0;
на это число. Произведение матриц C, D ∈ Мат(n) вво-                                           N
дится по следующему правилу: если сij , dij – коэффици-                            3) lim A        является матрицей, у которой на месте
                                                                                         N
енты матриц C, D, стоящие на месте (i, j ), то в матрице                      (i, j) стоит uiυj .
F = CD на произвольном месте (i, j ) стоит число                                    Таким образом, в пределе распределение по горо-
              fij = ci1d1j + ci2d2j + … + cindnj .                            дам Γ1, Γ2 , …, Γn стабилизируется. Численность населе-
                                                                              ния в городе Γi будет
Это определение мотивируется следующей ситуацией.
Если V – векторное пространство всех столбцов X вы-                                                 ui(υ1x1 + υ2x2 + … + unxn).
соты n, то каждая матрица B = (bij) ∈ Мат(n) задает пре-                           Другое приложение алгебр матриц возникло в
образование V по правилу: BX – это столбец, в котором                         20-е годы XX века в связи с построением математичес-
i-й коэффициент равен                                                         кого аппарата квантовой механики. При этом подходе
                 bi1x1 + bi2x2 + … + binxn .                                  физические величины представляются эрмитовыми
                                                                              комплексными матрицами B = (bij) ∈ Мат(n, C) с усло-
Несложная проверка показывает, что если F = CD, то                            виями b ij = b ji , черта означает взятие комплексно-со-
FX = (CD)X = C(DX), то есть преобразование, соответ-                          пряженного числа. Следует сразу оговориться, что при
ствующее произведению матриц, является произведе-                             этом физики рассматривают матрицы бесконечных
нием (композицией) преобразований, соответствующих                            размеров. Но мы для простоты изложения будем рас-
сомножителям.                                                                 сматривать только матрицы конечного размера. Физи-
    Те ор е ма 1 . Алгебра Мат(n) является ассоциатив-                        ческая величина, представляемая эрмитовой матрицей
ной алгеброй с единицей. Если n 2, то алгебра Мат(n) не                       B, принимает лишь те значения λ, для которых матрица
является коммутативной. Матрица из Мат(n) имеет                               B − λE не имеет обратной. В линейной алгебре такие
обратную тогда и только тогда, когда ее определитель                          числа λ называются собственными значениями матри-
отличен от нуля.                                                              цы B. Доказывается, что собственные значения эрмито-
    Единицей в Мат(n) является единичная матрица E,                           вой матрицы B вещественны и они и только они явля-
в которой на месте (i, j) стоит число 1, если i = j, и 0 в                    ются корнями многочлена det(B − tE) от неизвестной t.
противном случае.                                                             Более того, существует такая унитарная матрица U, что
    Алгебра Мат(n) играет существенную роль при изу-                          U −1BU – диагональная матрица, причем по главной ди-
чении систем линейных уравнений, линейных опера-                              агонали стоят все собственные значения матрицы B.
торов. Укажем некоторые приложения алгебры веще-                                   В квантовой механике определенную роль играет
ственных матриц Мат(n, R), например, к изучению                               принцип неопределенности: две физические величины
проблем демографии.                                                           не могут быть одновременно вычислены. Этот принцип
    Пусть в некотором регионе имеются города Γ1, Γ2 , …                       естественно интерпретируется на языке матриц. Если
…, Γn , причем каждый год bij-я часть населения города                        величины, соответствующие эрмитовым матрицам B и
Γj переезжает в город Γi . Предполагаем, что bij > 0 для                      D, могут быть вычислены одновременно, то существует
всех i, j. Кроме того, суммарная общая численность на-                        такая унитарная матрица U, что матрицы U −1BU, U −1DU
селения во всех рассматриваемых городах в изучаемый                           диагональны. Несложная проверка показывает, что в
период не меняется. Распределение населения по горо-                          этом случае BD = DB. Следовательно, принцип неопре-
дам Γ1, Γ2 , …, Γn в начальный год задано в виде столбца                      деленности соответствует наличию таких эрмитовых
X высоты n, в котором i-я координата равна численно-                          матриц B, D, что BD DB.
сти населения в городе Γi в начальный год. Ставится во-                            Обозначим через H множество всех эрмитовых ма-
прос о том, какое будет распределение населения по                            триц из Мат(n, C). Несложная проверка показывает, что
выделенным городам через N лет. Введем матрицу B =                            H является алгеброй относительно умножения B • D =
= (bij) ∈ Мат(n, R). Заметим, что условие сохранения                          = BD + DB. Заметим, что умножение B • D коммутатив-
численности населения записывается в виде уравнений                           но и удовлетворяет тождеству ((B • B) • D)B = (B • B) •



                 А Р ТА М О Н О В В . А . Н Е К О М М У ТА Т И В Н Ы Е А Л Г Е Б Р Ы В М А Т Е М А Т И К Е И Е Е П Р И Л О Ж Е Н И Я Х        89


                                                        МАТЕМАТИКА
     • (B • D), но не является, вообще говоря, ассоциатив-                      содержащее единичную матрицу и замкнутое относи-
     ным. Алгебры с указанными тождествами называются                           тельно произведений и перехода к обратной матрице.
     йордановыми.                                                               Алгебра функций на линейной группе обладает допол-
         Отметим, что в 80-х годах XX столетия выдающе-                         нительными алгебраическими структурами, которые
     муся новосибирскому математику Е.И. Зельманову                             носят название алгебры Хопфа. В качестве примеров ли-
     удалось, применив полученные им результаты в теории                        нейных групп можно рассматривать все матрицы за-
     йордановых и лиевых (см. ниже) алгебр, полностью ре-                       данного порядка с определителем 1, все ортогональные
     шить ослабленную проблему английского математика                           матрицы, все комплексные унитарные матрицы фик-
     начала XX века Бернсайда (W. Burnside). Именно, уда-                       сированного порядка. Изучение этих групп связано с
     лось показать, что существует конечное число конеч-                        изучением симметрий нашего пространства. В послед-
     ных групп с заданным числом порождающих элемен-                            ние два десятилетия обнаружились тесные связи между
     тов, в которых xn = 1 для всех элементов группы при                        алгебрами Хопфа, квантовыми группами и некоммута-
     некотором натуральном числе n. За цикл этих работ                          тивной геометрией, то есть изучением виртуальных то-
     Е.И. Зельманову вручена филдсовская медаль – высшая                        пологических пространств, алгебры функций которых
     награда международного математического сообщества,                         некоммутативны.
     присуждаемая один раз в четыре года на международных
     математических конгрессах. Работы Е.И. Зельманова                                АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ
     существенно опирались на работы А.И. Кострикина,                           Принцип неопределенности, о котором речь шла вы-
     решившего эту проблему в случае, когда число n яв-                         ше, выражается и виде уравнения
     ляется простым. В связи с этим необходимо отметить                                                    [p, q] = pq − qp = c,
     работы академиков РАН П.С. Новикова, С.И. Адяна
                                                                                где p, q – физические величины, с – ненулевое число,
     50–60-х годов XX века, показавших, что для достаточ-
                                                                                связанное с постоянной Планка. Деля q на c получаем
     но большого нечетного простого числа n существует
                                                                                уравнение [p, qc−1] = 1.
     бесконечная группа, порожденная двумя элементами,
                                                                                    Таким образом, если рассматривать линейные ком-
     в которых xn = 1 для всех элементов группы. В послед-
                                                                                бинации произведений p, q в произвольном порядке, то
     ние годы С.В. Иванов и И.Г. Лысенок распространили
                                                                                есть рассматривая функции (многочлены) от физи-
     этот результат на произвольное достаточно большое
                                                                                ческих величин, то получаем некоммутативную ас-
     натуральное число n. Их методы существенно отлича-
                                                                                социативную алгебру. Эта алгебра давно известна в
     ются от методов А.И. Кострикина и Е.И. Зельманова.
                                                                                математике. Она называется алгеброй Вейля. Укажем ее
         Подробнее со свойствами алгебр матриц читатель
                                                                                естественную реализацию. На алгебре комплексных
     может познакомиться в [1].
                                                                                многочленов С[X1 , X2 , …, Xn] рассматриваются преоб-
         АЛГЕБРЫ ФУНКЦИЙ                                                        разования q1 , q2 , …, qn , p1 , p2 , …, pn , где
     Другим важным примером ассоциативных алгебр явля-                                                                                   ∂f
                                                                                                    qi ( f ) = X i f ,      p i ( f ) = -------
                                                                                                                                              -
     ются алгебры функций – алгебры всех непрерывных                                                                                    ∂X i
     функций на топологических пространствах. В этих ал-                        для любого многочлена f ∈ С[X1 , X2 , …, Xn].
     гебрах линейная комбинация αf + βg и произведение fg
                                                                                      Непосредственная проверка показывает, что [pi , qj ]
     функций f, g определяются поточечно, то есть
                                                                                равно 1, если j = i, и 0 в противном случае. Кроме того,
                   (α f + βg)(x) = αf(x) + βg(x),                               [pi , pj ] = [qi , qj ] = 0 для всех i, j. Линейные комбинации
                         (fg)(x) = f(x)g(x).                                    произведений элементов q1 , q2 , …, qn , p1, p2 , …, pn в про-
     Все эти алгебры коммутативны и ассоциативны. Изве-                         извольном порядке составляют элементы алгебры Вей-
     стно, что при некоторых разумных ограничениях топо-                        ля An . Из указанных выше правил перестановки произ-
     логическое пространство однозначно восстанавливает-                        ведений элементов q1 , q2 , …, qn , p1 , p2 , …, pn вытекает, что
     ся по своей алгебре функций. Таким образом, изучение                       каждый элемент из An является линейной комбинацией
     соответствующих пространств сводится к изучению ал-                        произведений одночленов q 1
                                                                                                                             m(1) m(2)
                                                                                                                                   q      …q n
                                                                                                                                                  m(n)   t(1)
                                                                                                                                                         p1 p2 …
                                                                                                                                                                t(2)
                                                                                                                                  2
     гебр функций на них. Например, алгебрами функций
                                                                                      t(n)
     на прямой, плоскости и в пространстве являются соот-                       … p n , где m(1), m(2), …, m(n), t(1), t(2), …, t(n) – целые
     ветственно алгебры многочленов k[X1], k[X1 , X2], k[X1 ,                   неотрицательные числа. Можно показать, что все та-
     X2 , X3] от переменных X1 , X2 , X3.                                       кие одночлены независимы и потому они образуют ба-
          Линейной группой называется множество невы-                           зис алгебры Вейля An . Таким образом, алгебра Вейля
     рожденных матриц, задаваемое фиксированной систе-                          бесконечномерна. Отметим, что для многочлена f ∈
     мой уравнений относительно коэффициентов матриц,                           ∈ С[X1 , X2 , …, Xn]



90                                С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1


                                                                                  МАТЕМАТИКА
                 m(1) m(2)        m(n)     t(1)    t(2)            t(n)
                q1   q2      …q n        p1 p2 … pn ( f ) =                                     бая алгебра Ли вложима в некоторую ассоциативную
                                                  t(1) + t(2) + … + t(n)
                                                                                                алгебру с указанным умножением. Алгебры Ли играют
                 m(1)    m(2)       m(n)       ∂                                     f
           = X1         X2      … Xn        ----------------------------------------------) .
                                                   t(1)          t(2)                t(n
                                                                                                важную роль в математике. Выше уже отмечалось их
                                            ∂X i ∂X i …∂X i                                     применение для решения ослабленной проблемы Берн-
Другими словами, алгебра Вейля An является алгеброй                                             сайда. Кроме того, если для линейной группы матриц
дифференциальных операторов на С[X1 , X2 , …, Xn].                                              размера n рассмотреть касательное пространство в еди-
                                                                                                ничной матрице, то получается подпространство T ма-
    Те ор е ма 3 . Алгебра Вейля An проста, то есть если
                                                                                                триц размера n, причем если A, B ∈ T, то [A, B ] = AB −
задан ненулевой элемент h ∈ An , то, умножая h слева и
                                                                                                − BA ∈ T. Таким образом, T является алгеброй Ли. Изу-
справа на произвольные элементы алгебры Вейля и беря их
                                                                                                чение линейных групп в значительной мере произво-
линейные комбинации, мы получим единичный элемент 1.
                                                                                                дится с помощью теории алгебр Ли.
    Отметим, что теорема 3 справедлива и для алгебры
матриц Мат(n).                                                                                      ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    Известно, что алгебра многочленов k[X1 , X2 , …, Xn]                                        В последние годы в связи с развитием теории кванто-
вложима в алгебру рациональных функций k(X1 , X2 , …                                            вых групп, некоммутативной геометрии и т.д. возникла
…, Xn) от переменных X1 , X2 , …, Xn . В этой коммутатив-                                       необходимость найти некоммутативные аналоги мно-
ной алгебре каждый ненулевой элемент обратим. Ана-                                              гочленов. Одним из таких аналогов является мультипа-
логичный результат справедлив и для алгебры Вейля.                                              раметрическая деформация СQ[X1 , X2 , …, Xn] многочле-
    Те ор е ма 4. Алгебра Вейля An вложима в ассоциа-                                           нов. Пусть Q = (qij) – квадратная матрица размера n с
тивную алгебру Dn , в которой каждый ненулевой элемент                                          комплексными коэффициентами qij , причем qii = qijqji = 1
имеет обратный. Произвольный элемент из Dn предста-                                             для всех i, j = 1, 2, …, n. Рассматриваются многочлены
вим в виде f −1g, а также в виде υu−1, где f, u – ненулевые                                     от n переменных X1 , X2 , …, Xn , причем сложение много-
элементы из An и g, υ ∈ An .                                                                    членов стандартное, а умножение индуцировано прави-
    Отметим, что в An и Dn умножение некоммутатив-                                              лом коммутирования неизвестных Xi Xj = qij Xj Xi .
но. Подробнее со свойствами алгебр Вейля можно по-                                                  Более подробно с некоммутативными аналогами
знакомиться по книге [3].                                                                       многочленов можно познакомиться в обзоре [4].
    В конце этого раздела отметим открытую проблему                                                 В этой статье мы коснулись ассоциативных алгебр
французского математика Ж. Диксмье.                                                             и лишь вскользь упомянули об йордановых алгебрах и
     Проблема. Пусть q 1, q 2, …, q n, p 1, p 2, …, p n – эле-                                  алгебрах Ли. Эти классы алгебр заслуживают отдельно-
                                                                                                го рассмотрения. Отметим, что другим важным с точки
менты алгебры Вейля An , причем [ p i, q j ] = [ p i, q j ],                                    зрения приложений классом неассоциативных конеч-
[ p i, p j ] = [ p i, p j ], [ q i, q j ] = [ q i, q j ] для всех i, j. Дока-                   номерных алгебр являются генетические алгебры [5],
зать, что каждый элемент из An является линейной ком-                                           описание строения которых позволяет адекватно отра-
                                                                                                жать генетическое развития популяций.
бинацией произведений элементов q 1, q 2, …, q n, p 1 ,
p 2, …, p n .                                                                                       ЛИТЕРАТУРА
    Из положительного решения этой проблемы выте-                                               1. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Основы алгебры. М.:
                                                                                                Физматлит, 2000.
кает положительное решение открытой проблемы яко-
                                                                                                2. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Линейная алгебра. М.:
биана: если f1 , f2 , …, fn ∈ С[X1 , X2 , …, Xn], причем опре-                                  Физматлит, 2000.
делитель матрицы, в которой на месте i, j стоит частная                                         3. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.:
                                                                                                Мир, 1978.
                    ∂f
производная -------i равен 1, то каждая переменная Xj яв-
                       -,                                                                       4. Артамонов В.А. Квантовая гипотеза Серра // Успехи мат.
                    ∂X j                                                                        наук. 1998. Т. 53, № 4. C. 3–77.
ляется линейной комбинацией произведений элемен-                                                5. Woerz A. Algebras in Genetics: Lectures Notes in Biomathema-
                                                                                                tics 35. B.; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1980.
тов f1 , f2 , …, fn .

     АЛГЕБРЫ ЛИ                                                                                             Рецензент статьи Ю.П. Соловьев

Следующий важный класс алгебр образуют алгебры Ли.                                                                          ***
Это алгебры, в которых умножение, обычно обознача-                                              Вячеслав Александрович Артамонов, доктор физико-
емое через [x, y], удовлетворяет тождествам                                                     математических наук, профессор кафедры высшей
    [x, y] + [y, x] = [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.                              алгебры механико-математического факультета МГУ.
                                                                                                Область научных интересов – кольца, универсальная
Если в произвольной ассоциативной алгебре положить                                              алгебра и их приложения. Автор более 90 научных ра-
[x, y] = xy − yx, то получается алгебра Ли. Обратно, лю-                                        бот, в том числе двух книг.



                         А Р ТА М О Н О В В . А . Н Е К О М М У ТА Т И В Н Ы Е А Л Г Е Б Р Ы В М А Т Е М А Т И К Е И Е Е П Р И Л О Ж Е Н И Я Х                    91



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика